Mục đích nghiên cứu của đề tài là đổi mới dạy học theo hướng phát triển phẩm chất, năng lực học sinh. Tạo động lực để giáo viên và học sinh tìm hiểu là tìm ra giải pháp hữu hiệu khắc phục khó khăn cho học sinh trong nhiều bài toán khó về mũ và lôgarit, tạo hứng thú học tập cho học sinh, nâng cao hiệu quả dạy học.
MỤC LỤC Trang A. ĐĂT VÂN ĐÊ ̣ ́ ̀ B. NỘI DUNG NGHIÊN CƯU ́ I. Tiêp cân các bài tốn vân dung cao mũ, lơgarit băng đơ ́ ̣ ̣ ̣ ̀ ̉i biên sơ ́ ́ 1. Đôi qua môt biên ̉ ̣ ́ 2. Đôi qua nhiêu biên ̉ ̀ ́ 21 II. Tiêp cân các bài tốn vân dung cao mũ, lơgarit băng ham đăc tr ́ ̣ ̣ ̣ ̀ ̀ ̣ ưng 26 1. Cac bai toan gia thiêt xuât hiên mu ́ ̀ ́ ̉ ́ ́ ̣ ̃ 26 2. Cac bai toan gia thiêt xuât hiên lôgarit cua th ́ ̀ ́ ̉ ́ ́ ̣ ̉ ương hoăc hiêu lôgarit ̣ ̣ 31 3. Cac bai toan gia thiêt ca mu va lôgarit ́ ̀ ́ ̉ ́ ̉ ̃ ̀ 35 III. Tiêp cân các bài tốn vân dung cao mũ, lơgarit ch ́ ̣ ̣ ̣ ưa nhiêu biên khơng cung ́ ̀ ́ ̀ cơ sô băng đao ham theo môt biên. ́ ̀ ̣ ̀ ̣ ́ 42 C. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 47 D. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 48 E. TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 A. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Thơng tư số 32/2018/TTBGĐT ngày 26/12/2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo nêu định hướng về phương pháp giáo dục trong Chương trình giáo dục phổ thơng 2018 có nội dung :” Các hoạt động học tập của học sinh bao gồm hoạt động khám phá vấn đề, hoạt động luyện tập và hoạt động thực hành”. Nhưng ở chương trình sách giáo khoa hiện tại về chủ đề mũ và lơgarit, chỉ có các bài tập ở mức nhận biết, thơng hiểu, vận dụng. Ít có các bài tập vận dụng cao nên khả năng khám phá vấn đề mới, luyện tập và thực hành của học sinh cũng bị hạn chế Ở các tài liệu tham khảo cũng như các trang mạng cũng viết nhiều về bài tốn vận dụng cao mũ và lơgarit nhưng mang tính rời rạc, chủ yếu đưa ra lời giải Trang 1 trực tiếp mà khi đọc học sinh rất khó để biết vì sao lại giải được như thế, gặp bài tương tự các em cũng khó vận dụng. Trong các đề thi THPT Quốc gia, đề học sinh giỏi các Tỉnh lớp 12 mấy năm gần đây, các bài tốn vận dụng cao mũ và lơgarit ln xuất hiện ngày càng nhiều, hay và mới mẻ. Địi hỏi phải có tư duy cao và kĩ thuật giải tốn điêu luyện mới giải quyết được trong khoảng thời gian ngắn. Do đó tơi ln trăn trở làm thế nào để có tài liệu giảng dạy và cho học sinh ơn thi mang tính hệ thống giúp các em có tầm nhìn, cách tiếp cận vấn đề tốt để giải quyết nhanh các bài tốn vận dụng cao mũ và lơgarit. Cùng với phong trào “mỗi thầy cơ giáo là một tấm gương tự học và sáng tạo”. Đồng thời hưởng ứng tinh thần đổi mới về chương trình Tốn THPT mới: “Tinh giản – thiết thực – hiện đại và khơi nguồn sáng tạo”. Vì vậy trong năm học 2020 – 2021 tơi đã nghiên cứu chun đề này. Tơi chọn trình bày đề tài: “phương phap ti ́ ếp cận để giải quyết các bài tốn vận dụng cao mũ và lơgarit” với mong muốn học sinh tự tin hơn, sáng tạo hơn, biết quy lạ về quen khi đứng trước các bài tốn lạ và khó. Thực tiễn cho thấy sự sáng tạo chỉ bắt đầu khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết mà các phương pháp trước đó khơng đủ hoặc gặp trở ngại hoặc kết quả khơng đáp ứng u cầu hoặc xuất hiện giải pháp mới tốt hơn giải pháp cũ. Vì vậy q trình giải bài tập tốn cần phải tìm tịi, sáng tạo cái mới, phát triển trên cái đã biết để tìm ra giải pháp mới đáp