Luận văn thạc sĩ nghiên cứu các tác nhân gây gỉ và môi trường lưu trữ đối với các di vật văn hóa chất liệu hợp kim đồng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ———————– NGUYEN TH± PHƯƠNG THAO HÀM RIÊNG CUA BIEN ĐOI CHÍNH TAC TUYEN TÍNH OF (a,b,c,d) CHO TRƯèNG HeP |a + d| ™2 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - 2016 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ———————– NGUYEN TH± PHƯƠNG THAO HÀM RIÊNG CUA BIEN ĐOI CHÍNH TAC TUYEN TÍNH OF (a,b,c,d) CHO TRƯèNG HeP |a + d| ™2 Chun ngành: Giai tích Mã so: 60460102 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS.TS.NGUYEN MINH TUAN LèI Me ĐAU Tốn HQc khơng chi so huu chân lý mà an chúa bên ve đep toi thưong, m®t ve đep lanh lùng m®c mac, giong m®t búc điêu khac, thuan khiet tinh di¾u có kha đat đen sn hồn hao ch¾t che mà chi có thú ngh¾ thu¾t vĩ đai nhat mói có the the hi¾n Và, phép bien đői tac tuyen tính LCT m®t nhung búc điêu khac the cna toán HQc giai tích Đưoc giói thi¾u lan đau vào năm 1970, phép bien đői tac tuyen tính LCT bien đői tích phân vói tham so {a, b, c, d} Phép bien đői tac tuyen tính LCT tőng quát phép bien đői Fourier (F T ) Fourier phân (F RF T ) Bien đői LCT không chi đoi tưong nghiên cúu cna nhieu lĩnh vnc tốn HQ c lý thuyet mà cịn có nhieu úng dung lĩnh vnc khoa HQ c tn nhiên v¾t lý, HQc, quang HQc Muc đích cna lu¾n văn tìm hieu khái ni¾m LCT , trưòng hop riêng cna LCT , xây dnng hàm riêng cna LCT trưòng hop |a + d| ≤ tù đó, giai thích tốn tao anh quang HQc Nđi dung luắn gom ba chương: Chương 1: Trình bày đ%nh nghĩa ve phép bien đői tac LCT , trưịng hop bien đői đ¾c bi¾t cna phép bien đői này, hàm riêng cna bien đői Fourier phân thú m®t so ket qua xây dnng đưoc ve hàm riêng cna LCT Chương 2: Phan đau trình bày hàm riêng cna LCT trưòng hop |a + d| < Phan hai, trình bày hàm riêng cna LCT trưịng hop |a + d| = Trong trưòng hop ta trình bày hàm riêng cna LCT a + d = b = 0; a + d = −2 b = 0; {a, b, c, d} = {±1, b, 0,±1}; a + d = b ƒ= 0; a + d = −2 b ƒ= Chương 3: Trình bày quan h¾ cna LCT vói h¾ quang HQc giai thích tốn tao anh Các ket qua cna lu¾n văn dna báo "Eigenfuntions of linear canonical transform" cna tác gia Soo-Chang Pie Jian-Jiun Ding Tuy có nhieu co gang thịi gian thnc hi¾n lu¾n văn khơng nhieu, kien thúc cịn han che nên lu¾n văn khơng tránh khoi nhung han che sai sót Em mong nh¾n đưoc sn góp ý nhung ý kien phan bi¾n cna q thay ban ĐQc Em xin chân thành cam ơn! Hà N®i, tháng 05 năm 2016 HQc viên Nguyen Th% Phương Thao LèI CAM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan, chi bao t¾n tình cna PGS.TS Nguyen Minh Tuan, Trưịng Đai HQ c Giáo duc - Đai HQc Quoc gia Hà N®i Thay dành nhieu thịi gian giúp