GIẢI HỆ THỨC ĐỆ QUI HỆ THỨC ĐỆ QUI THUẦN NHẤT CẤP Đề: 𝒂𝒌 = 𝒖, 𝒂𝒏 = 𝝀𝒂𝒏−𝟏 , (∀𝒏 ≥ ) (*) Xét hệ thức đệ qui tương ứng 𝒂𝒏 − 𝝀𝒂𝒏−𝟏 = 𝟎, (∀𝒏 ≥ ) đa thức bậc tương ứng 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝜆 có nghiệm 𝑥 = 𝜆 ⇒ (*) có nghiệm tổng quát 𝑎𝑛 = 𝑝 𝜆𝑛 , (∀𝑛 ≥ ) //với p ẩn số tự đặt 𝑎𝑘 = 𝑢 ⇒ ⋯ //Thay k, u vào nghiệm tổng quát tìm ẩn số p Vậy hệ thức đệ qui (*) có nghiệm 𝑎𝑛 = 𝑝 𝜆𝑛 tương ứng với 𝑎𝑘 = 𝑢 HỆ THỨC ĐỆ QUI THUẦN NHẤT CẤP Đề: 𝒂𝒌 = 𝒖, 𝒂𝒍 = 𝒗, 𝒂𝒏 = 𝝀𝒂𝒏−𝟏 + 𝝁𝒂𝒏−𝟐 , (∀𝒏 ≥ ) (*) Xét hệ thức đệ qui tương ứng 𝒂𝒏 − 𝝀𝒂𝒏−𝟏 − 𝝁𝒂𝒏−𝟐 = 𝟎, (∀𝒏 ≥ ) tam thức bậc hai tương ứng 𝑓 (𝑥) = 𝑥 − 𝜆𝑥 − 𝜇 = ⋯ //Xét trường hợp sau: // 𝑓 (𝑥) có nghiệm phân biệt 𝑓 (𝑥) = (𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) có nghiệm 𝑥 = 𝑥1 , 𝑥 = 𝑥2 ⇒ (*) có nghiệm tổng quát 𝑎𝑛 = 𝑝 𝑥1𝑛 + 𝑞 𝑥2𝑛 , (∀𝑛 ≥ ) //với p,q ẩn số tự đặt // 𝑓 (𝑥) có nghiệm kép 𝑓 (𝑥) = (𝑥 − 𝑥0 )2 có nghiệm kép 𝑥 = 𝑥0 ⇒ (*) có nghiệm tổng quát 𝑎𝑛 = (𝑝 + 𝑛 𝑞) 𝑥0𝑛 , (∀𝑛 ≥ ) //với p,q ẩn số tự đặt // 𝑓 (𝑥) có nghiệm phức 𝑓 (𝑥) có nghiệm phức 𝑥 = 𝑟 (𝑐𝑜𝑠𝜑 ± 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜑) ⇒ (*) có nghiệm tổng quát 𝑎𝑛 = 𝑟 𝑛 (𝑝 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜑 + 𝑞 𝑠𝑖𝑛𝑛𝜑), (∀𝑛 ≥ ) //với p,q ẩn số tự đặt //Tìm ẩn số p q: … 𝑎𝑘 = 𝑢 { 𝑎 = 𝑣 ⇒ {… //Thay k, u, l, v vào nghiệm tổng quát tìm p q 𝑙 Vậy hệ thức đệ qui (*) có nghiệm … tương ứng với 𝑎𝑘 = 𝑢, 𝑎𝑙 = 𝑣 HỆ THỨC ĐỆ QUI KHÔNG THUẦN NHẤT CẤP Đề: 𝒂𝒌 = 𝒖, 𝒂𝒏 = 𝝀𝒂𝒏−𝟏 + 𝜶𝒏 𝒈𝒓 (𝒏), (∀𝒏 ≥ ) (1) // 𝜶 số, 𝒈𝒓 (𝒏) đa thức bậc r theo ẩn n Xét hệ thức đệ qui tương ứng 𝒂𝒏 − 𝝀𝒂𝒏−𝟏 = 𝟎, (∀𝒏 ≥ ) (2) đa thức bậc tương ứng 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝜆 có nghiệm 𝑥 = 𝜆 ⇒ (2) có nghiệm tổng quát 𝑎𝑛′ = 𝑝 𝜆𝑛 , (∀𝑛 ≥ ) //với p ẩn số tự đặt Ta có: 𝛼 𝑛 𝑔𝑟 (𝑛) = ⋯ //Đưa 𝛼 𝑛 𝑔𝑟 (𝑛) dạng cần //Xét trường hợp tìm nghiệm riêng (1): //𝛼 nghiệm 𝑓 (𝑥) || 𝛼 = 𝜆 Mặt khác: 𝑓 (𝛼) = ⇒ (1) có nghiệm riêng: 𝑥𝑛 = 𝛼 𝑛 ℎ𝑟 (𝑛) 𝑛 //𝛼 không nghiệm 𝑓 (𝑥) || 𝛼 ≠ 𝜆 Mặt khác: 𝑓 (𝛼) ≠ ⇒ (1) có nghiệm riêng: 𝑥𝑛 = 𝛼 𝑛 ℎ𝑟 (𝑛) //ℎ𝑟 (𝑛) đa thức ẩn n bậc r chưa xác định hệ số Ví dụ: ℎ1 (𝑛) = 𝐴 𝑛 + 𝐵; ℎ2 (𝑛) = 𝐴 𝑛2 + 𝐵 𝑛 + 𝐶; … //Thay nghiệm riêng 