ứng những u cầu nảy sinh. 2. Mục đích nghiên cứu: Đổi mới dạy học theo hướng phát triển phẩm chất, năng lực học sinh. Tạo động lực để giáo viên và học sinh tìm hiểu là tìm ra giải pháp hữu hiệu khắc phục khó khăn cho học sinh trong nhiều bài tốn khó về mũ và lơgarit, tạo hứng thú học tập cho học sinh, nâng cao hiệu quả dạy học 3. Phương pháp nghiên cứu Để hồn thành đề tài, trong q trình nghiên cứu tơi sử dụng các phương pháp: + Nghiên cứu các tài liệu tham khảo; + Phương pháp quan sát (quan sát học sinh giải bài tập và cách xử lý tình huống); + Phương pháp phân tích; Trang 2 + Phương pháp thực nghiệm (thống kê có đánh giá kết quả) 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu là các bài tốn vận dụng cao mũ và lơgarit Phạm vi nghiên cứu: Đề tài được bắt đầu tìm hiểu và tiến hành từ tháng 9 năm 2020, áp dụng với một số nội dung trong chương 2 Giải tích lớp 12 THPT 5. Kế hoạch triển khai nghiên cứu: STT Thời gian Nội dung công việc Từ tháng 9/2020 đến 11/2020 Nghiên cứu tài liệu, chọn đề tài Tháng 12 năm 2020 Viết đề cương nghiên cứu Tháng 1 năm 2021 Áp dụng thực nghiệm Tháng 2 năm 2021 Viết báo cáo, xin ý kiến của đồng nghiệp Đầu tháng 3 năm 2021 Hoàn thiện bản báo cáo B. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Nhưng bai toan mu,lôgarit co thê dung công th ̃ ̀ ́ ̃ ́ ̉ ̀ ức biên đôi đê đ ́ ̉ ̉ ưa vê cung ̀ ̀ cơ sô thi thuôc dang toan quen thuôc va nhiêu tai liêu đa viêt.Do đo trong bai viêt ́ ̀ ̣ ̣ ́ ̣ ̀ ̀ ̀ ̣ ̃ ́ ́ ̀ ́ nay chu yêu tôi nghiên c ̀ ̉ ́ ứu những bai toan không cung c ̀ ́ ̀ ơ sớ Bài tốn vân dung cao mu,lơgarit trong các đ ̣ ̣ ̃ ề thi THPT Quốc gia, hoc̣ sinh gioi Toan trong vài năm tr ̉ ́ ở lại đây có nhiều người thấy lạ. Nên đa số đều hạn chế đường lối giải. Để khắc phục điều đó, chúng ta sẽ cùng nhau quy lạ về quen theo 3 hướng tiêp cân trong bài vi ́ ̣ ết này. I. Tiêp cân các bài tốn vân dung cao mũ, lơgarit băng đơ ́ ̣ ̣ ̣ ̀ ̉i biên sơ ́ ́ Trong gia thiêt bai toan xuât hiên nhiêu biêu th ̉ ́ ̀ ́ ́ ̣ ̀ ̉ ức lôgarit hoăc mu ma dung ̣ ̃ ̀ ̀ công thưc biên đôi thông th ́ ́ ̉ ương trong sach giao khoa ta không đ ̀ ́ ́ ược đưa về cung c ̀ ơ sô g ́ ợi cho ta đôi biên sô ̉ ́ ́ Trang 3 1. Đôi qua môt biên ̉ ̣ ́ Bai 1.1 ̀ Cho hai sô th ́ ực va ̀ dương thoa man ̉ ̃ A. 2 B. x y log x = log y = log ( x + y ) log C. Giá trị log 2 D. Phân tich: Xuât hiên cac c ́ ́ ̣ ́ sô 9, 6, 4 ta không đ ́ ưa được vê chung môt c ̀ ̣ số nhăc ta đôi biên sô ́ ̉ ́ ́ Lời giải Đặt log x = log y = log ( x + y ) = t Ta co .́ Suy ra t Vậy t x �9 � �3 � = � �= � �= y �6 � �2 � Chọn phương án B log100 a = log 40 b = log16 Bai 1.2 ̀ Cho hai số thực dương va th ̀ ỏa mãn A. 4 B. 12 C. 6 Đặt a − 4b =t 12 a = 100t , b = 40t , Ta có a − 4b = 16t 12 t t Suy ra �4 � �2 � 100t − 4.40t = 12.16t � 12.� �+ 4.� �− = � t �25 � �5 � �2 � � �= − �5 � t Do đó t �2 � � �= �5 � t t a � 100 � �5 � �2 � � �= � = � �= � �= b �40 � �2 � �5 � Chọn phương án C Trang 4 a b Giá trị D. 2 Lời giải log100 a = log 40 b = log16 a − 4b 12 Hoan toan t ̀ ̀ ương tự ta co cac bai tâp sau: ́ ́ ̀ ̣ 1.2.1. Giả sử p, q là các số thực dương thỏa mãn log16 p = log 20 q = log 25 ( p + q ) Tìm p q giá trị của ? A. ( B. 1+ ) C. D. ( −1 + ) ĐS: Chọn phương án D 1.2.2 Cho các số thực dương thỏa mãn . Tính A. B. C. D. ĐS: Chọn phương án B 1.2.3. Cho các số thực dương thỏa mãn và , với a, b là các số nguyên dương, tính a + b A. B. C. D. ĐS: Chọn phương án D 1.2.4. Cho các số thực dương thỏa mãn Tinh , ́ A. B. C. D ĐS: Chọn phương án A Ta co thê phat triên t ́ ̉ ́ ̉ ương tự cac bai trên va tăng đô kho băng cac bai toan sau: ́ ̀ ̀ ̣ ́ ̀ ́ ̀ ́ Bai 1.3 ̀ Cho cac sô th ́ ́ ực dương va ̀ thoa man ̉ ̃ Gia tri cua băng ́ ̣ ̉ ̀ A. B. C. Lời giải Đặt . Ta co .