Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là giúp học sinh lớp 11 nói riêng và học sinh trung học phổ thông nói chung tiếp cận thêm một số phương pháp khác để giải quyết một số bài toán cơ bản và đặc biệt giúp cho việc giải quyết một số bài toán tổ hợp xác suất hay và khó một cách dễ dàng và chính xác hơn.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT KỲ SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: BỔ SUNG 3 QUY TẮC PHÂN HOẠCH VÀ PHÉP THỬ BERNOULLI VÀO GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TỐN XÁC SUẤT THPT MƠN : LĨNH VỰC : TỐN DẠY HỌC TỐN Năm học: 2020 2021 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT KỲ SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: BỔ SUNG 3 QUY TẮC PHÂN HOẠCH VÀ PHÉP THỬ BERNOULLI VÀO GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TỐN XÁC SUẤT THPT MƠN : TOÁN TÁC GIẢ : NGUYỄN VIẾT LỰC TỔ : TOÁN TIN : TRƯỜNG THPT KỲ SƠN ĐƠN VỊ SỐ ĐIỆN THOẠI : 0988972186 Năm học: 2020 2021 Mục lục I. PHẦN MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đất nước ta trên đường đổi mới cần có những con người phát triển tồn diện, năng động và sáng tạo. Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo, địi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội. Đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó một yếu tố quan trọng là đổi mới phương pháp dạy học, bao gồm cả phương pháp dạy học mơn Tốn. Mục tiêu Giáo dục phổ thơng đã chỉ rõ “Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm từng lớp học, mơn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.” Từ năm học 20162017, trong kỳ thi trung học phổ thơng quốc gia, đề thi mơn Tốn thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan Chính điều này đã tạo ra một sự chuyển biến lớn trong cả dạy và học ở các nhà trường. Để đạt được điểm số cao trong kỳ thi này, học sinh khơng cần chỉ nắm vững kiến thức cơ bản, làm thuần thục các dạng tốn quan trọng mà cần có khả năng logic cao để tiếp cận vấn đề một cách nhanh nhất, chọn được cách giải quyết nhanh nhất đến đáp án. Đây thực sự là một thách thức lớn Trong những năm gần đây, bản thân tơi nhận thấy nhu cầu học tập và tìm hiểu của học sinh về xác suất thống kê nói chung và tổ hợp xác suất đối với học sinh trung học phổ thơng nói riêng. Xuất phát từ nhu cầu đó là một người giáo viên tơi muốn tìm hiểu và cung cấp thêm cho học sinh THPT những cái mới, cái khác để tăng thêm cơng cụ giải quyết bài tốn. Với mong muốn đó tơi bắt đầu tìm tịi và học hỏi Mặt khác, với chương trình mới mang tính chất mở cho phép các nhà trường thêm nội dung, chương trình chỉ cần đảm bảo được tính cốt lõi của nội dung, đảm bảo được kiến thức u cầu Từ đó, trên mục đích bổ sung thêm cho học sinh lớp 11 nói riêng và học sinh THPT nói chung, tơi mạnh dạn chọn đề tài “Bổ sung 3 quy tắc phân hoạch và thử Bernoulli vào giải quyết một số bài tốn xác suất THPT” 2. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 2.1. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào các kiến thức về tổ hợp và xác suất. Đặc biệt là một số quy tắc qua đó giải quyết một số bài tốn. Và học sinh các lớp 11C3, 11C4, 11C5,11A1 2.2. Phạm vi nghiên cứu Để thực hiện đề tài này, tơi đã nghiên cứu dựa trên các tài liệu về tổ hợp xác suất đặc biệt là 3 quy tắc phân hoạch và phép thử Bernoulli. Các dạng tốn liên quan đến 3 quy tắc này thuộc vào nội dung kiến thức trung học phổ thơng nói chung và kiến thức “Chương II: Tổ hợp Xác suất”, Đại số và Giải tích 11 nói riêng 3. MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 3.1. Mục tiêu nghiên cứu: Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là giúp học sinh lớp 11 nói riêng và học sinh trung học phổ thơng nói chung tiếp cận thêm một số phương pháp khác để giải quyết một số bài tốn cơ bản và đặc biệt giúp cho việc giải quyết một số bài tốn tổ hợp xác suất hay và khó một cách dễ dàng và chính xác hơn 3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu những khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải quyết bài tốn liên quan