THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Nguyen Th% Hương RE NHÁNH VÀ VÀI ÚNG DUNG CHO CÁC Hfi PHANG LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - Năm 2020 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Nguyen Th% Hương RE NHÁNH VÀ VÀI ÚNG DUNG CHO CÁC Hfi PHANG Chun ngành: Tốn giai tích Mã so: 8460101.02 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC TS LÊ HUY TIEN Hà N®i - Năm 2020 LèI CAM ƠN Em xin bày to lòng biet ơn sâu sac nhat tói TS Lê Huy Tien, ngưịi đ%nh hưóng cHQN đe tài t¾n tình hưóng dan đe em hồn thành lu¾n văn Em xin bày to lịng biet ơn chân thành tói khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Đai HQc Khoa HQ c Tn Nhiên, Đai HQ c Quoc Gia Hà N®i Cam ơn thay giáo tao MQI đieu ki¾n thu¾n loi cho em suot q trình HQc t¾p hồn thành lu¾n văn cao HQc Em xin đưoc gui lịi cam ơn chân thành tói gia đình, ban bè, ngưịi thân ln đ®ng viên, cő vũ em quỏ trỡnh HQc H Nđi, ngy 23 thỏng 02 năm 2020 HQc viên Nguyen Th% Hương i Mnc lnc Lài cam ơn i Lài nói đau Bang thu¾t ngE ký hi¾u Danh sách hình KIEN THÚC CHUAN B± VÀ VÍ DU RE NHÁNH CUA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 1.1 Hình dung ban đau ve re nhánh 1.1.1 Ví du re nhánh phương trình đai so 1.1.2 Ví du re nhánh phương trình vi phân .7 1.2 Kien thúc chuan b% 1.3 Vài ví du re nhánh cna phương trình sai phân m®t chieu 12 SU TON TAI RE NHÁNH CUA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN M®T CHIEU 21 2.1 Thác trien đ%a phương .21 2.2 Re nhánh nút-yên ngna 23 2.3 Re nhánh dĩa re nhánh xuyên tói han 25 2.4 Re nhánh nhân đôi chu kỳ 26 2.5 Dang chuan tac cna re nhánh .27 2.5.1 Dang chuan tac cna re nhánh nút yên-ngna 27 2.5.2 Dang chuan tac cna re nhánh xuyên tói han .28 2.5.3 Dang chuan tac cna re nhánh dĩa 29 2.5.4 Re nhánh nhân đôi chu kỳ 30 RE NHÁNH TRONG Hfi PHANG 3.1 Re nhánh ánh xa co di¾n tích 3.2 Re nhánh ánh xa bao tồn di¾n tích 32 32 36 Ket lu¾n 41 Tài li¾u tham khao 42 LèI NĨI AU Trong hắ đng lnc, re nhỏnh l khỏi niắm ngưoc vói on đ%nh Khái ni¾m re nhánh lan đau tiên đưoc giói thi¾u boi Henri Poincaré vào năm 1885, sau đưoc nhà tốn HQc nghiên cúu sâu r®ng, chang han [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], Lý thuyet re nhánh nghiên cúu toán HQc ve nhung thay đői búc tranh pha cna nghi¾m phương trình sai phân, nghi¾m phương trình vi phân h¾ phương trình vi phân Re nhánh xay thay đői nho giỏ tr% tham so cna mđt hắ đng lnc gây sn thay đői đ®t ng®t búc tranh pha Re nhánh đưoc chia làm hai loai • Re nhánh đ%a phương xay thay đői tham so làm cho búc tranh pha xung quanh điem cân bang hoắc iem tuan hon thay i ã Re