đõ, giai đáp thac mac cna em suot trình làm lu¾n văn Em xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói Thay Qua đây, em xin chân thành cam ơn thay giáo khoa Tốn - Cơ - Tin HQc Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà N®i day bao em t¾n tình suot q trình HQc t¾p Bên canh cịn có sn giúp đõ nhi¾t tình cna thay phịng Sau Đai HQc tao đieu ki¾n thu¾n loi giúp đõ em hồn thành thn tuc bao v¾, thay ban seminar Tốn Giai Tích có nhung góp ý huu ích đe em hồn thành lu¾n văn tot nhat Nhân d%p em xin đưoc gui lòi cam ơn chân thành tói gia đình, ban bè ln bên em, cő vũ, đ®ng viên, giúp đõ em suot q trình hQc t¾p thnc hi¾n lu¾n văn Em xin chân thành cam ơn! Hà N®i, tháng 05 năm 2016 HQc viên Nguyen Th% Phương Thao Mnc lnc Phép bien đoi tac tuyen tính (LCT ) 1.1 Đ%nh nghĩa LCT .7 1.2 M®t so trưịng hop đ¾c bi¾t cna LCT 1.2.1 Bien đői Fourier ( FT ) 1.2.2 Bien đői Fourier phân thú ( FRFT ) 1.2.3 Bien đői Fresnel 1.2.4 Phép toán co giãn 10 1.3 Hàm riêng cna bien đői Fourier phân thú 10 1.4 Tőng hop hàm riêng cna LCT .11 Hàm riêng cua LCT cho trưàng hap |a + d| ™ 14 2.1 Tính chat 14 2.2 Hàm riêng cna LCT cho trưòng hop |a + d| < 16 2.3 Hàm riêng cna LCT cho trưòng hop |a + d| = 20 2.3.1 Trưòng hop a + d = b = 20 2.3.2 Trưòng hop a + d = −2 b = 21 2.3.3 Hàm riêng cna LCT {a, b, c, d} = {±1, b, 0, ±1} 22 2.3.4 Trưòng hop a + d = b ƒ=ƒ=ƒ= 27 2.3.5 Trưòng hop a + d = −2 b ƒ=ƒƒ= .30 Úng dnng cua LCT tốn tao anh 3.1 33 Quan h¾ giua bien đői LCT h¾ quang HQc 33 3.2 Giai thích tốn tao anh 35 Ket lu¾n 39 Tài li¾u tham khao 40 Chương Phép bien đoi tac tuyen tính (LCT ) Đưoc giói thi¾u lan đau vào năm 1970, phép bien đői tac tuyen tính (LCT ) phép bien đői tích phân vói bon tham so {a, b, c, d} Trong mđt so ti liắu, phộp bien i LCT đưoc GQI phép bien đői Fourier afin (AFT), bien đői Fourier tőng quát, công thúc Collins, bien đői ABCD Phép bien đői LCT có nhieu úng dung phân tích h¾ rada, phân tích h¾ mơi trưịng Grin, thiet ke máy LQc, Vói moi giá tr% cna tham so {a, b, c, d} ta đeu cú mđt trũng hop ắc biắt cna LCT tng ỳng Ví du, {a, b, c, d} = {1, b, 0, 1} LCT tro thành bien đői Fresnel hàm tuan hồn (hàm tuan hồn GQI hi¾u úng Talbot); hay vói {a, b, c, d} = {1/d, 0, 0, 1} LCT phép co giãn, có hàm riêng hàm Frac Trong chương này, ta se tìm hieu rõ ve hàm riêng cna LCT úng vói moi giá tr% cna tham so {a, b, c, d} Ta dùng ký hi¾u O F (a,b,c,d) (a,b,c,d) ho¾c OF 1.1 Đ%nh nghĩa LCT Bien đői tac tuyen tính(LCT ) đưoc đ%nh nghĩa sau: Khi b ƒ= (a,b,c,d) OF (f (i/2)(d/b)u2 e i2πb −∞ ∫ (t)) = ∞ e−i(u/b)te(i/2)(a/b)t2 f (t)dt (1.1) Khi b = OF(a,b,c,d)(f (t)) = √ d.e(i/2)cdu2 f (d.u) (1.2) ad − bc = vói Tính chat: (a ,b ,c ,d ) OF 1 1 đó: (a ,b ,c ,d ) OF 2 2 (f Σ (t)) = FO (a3 ,b3 ,c3 ,d3 ) (f (t)) (1.3) a3 b3  = a2 b2  a1 b1  c3 d3 c2 d2 c1 d1 Do tính chat cna LCT đưoc mơ ta bang matrắn ì nờn cỏc tham so {a, b, c, d} a b cna LCT ma trắn ì c d 1.2 1.2.1 Mđt so trng hap ắc biắt cua LCT Bien đoi Fourier (FT ) Khi {a, b, c, d} = {0, 1, −1, 0}, bien đői LCT tro thành FT √ i.OF(0,1,−1,0) (f (t)) = FT(f (t)) = 2π ∫ ∞ e−i.u.t f (u).du −∞ Th¾t v¾y: (0,1,−1,0) O F (f (i/2)(0/1)u2 (t)) = e i2 π (0,1,−1,0) O (f (t)) 1∞ = = i2 ∞ π FT(f (t)) ∫ ∞ e−i.u.t g(t)dt − F i.O(0,1,−1,0) (f (t)) ∞ e−i.u.t e(i/2)(0/−1)t2 f (u)du − F √ ∫ (1.4) LCT vói tham so {a, b, c, d} se hàm riêng (b,ρ) φE (t) = √ ∫ ei((d−a)/4b)t ∞ ei((t−x)2 /2ρ) g(x)dx, (2.42) − i2π ∞ ρ o ρ tùy ý a = d ta phai chQn ρ = Giá tri riêng tương úng cho công thúc (2.40) (2.41) lan lưot ibh 1/2 Σ, λ(b,h) = (−1) exp − ibh = (−1)1/2 exp − Σ λ(b,h) (2.43) (2.44) Phương trình (2.42)-(2.44) hàm riêng giá tr% riêng cna LCT a + d = −2 b ƒ= Tù công thúc (2.40)-(2.42) ta có the ket lu¾n a + d = −2 b ƒ= hàm riêng cna LCT phép nhân cna hàm hau tuan hoàn đoi xúng (ho¾c hàm hau tuan hồn phan đoi xúng) Đe đơn gian công thúc (2.42) ta cHQN ρ = Khi cơng thúc (2.42) có the đưoc đơn gian φ (b,ρ) E (t) = ei((d−a)/4b)t g(t) Trong trưòng hop hàm riêng cna LCT a + d = −2 b ƒ= đưoc đơn gian phép nhân cna hàm tuan hồn đoi xúng ho¾c hàm hau tuan hồn phan đoi xúng Σ Trưịng hop A (|a + d| < 2) riêng Σ Hàm −(1 + iτ )t2 t √ √ exp σ · 2mm! π 2σ2 H m τ vói Hm hàm Hermite |b| 2|b| , σ2 = =√ sin α − (a + d)2 sgn(b).(a − d) τ= √ − (a + d) Giá tr% riêng (e−iα)1/2 exp(−iα.m), vói α = cos−1 a+d Σ =sin−1 sgn(b) d)2 Σ √ − (a + ΣΣ √ E −1 + Trưòng hop B (a + d = 2, ∞ n=0 An δ t −4nπ|c|−1 + h Σ∞ b = 0) Σ √ m=0 Bm δ t + √ exp(ich/2) 4mπ|c|−1 + hΣΣ, o ™ h < 4π/|c|, An, Bm tùy ý, E= Trưòng hop Σ∞ n=0 (|An | + |Bn |2 ) Giong trưòng hop B, trù C (a + d An = Bn , An = −Bn vói ∫ (t−x)2 d−a = ∞ MQI n ±(−1)1/2 exp(ich/2) i −2, b = 0) ei Trưòng hop D i2πρ (a + d = 2, b ƒ= 0) Σ Σ∞ 2πS 4b t −∞ e 2ρ g(x)dx, exp(−ibh/2) g(t) = √ Cn exp it 4nπ|b|−1 + hΣ+ n=0 √ D exp − it 4mπ|b|−1 + m m=0 hΣΣ, o ™ h < 4π/|c|, Cn, Dm tùy ý, Σ∞ 2 S= n=0 (|Cn | + |Dn | ) Σ∞ Trưòng hop E (a + d = −2, b =ƒ Giong trưòng hop B, trù Cn = Dn , Cn = −Dn vói MQI ±(−1)1/2 exp n 0) Bang 2.1: Hàm riêng cna LCT cho trưòng hop −ibh Chương Úng dnng cua LCT toán tao anh Trên so tìm hieu ve hàm riêng cna FRFT , ta se tìm hieu ba úng dung sau: 1.Bài tốn tao anh (self-imaging problem) ; 2.Bài tốn c®ng hưong; 3.Phương pháp lna cHQN Tương tn, ta có the dùng hàm riêng cna LCT đe suy các úng dung Trong chương này, ta se giai thích toán tao anh dna hàm riêng cna LCT Trưóc het, ta se tìm hieu cách su dung hàm riêng cna