đến tổ hợp xác suất. Rồi từ đó đúc rút kinh nghiệm từ thực tiễn dạy học và đưa ra những giải pháp. Ghi chép tổng hợp các kết quả thực nghiệm thu được từ việc áp dụng đề tài vào giảng dạy 4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI Trong thực tiễn dạy học chủ đề Tổ hợp xác suất ta bắt gặp nhiều bài tốn phức tạp cần phải tư duy hết sức khéo léo mới giảm được sự dài dịng và qua đó tăng độ chính xác khi làm tốn dạng này. Ở chủ đề này thì lý thuyết cũng khơng khá nhiều nhưng ngược lại dạng bài tập “hóc búa” dễ gặp sai lầm lại khơng hề ít. Bản thân là một giáo viên dạy bộ mơn tốn, khi dạy chủ đề này cũng gặp rất nhiều khó khăn. Có những trường hợp học sinh làm bài sai, nhưng để chỉ ra lỗi sai cũng khơng hề đơn giản, bởi đó là vấn đề tư duy trong trứng nước, phải đặt mình vào vị thế chính các em để nhận ra. Bởi vì đặc thù chủ đề và các dạng tốn tổ hợp xác suất nó như vậy nên tơi đã tìm tịi, hỏi hỏi và muốn cung cấp cho học sinh thêm “Ba quy tắc phân hoạch và phép thử Bernoulli” để học sinh có thêm cơng cụ giúp giải quyết một số dạng bài tốn của chủ đề mà với cơng cụ sách giáo khoa thục sự là những thách thức 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Với mục tiêu đề ra tơi xây dựng phương pháp như sau: Cung cấp kiến thức một cách đầy đủ và tỉ mỉ để học sinh nắm chắc được kiến thức. Sau đó cho học sinh ơn luyện các dạng bài tập để củng cố kiến thức. Khi học sinh đã nắm chắc kiến thức và làm được một lượng bài tập cơ bản của chương thì tơi cho học sinh kiểm tra một số dạng bài tập tơi hướng đến. Để nắm bắt được với cơng cụ sách giáo khoa thì học sinh sẽ giải quyết bài tốn như thế nào? (tất nhiên những bài tốn này là những bài tốn thuộc chương trình của các em, sử dụng những kiến thức các em đã được học vẫn giải quyết được). Sử dụng kết quả bài kiểm tra để nghiên cứu. Sau đó tơi cung cấp cho các em kiến thức “3 quy tắc phân hoạch và phép thử Bernoulli” rồi cho học sinh khảo sát lại những bài tốn trước đó. Quan sát và đánh giá. Nghiên cứu lý luận Nghiên cứu thực tiễn Thực nghiệm sư phạm Thống kê tốn học 6. THỜI GIAN NGHIÊN CỨU Học kì I năm học 2020 2021 7. DỰ BÁO NHỮNG ĐĨNG GĨP CỦA ĐỀ TÀI Trong q trình giảng dạy, bản thân tơi áp dụng đề tài của mình và bước đầu đã thu được những kết quả khá khách quan, hầu như sau khi được cung cấp thêm “3 quy tắc phân hoạch và phép thử Bernoulli” thì học sinh đã giải quyết nhanh và chính xác một số dạng bài tập mà trước đó cịn gặp khó khăn như sai, dài dịng, hướng suy luận, Cũng qua đó kích thích được tinh thần học tập của học sinh khi học chủ đề này Đề tài có thể sử dụng để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và đặc biệt những bạn u thích chủ đề “Tổ hợp Xác suất” II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI 1.1. Cơ sở lý thuyết của đề tài Kiến thức cơ bản về tổ hợp xác suất + Quy tắc đếm: Quy tắc cộng: Một cơng việc được hồn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện khơng trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì cơng việc đó có cách thực hiện Quy tắc nhân: Một cơng việc được hồn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có cách hồn thành cơng việc + Số các hốn vị của n phần tử: + Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử: + Số các tổ hợp chập k của n phần tử: + Tính chất của các số : + Tính chất của xác suất: là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi: 2. CÁC SÁNG KIẾN VÀ GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1. Cung cấp 3 quy tắc phân hoạch 2.1.1. Quy tắc 1 a) Cung cấp cơng thức Xét bài tốn phân hoạch: Cho tập hợp A có n phần tử phân biệt. Phân hoạch tập hợp A ra k nhóm, nhóm thứ có phần tử ( ). Khi đó số cách phân hoạch trên là: Quy tắc này có thể phát biểu dưới dạng khác như sau: Số cách phân phối n quả cầu phân biệt vào k hộp phân biệt sao cho hộp thứ i có quả là: b) Chứng minh quy tắc 1 Xét bài tốn phân hoạch: Cho tập hợp A có n phần tử phân biệt. Phân hoạch tập hợp A ra k nhóm, nhóm thứ có phần tử () Đầu tiên ta sẽ chọn phần tử của nhóm 1, ta có cách chọn Sau khi chọn nhóm 