́ Suy ra: . Ma ̀ Khi đo:́ Chọn phương án B Trang 5 D. Binh luân: Co nhiêu hoc sinh vân tim đ ̀ ̣ ́ ̀ ̣ ̃ ̀ ược , nhưng lai găp v ̣ ̣ ướng măc khi tinh T ́ ́ đên đây ta cân dân dăt cac em la t ́ ̀ ̃ ́ ́ ̀ ử sô va mâu th ́ ̀ ̃ ức cua T đăng câp bâc ba đôi v ̉ ̉ ́ ̣ ́ ới x va y nên ta chia ca t ̀ ̉ ử va mâu cho se xuât hiên ̀ ̃ ̃ ́ ̣ Bai 1.4 ̀ Cho các số a, b > A. 18 thỏa mãn log a = log b = log ( a + b ) B. 45 . Giá trị C. 27 1 + a b2 bằng D. 36 Lời giải a = 3t t = log a = log b = log ( a + b ) � b = t t �3 � � + = � � �+ 3t = �2 � t a+b = t t ( 1) t Đặt t Xét hàm số �3 � f ( t ) = � �+ 3t �2 � ﾡ t ﾡ , có �3 � �3 � f ( t ) = � �.ln � �+ 3t.ln > 0, ∀t �� ﾡ �2 � �2 � ( 1) � f ( t ) = f ( −1) � t = −1 � a = đồng biến trên và 1 1 , b = � + = 45 a b f ( t) Chọn phương án B Vân theo ph ̃ ương châm la đăt đê chuyên vê ph ̀ ̣ ̉ ̉ ̀ ương trinh mu nh ̀ ̃ ưng muôn nâng ́ đô kho lên ta co thê thay đôi chut it gia thiêt bai toan trên ta co bai toan m ̣ ́ ́ ̉ ̉ ́ ́ ̉ ́ ̀ ́ ́ ̀ ́ ơi sau ́ đây: Bai 1.5 ̀ Cho các số thỏa mãn . Giá trị bằng A. 45 B. 18 C. 27 Lời giải Đặt Ham sô. Co ̀ ́ ́ Suy ra: đông biên trên . Ma ; . Nên tôn tai duy nhât sao cho . ̀ ́ ̀ ̀ ̣ ́ Lai co , khi đo ta co bang biên thiên: ̣ ́ ́ ́ ̉ ́ Trang 6 D. 36 Tư bang biên thiên suy ra ph ̀ ̉ ́ ương trinh co đung hai nghiêm ̀ ́ ́ ̣ Vơi (loai) ́ ̣ Vơí Chọn phương án A Binh luân: Nh ̀ ̣ vây sau khi đôi biên ta đ ̣ ̉ ́ ưa vê môt ph ̀ ̣ ương trinh mu kho h ̀ ̃ ́ ơn nhiêu cac bai toan tr ̀ ́ ̀ ́ ước đo ma l ́ ̀ ời giai cua bai 1.5 la môt mâu m ̉ ̉ ̀ ̀ ̣ ̃ ực Ta co thê tao ra bai tâp t ́ ̉ ̣ ̀ ̣ ương tự Bai 1.5 ̀ như sau 1.5.1. Cho các số thỏa mãn . Giá trị bằng A. 1 B. 7 C. 12 D. 18 C. 6 D. 8 C. 21 D. 28 1.5.2. Cho các số thỏa mãn . Giá trị bằng A. 3 B. 4 1.5.3. Cho các số thỏa mãn . Giá trị bằng A. 15 B. 20 Bây giơ ta phát tri ̀ ển tương tự Bai 1.1 ̀ cho cac s ́ ố với giả thiết hàm mũ Bai 1.6 ̀ Cho các số T= n n + 2m p A. m > 0, n > 0, p > thỏa mãn 4m = 10 n = 25 p Tính giá trị biểu thức T =1 T= B. C. T =2 T= D. Lời giải Đặt . Vì Suy ra: Chọn phương án A Bai ̀ 1.7 Cho là các số thực khác 0 thỏa mãn . Khi đó bằng A. B. C. Lời giaỉ Trang 7 D. 10 Đặt Khi đó Chọn phương án D Bai 1.8 ̀ Cho các số thực và các số dương thay đổi thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng A B C D Lời giải Đặt (Vi nên . Khi đo: ̀ ́ Suy ra: Có: Dấu bằng xảy ra khi . Vậy đạt được khi Chọn phương án C Bai 1.9 ̀ Cho các số thực và các số dương thay đổi thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng A B C D Lơi giai ̀ ̉ Đặt (Vi nên . ̀ Khi đo: Do đo: . Ta co: ́ ́ ́ Vây GTLN cua P băng 20 đat đ ̣ ̉ ̀ ̣ ược khi Chọn phương án A. Bai ̀ 1.10: Xét các số thực dương thỏa mãn và . Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng (với ), tính gia tri cua ́ ̣ ̉ A. B. C. Lời giải Đăṭ Do nên tư Do đó theo BĐT cauchy: ̀ Trang 8 D. Vây gia tri nho nhât cua ̣ ́ ̣ ̉ ́ ̉ băng do đo . ̀ ́ Chọn phương án D Bai tâp t ̀ ̣ ương tự: Xét các số thực dương thỏa mãn và Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng (với là cac s ́ ố tự nhiên), tính A. B. C. D. Bai 1.11 ̀ Xét các số thực , , thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức thuộc tập hợp nào dưới đây? A. B. C. D. Lời giải Đặt . , (với ) , khi Suy ra Tiêp theo ta nghiên c ́ ưu môt sô ph ́ ̣ ́ ương trinh, bât ph ̀ ́ ương trinh môt ân không ̀ ̣ ̉ cung c ̀ ơ sô ́ Bai 1.12 ̀ Số các giá trị ngun nhỏ hơn của tham số để phương trình có nghiệm là A. B. C. D. Lời giải Đặt Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng . Xét hàm số: +) Ta có bảng biến thiên: Trang 9 Với Từ bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm thì .Vậy . Có số ngun . Chon ph ̣ ương an C ́ Bai 1.13 ̀ Có bao nhiêu số nguyên để PT có nghiêm ? ̣ A. B. C. Lời giải Đặt(*). Xét hàm số với .Ta có: Bảng biến thiên PT(*) có nghiệm Do . Vậy có giá trị nguyên của thỏa mãn Chon ph ̣ ương an A ́ Trang 10 D. Xét hàm số suy ra f ( t) f ( t ) = log5 t + 2log3 t − , với đồng biến trên khoảng x + 1= x � ra Suy ra ( x) − x − 1= � t >1 f ( t) = ( 1; + ) ( với mọi ) t >1 , f x +1 = f ( x ) Từ (*) ta có x = 1+ (do x = 3+ 2 � a = 3; b = � 2a + b = + >0 t.ln5 t − 1ln3 nên suy x >1 ) . Chon ph ̣ ương an B ́ Bai tâp vân dung: ̀ ̣ ̣ ̣ Xet tât ca cac sô th ́ ́ ̉ ́ ́ ực dương thoa man . Khi ̉ ̃ đat gia tri nho nhât, tich ̣ ́ ̣ ̉ ́ ́ băng ̀ A. B C D 3. Cac bai toan xuât hiên ca mu va lôgarit ́ ̀ ́ ́ ̣ ̉ ̃ ̀ Baì 2.13 Có bao nhiêu cặp số nguyên log3 ( 3x + 3) + x = 2y + 9y A. 2019 ( x; y ) thỏa mãn x 2020 và ? B. 6 C. 2020 D. 4 Lời giải Điều kiện Ta có: x > −1 log3 ( 3x + 3) + x = 2y + 9y � log3 ( x + 1) + ( x + 1) = 2y + 32y Xét hàm số f ( t ) = t + 3t ,t ﾡ có f ( t ) = 1+ 3t ln3 > 0,∀t (*) ﾡ , tức hàm số luôn đồng ( *) � f ( log ( x + 1) ) = f ( 2y ) � log ( x + 1) = 2y � x = − y ﾡ biến Khi đó Vì x 2020 nên y Do y nguyên nên 4 cặp số nguyên �9−y�� 2020 y log9 2021 { 0;1;2;3} � ( x; y ) �{ ( 0;0) ;( 8,1) ;( 80;2) ;( 728;3) } ( x; y ) thỏa đề. Chon ph ̣ ương an D ́ Trang 28 nên tổng cộng có Binh ln: 1. ̀ ̣ Biến đổi phương trình đưa về hàm đặc trưng. Là điểm mấu chốt f ( u) = f ( v) bài tốn từ đó suy ra Vấn đề khó nhất trong lời giải là tìm ra được hàm đặc trưng từ đó xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên tập xác f ( u) = f ( v) định của nó, suy ra , muốn làm được dạng này học sinh phải thành thạo các kĩ năng biến đổi phương trình mũ, phương trình logarit. từ đó suy ra hàm đặc trưng. 2. Cach giai trên cung không đ ́ ̉ ̃ ược tự nhiên cho lăm. Ta thây xuât hiên ca mu va ́ ́ ́ ̣ ̉ ̃ ̀ lôgarit ta thương tim toi ham đăc tr ̀ ̀ ̀ ̀ ̣ ưng như sau:đôi biên sô ta đ ̉ ́ ́ ưa vê ham mu ̀ ̀ ̃ ca . Khi đo thay vao gia thiêt ta co ̉ ́ ̀ ̉ ́ ́ Khi đo co ngay ham đăc tr ́ ́ ̀ ̣ ưng va tim đ ̀ ̀ ược môi liên hê gi ́ ̣ ưa x va y ̃ ̀ Bai 2.14 ̀ Cho x, y là các số thực thỏa mãn nguyên thỏa mãn đẳng thức là A. 2 log2 ( 2x + 2) + x − 3y = 8y B. 3 C. 4 Biết , số cặp D. 5 Lời giải Đăt ̣ Ta co: ́ Xét hàm số f ( t ) = 2t + t có f ( t ) = 2t ln2 + 1> ( 1) � log ( x + 1) = 3y � x = 3y Nên −1 Với Chon ph ̣ ương an C ́ Bai 2.15 ̀ Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng A B. C. D. Phân tich: C ́ ộng cả hai vế với hoăc co thê đăt đ ̣ ́ ̉ ̣ ưa phương trình dạng với u, v là các biểu thức ẩn x, y Lời giải Ta có: (*) Đặt với t > 0 thì (*) là Trang 29 Có suy ra hàm số đồng biến trên Xé hàm trên có: Bảng biến thiên: y 0 - 0 + + Do đó hay Dấu “=” xảy ra khi Chon ph ̣ ương an D ́ Bai 2.16 ̀ Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng A B. C. D. Lơi giai ̀ ̉ Vi nên t ̀ ư suy ra điêu kiên ̀ ̀ ̣ Xet ham sô ́ ̀ ́ xac đinh va liên tuc trên. ́ ̣ ̀ ̣ Ta co . Suy ra ham sô đông biên trên ́ ̀ ́ ̀ ́ Tư đo suy ra ̀ ́ nên Dâu băng xay ra khi . Chon ph ́ ̀ ̉ ̣ ương an C ́ Bai 2.17 ̀ Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng A B C. D. Lơi giai ̀ ̉ Trang 30 Đăt . . ̣ Xet ham sô. ́ ̀ ́ Suy ra ham sô đông biên trên ̀ ́ ̀ ́ Do đo .