LCT đe bieu dien h¾ quang HQc đưa m®t so tính chat quan TRQNG sau 3.1 Quan h¾ giEa bien đoi LCT h¾ quang HQC Bien đői LCT có moi quan h¾ m¾t thiet vói quang HQc nhieu phép tốn sn lan truyen sóng có the đưoc bieu dien trưịng hop đ¾c bi¾t cna LCT [13]-[15] Ví du, tù cơng thúc (1.7) ta su dung hàm riêng cna LCT vói tham so {a, b, c, d} bangzλ{1, 2π , 0, 1} đe mô ta ánh sáng đơn sac qua môi trưịng suot vói khoang cách z Bên canh đó, ánh sáng đơn sac vói bưóc sóng λ xuyên qua thau kính có tiêu cn tiêu cn f có the bieu dien đưoc sau f lens O g(x) = ei(π/λ)n∆ e−i(π/f.λ)x g(x), n : chiet suat, ∆ : đ® dày thau kính Cơng thúc tương úng vói bien đői LCT vói tham so {1, 0, f i(π/λ)n∆ FO Olens g(x) = e (1,0,−2π/fλ,1) −2π fλ (g(x)) , 1} (3.1) Tù công thúc (1.7), (3.1) sn tő hop cna nhung thành phan quang HQc có the bieu dien boi ma tr¾n abcd [18] Ta có the su dung bien đői LCT đe bieu dien h¾ quang HQc có mơi trưịng suot nhieu thau kính Ví du, neu mđt hắ quang HQc gom mđt thau kớnh vói tiêu cn f qua mơi trưịng suot vói khoang cách z, 1 zλ   1−  π 0  0 fλ 1 z zλ f = −2π − 2π fλ   , −2π ta dùng bien đői LCT vói tham so {1 −fz ,2 zλ , fλ , 1} bieu dien h¾ quang HQc π Đe giai thích hi¾n tưong tao anh h¾ quang HQc, ta xét tính chat sau Tính chat 3.1.1 (Đieu ki¾n đe hai LCT tương đương h¾ quang HQc [29]) Ta biet rang a1 a = b1 , ket qua bien đői LCT vái tham so {a1, b1, c1, d1, } b2 {a2, b2, c2, d2}, tương úng thóa mãn h¾ thúc sau |F(a2,b2,c2,d2)(u)| = |√σ.F(a1,b1,c1,d1)(σ.u)|, Khi đó, σ = a1 a2 = b1 b2 a) Neu chs xét cưàng đ® hai LCT tương đương neu a1 = a2, b1 = b2 b) Neu bó qua hi¾u so co giãn hai LCT tương đương neu a1 : b1 = a2 : b2, c1 : d1 = c2 : d2 c) Neu chs xột cng đ v bú qua hiắu so co gión hai LCT tương đương neu a1 : b1 = a2 : b2 Vì h¾ quang HQc, hi¾u so pha hi¾u so co giãn đưoc bo qua theo tớnh chat (3.1.1) rng buđc giua hắ a vo đe giai thích hi¾n tưong tao anh khơng nhieu Do đó, hau het h¾ quang HQc có sn thay đői giua hàm đưoc đưa vào vói hi¾n tưong tn tao anh Đe làm rõ đieu này, ta xét trưòng hop sau 3.2 Giai thích tốn tao anh Tù moi quan h¾ giua LCT h¾ quang HQc, ta có the giai thích hi¾n tưong tao anh bang cách su dung hàm riêng cna LCT Neu tìm anh đau vào se có anh đau tương úng Gia su moi h¾ quang HQc sn tő hop cna nhieu thau kính mơi trưịng suot, đó, ta có the bieu dien h¾ quang HQc boi LCT vói tham so {a1 , b1 , c1 , d1 , } Do v¾y, neu ánh sáng đưa vào có sn phân bo giong hàm riêng cna bien đői LCT vói tham so {a1 , b1 , c1 , d1 , } ta se giai thích đưoc nguyên nhân tao anh h¾ quang HQc Tuy nhiên, hắ quang HQc, chi xột đ ỏnh sỏng, bo qua hi¾u so co giãn, tù Tính chat 3.1.1 tat ca hàm riêng cna LCT vói tham so {a, b, c, d, } thoa mãn a1 : b1 = a2 : b2 có the giai thích hi¾n tưong tao anh Vì v¾y, giai thích hi¾n tưong tao anh cna mđt hắ quang HQc ta se a thu¾t tốn sau 1.Tìm tham so {a1, b1, c1, d1, } cna LCT tù bieu dien h¾ quang HQc 2.Neu xét hi¾u so co giãn i) CHQN a = a1, b = b1 ii) d ∈ (−∞, +∞), c =b ad−1 Do đó, tat ca tham so {a, b, c, d, } cna LCT thoa mãn a = a1, b = b1 có the tìm đưoc Tù đó, ta có the giai thích hi¾n tưong tao anh 3.Neu bo qua hi¾u so co giãn i) CHQN a = a1 , b = b1 σ σ ii) d ∈ (−∞, +∞), c = ad−1 b tìm tat ca hàm riêng cna LCT vói tham so {a, b, c, d, } cna LCT thoa mãn a = a1 σ ,b= σ b1 iii) σ ∈ (−∞, +∞) làm lai i) ii) Như v¾y, ta có the tìm đưoc tat ca tham so {a, b, c, d, } cna LCT thoa mãn a : b = a1 : b1 Hàm riêng cna LCT vói tham so {a, b, c, d, } tìm đưoc o có the giai thích hi¾n tưong tao anh bo qua hi¾u so co giãn ty so co giãn (ty so σ thoa mãn |f0 (t)| = τ.|fi (σ.t)| o fi (t) đau vào f0 (t) đau ra) σ= a1 a = b1 b Ta đưa ví du sau Cho h¾ quang HQc gom hai thau kính Hình 3.1: H¾ quang HQc vói hai thau kính m®t mơi trưịng suot Ma tr¾n bieu dien h¾ boi bien đői LCT vói tham so sau:    0 1 zλ   z  − 2π f2λ  π  −2π f1λ −  = f  zλ 2z −2fπ1 λ − 2fπ2λ +2πz 1− f 1f 2λ f2 Khi đó, tat ca hàm riêng cna LCT vói tham so {a, b, c, d, }  z zλ a:b=1− : f , 2π se giai thích hi¾n tưong tao anh quang HQc vói ty so co giãn σ =1 −a Khi a −= f z z f1 = , zλ 2πb zλ b= , 2π (3.2) σ = hàm riêng cna LCT trưịng hop se giai hi¾n tưong tao anh bo qua hi¾u so co giãn Sau ta se thao lu¾n trưịng hop σ = bo qua hi¾u so co giãn Trưóc tiên ta cHQN a b công thúc (3.2) Giá tr% cna a + d xác đ%nh tù hàm riêng cna bien đői LCT Tù d có the giá tr% bat kỳ z a+d= − + d, f1 giá tr% bat kỳ Giá tr% d ∈ (−∞, +∞) ta có the tìm đau vào hop lý đe giai thích hi¾n tưong tao anh h¾ quang HQc bo qua hi¾u so co giãn Trưịng hop d = −3 + f z , (a + d = −2) (gia su z ƒ= 2f1 ) Trong trưịng hop này, đe giai thích hi¾n tưong tao anh, ta xác đ%nh hàm φ(t) ∫ sau φ(t) = ei.π((−2+z/f1 )/zλ)t2 o ∞ Σ g(t) = −∞ ∞ ei(t−x)2/2ρ g(x)dx, 2n C cos 2πt + hΣ, n=0 n ho¾c z λ ∞ g(t) = Σ C sin 2πt.2n + hΣ, n n=0 vói ρ Cn tùy ý, ™ h < z λ z λ Ta có the cHQN ρ = φ(t) = A.ei.π((−2+z/f1 )/zλ)t2 g(t) f f Trưòng hop −3 + z < d < +z , a + d < 2) Trong1trưòng hop1này, tù muc 2.2, ta chi hàm φ(t) sau: Σ t Hm σ −(iτ + φ m(t) = exp 1)t2 Σ 2σ2 (σ,τ) Trưòng fhop d = + z , (a + d = 2) Trong trưòng hop này, đe giai thích hi¾n tưong tao anh, ta xác đ%nh hàm sau ∫ φ(t) = ei(π/f1λ)t2 ∞ ei((t−x) /2ρ) g(x)dx, −∞ o ∞ Σ g(t) =Σ C exp i2πt 2n + h + ∞ D n=0 n Σ m zλ 2m exp − i2πt + hΣ, m=0 z λ 0™h< zλ ρ, Cn, Dm tùy ý Ta có the cHQN ρ = φ(t) = ei.