1 thì cịn lại phần tử, dẫn tới số cách chọn nhóm 2 sẽ là: Cứ như vậy số cách chọn của nhóm thứ k sẽ là: 1 Do đó dễ có được số cách phân phối n quả cầu phân biệt vào k hộp phân biệt là: Vậy ta đã chứng minh được quy tắc 1 c) Bài tốn minh họa Bài tốn 1: Một tổ trực nhật gồm 10 bạn học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách phân cơng trực nhật sao cho có 5 bạn làm trong lớp, 3 bạn làm hành lang, 2 bạn làm bồn hoa Đây là một bài tốn cơ bản nên khi khảo sát theo cách giải thơng thường thì đa số học sinh đều làm đúng Bài làm: Cách làm cơ bản: Chọn 5 người trực nhật trong lớp có: cách chọn Với mỗi cách chọn 5 bạn trực nhật trong lớp ta có: cách chọn 3 bạn trực nhật hành lang và tiếp theo có cách chọn 2 bạn trực nhật bồn hoa Vậy có tất cả 2520 cách phân cơng Với cách suy luận theo quy tắc phân hoạch 1: Số cách phân cơng chính là cách phân hoạch 10 phần tử thành 3 nhóm: Nhóm 1 có phần tử Nhóm 2 có phần tử Nhóm 3 có phần tử Vậy có tất cả: cách phân cơng Ở bài tốn này chúng ta chưa thấy được sự khó khăn và một số sai lầm khi học sinh giải tốn, nhưng cũng có thể thấy rõ nếu áp dụng cơng thức thì học sinh có lẽ chỉ cần dưới 30 giây để có thể “chốt” ngay đáp án 2520. Đồng thời bài tốn giúp học sinh hình thành khả năng lựa chọn và thiết lập được cách thức, quy trình giải quyết vấn đề. Để làm rõ tính ứng dụng cơng thức, ta đến với bài tốn thứ hai: Bài tốn 2: Có 8 hành khách lên một đồn tàu 8 toa, tính xác suất sao cho trong8 toa đó có 2 toa có 2 người, 4 toa mỗi toa 1 người và 2 toa trống Ở bài tốn này học sinh sử dụng phương pháp lập luận, quy nạp va suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vẫn đề được đặt ra tuy nhiên rất nhiều học sinh mắc sai lầm, kể cả những học sinh khá giỏi Sai lầm của các em thường gặp là cách sắp xếp người vào toa nhưng qn mất hốn vị của nó, hoặc có những bạn lại thừa đi. Trước hết tơi xin đưa ra những lời giải sai chủ yếu của các em học sinh: Lời giải 1: Ở lời giải này học sinh nhầm lẫn giữa chỉnh hợp và tổ hợp. Khi cịn lại 2 toa chúng ta cần chọn 2 người để cho vào một toa thì chỉ cần chọn 2 người trong 4 người là bài tốn được giải quyết (dùng tổ hợp) nhưng bởi em nghĩ ở đây có thêm sự đổi vị trí giữa 2 toa nên em đã sử dụng chỉnh hợp dẫn đến lời giải sai và ở lời giải này nếu chúng ta chỉ lướt qua mà chưa biết trước được đáp án chính xác thì dễ mà giáo viên cũng cho rằng đây là một lời giải đúng 10 Nhóm 8: 0 phần tử (0 người) Bằng cách tư duy như vậy ta có tất cả cách phân hoạch (cách sắp xếp người) Bài tốn được giải quyết khi phân hoạch toa rồi phân hoạch người thành các nhóm. Áp dụng quy tắc nhân, ta có cách sắp xếp. Số phần tử khơng gian mẫu: Xác suất đáp án sẽ là Ở lời giải này tơi trình bài chi tiết hết mức để thấy rõ cách tư duy. Đặc biệt khi cung cấp cho học sinh quy tắc 1 này và các ví dụ minh họa đơn giản thì kết quả thu được rất khả quan, ngay cả đối với những lớp bình thường như 11C3, 11C4, 11C5, 11A1, Cụ thể: Lớp 11C3 11C4 11C5 11A1 Số học sinh làm được bài 21 21 20 28 Sĩ số 32 32 32 33 Tỷ lệ 66% 66% 62,5% 85% Với kết quả này thì chúng ta nhận thấy việc cung cấp thêm quy tắc này cho học sinh là một việc rất thiết thực và ứng dụng rất cao vào việc giải dạng tốn này. Đặc biệt nếu giải quyết một bài tốn khó mà có lồng ghép cách sắp xếp tương tự như bài tốn tổng qt của quy tắc 1 thì chúng ta sẽ tránh được những sai sót khơng đáng có như một số sai lầm của học sinh mà tơi đã nêu ở trên. Qua bài tốn 2 và những lời giải mắc sai lầm của học sinh, học sinh lí giải được tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu được từ các tính tốn là có ý nghĩa, có phù hợp hay khơng). Đặc biệt, nhận biết được cách đơn giản hóa, cách điều chỉnh những u cầu thực tiễn để đưa đến lời giải đúng cho bài tốn. Khơng chỉ vậy, học sinh cịn thiết lập được cách thức và quy trình giải quyết các bài tốn tương tự bài tốn 2 Bài tốn 3: Một em bé có 2 viên bi trắng và 4 viên bi đỏ để trong một cái hộp. Em rút từng viên một cho đến viên bi cuối cùng. Tính xác suất để viên bi cuối cùng mà em rút được là màu đỏ Lời giải: Đầu tiên ta đếm số khả năng của khơng gian mẫu Em rút từng bi một trong 2 bi trắng và 4 bi đỏ cho đến bi cuối cùng và bởi vì 2 bi trắng là giống nhau, 4 bi đỏ là giống nhau nên ta cũng xem như đây là việc phân hoạch tập hợp gồm 6 phần tử thành 2 nhóm (nhóm 1 có 2 phần tử, nhóm 2 có 4 phần tử). Số phần tử khơng gian mẫu là: Biến cố A là em rút từng bi một cho đến bi cuối cùng 14 Để bi cuối cùng là bi đỏ có nghĩa cịn lại 5 bi (2 bi trắng và 3 bi đỏ). Số phần tử của biến cố A chính là số cách phân hoạch 5 phần tử thành 2 nhóm (nhóm 1 có 2 phần tử, nhóm 2 có 3 phần tử). Số phần tử biến cố A là: Xác suất của biến cố A sẽ là: Khi chuyển tiếp sang bài tốn 3, học sinh thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt đối với bài tốn 2. Ở bài tốn này, học sinh đã lựa chọn và thiết lập được cách thức, quy trình giải quyết bài tốn 3 một cách đúng đắn. d) Bài tập tự giải Bài 1. Một tổ cơng tác gồm 15 người đi kiểm tra việc thực thi cơng việc ở một nhà máy. Tổ cơng tác cần phân cơng cơng việc như sau: 4 người kiểm tra hồ sơ giấy tờ, 7 người kiểm tra máy móc trang thiết bị và 4 người kiểm tra lại việc kiểm tra của 11 người trên. Hỏi có bao nhiêu cách phân cơng làm việc? Bài 2. Một đội cảnh sát gồm 8 người đuổi theo tội phạm thì gặp một khu nhà gồm 5 dãy nhà. Bởi số lượng cảnh sát ít nên đội trưởng đã đưa ra quyết định. Phải bỏ trống 2 dãy nhà, 3 dãy nhà cịn lại được phân cơng như sau: 2 dãy có 3 người, 1 dãy có 2 người. Tính xác suất để tội phạm chạy trốn được (với giả thiết là dãy nhà nào có cảnh sát thì tội phạm sẽ bị bắt) 2.1.2. Quy tắc 2 a) Cung cấp cơng thức Xét bài tốn phân hoạch: Có bao nhiêu cách sắp xếp n quả cầu giống nhau vào k hộp khác nhau. Số cách phân hoạch là b) Chứng minh cơng thức Tưởng tượng k hộp đó đặt sát nhau và hai hộp cạnh nhau có một vách ngăn chung. Do có k hộp nên sẽ có vách ngăn chung. Ta hình dung n quả cầu và cách ngăn thì sẽ có tất cả vị trí. Do đó cách làm sẽ như sau: Chúng ta chọn trong tổng số vị trí để đặt cách vách ngăn sẽ có: cách. Tiếp theo chúng ta đặt n quả cầu vào n vị trí cịn lại sẽ có một cách đặt bởi vì các quả cầu giống nhau. Vậy bài tốn sắp xếp n quả cầu giống nhau vào k hộp khác nhau thì sẽ có (cách sắp xếp) Ở quy tắc này, chứng minh quy tắc tổng qt chỉ sử dụng mấy dịng lý luận dựa trên định nghĩa. Thì chắc hẳn ai cũng sẽ nghĩ bài tốn tổng qt mà đã như vậy thì bài tốn phụ sẽ như thế nào? Nếu tơi cho các em học sinh tự tìm tịi chứng minh quy tắc này dựa vào những kiến thức mà các em đã được học thì chắc hẳn sẽ có bạn làm được. Nhưng cái hay của quy tắc này đó là khi chúng ta ra những bài tốn cụ thể dựa trên cái tổng qt này thì khó học sinh nào có thể 15 tìm tịi và có phương án tối ưu cho bài giải của mình. Tơi có đưa ra 3 bài tốn để khảo sát học sinh lớp chọn của trường Ba bài tốn được đưa ra u cầu học sinh phải xác định được tình huống có vấn đề; thu thập, sắp xếp, giải thích và đánh giá được độ tin cậy của thơng tin, sau đó là lựa chọn và thiết lập được cách thức, quy trình giải quyết vấn đề, cuối cùng học sinh thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết các bài tốn được đưa ra Bài tốn 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 quả cầu giống nhau vào 3 hộp khác nhau? Bài tốn 2: Có bao nhiêu bộ 10 số tự nhiên có tổng bằng 31? Bài tốn 3: Cho phương trình . Phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm tự nhiên thỏa mãn ? Ở bài tập số 1, chủ yếu học sinh học sinh sử dụng cách phân chia trường hợp hoặc liệt kê 6 thành tổng 3 số tự nhiên. Với phương pháp này để giải quyết những bài tốn số nhỏ (ít trường hợp) thì có thể sẽ khả quan. Tất nhiên học sinh cũng gặp phải khơng ít sai lầm khi tính tốn. Và sau đây tơi xin đưa ra một số sai lầm của học sinh khi giải quyết bài tốn này Lời giải 1: Em sử dụng phương pháp giả sử số quả cầu trong 3 hộp 1,2,3 lần lượt là là khơng sai nhưng khi em sử dụng thêm điều kiện thì lời giải đã mắc phải sai lầm nghiêm trọng, bới từ đây khơng thể suy ra các kết quả cho các trường hợp khác. Điều này đã dẫn đến lỗi sai của tồn bài 