́ Xet ham sô .Ta co. ́ ̀ ́ ́ Bang biên thiên: ̉ ́ Vây gia tri nho nhât cua la . Chon ph ̣ ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̀ ̣ ương an B ́ Bai 2.18 ̀ Có bao nhiêu cặp số ngun thỏa mãn đơng th ̀ ơi và ̀ A. B. C. Lời giải D. Từ giả thiết Ta có: PT . Xét hàm số trên . Khi đó do đó hàm số đồng biến trên (*) có dạng Vì Vậy có cặp thỏa mãn Chon ph ̣ ương an B ́ Bai 2.19 ̀ Có bao nhiêu cặp số nguyên dương thỏa mãn đồng thời hai điều kiện : và ? A. B. C. D. Lời giải Điều kiện:, đúng Ta có (*). Xét hàm trên Trang 31 Ta có , . Do đó đồng biến trên . Khi đó (*).Vì nên . Vì nên + Với + Với (khơng có giá trị ngun nào thỏa mãn) + Với (khơng có giá trị ngun nào thỏa mãn). Vậy có một cặp ngun dương thỏa mãn u cầu bài tốn. Chon ph ̣ ương an D ́ Bai tâp t ̀ ̣ ương tự 2.19.1 Cho phương trình . Hỏi có bao nhiêu cặp số và thỏa mãn phương trình đã cho? A. B. C. D. 2.19.2 Có bao nhiêu cặp số ngun thỏa mãn đơng th ̀ ơì và A. B. C. D. 2.19.3 Có bao nhiêu cặp số ngun thỏa mãn đông th ̀ ơì và A. B. C. D. 2.19.4 Có bao nhiêu cặp số ngun dương thỏa mãn đơng th ̀ ơi va ̀ ̀ A. B. C. D. 2.19.5 Có bao nhiêu cặp số ngun thỏa mãn đơng th ̀ ơi và ? ̀ A. B. C. − x −m ( ) log x − 2x + + 2− x + 2x D. ( ) log1 x − m + = Bai 2.20 ̀ Cho phương trình Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của để m phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt. Tổng các phần tử của S bằng A. 3 B. C. 2 D. Lời giải − x −m Điều kiện: x ﾡ ( ) log x − 2x + + 2− x Xét PT Trang 32 + 2x ( ) log1 x − m + = 0( 1) −( x log2 �x − 2x + + 2�= � � ( 1) � ( −2 x − m +1 � 2x ) ( ) log x − m + ) 2( − 2x +1 +1 ) ( ) > 0∀t ( t + 2) ln2 x −m log2 �x − 2x + + 2�= log2 x − m + ( 2) � � − 2x +1 Xét hàm số: f ( t ) = 2t log2 ( t + 2) ,t t t f ( t ) = 2.ln2.log t + 2) + 2( Ta có: Mà f ( t) 0; + liên tục trên ( ) ) suy ra f ( t) ( f x − 2x + = f x − m PT (2) có dạng 0; + đồng biến trên ) và x − 2x + 1= ( x − 1) ) 0; x − m � � x − 2x + 1= 2( x − m ) x − 4x + = −2m ( *) ( 2) � x − 2x + 1= x − m � �x − 2x + 1= m,− x � �− x − 1= −2m ** � ( ) � ( ) � � ∀x ﾡ Do đó Phương trình (1) có 3 nghiệm thực phân biệt thực phân biệt Dựng các Parabol: (xem hình vẽ) y = x − 4x + 1( P1 ) và Phương trình (2) có 3 nghiệm y = − x − 1( P2 ) trên cùng 1 hệ trục tọa độ Số lượng nghiệm (*) (**) số giao điểm đường thẳng d : y = −2m lần lượt với các đồ thị (P) Trang 33 (P ) Dựa vào đồ thị có thể thấy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt thì d phải nằm ở các vị trí của d1, d2,d3 −2m = −1� m = Tương ứng khi đó ta có: −2m = −3 � m = −2m = −2 � m = ; Do đó có ba giá trị của m thỏa mãn yêu cầu: Vậy ; m = ; m = 1; m = 2 �1 3� S = � ;1; � �2 nên tổng các phần tử của S bằng 3 . Chon ph ̣ ương an A ́ Bai 2.21 ̀ Cho phương trinh ̀ vơi ́ tham sô co bao nhiêu gia tri nguyên cua đê ́ ́ ́ ̣ ̉ ̉ phương trinh đa cho co nghiêm? ̀ ̃ ́ ̣ A B C. D. Nhân xet: Đây la bai toan v ̣ ́ ̀ ̀ ́ ưa ch ̀ ưa logarit v ́ ưa ch ̀ ưa mu nên ta chuyên vê biên ́ ̃ ̉ ̀ ́ trung gian, đưa vê hê đôi x ̀ ̣ ́ ứng ta se co ngay ham đăc tr ̃ ́ ̀ ̣ ưng Lơi giai ̀ ̉ Đăt . Thay vao ph ̣ ̀ ương trinh ta co hê ph ̀ ́ ̣ ương trinh . ̀ Xet ham sô co . Suy ra đông biên trên . ́ ̀ ́ ́ ̀ ́ Do đo . ́ Xet ́ Do đo la điêm c ́ ̀ ̉ ực đai cua . T ̣ ̉ ừ đo . ́ Ta chon ph ̣ ương an B ́ Bai tâp t ̀ ̣ ương tự bai 2.21 ̀ Bai 2.21.1 ̀ Cho phương trinh ̀ vơi ́ tham sô co bao nhiêu gia tri nguyên cua ́ ́ ́ ̣ ̉ để phương trinh đa cho co nghiêm? ̀ ̃ ́ ̣ A B C. D. Bai 2.21.2 ̀ Cho phương trinh ̀ vơi ́ tham sô co bao nhiêu gia tri nguyên cua ́ ́ ́ ̣ ̉ để phương trinh đa cho co nghiêm? ̀ ̃ ́ ̣ A B C. Trang 34 D. Bai 2.21.3 ̀ Tông tât ca cac nghiêm cua ph ̉ ́ ̉ ́ ̣ ̉ ương trinh ̀ băng ̀ A B C D III. Tiêp cân băng đao ham theo môt biên đôi v ́ ̣ ̀ ̣ ̀ ̣ ́ ́ ới bai toan ch ̀ ́ ứa nhiêu biên ̀ ́ hoăc ch ̣ ưa tham sô va không cung c ́ ́ ̀ ̀ ơ sớ Bai 3.1 ̀ Có bao nhiêu số ngun sao cho ứng với mỗi có khơng q số ngun thỏa mãn ? A. B. C. D. Phân tich: V ́ ơi môi gia tri cua ́ ̃ ́ ̣ ̉ thi la đai l ̀ ̀ ̣ ượng thay đôi do đo ta co thê xet ham ̉ ́ ́ ̉ ́ ̀ sô theo biên ́ ́ (xem như tham sô) ́ Lời giải Với mọi ta có . Xét hàm số . Tập xác định (do ). (do ,) tăng trên .Ta có. Có khơng q 728 số ngun thoa mãn ̉ Mà nên Vậy có số ngun thỏa. Chon ph ̣ ương an C ́ Bai 3.2 ̀ Có bao nhiêu số ngun sao cho ứng với mỗi có khơng qua s ́ ố ngun thỏa mãn ? A. B. C. D. Lời giải Ta có Đặt (do ) Đạo hàm với . Do đó đồng biến trên Vì mỗi ngun có khơng q giá trị nên ta có Trang 35 Như vậy có giá trị thỏa u cầu bài tốn. Chon ph ̣ ương an D ́ Bai 3.3 ̀ Có bao nhiêu số ngun sao cho ứng với mỗi có khơng q số ngun thỏa mãn ? A. B. C. D. Lơi giai ̀ ̉ Xet ham sô ́ ̀ ́ Suy ra ham sơ đơng biên trên khoang . Vi ̀ ́ ̀ ́ ̉ ̀ Do đo BPT có khơng q ́ số nguyên thỏa mãn. Ma . Vây co 20 gia tri nguyên cua y. Chon ph ̀ ̣ ́ ́ ̣ ̉ ̣ ương an C ́ Bai 3.4 ̀ Có bao nhiêu số ngun sao cho ứng với mỗi có khơng q số ngun thỏa mãn ? A. B. C. D. Lơi giai ̀ ̉ Vơi môi ́ ̃ Xet ham sô: ́ ̀ ́ ta co đao ham cua ham sô la ́ ̣ ̀ ̉ ̀ ́ ̀ Suy ra ham sơ đơng biên trên .Vi . ̀ ́ ̀ ́ ̀ Do đo BPT có khơng q s ́ ố ngun thỏa mãn Ma . Vây co 32 gia tri ngun cua y ̀ ̣ ́ ́ ̣ ̉ Chon ph ̣ ương an B ́ Bai 3.5 ̀ Có bao nhiêu số ngun sao cho ứng với mỗi có khơng q số ngun thỏa mãn ? A B. C. D Lơi giai ̀ ̉ Vơi môi ́ ̃ Xet hs ́ (Do) Trang 36 Suy ra ham sô đông biên trên khoang . ̀ ́ ̀ ́ ̉ Ta co ́ Suy ra, đê co không qua 26 sô nguyên ̉ ́ ́ ́ thoa man ̉ ̃ Ma Vây co gia tri nguyên cua y ̀ ̣ ́ ́ ̣ ̉ Chon ph ̣ ương an A ́ Bai 3.6 ̀ Có bao nhiêu số ngun cua tham sơ sao cho bât ph ̉ ́ ́ ương trinh co tôi đa ̀ ́ ́ nghiêm nguyên ̣ A. B. C. D. Lơi giai ̀ ̉ Xet hs ́ Suy ra ham sô đông biên trên khoang . Vi ̀ ́ ̀ ́ ̉ ̀ nên BPT có khơng q nghiêm ngun ̣ Ma . Vây co 14 gia tri ngun ̀ ̣ ́ ́ ̣ Chon ph ̣ ương an C ́ Bai 3.7 ̀ Có bao nhiêu căp s ̣ ố nguyên dương sao cho và ứng với mỗi cặp tồn tại đúng ba số thực thỏa mãn ? A. B. C. D. Lời giải Xét trên Đạo hàm Theo đề bài có ba nghiệm nên có ít nhất hai nghiệm Xét đồ thị của hàm , suy ra chẵn và Suy ra . Khi đó có nghiệm . Phương trình có 3 nghiệm và , do nên ta có 11 cặp thỏa u cầu bài tốn. Chon ̣ phương an C ́ Bai 3.8 ̀ Tìm để bất phương trình có tập nghiệm là A. B. C. Trang 37 D. Lời giải +) Với ta có +) Với xét hàm số , ta có Xét hàm số Với ta có suy ra Với ta có suy ra Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng và Trở lại bài tốn: +) Xét bất phương trình thỏa mãn +) Xét ta có: Từ nhận xét trên ta có đồng biến trên . Do đó u cầu của bài tốn tương đương với . +) Xét ta có: . Từ nhận xét trên ta có đồng biến trên . Do đó u cầu của bài tốn tương đương với . Kết hợp lại ta có . Chon ph ̣ ương an A ́ Bai tâp vân dung: ̀ ̣ ̣ ̣ 1. Tim tât ca cac gia tri nguyên cua x sao cho t ̀ ́ ̉ ́ ́ ̣ ̉ ương ưng môi x ́ ̃ luôn tôn tai không qua 10 sô nguyên y thoa man ̀ ̣ ́ ́ ̉ ̃ va ̀ 2. Tim tât ca cac gia tri nguyên cua y sao cho t ̀ ́ ̉ ́ ́ ̣ ̉ ương ưng môi y luôn tôn tai không ́ ̃ ̀ ̣ qua 63 sô nguyên x thoa man ́ ́ ̉ ̃ C. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 1. Đối với bản thân Trong năm học 2020 – 2021 này tôi đã áp dụng nội dung đề tài này khi dạy học lớp 12A1, giúp bản thân nâng cao chất lượng chun mơn, phương pháp dạy học có sự đổi mới, có hiệu quả hơn và tạo hứng thú cho học sinh 2. Đối với học sinh Các em đã áp dụng tương đối hiệu quả, biết cách xử lý các tình huống nảy sinh, có định hướng rõ ràng về phương pháp, có hứng thú trong khi học tập, các em tự tin hơn và có tâm lý khơng sợ khó đối với các bài tập thuộc loại này ; Các em hiểu sâu sắc bản chất nguồn gốc các lời giải của các bài tốn mà các em có thể thấy trong một số tài liệu nào đó, nó đã làm cho các em sáng tỏ các Trang 38 vấn đề ‘‘tại sao nghĩ và làm được như vậy’’, ‘‘khi nào thì dùng cơng cụ đó’’ và ‘‘làm thế nào người ta tạo ra bài tốn hay và khó như vậy’’ ; Kỹ năng sử dụng máy tính được rèn luyện và thành thạo hơn nhiều. Đề tài đã phần nào làm cho học sinh nâng cao khả năng tư duy, phát triển trí tuệ, bồi dưỡng khả năng sáng tạo thơng qua những kiến thức cơ bản 3. Kết quả thực nghiệm Sau khi giảng dạy cho lớp 12A1 nội dung đề tài này xong tơi đã tiến hành kiểm tra 45 phút đối với lớp thực nghiệm 12A1 và lớp đối chứng 12T1. Kết quả: Lớp Lớp thực nghiệm 12A1 Lớp đối chứng 12T1 (sĩ số 43) (sĩ số 39) Từ 8,0 đến 10 16 em ( 37,2 %) 2 em ( 5,1 %) Từ 6,5 đến 7,75 15 em ( 34,8 %) 6 em ( 15,3 %) Từ 5,0 đến 6,26 8 em ( 18,6 %) 11 em ( 28,2%) Từ 3,5 đến 4,75 4 em ( 9,4 %) 15 em ( 38,6%) Dưới 3,5 0 em ( 0 %) 5 em (12,8%) Điểm Kết quả thực nghiệm cho thấy hiệu quả của đề tài rất rõ rệt. Các em lớp 12A1 được giảng dạy nội dung đề tài nên kỹ năng giải tốn mũ và logarit đã tiến bộ hơn hẳn, có hơn 72% số học sinh đạt điểm khá giỏi D. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ I. KẾT LUẬN 1. Tính mới mẻ Đề tài có được những điểm mới mẻ sau : Đánh giá thực trạng của vấn đề dạy và học Mũ, Lơgarit trong chương trình thi mới; Đưa ra một số kỹ thuật giải chủ đề Mũ và Lơgarit ; Trang 39 Đưa ra phương pháp sáng tạo bài tốn vận dụng cao Mũ và Lơgarit, có thể sáng tạo ra các bài tốn có mức độ dễ hay khó tùy ý phù hợp với xu thế đề thi tuyển sinh, đề thi học sinh giỏi 2. Tính khoa học Nội dung đề tài được trình bày khoa học, các lập luận chính xác, có sức thuyết phục 3. Tính ứng dụng Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh, có thể áp dụng để dạy cho học sinh khá giỏi, ơn thi THPT Quốc gia; ơn thi học sinh giỏi cho một số Tỉnh, Thành phố có thi học sinh giỏi khối 12 ; Đề tài có thể giúp người dạy và người học ngồi việc giải tốt các bài tốn vận dụng cao Mũ và Lơgarit mà cịn có thể sáng tạo ra các bài tốn theo ý muốn, có thể tạo ra các bài tốn nhiều mức độ từ dễ đến khó; Đề tài dễ ứng dụng, phù hợp với trình độ chung của giáo viên, phù hợp với học sinh khối 12 khá giỏi và các học sinh ơn luyện thi lại đại học. 4. Tính hiệu quả Đề tài đã đáp ứng một phần việc đổi mới phương pháp dạy học mơn tốn ở trường trung học phổ thơng hiện nay. Đề tài giúp phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, phát huy năng lực tốn học của người dạy và người học; Đề tài đã góp phần năng cao chất lượng và hiệu quả giáo dục 5. Bài học kinh nghiệm Trong q trình thực hiện đề tài, tơi rút ra được một số kinh nghiệm giúp học sinh làm chủ kiến thức và thành thạo trong vận dụng giải bài tập như sau: Trước khi lên lớp giáo viên cần chuẩn bị chu đáo nội dung kiến thức cần truyền thụ cho học sinh Tạo khơng khí sơi nổi trong lớp học, cùng nhau thi đua học tập Gây hứng thú học tập cho học sinh bằng các bài tập củng cố và khắc sâu kiến thức, sau đó phát triển thành các bài tập nâng cao hơn để tạo thành hệ thống bài Trang 40 tập liên hồn từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp để tránh nhàm chán cho học sinh Hệ thống bài tập phải được chuẩn bị cho mọi đối tượng học sinh trong lớp học, nhằm giúp cho mọi đối tượng đều tích cực tham gia học tập Người giáo viên phải nắm được khả năng của học sinh trong lớp mình phụ trách, biết được những gì mà mình đã dạy học sinh tiếp thu được đến đâu, để từ đó có phương án điều chỉnh cho kịp thời tạo hiệu quả cao hơn Bản thân người giáo viên phải khơng ngừng học hỏi, ln tìm tịi sáng tạo để tìm ra phương pháp tốt nhất nhằm giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách hiệu quả nhất. Đồng thời ln có ý thức khơi nguồn sáng tạo cho học sinh II. KIẾN NGHỊ Sở giáo dục cần tổ chức các chun đề đổi mới dạy học có quy mơ để các giáo viên được học hỏi, giao lưu và trao đổi kinh nghiệm Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân khi giảng dạy chun đề này. Mặc dù đã rất cố gắng nhưng khơng trách khỏi những khiếm khuyết, do đó rất mong nhận được sự trao đổi, góp ý của q thầy cơ để bài viết được hồn thiện hơn Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu Trường THPT Cửa Lị và q thầy cơ đồng nghiệp trong mơn Tốn đã có những góp ý sâu sắc để tơi hồn thành bài viết này Trang 41 E. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. G.Polya: Giải bài tốn như thế nào? – NXBGD, 1997 [2]. Đề thi học sinh giỏi các Tỉnh, thành phố lớp 12 những năm gần đây [3]. Đề thi chính thức THPT Quốc gia năm 2017, 2018, 2019, 2020 [4]. Đề thi minh họa THPT Quốc gia các năm 2017, 2018, 2019, 2020 [5]. Đề thi thử THPT Quốc gia các năm 2017, 2018, 2019, 2020, 2021 của các trường THPT trên tồn quốc [6]. Các trang mạng toán học [7]. Báo toán học và tuổi trẻ Trang 42 ... Do đó tơi ln trăn trở làm thế nào? ?để? ?có tài liệu giảng dạy? ?và? ?cho học sinh ơn thi mang tính hệ thống giúp? ?các? ?em có tầm nhìn, cách? ?tiếp? ?cận? ?vấn đề tốt? ?để? ? giải? ?quyết? ?nhanh? ?các? ?bài? ?tốn? ?vận? ?dụng? ?cao? ?mũ? ?và? ?lơgarit. Cùng với phong trào ... chun đề này. Tơi chọn trình bày đề tài: ? ?phương? ?phap ti ́ ếp? ?cận? ?để? ?giải? ?quyết? ? các? ?bài? ?tốn? ?vận? ?dụng? ?cao? ?mũ? ?và? ?lơgarit” với mong muốn học sinh tự tin hơn, sáng? ?tạo hơn, biết quy lạ về quen khi đứng trước? ?các? ?bài? ?tốn lạ? ?và? ?khó. ... Đề tài có thể giúp người dạy? ?và? ?người học ngồi việc? ?giải? ?tốt? ?các? ?bài? ?tốn? ?vận dụng? ?cao? ?Mũ? ?và? ?Lơgarit mà cịn có thể ? ?sáng? ?tạo ra? ?các? ?bài? ?tốn theo ý muốn, có thể tạo ra? ?các? ?bài? ?tốn nhiều mức độ từ dễ đến khó;