π.t2/f1λ.g(t) Vì v¾y, đe giai thích hi¾n tưong tao anh h¾ quang HQc có nhieu anh đau vào, ý rang thau kính (tiêu cn f2 ) khơng anh hưong hi¾n tưong tao anh, ta có the dùng phương pháp tương tn thay đői giá tr% b, d khoang (−∞, +∞) đe tìm đau vào mà có the giai thích hi¾n tưong tao anh xét hi¾u so co giãn (−2 < KET LU¾N Lu¾n văn giai quyet oc cỏc cụng viắc chớnh sau: ã %nh ngha bien đői tac tuyen tính LCT , bien đői Fourier, bien đői Fourier phân thú, bien đői Fresnel, m®t so ket qua xây dnng đưoc ve hàm riêng cna LCT • Chi hàm riêng giá tr% riêng cna bien đői LCT trưòng hop |a + d| ã Giai thớch hiắn tưong tao anh quang HQc dna so ket qua thu đưoc tù hàm riêng cna bien đői LCT Tuy nhiên, thịi gian thnc hi¾n lu¾n văn khơng nhieu kien thúc cịn han che nên lu¾n văn khơng tránh khoi nhung thieu sót Em rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna thay ban ĐQc đe lu¾n văn hồn chinh Tài li¾u tham khao [1]K B Wolf, Integral transforms in science and engineering, in Canonical Transform New York: Plenum, 1979, ch.9 [2]S Abe and J T Sheridan, Optical operations on wave functions as the Abelian subgroups of the special affine Fourier transformation, Opt.Lett, vol 19, no 22, pp 1801-1803, 1994 [3]L M Bernardo, ABCD matrix formalism of fractional Fourier optics, Opt Eng., vol 35, no 3, pp 732-740 Mar 1996 [4]S Abe and J T Sheridan, Almost Fourier and almost Fresnel transformation,Opt.Commun.,vol.113, pp 385-388, 1995 [5]M Moshinsky and C Quesne, Linear canonical transformations and their unitary representation, J Math Phys., vol 12, no 8, pp 1772-1783, Aug 1971 [6]S A Collins, Lens-system diffraction integral written in terms of matric optics, J Opt Soc Amer., vol 60, pp 1168-1177, Sept 1970 [7]V Namias, The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics, J.Inst Math Appl., vol 25, pp 241-265, 1980 [8]L B Almeida, The fractional Fourier transform and time-frequency representations, IEES Trans Signal Processing, vol 42, pp 3084-3091, Nov 1994 [9]H M Ozaktas, M A Kutay, and Z Zalevsky, The fractional Fourier transform with applications in optics and processing, New York: Wiley, 2000 [10]J W Goodman, Introduction to Fourier optics, 2nd ed New York: McGraw- Hill, 1988 [11]S C Pei and J J Ding Eigenfuntions of the canonical transform and selfimaging problems in optical system, in Proc IEE Int Conf Acoust., Speech, Signal Process., Istanbul, Turkey, June 2000, pp 73-76 [12]D F V James and G S Agarwal, The generalized Fresnel transform and its applications to optics, Opt Commun., vol 126, pp 207-212, May, 1996 [13]M J Bastiaans, Wigner distribution funtion and its application to firstorder optics, J Opt Soc Amer., vol 69, pp 1710-1716, 1979 [14]M Nazarathy and J Shamir, First-order