𝑥𝑛 vào (1), chọn n để tìm hệ số A, B, C,… //Nghiệm tổng quát (1) = Nghiệm tổng quát (2) + Nghiệm riêng (1) ⇒ (1) có nghiệm tổng quát 𝑎𝑛 = 𝑝 𝜆𝑛 + 𝑥𝑛 , (∀𝑛 ≥ ) //với p ẩn số tự đặt, 𝑥𝑛 đa thức ẩn n 𝑎𝑘 = 𝑢 ⇒ ⋯ //Thay k, u vào nghiệm tổng quát (1) tìm ẩn số p Vậy hệ thức đệ qui (1) có nghiệm … tương ứng với 𝑎𝑘 = 𝑢 HỆ THỨC ĐỆ QUI KHÔNG THUẦN NHẤT CẤP Đề: 𝒂𝒌 = 𝒖, 𝒂𝒍 = 𝒗, 𝒂𝒏 = 𝝀𝒂𝒏−𝟏 + 𝝁𝒂𝒏−𝟐 + 𝜶𝒏 𝒈𝒓 (𝒏), (∀𝒏 ≥ ) (1) // 𝜶 số, 𝒈𝒓 (𝒏) đa thức bậc r theo ẩn n Xét hệ thức đệ qui tương ứng 𝒂𝒏 − 𝝀𝒂𝒏−𝟏 − 𝝁𝒂𝒏−𝟐 = 𝟎, (∀𝒏 ≥ ) (2) tam thức bậc hai tương ứng 𝑓 (𝑥) = 𝑥 − 𝜆𝑥 − 𝜇 = ⋯ //Xét trường hợp sau: // 𝑓 (𝑥) có nghiệm phân biệt 𝑓 (𝑥) = (𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) có nghiệm 𝑥 = 𝑥1 , 𝑥 = 𝑥2 ⇒ (2) có nghiệm tổng quát 𝑎𝑛′ = 𝑝 𝑥1𝑛 + 𝑞 𝑥2𝑛 , (∀𝑛 ≥ ) //với p,q ẩn số tự đặt // 𝑓 (𝑥) có nghiệm kép 𝑓 (𝑥) = (𝑥 − 𝑥0 )2 có nghiệm kép 𝑥 = 𝑥0 ⇒ (2) có nghiệm tổng quát 𝑎𝑛′ = (𝑝 + 𝑛 𝑞) 𝑥0𝑛 , (∀𝑛 ≥ ) //với p,q ẩn số tự đặt // 𝑓 (𝑥) có nghiệm phức 𝑓 (𝑥) có nghiệm phức 𝑥 = 𝑟 (𝑐𝑜𝑠𝜑 ± 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜑) ⇒ (2) có nghiệm tổng quát 𝑎𝑛′ = 𝑟 𝑛 (𝑝 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜑 + 𝑞 𝑠𝑖𝑛𝑛𝜑), (∀𝑛 ≥ ) //với p,q ẩn số tự đặt //Tìm nghiệm riêng (1): Ta có: 𝛼 𝑛 𝑔𝑟 (𝑛) = ⋯ //Đưa 𝛼 𝑛 𝑔𝑟 (𝑛) dạng (nếu cần) //Xét trường hợp: //𝛼 nghiệm kép 𝑓(𝑥) Mặt khác: 𝑓 (𝛼) = = 𝑓 ′ (𝛼) ⇒ (1) có nghiệm riêng: 𝑥𝑛 = 𝛼 𝑛 ℎ𝑟 (𝑛) 𝑛2 //𝛼 nghiệm đơn 𝑓 (𝑥) Mặt khác: 𝑓 (𝛼) = ≠ 𝑓 ′ (𝛼) ⇒ (1) có nghiệm riêng: 𝑥𝑛 = 𝛼 𝑛 ℎ𝑟 (𝑛) 𝑛 //𝛼 không nghiệm 𝑓 (𝑥) Mặt khác: 𝑓 (𝛼) ≠ ⇒ (1) có nghiệm riêng: 𝑥𝑛 = 𝛼 𝑛 ℎ𝑟 (𝑛) //ℎ𝑟 (𝑛) đa thức ẩn n bậc r chưa xác định hệ số Ví dụ: ℎ1 (𝑛) = 𝐴 𝑛 + 𝐵; ℎ2 (𝑛) = 𝐴 𝑛2 + 𝐵 𝑛 + 𝐶; … //Thay nghiệm riêng 𝑥𝑛 vào (1), chọn n để tìm hệ số A, B, C,… //Nghiệm tổng quát (1) = Nghiệm tổng quát (2) + Nghiệm riêng (1) ⇒ (1) có nghiệm tổng quát 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛′ + 𝑥𝑛 , (∀𝑛 ≥ ) //với p ẩn số tự đặt, 𝑥𝑛 đa thức ẩn n //Tìm ẩn số p q: … 𝑎𝑘 = 𝑢 { 𝑎 = 𝑣 ⇒ {… //Thay k, u, l, v vào nghiệm tổng quát (1) tìm p q 𝑙 Vậy hệ thức đệ qui (1) có nghiệm … tương ứng với 𝑎𝑘 = 𝑢, 𝑎𝑙 = 𝑣 ...3 HỆ THỨC ĐỆ QUI KHÔNG THUẦN NHẤT CẤP Đề: