Luận văn thạc sĩ phương pháp hàm và ứng dụng

„I HÅC QC GIA H€ NËI TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI–N L– H×ÌNG THƒO PH×ÌNG PHP H€M V€ ÙNG DƯNG LUŠN V‹N TH„C Sß KHOA HÅC H€ NËI - N‹M 2015 „I HÅC QC GIA H€ NËI TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI–N L– H×ÌNG THƒO PH×ÌNG PHP H€M V€ ÙNG DƯNG LUŠN V‹N TH„C Sß KHOA HC Chuyản ng nh : Phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp M số : 60460113 NGìI HìẻNG DN KHOA HC PGS.TS Nguyạn ẳnh Sang H NậI - NM 2015 Mửc lửc Lới m Ưu BÊng kẵ hiằu Kián thực chuân b 1.1 CĂc nh lỵ cỡ bÊn v· h m kh£ vi 1.1.1 ành ngh¾a iºm cüc trà .6 1.1.2 nh lỵ Fermat 1.1.3 nh lỵ Rolle 1.1.4 nh lỵ Lagrange 1.1.5 ành lỵ Cauchy 1.2 Cæng thùc Taylor 1.2.1 Cổng thực Taylor vợi số dÔng Lagrange 1.2.2 Cổng thực Taylor vợi số dÔng Peano 1.3 Gẵa tr lợn nhĐt, gi¡ trà nhä nh§t 11 1.3.1 ành ngh¾a .11 1.3.2 Phữỡng phĂp tẳm GTLN, GTNN 13 Ùng dưng ph÷ìng ph¡p h m 14 2.1 Ph÷ìng phĂp h m giÊi phữỡng trẳnh .14 2.1.1 Ùng dưng cỉng thùc Taylor .14 2.1.2 ng dửng cĂc nh lỵ cỡ bÊn v· h m kh£ vi 30 2.2 Ph÷ìng ph¡p h m giÊi bĐt phữỡng trẳnh .51 2.2.1 Cỡ sð ph÷ìng ph¡p 51 2.2.2 p döng 52 2.3 Ph÷ìng ph¡p h m chùng minh bĐt ng thực 57 2.3.1 Cỡ s phữỡng phĂp 57 2.3.2 p döng 57 Gi£i v biằn luên phữỡng trẳnh v bĐt phữỡng trẳnh chựa tham sè 63 3.1 Cì sð ph÷ìng ph¡p 63 3.2 p döng .64 Kát luên 69 T i liằu tham khÊo 70 Lới m Ưu Phữỡng phĂp h m õng mởt vai trỏ quan trồng giÊi tẵch toĂn hồc v thữớng ÷đc khai th¡c c¡c k¼ thi Olympic qc gia, quốc tá, ký thi Olympic sinh viản Ơy l mởt cỉng cư r§t hi»u lüc vi»c gi£i c¡c b i toĂn liản quan án sỹ tỗn tÔi nghiằm v cĂc tẵnh chĐt nghiằm cừa cĂc dÔng phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh , bĐt phữỡng trẳnh khĂc Vợi suy nghắ õ,chúng tổi  chồn à t i: "Phữỡng phĂp h m v ựng dửng" l m luên vôn cừa mẳnh Luên vôn n y trẳnh b y tữỡng ối Ưy cĂc tẵnh chĐt h m khÊ vi v ùng dưng cõa chóng v o vi»c kh£o s¡t tẵnh chĐt nghiằm phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh ,bĐt phữỡng trẳnh BÊn luên vôn gỗm ba chữỡng, lới m Ưu, kát luên, t i liằu tham khÊo v mửc lửc: Chữỡng : Kián thực chuân b: Chữỡng n y trẳnh b y kián thực cƯn thiát cho chữỡng sau nhữ : tẵnh chĐt cỡ bÊn và h m khÊ vi cừa h m mởt bián m trồng tƠm l cĂc nh lỵ cỡ bÊn và h m khÊ vi v cỉng thùc Taylor Ch÷ìng : Nhúng ph÷ìng phĂp giÊi toĂn cõ ựng dửng kát quÊ chữỡng I ta gồi l phữỡng phĂp h m Mửc ẵch chẵnh cừa chữỡng n y l : ng dửng phữỡng phĂp h m giÊi phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh, bĐt ng thực Trong chữỡng n y s Ăp dửng khai trin Taylor giÊi phữỡng trẳnh bêc ba, bêc bốn, sỷ dửng tẵnh ỡn iằu, nh lỵ Largange, nh lỵ Cauchy giÊi phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh, bĐt ng thực Chữỡng : GiÊi v biằn luên phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh chựa tham số: Chữỡng n y trẳnh b y cĂc ựng dửng, cĂc phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh nhữ chữỡng II cởng thảm mởt v i phữỡng phĂp mợi giÊi v biằn luên phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh chựa tham số ho n th nh luên vôn n y em xin chƠn th nh cÊm ỡn tợi ngữới thƯy kẵnh mán PGS.TS Nguyạn ẳnh Sang  d nh nhiÃu thới gian hữợng dăn, ch dÔy suốt thới gian xƠy dỹng à t i cho án ho n th nh luên vôn Em xin chƠn th nh cÊm ỡn tợi cĂc thƯy cổ khoa ToĂn Cỡ - Tin hồc, Ban GiĂm Hiằu, Phỏng Sau Ôi hồc trữớng HKHTN  tÔo iÃu kiằn thuên lủi thới gian hồc têp tÔi trữớng Mc dũ  cõ nhiÃu cố gng thới gian v nông lỹc cỏn hÔn chá nản bÊn luên vôn khổng trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt, rĐt mong thƯy cổ v cĂc bÔn gõp ỵ xƠy dỹng Em xin chƠn th nh cÊm ìn! H Nëi, ng y 25 th¡ng n«m 2015 Hồc viản Lả Hữỡng ThÊo BÊng cĂc kẵ hiằu viát tt N Têp cĂc số tỹ nhiản N Têp cĂc số tỹ nhiản khĂc Z Têp cĂc số nguyản Z+ Têp cĂc số nguyản dữỡng Z Têp cĂc số nguyản Ơm R Têp cĂc số thỹc + Têp cĂc số thỹc dữỡng R R Têp cĂc cĂc số số thỹc thỹcƠm khĂc R Têp i ỡn v Êo C Têp cĂc số phực Chữỡng Kián thực chuân b 1.1 CĂc nh lỵ cỡ bÊn và h m kh£ vi 1.1.1 ành ngh¾a iºm cüc trà Cho kho£ng (a, b) ⊂ R , h m sè f : (a, b) → R Ta nâi r¬ng h m f Ôt cữc Ôi ựng cỹc a x0 (a,(x b) ,va náu tỗn tÔi số ựng > (x(x x0tÔi + ) 0, fphữỡng (x) ) f.(tữỡng (xmởt ftiu (x)cho fphữỡng) ) ) vợi måi 0)(t÷ìng x (a,b) ∈ δ, x − + h Cỹc m Ôi f a phữỡng im hoc (x0, cüc y(xtiºu iºm gåi cüc 0)) trà àal ph÷ìng chung l cỹc tr cừa 1.1.2 nh lỵ Fermat Cho kho£ng (a, b) ⊂ R , h m sè f : (a, b) R Náu h m số Ôt cỹc tr tÔi x = c v tỗn tÔi f (c) thẳ f (c) = J 1.1.3 nh lỵ Rolle Gi£ sû h m f : [a, b] → R cõ cĂc tẵnh chĐt: (1)f liản tửc trản [a, b] (2) f kh£ vi kho£ng (a, b) (3) f (a) = f (b) J [a,b] 3.2 p döng Vẵ dử Tẳm m phữỡng trẳnh cõ nghiằm: √ √ x + x + − x2 − x + = m Líi gi£i: √ √ °t f (x) = x2 + x + − x2 − x + f J (x) = √ (2x + 1) x2 − x + − (2x − √ 1) x2 +√ x + √ x2 + x + x2 − x + √ √ f J (x) = ⇔ (2x + 1) x2 − x + = (2x − 1) x2 + x + 1(vỉ nghi»m) Ta th§y f (0) = n¶n f (x) > ∀x J J limx→−∞ f (x) = −1 limx→+∞ f (x) = −1 Do õ phữỡng trẳnh cõ nghiằm v ch < m < Vẵ dử Tẳm m phữỡng trẳnh sau cõ nghiằm: Lới giÊi: 2|x2 5x + 4| = x2 − 5x + m (1) °t t = x2 − 5x + Khi â (1)⇔ 2|t| − t = m − (2) Th§y (2) cõ nhiÃu nhĐt nghiằm nản phữỡng trẳnh t = x2 − 5x + −9 Khicââ 2(2) tữỡng ữỡng : phÊi nghiằm phƠnvợibiằt.Tực t> t t = m −4 Ho°c 4 43 ⇔ m < 4− −9 tm= > 4 Vêy phữỡng trẳnh cõ nghiằm náu m > ho°c m < 43 V½ dư GiÊi v biằn luên theo m số nghiằm cừa phữỡng tr¼nh : x +m √ =m x +1 Líi gi£i: Ta câ: √ √ x2x+ + m = m ⇔ x = ( x + − 1)m ⇔ x( x2 + + 1) = x 2m  x = √ ⇔ x +1+1 f (x) =m x = X²t f J(x) = −1 √ < ∀x ƒ= x2 x2 + limx→−∞ f (x) = −1 limx→+∞ f (x) = limx→0+ f (x) = +∞ limx→0− f (x) = −∞ Vêy: Vợi mồi m thẳ phữỡng trẳnh cõ nghiằm x = Vợi m thuởc (0,1) phữỡng trẳnh cõ thảm nghiằm x > Vợi m thuởc (-1,0) phữỡng trẳnh cõ thảm nghiằm x < Vẵ dử GiÊi v biằn luƠn phữỡng trẳnh: 2 2x +2mx+4 22x +4mx+1 = x2 + 2mx − Líi gi£i: Phữỡng trẳnh tữỡng ữỡng: 2x2+2mx+4 22x2+4mx+1 = 2x2 + 4mx + − (x2 + 2mx + 4) °t u = 2x2 + 4mx + v = x2 + 2mx + v indent Khi ât − 2u = u − v ⇔ 2u + u = 2v + v ⇔ u = v (Do f (t) = + t l h m ỗng bián) Ta suy 2x2 + 4mx + = x2 + 2mx + ⇔ x2 + 2mx − = Vêy vợi mồi m phữỡng trẳnh luổn cõ nghi»m x = −m ± m2 + √ V½ dử Tẳm m bĐt phữỡng trẳnh sau cõ nghi»m thuëc [0, + 3]: √ m( x2 − 2x + + 1) + x(2 − x) ≤ (1) Líi gi£i: √ °t t = x2 − 2x + ≥ suy −x(x − 2) = t2 − x−1 Ta câ t J = √ , tJ = x = x2 − 2x + Lêp bÊng bián thiản: Tứ bÊng bián thi¶n suy ≤ t ≤ Khi â bĐt phữỡng trẳnh (1) tr th nh : m ≤ t2 − = t +1 m(t+1) ≤ t2 f (t) (2) Ta câ J t2 + 2t + f =(t) > ∀t ∈ [1, 2] (t + 1) Do â f (t) l h m ỗng bián Vêy (1) cõ nghiằm thuởc [0, + th¼ (2) câ nghi»m t thuëc [1,2] Tùc : = m max f (t) = f (2) [1,2] Vẵ dử Tẳm cĂc giĂ tr cừa m bĐt phữỡng trẳnh sau câ nghi»m: mx − √ x − ≤ m + (1) Líi gi£i: √ °t t = x − ≥ ⇐ x = t2 + BĐt phữỡng trẳnh (1) tr th nh: m(t2 + 3) t m+1 − ≤ ⇔ ≤t + m = f (t) (2) t2 + √ − t2 2t + Câ f (t) = ⇔ t = −1 ± : = (t + 1)2 Lªp b£ng bián thiản: J BĐt phữỡng trẳnh (1) cõ nghiằm v ch bĐt phữỡng trẳnh (2) cõ nghiằm t thuëc [0,+∞] Tùc l : √ 3+1 m ≤ max f (t) = f (1 + 3) = √ [0,+∞] Vẵ dử Tẳm k hằ bĐt phữỡng trẳnh sau cõ nghiằm : Lới giÊi: log2x |x + − 21|3 − 3x − k < ≤ (2) log2(x (1) − 1) i·u ki»n : x > Khi x > th¼ (2)⇔ log2x + log2(x − 1) ≤ ⇔ x(x − 1) ≤ ⇔ x2 − x − ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ V¼ x > ⇐ < x ≤ BĐt phữỡng trẳnh (1) (x 1)3 3x < k °t f (x) = (x − 1)3 − 3x câ f (x) = 3(x − 1)2 − = 3x(x − 2) Vỵi < x ≤ ⇐ f (x) ≤ Suy h m f(x) nghch bián trản (1,2] J J Khi õ min(1,2]f (x) = f (2) = −5 º h» câ nghi»m th¼ k > −5 B i tªp tham kh£o b i têp Tẳm m phữỡng trẳnh sau cõ nghiằm: √ √ √ √ x x + x + 12 = m( − x + − x) √ √ ¡p sè m ∈ [2( 15 − 12), 12] B i têp (Khối A -2007) Tẳm m phữỡng trẳnh sau cõ nghiằm thực: x1+m x+1 √ x2 − =2 ¡p sè −1 < m B i têp Tẳm m bĐt phữỡng trẳnh nghiằm úng vợi mồi x thuởc R: m4x + (m − 1)2x+2 + m − > Ăp số m > Kát luên Sau thới gian hồc têp tÔi khoa ToĂn - Cỡ - Tin hồc, Trữớng Ôi hồc Khoa hồc Tỹ nhiản, HQG H Nởi ữủc cĂc thƯy cổ trỹc tiáp giÊng dÔy v hữợng dăn c biằt l PGS.TS Nguyạn ẳnh Sang, em  ho n th nh luên vôn vợi · t i "Ph÷ìng ph¡p h m v ùng dưng" Luên vôn  Ôt ữủc mởt số kát quÊ: Luên vôn  khai thĂc ữủc cĂc ựng dửng cừa ph÷ìng ph¡p h m v o gi£i c¡c b i toĂn chữỡng trẳnh toĂn hồc phờ thổng khĂ hiằu quÊ v lới giÊi àp, tÔo ữủc niÃm am mả tẳm tỏi v sĂng tÔo hồc têp toĂn cừa hồc sinh Luên vôn  hằ thống hõa v phƠn loÔi ữủc cĂc dÔng toĂn cỡ bÊn vợi nhiÃu vẵ dư minh håa ¡p dưng ph÷ìng ph¡p gi£i phong phó km theo cĂc b i têp tham khÊo ữủc trẵch tø c¡c k¼ thi giäi to¡n quèc gia, thi olympic toĂn quốc tá, thi Ôi hồc, vẳ vêy bÊn luên v«n câ thº l m t i li»u tham kh£o cho hồc sinh cĂc lợp chuyản toĂn phờ thổng v sinh viản nôm nhĐt cĂc trữớng khoa hồc cỡ bÊn Luên vôn  th hiằn ữủc hữợng nghiản cựu, sĂng tÔo mởt số phữỡng phĂp ựng dửng cừa phữỡng ph¡p h m Hi»n ph÷ìng ph¡p h m cỏn cõ nhiÃu ựng dửng khĂc nỳa cƯn ữủc nghiản cựu T i liằu tham khÊo Tiáng viằt [1.] Tổ Vôn Ban, GiÊi tẵch nhỳng b i têp nƠng cao, NXB GiĂo Dửc, 2005 [2.] TrƯn ực Long, Nguyạn ẳnh Sang, Ho ng Quốc To n, GiĂo trẳnh giÊi tẵch, B i têp giÊi tẵch I, II, NXB HQG H Nởi, 2007 [3.] Nguyạn Vôn Mêu, Mởt số chuyản à giÊi tẵch bỗi dữùng hồc sinh giọi trung hồc phờ thổng, NXB GiĂo Dửc, 2010 [4.] Nguyạn Vôn Mêu, DÂy số v Ăp dửng, a thực v Ăp dưng, NXB Gi¡o Dưc, 2004 [5.] o n Qnh, Tr¦n Nam Dụng, Nguyạn Vụ Lữỡng, ng Hũng Thng, T i liằu chuyản à toĂn Ôi số v giÊi tẵch 11, NXB GiĂo Dửc, 2010 [6.] TÔp chẵ toĂn hồc tuời tr´, C¡c b i thi olympic to¡n trung håc phê thỉng Vi»t Nam, NXB Gi¡o Dưc, 2007 [7] Phịng ùc Th nh, Luên vôn : ng dửng Ôo h m º gi£i c¡c b i to¡n phê thỉng, 2011 Ti¸ng anh [8.] W.J.Kackor , M.T.Nowark, Problem in mathematical analysis I, Real number, Sequences and Series, AMS, 2000 [11] W.J.Kackor, M.T.Nowak, Problem in mathematical analysis II, Real number, Con-tinuity and differentiation, AMS, 2001 ... C¡c iºm thuëc tªp x¡c ành cõa h m f(x) m tÔi õ Ôo h m cừa nõ bơng hoc khổng tỗn tÔi ữủc gồi l im dứng ( im tợi hÔn) cừa h m số  cho hÔn iảmf(x) l tợih m hÔn x1, trảnx[a,b] xn cõ mởt Khi 2, â: 4)... thiản Dỹa v o bÊng bián thiản tẳm max v J cừa f(x) trản D - CĂch 2: Náu D = [a, b] Tẳm cĂc im dứng cừa f(x) trản [a,b] v tẵnh f(a),f(b),f(xi) Khi â: max f (x) = max f (a), f (x1), f (x2), , f