optics–A canonical operator representation: Lossless system, J Opt Soc Amer., vol 72, pp 356-364, 1982 [15]M J Bastiaans, Propagation laws for the second-order moments of the Wigner distribution funtion in first-order optical systems, Optik, vol 82, pp 173-181, 1989 [16]J T Winthrop and C R Worthington, Theory of Fresenel images Plane periodic objects in monochromatic light, J Opt Soc Amer., vol 55, pp 373- 381, 1965 [17]K Paiorski, The self-imaging phenomenon and its applications, in Progess in optics, E Wolf, Ed Amsterdam, The Netherlands: North-Holland, 1989, pt 1, vol 27 [18]W Zhao and R M Rao, Discrete-time, continuous-dilation construction of self-similar signals and linear scale-invariant systems, to be published [19]G W Wornell, Signal processing with Fractals, Upper Saddler River, NJ: Prentice-Hall, 1996 [20]R N Bracewell, The Fourier integal and its applications, 3rd ed Bonston, MA: McGraw-Hill, 2000 [21]T Alieva and A M Barbe, Self-fractional Fourier funtions and selection of modes, J Phys A: Math Gen, vol 30, pp 211-215,1997 [22]—– Self-imaging in fractional Fourier transform systems, Opt Commun., vol 152, pp 11-15, June 1998 [23]S G Lipson and H Lipson, Optical physics, 2nd ed Cambridge, U K Cambridge Univ, Press, 1981, pp 190-192 [24]S J Leon, Linear algebra with applications, 4th ed Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1994 [25]T Alieva and M J Bastiassns, Powers of transfer matrices determined by means of eigenfuntions, J Opt Soc Amer A, vol 16, no 10, pp 24132418, Oct, 1999 [26]H Hamam and J L de Bougrenet de la Tocnaye, Programmable joint fractional Talbot computer-generated holograms, J Opt Soc Amer., vol 12, no 2, pp 314-324, Feb 1995 [27]A W Lohmann, An arry illuminator based on the Talbot effect, Optik, vol 79, pp 41-45, 1998 [28]J Leger and G J Swanson, Efficient arry illuminator using binary-optics phase plates as fractional Talbot planes, Opt Lett., vol 15, pp 288-290, 1990 [29]T Aliva and F Agullo-Lopez, Imaging in first-order optical systems, J Opt Soc, Amer A, vol 13, no 12, pp 2375-2380, Dec 1996 ... tốn tao anh Các ket qua cna lu¾n văn dna báo "Eigenfuntions of linear canonical transform" cna tác gia Soo-Chang Pie Jian-Jiun Ding Tuy có nhieu co gang thịi gian thnc hi¾n lu¾n văn khơng nhieu,... em hồn thành lu¾n văn tot nhat Nhân d%p em xin đưoc gui lịi cam ơn chân thành tói gia đình, ban bè ln bên em, cő vũ, đ®ng viên, giúp đõ em suot q trình hQc t¾p thnc hi¾n lu¾n văn Em xin chân thành... hang so phu thu®c vào α giá tr% cna σ, τ, α lan lưot σ2 = √ 2b − (a + d)2 a−d τ = √ − (a + d)2 , , (1.15) α = cos−1 a+d Σ Tham so ban đau có the bieu dien boi {a, b, c, d} bieu dien boi {σ, τ,