16 Lời giải 2: Học sinh thực chia trường hợp chuẩn xác. Những trường hợp em lại tính số cách sắp xếp sai. Ví dụ trường hợp 1 hộp 4 và 2 hộp 1 thì e lại chỉ ra có 3! Cách sắp xếp. Em đã qn mất 2 hộp 1 mà trao đổi quả cầu cho nhau thì kết quả khơng thay đổi bới các quả cầu ở đây là giống nhau. Một số lời giải đúng: 17 Ở bài tập số 2, học sinh dường như đều khơng nhìn nhận được hướng đi tối ưu để giải quyết vấn đề. Có len lỏi một số hướng đi nhưng kết quả đạt được là khơng có. Do vậy, tơi rất mong muốn cung cấp cho các em học sinh một cách tỉ mỉ và rõ ràng quy tắc này để sau này gặp những dạng bài tốn liên quan mặc dù có thể là chia kẹo, xếp bóng vào hộp, hay là tìm nghiệm của phương trình,… thì các em đều hiểu rõ bản chất để giải quyết. Cịn trường hợp là bài tốn trắc nghiệm thì học sinh chỉ cần nhớ cơng thức để áp dụng. Những bài tốn trên hay nhưng biến thể khó hơn thì nếu các em nắm rõ bài tốn này thì đều giải quyết dễ dàng. Ví dụ bài tốn 2 “Nếu là tự luận thì chúng ta sẽ chứng minh lại cơng thức quy tắc 2 và áp dụng với thì chúng ta hồn tồn giải quyết được bài tốn.” Sử dụng quy tắc như một bổ đề c) Áp dụng giải quyết bài tốn Tìm số bộ k số khơng âm sao cho Ví dụ: Có bao nhiêu cách phân tích số 3 thành tổng của 2 số tự nhiên Giải: Làm trực tiếp, tức là có bốn cách phân tích Theo quy tắc trên ta có và có cách phân tích Với một bộ số ta lại có một bài tốn. Khi n,k càng lớn thì bài tốn sẽ càng phức tạp nếu khơng nắm chắc quy tắc này. d) Bài tập tự luyện 18 Bài 1. Cho phương trình , a) Số nghiệm của phương trình là bao nhiêu? b) Số nghiệm của phương trình là bao nhiêu? Với điều kiện , , , c) Số nghiệm của phương trình là bao nhiêu? Với điều kiện đều chẵn d) Số nghiệm của phương trình là bao nhiêu? Với điều kiện e) Bất phương trình có mấy nghiệm khơng âm? Hướng dẫn: Đặt bằng hiệu Bài 2. Tung n con xúc xắc giống hệt nhau. Ký hiệu là số con xúc xắc xuất hiện chấm, . Mỗi kết quả ứng với bộ (). Hỏi có bao nhiêu bộ số như vậy? Bài 3. Có bao nhiêu số tự nhiên sao cho + Dạng tốn này hồn tồn có thể sử dụng để đưa vào trắc nghiệm một cách linh hoạt Đối với học sinh trung bình yếu: Bài 1: Có bao nhiêu cách phân tích 4 thành tổng 2 số tự nhiên: A B. 6 C. 4 D. 7 Đối với học sinh khá giỏi: Bài 2: Có bao nhiêu cách phân tích số 16 thành tổng của 4 số tự nhiên: A. 1820 2.1.3. Quy tắc 3 B. 969 C. 4845 D. 3876 a) Cung cấp cơng thức Xét bài tốn phân hoạch: Có bao nhiêu cách sắp xếp n cầu giống nhau vào k hộp khác nhau sao cho mỗi hộp chứa ít nhất một quả cầu. Tức là tìm số bộ số ngun dương sao cho . Số cách phân hoạch là: b) Chứng minh cơng thức Nếu ta đặt k hộp sát bên nhau thì sẽ có tất cả vách ngăn chung. Và bởi vì để thỏa mãn điều kiện mỗi hộp có ít nhất một quả cầu nên ta hình dung theo cách khác. Bây giờ chúng ta sẽ đặt vách ngăn vào giữa các quả cầu. Bởi vì có n quả cầu nên sẽ có vị trí giữa các quả cầu. Do đó sẽ có tất cả cách sắp xếp (cách phân chia) Từ đây giải quyết được bài tốn: Số cách viết số tự nhiên n thành tổng các số ngun dương là . Thật vậy, ta phân tích n thành tổng của k số hạng và . Khi số số cách tất cả là: 19 Hồn tồn tương tự như quy tắc 2 thì quy tắc 3 này sẽ có những lợi ích rất rõ ràng. Ứng với quy tắc này cũng sẽ có những bài tốn đơn giản hoặc phức tạp tùy thuộc vào độ lớn của n và k. Tơi lấy hai ví dụ minh họa cho qua tắc này Bài tốn 1: Cho phương trình . Phương trình trên có tất cả bao nhiêu nghiệm ngun dương? Với bài tốn này thì tơi xin trình bày lại một lời giải của học sinh lớp tơi: Ta thấy Trường hợp thì chúng ta sẽ có cách hốn đổi thứ tự của các số. Do đó ở trường hợp này phương trình trên sẽ có 3 bộ nghiệm Trường hợp thì chúng ta sẽ có 3! cách hốn đổi thứ tự giữa các số. Do đó ở trường hợp này phương trình trên sẽ có 6 bộ nghiệm Trường hợp thì chúng ta chỉ có một cách hốn đổi thứ tự giữa các số. Do đó ở trường hợp này phương trình trên sẽ có 1 bộ nghiệm Vậy phương trình đã cho có tất cả 10 bộ nghiệm Sử dụng quy tắc 3: Bài tốn này ứng với ta có ngay đáp án của bài tốn là: bộ nghiệm Với bài tốn này thì đa số học sinh nắm chắc kiến thức sách giáo khoa sẽ giải quyết được. Nhưng khi tơi tăng con số lên: Bài tốn 2: Có bao nhiêu bộ 15 số ngun dương có tổng bằng 46? Ở bài tốn này thì khơng có một học sinh nào làm được. Do đó tơi thấy việc cung cấp cơng thức này cho học sinh là một việc hết sức cần thiết. Đặc biệt là học sinh khá giỏi, tơi tin chắc sẽ có ích trong việc ơn tập và cũng thỏa mãn được sự ham học ham tìm hiểu của các em. Từ đó tăng thêm sự hứng thú khám phá cho các em. Với quy tắc 3 bài tốn này ứng với ta có ngay đáp án của bài tốn là: bộ số c) Một số bài tập tự luyện Bài 1. Có bao nhiêu cách phân tích số 10 thành tổng của các số ngun dương? Bài 2. Có bao nhiêu cách chia 20 viên kẹo cho 10 em bé sao cho mỗi em bé nhận được ít nhất một viên Bài 3. Tìm số bộ nghiệm ngun dương của phương trình: Hướng dẫn: Đặt Bài 5. Có bao nhiêu cách phân tích số 20 thành tổng 5 số ngun dương? 20 Những bài tốn này đều có thể linh hoạt chuyển sang những bài tốn trắc nghiệm phù hợp với từng đối tượng học sinh 2.2. Phép thử Bernoulli 2.2.1. Định nghĩa Dãy phép thử được gọi là dãy phép thử Bernoulli đối với biến cố , nếu: phép thử là độc lập, tức kết của chúng không ảnh hưởng đến nhau Trong mỗi phép thử biến cố đều xuất hiện với cùng một xác suất như nhau là Ta quy ước, trong mỗi phép thử, nếu xuất hiện thì gọi là thành cơng và ngược lại xuất hiện là thất bại. Khi đó xác suất thành cơng cho mỗi phép thử là Và số lần xuất hiện trong phép thử chính là số lần thành cơng khi thực hiện phép thử Ví dụ xét phép thử tung một đồng tiền, gọi là biến cố “xuất hiện mặt sấp”. Bây giờ tung đồng tiền 10 lần. Khi đó ta có 10 phép thử Bernoulli đối với biến cố và 2.2.2. Định lý Bernoulli Khi thực hiện dãy phép thử Bernoulli đối với biến cố thì có thể xuất hiện 0 lần, 1 lần, … , n lần. Ta tìm xác suất để xuất hiện đúng lần . Ta kí hiệu xác suất này là Bài tốn này đã được nhà tốn học Bernoulli, người Thụy Sĩ từ thế kỉ XVII Định lý: Xét phép thử Bernoulli đối với biến cố và xác suất xuất hiện biến cố trong mỗi phép thử là . Khi đó xác suất để xuất hiện đúng lần trong phép thử đó là: Chứng minh: Gọi kết quả khi thực hiện phép thử Bernoulli là , với : kết quả của phép thử Bernoulli lần , trong đó: nếu xảy ra nếu khơng xảy ra và Biến cố xuất hiện đúng lần tương đương với xảy ra kết quả với đúng chỉ số Số cách chọn vị trí cho 1 trong vị trí: Xác suất để vị trí đó nhận giá trị 1: Xác suất để vị trí cịn lại nhận giá trị 0 : 21 Như vậy, Tơi thực hiện khảo sát ở lớp 11A1 hai bài tốn sau: Bài tốn 1: Tung con xúc xắc cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất để mặt một chấm suất hiên 2 lần Bài tốn 2: Trong kì thi bắn súng hai xạ thủ thi đấu. Xác suất bắn trúng bia trong mỗi lần bắn của hai xạ thủ lần lượt là 0,7 và 0,8. Mỗi xạ thủ bắn 2 viên. Tính xác suất để cuộc thi khơng hịa Với bài tốn số 1, đây khơng phải là một bài tốn khó, học sinh chỉ cần nắm được một cách chính xác quy tắc đếm thì sẽ dễ dàng đưa ra được một lời giải đúng. Tuy nhiên, qua khảo sát thì kết quả thu được lại khơng được như mong đợi: Có đến 30% học sinh làm sai bài tốn này. Tơi xin dẫn dắt một số lời giải sai như sau: Lời giải 1: Lời giải này học sinh tư duy theo hướng thơng thường. Để tính xác suất trước hết em xác định khơng gian mẫu rồi sau đó tính số phần tử biến cố. Đây là một bài tốn đơn giản nên nếu tư duy theo phương pháp này vẫn cho kết quả chính xác. Nhưng do vì vội vàng nên e đã nhầm lần khi tính số khả năng xảy ra của trường hợp con xúc xắc khơng xuất hiện mặt một chấm là 5 (em lại cho rằng có 6 khả năng) Cũng có thể em hiểu nhầm câu hỏi của bài tốn. Và tiếp theo đây tơi xin đưa ra một vài lời giải sai cũng do suy luận thiếu cẩn thận nữa: Lời giải 2;3: 22 Chủ yếu những lỗi sai này của các em đều do suy nghĩ sai lệch về con xúc xắc thứ 3 (giả sử con xúc xắc 1,2 đều xuất hiện mặt một chấm). Để xuất hiện mặt một chấm đúng 2 lần thì khi có 2 xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm rồi thì xúc xắc cịn lại sẽ ko xuất hiện mặt 1 chấm và sẽ có 5 khả năng xảy ra chứ khơng phải 6 như trong những lời giải trên. Nếu như các em được cung cấp thêm về phép thử Bernoulli thì bài tốn này giải quyết một cách rất ngắn gọn như sau: Tung một con xúc xắc thì xác suất để xuất hiện mặt 1 chấm là: Áp dụng định lý Bernoulli: Xác suất để mặt 1 chấm xuất hiện 2 lần khi tung con xúc xắc 3 lần sẽ là: Để thấy rõ hơn lợi ích của phép thử Bernoulli vào giải tốn thì chúng ta cùng nhau nghiên cứu bài tốn 2: Ở bài tốn này cũng có nhiều em có lời giải của mình, bằng việc kể ra các trường hợp và tính trực tiếp, hoặc là sử dụng ngun lý bù trừ, nhưng chủ yếu các em cho ra được các kết quả sai như Lời giải 1: Lỗi sai: Ở trường hợp 3: Xác suất để xạ thủ thứ nhất bắn trúng 1 viên sẽ là: , tương từ xạ thủ thứ hai sẽ là thành thử 23 Bởi vì ở đây mỗi xạ thủ đều bắn 2 phát thì có thể phát thứ nhất trật phát thứ 2 trúng hoặc phát thứ nhất trúng phát thứ 2 trật. Vì thế mỗi xạ thủ chúng ta phải nhân thêm 2. Lời giải 2: Ở trường hợp 4, người 2 khơng trúng, người 1 trúng 1 viên thì: Trường hợp 5 cũng vậy, Người 2 khơng trúng người 1 trúng 2 viên thì: 24 Lời giải của bài tốn dựa trên phép thử Bernoulli: Gọi là biến cố người thứ nhất bắn trúng viên đạn và là biến cố người thứ hai bắn trúng viên đạn (). Khi đó các biến cố và là độc lập, đồng thời là biến cố cả hai cùng bắn trúng viên đạn. Dựa vào định lý Bernoulli ta có: , Từ tính độc lập của biến cố, ta có = . = Do đó xác suất để cuộc thi có kết quả hịa là: Đáp số sẽ là Với phương pháp này học sinh khơng cần phải chia nhiều trường hợp để tránh những sai sót khơng đáng có. Chỉ cần sai một lỗi nhỏ trong các trường hợp sẽ dẫn đến kết quả sai. Đặc biệt với cách thức thi chủ yếu là trắc nghiệm như hiện nay. 2.2.3. Một số ví dụ Bài 1: Tung con xúc xắc cân đối đồng chất n lần. Tính xác xuất để mặt 1 chấm xuất hiện m lần Giải: Gọi A là biến cố xuất hiện mặt một chấm Xác suất A xuất hiện trong mỗi lần tung xúc xắc là: Ta có n phép thử Bernoulli đối với biến cố A Theo định lý Bernoulli, xác suất để A xuất hiện m lần là: = Bài 2: Phải gieo tối thiểu bao nhiêu con xúc xắc để xác suất xuất hiện mặt một chấm khơng nhỏ hơn 0,95 Giải: Giả sử gieo n con xúc xắc. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt một chấm. Ta có n phép thử Bernoulli đối với biến cố A, Xác suất xuất hiện mặt một chấm là: Ta cần tìm n sao cho: Vậy phải gieo tối thiểu 17 con xúc xắc Bài 3 : An và Bình chơi bóng bàn, xác suất thắng trong một ván của An là 0,4. Hỏi phải chơi tối thiểu bao nhiêu ván thì xác suất thắng ít nhất một ván của An lớn hơn 0,95 Giải: Giả sử cần chơi n ván. Gọi A là biến cố An thắng. khi đó ta có n phép thử Bernoulli đối với biến cố A và. Xác suất An thắng ít nhất một ván là: 25 Ta cần tìm n sao cho: Vậy cần chơi tối thiểu 6 ván 2.2.4. Bài tập tự luyện Bài 1: Một xạ thủ bắn trúng đích với xác suất 0,8. Người này phải bắn tối thiểu bao nhiêu viên đạn để xác suất trúng đích ít nhất một viên khơng bé hơn 0,9 Bài 2: Đề thi vào đại học mơn hóa có 50 câu trắc nghiệm. Mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Trả lời mỗi câu đúng được 0,2 điểm, trả lời sai khơng bị trừ điểm. Một học sinh trả lời phần thi này bằng cách chọn ngẫu nhiên một đáp án a) Tính xác suất học sinh trên trả lời đúng 2 câu hỏi b) Tính xác suất học sinh trên trả lời đúng ít nhất một câu hỏi Bài 3: Ở một thành phố, tỉ lệ người bị bệnh tim mạch là 0,1, bệnh tai mũi họng là 0,2 và cả hai bệnh là 0,08. Chọn ngẫu nhiên 3 người trong thành phố đó. Tìm xác suất có khơng q 1 người trong số họ bị bệnh Bài 4: Một trị chơi gieo xúc xắc như sau: Một ván chơi gieo 3 con xúc xắc và người chơi được chơi 2 ván. Người chơi thắng cuộc nếu thắng ít nhất 1 ván Biết rằng mỗi ván chơi là thắng cuộc nếu xuất hiện ít nhất 2 mặt lục. Tính xác suất để người chơi thắng cuộc Bài 5: Hai đấu thủ ngang sức ngang tài chơi đấu cờ với nhau. Hỏi khả năng thắng 2 trong 4 ván có cao hơn thắng 3 trong 6 ván hay khơng Bài 6: Một trị chơi gieo xúc xắc như sau: mỗi ván chơi gieo 3 con xúc xắc và người chơi được chơi 5 ván. Người chơi thắng cuộc nếu thắng ít nhất 2 ván Biết răng mỗi ván thắng cuộc nếu xuất hiện ít nhất 2 mặt lục. Tính xác suất để người chơi thắng cuộc Bài 7: Gieo đồng thời 3 đồng xu cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để có ít nhất 2 trong 3 lần cả 3 đồng xu đều xuất hiện mặt sấp Bài 8: Gieo đồng thời n đồng xu cân đối, đồng chất m lần. Tính xác suất đẻ có ít nhất k lần cả n đồng xu xuất hiện mặt sấp Bài 9: Hai xạ thủ A, B cố xác st bắn trúng mục tiêu là 0,6 và 0,5. Cả hai xạ thủ này thi bắn 5 phát. Tính xác suất để có thắng thua 26 III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1. KẾT LUẬN CHUNG Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây: Một là, thống kê được một số dạng toán liên quan đến 3 quy tắc phân hoạch và phép thử Bernoulli Hai là, chỉ ra được một số sai lầm của học sinh dẫn đến thất bại khi giải quyết những dạng tốn này. Ba là, xây dựng và cung cấp cho các học sinh những cơng thức của 3 quy tắc phân hoạch và phép thử Bernoulli để phục vụ giải quyết bài tốn Bốn là, triển khai áp dụng kiến thức mới Năm là, hình thành và phát triển năng lực tốn học cho học sinh trong tiến trình: nhận biết kiến thức, kĩ năng tốn học; kết nối tốn học với đời song thực tiễn; áp dụng kiến thức, kĩ năng tốn học để giải quyết các vấn đề cụ thể trong học tập Như vậy có thể khẳng định mục đích nghiên cứu đã được thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu đã được hồn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận dược Trong q trình giảng dạy mơn tốn tại trường, qua việc cung cấp cho học sinh những kiến thức mới, thì học sinh đã có thể giải quyết dễ dàng hơn những bài tốn đang gặp khó khăn trước đó, đồng thời học sinh phát triển khả năng sử dụng hợp lí ngơn ngữ tốn học kêt hợp với ngơn ngữ thơng thường để biểu đạt cách suy nghĩ, lập luận, chứng mình các khẳng định tốn học và thể hiện được tự tin khi trình bày, diễn đạt, thảo luận, giải thích các nội dung tốn học trong những tình huống khơng q phức tạp. Đặc biệt học sinh khá giỏi rất hứng thú với việc làm mà giáo viên đã áp dụng trong đề tài này. 2. KIẾN NGHỊ + Thơng qua một số ví dụ trong đề tài có thể thấy được phần nào vai trị của việc cung cấp cho các em “3 quy tắc phân hoạch và phép thử Bernoulli” giải quyết một số bài liên quan đến chủ đề tổ hợp xác suất. Có những phương pháp tối ưu để giải quyết một số bài tốn + Là giáo viên tơi xác định cho mình phải ln tạo cho học sinh niềm vui hứng thú say mê trong q trình học tập; ln cải thiện phương pháp dạy học, phát triển tư duy, vận dụng kiến thức phục vụ tốt cho bài dạy của mình + Chủ đề tổ hợp xác suất có rất nhiều bài tốn hay và khó. Với mong muốn hỗ trợ các em một cách tốt nhất, tơi rất mong nhận được những góp ý chân thành của đồng nghiệp để bài viết của tơi hồn thiện hơn Đề tài trên chỉ là những kinh nghiệm nhỏ, kết quả của sự nghiên cứu cá nhân, thơng qua một số tài liệu tham khảo nên khơng tránh khỏi những hạn chế, khuyết điểm. Vậy rất mong hội đồng xét duyệt góp ý để kinh nghiệm giảng dạy của tơi ngày càng phong phú và hữu hiệu hơn Tơi xin chân thành cảm ơn! 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) NXB Giáo dục Xác suất nâng cao Nguyễn Văn Quảng NXB Đại học quốc gia Hà Nội Tạp chí và tư liệu tốn học 28 ...Năm học: 2020 2021 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG? ?THPT? ?KỲ SƠN SÁNG KIẾN? ?KINH? ?NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: BỔ? ?SUNG? ?3? ?QUY? ?TẮC PHÂN HOẠCH VÀ PHÉP THỬ? ?BERNOULLI? ?VÀO GIẢI? ?QUY? ??T MỘT SỐ BÀI TỐN XÁC SUẤT? ?THPT MƠN... sinh trung học phổ thơng nói chung tiếp cận thêm? ?một? ?số? ?phương pháp khác để giải? ?quy? ??t? ?một? ?số? ?bài? ?tốn cơ bản? ?và? ?đặc biệt giúp cho việc? ?giải? ?quy? ??t? ?một? ?số? ? bài? ?tốn tổ hợp? ?xác? ?suất? ?hay? ?và? ?khó? ?một? ?cách dễ dàng? ?và? ?chính? ?xác? ?hơn 3. 2. Nhiệm vụ nghiên cứu... III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1. KẾT LUẬN CHUNG Sáng? ?kiến? ?kinh? ?nghiệm? ?đã thu được? ?một? ?số? ?kết quả sau đây: Một? ?là, thống kê được? ?một? ?số? ?dạng tốn liên quan đến? ?3? ?quy? ?tắc? ?phân? ?hoạch và? ?phép? ?thử? ?Bernoulli