nhỏnh toàn cuc xay thay đői tham so làm cho búc tranh pha tồn cuc thay đői Trong lu¾n văn này, tác gia nghiên cúu m®t so re nhánh đ%a phương sau 1.Re nhánh nút-yên ngna (saddle-node) 2.Re nhánh xuyên tói han (transcritical) 3.Re nhánh dĩa (pitchfork) Re nhánh nhân đơi chu kỳ (period doubling) Lu¾n văn gom phan mo đau, ba chương, phan ket lu¾n danh muc tài li¾u tham khao Chương Các ví dn re nhánh cua phương trình sai phân m®t chieu Trong chương tác gia se trình bày lai nhung kien thúc liên quan đen sn re nhánh cna phương trình sai phân cu the đ%nh nghĩa điem bat đ®ng, điem tuan hồn, điem őn đ%nh (hút), điem khơng őn đ%nh (đay) Sau đó, ví du re nhánh nói đưoc tính tốn chi tiet minh HQA hình HQc Chương SE ton tai re nhánh cua phương trình sai phân m®t chieu Muc đích cna chương trình bày đ%nh lý ton tai re nhánh nút-yên ngna, re nhánh xuyên tói han, re nhánh dĩa, re nhánh nhân đôi chu kỳ Chương Re nhánh h¾ phang Trong chương tác gia đưa m®t so ví du ve re nhánh h¾ hai chieu, nhan manh vào tính co diắn tớch v tớnh bao ton diắn tớch Nđi dung lu¾n văn chn yeu tham khao tù cuon sách [2] Lu¾n văn chi xét re nhánh cna h¾ rịi rac, túc phương trình sai phân Hà N®i, ngày 23 tháng 02 năm 2020 HQC viên Nguyen Th% Hương BANG THU¾T NGU VÀ KÝ HIfiU [1] Tài li¾u so o muc "Tài li¾u tham khao" N Z Q, R T¾p hop so tn nhiên Vành so nguyên Trưòng so huu ty, so thnc (tương úng) Môđun suy bien cna môđun M re nhánh nút-yên ngna re nhánh dĩa re nhánh xuyên tói Z(M ) saddle-node bifurcation pitchfork bifurcation transcritical bifurcation han period doubling bifurcation re nhánh nhân đơi chu kỳ Danh sách hình 1.1 Búc tranh pha h¾ phương trình vi phân 1.2 Điem yên ngna 1.3 Sơ đo bưóc cau thang cna g(x) = 2x(1 − x) 1.4 (a) a = −1, (b) a = −0.25, (c) a = 0.5 1.5 Lưoc đo re nhánh nút-yên ngna (a) a = (b) a = 0.75, (c) a = 1.6 0.5, (a) a = (b) a = 0.75, (c) a = 1.7 0.5, 1.8 Lưoc đo re nhánh 1.9 (a) ρ = 1, (b) ρ = 1.5, (c) ρ = 2.8 1.10 Lưoc đo re nhánh 1.11 (a) a = −2; (b) a = −1; (c) a = 1.12 Lưoc đo re nhánh dĩa 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 11 12 13 14 15 15 16 18 19 20 20 Đo th% f vói điem bat đ®ng hyperbolic .22 Lưoc đo re nhánh nút yên-ngna 25 HQ ban đo có đao hàm xuyên qua 26 Re nhánh nút-yên ngna 28 Re nhánh xuyên tói han .29 Re nhánh dĩa 30 3.1 Re nhánh nút-yên ngna h¾ phang 33 3.2 (a) b = −0.9, (b) b = −1.1, (c) a = −1.0 39 3.3 Giá tr% riêng phúc cna điem bat đ®ng elliptic .40 Chương KIEN THÚC CHUAN B± VÀ VÍ DU RE NHÁNH CUA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Trong chương se nhac lai nhung kien thúc liên quan đen sn re nhánh cna phương trình sai phân Cu the ta đ%nh nghĩa điem bat đ®ng, điem tuan hồn, điem őn đ%nh (hút), điem khơng őn đ%nh (đay) đieu ki¾n liên quan phuc vu cho Chương Chương Sau m®t so ví du ve re nhánh đưoc tính tốn minh HQA cu the 1.1 Hình dung ban đau ve re nhánh Hi¾n tưong re nhánh xay nhieu lĩnh vnc khác nhau: toán HQc, sinh HQc, v¾t lý, hóa HQ c, kinh te, Câu hoi đau tiên: The hi¾n tưang re nhánh? N®i dung phan tham khao tù tài li¾u [1] chu kỳ giá tr% riêng e1 qua −1 M®t nhánh cna điem bat đ®ng hút thay đői thành m®t nhánh yên ngna hai nhánh cna điem tuan hồn chu kỳ Hình 3.1: Re nhánh nút-yên ngna h¾ phang Trong h¾ phang vi¾c mơ ta re nhánh nút n-ngna re nhánh nhân đôi chu kỳ rat phúc tap Boi thnc te điem bat đ®ng điem tuan hồn có hai hưóng: hưóng co hưóng giãn M¾c dù o ví du ta vùa xét tính chat cna giá tr% riêng rõ ràng trưịng hop đ¾c bi¾t có giá tr% riêng nho tai tat ca điem, ho¾c lón tai tat ca điem Đoi vói ban đo v¾y, loai re nhánh có the xay giói han có the nhìn thay đo th% m®t chieu Đo th% co diắn tớch l mđt lúp quan TRQNG hắ đng lnc HQc Đ%nh nghĩa 3.1.2 Cho f ánh xa trơn R2 Df (v) ma tr¾n Jacobi cua f vái v ∈ R2 Khi đó, f đưac GQI co di¾n tích neu |detDf (v)| < vái MQI v ∈ R2 Tương tn, f đưac GQI bao tồn di¾n tích neu |detDf (v)| = vái MQI v ∈ R2 Chúng ta se giai thích thêm ý nghĩa cna tên GQI "co di¾n tích" "bao tồn di¾n tích" Trong phép tính tích phân, muon đői bien tích phân hai lóp tù (x, y) sang (u, v) cna hàm f = (f1 , f2 ) theo công thúc x = x(u, v) y = y(u, v) Ta có cơng thúc đői bien sau ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x(u, v), y(u, v)) |J| dudv G f1 ∂∂u J = detDf (v) = ∂ f2 ∂u ∂ f1 ∂v ∂ f2 ∂v Khi f (x, y) ≡ thỡ ta cú ã G dxdy chớnh l diắn tớch SG cna mien G hắ TQA đ (x, y); ã dudv chớnh l diắn tớch S cna mien hắ TQA đ (u, v); ã ∫∫ dxdy = ∫∫ |J| dudv Ω G Như v¾y, so Jacobi |J| = |detDf (v)| xác đ%nh sn thay i vi phõn diắn tớch tự mien TQA đ (x, y) sang mien tương úng TQA đ® (u, v) Neu S mien R2 Area(f (S)) = ∫ ∫ |detDf (v)|dS S Ví dn 3.1.2 Cho đo th% xn+1 = ayn + xn − x2 n, yn+1 = xn vói |a| < Điem bat đ®ng cna f (a, x, y) = ay + x − x2 vói y = x thoa mãn x = ay + x − x2, y = x • Neu a = đo th% f cú mđt iem bat đng (0, 0) ã Neu a ƒ= 0, đo th% f có điem bat đ®ng (x1, y1) = (0, 0) (x2, y2) = (a, a) Ma tr¾n Jacobi cna f ∂ (ay + x − x2) ∂ (ay + x − x2) Σ ∂x Df (x, y) = Σ ∂ (x) ∂ x ∂y ∂ = − 2x a Đ¾t Df (x1 , y1 )= a (x Df , ) = − 2a Σ y2 a Tai điem bat đ®ng (x1, y1) giá tr% riêng đưoc tính theo bieu thúc λ a λI − Df (x , y ) − = 1 = λ −1 Tai điem bat đ®ng (x1, y1) có giá tr% riêng √ + + 4a λ1 = , 2 −λ−a= √ − + 4a λ2 = Tai điem bat đ®ng (x2, y2) giá tr% riêng đưoc tính theo bieu thúc λ + 2a a λI − Df (x , y ) − = − (1 − 2a)λ − a = 2 = λ −1 Tai điem bat đ®ng (x2, y2) có giá tr% riêng λ3 = Khi a ∈ 0, (x √ √ 2a + + 4a2 − , λ4 = √ − 2a − + Σ, λ1 > λ2 < điem bat đ®ng √ 4a2 1, y1) không őn đ%nh Ta có + 4a2 < + 4a + 4a2 = + 2a Do λ3 = − √ 2a + + 4a2 − 2a + (1 + 2a) =1 < λ4 < V¾y (x2, y2) = (a, a) őn đ%nh 1Σ∈ Khi a −, , ta có √ 1+ 4a2 √ > + 4a + 4a2 = + 2a V¾y λ1 < λ2 < 1, (x1, y1) = (0, 0) điem őn đ%nh Còn λ3 > λ4 < 1, (x2 , y2 ) = (a, a) không őn đ%nh Ta thay sn őn đ%nh cna điem bat đ®ng thay đői thay đői tham so a Do xay hi¾n tưong re nhánh xuyên tói han Ánh xa f co di¾n tích vói MQi v ∈ R2 ta ln có |detDf (v)| = |a| < Cho p quy đao tuan hoàn chu kỳ k Ta GQI giá tr% riêng cna Dv f k (p) giá tr% riêng cna p Gia su đo th% cna Dv f k (p) có giá tr% riêng e1 e2 Khi đó, đo th% co di¾n tích neu |e1 e2 | < 1, túc nhat m®t nhung giá tr% riêng cna {e1 , e2 } phai nam vịng trịn đơn v% m¾t phang phúc Do gia thuyet co di¾n tích han che loai quy đao tuan hồn có the xay Khi có loai cna quy đao hyperbolic: điem hút (2 giá tr% riêng nam đưòng tròn đơn v%) yên có giá tr% riêng lón ho¾c nho −1 Đoi vói quy đao khơng hyperbolic chi có dang: quy đao cna m®t giá tr% riêng bang +1 quy đao cna m®t giá tr% riêng bang −1 3.2 Re nhánh ánh xa bao tồn di¾n tích Trong phan trưóc thay rang, re nhánh xay điem bat đng hoắc iem tuan hon cú ao hm hoắc mđt giá tr% riêng có mơdun bang Vói HQ ánh xa mđt chieu, re nhỏnh nỳt-yờn ngna hoắc re nhỏnh nhân đơi chu kỳ có the xay đao hàm ho¾c −1 Vói hQ đo th% có so chieu ho¾c lón hơn, re nhánh xay điem bat đ®ng có giá tr% riêng có mơdun bang Thnc te re nhánh cna điem bat đ®ng chu kỳ k chi có the xay mđt nghiắm nguyờn thỳ k cna phan tu n v% m®t giá tr% riêng Trong HQ đo th% m®t chieu đieu có nghĩa k = ho¾c k = 2, tương tn nguyên tac đưoc áp dung trưịng hop co di¾n tích h¾ phang Neu bo gia thuyet co di¾n tích re nhánh cna quy đao chu kỳ cao (k > 2) có the xay đoi vói HQ hai chieu Neu khơng bo gia thuyet co di¾n tích ma tr¾n Jacobi phai ma tr¾n đoi xúng đ¾c bi¾t ho¾c b% giói han (giong trưịng hop bao tồn di¾n tích) Đe tìm hieu re nhánh chu kỳ xay nào, bat đau vói ví du sau a a a a 2 Ví dn 3.1.2 Cho đo th% f (x, y) = x − √ y, √ x + y Σ vói a > MQI x, y ∈ R a Ma tr¾n Jacobi cna fa √ ∂ ∂x (x, y) = ∂ Σ a a x y − 2 Σ √ x − √ yΣ a a a ∂y √ √ a 2 √2 D ∂ a = a a a ∂ a a Σ f x+ y x+ y 2 ∂ ∂ 2 2 x y Ta có |detDha (v)| = a2 vói MQI v ∈ R2 Điem bat đ®ng cna fa (x, y) thoa mãn a a √ a x= x− y, 2 a a √ y= x + y 2 (a) = a − i √ Σ Đo th% fa (x, y) có điem bat đ®ng (0, 0) vói MQI a Giá tr% riêng cna ma tr¾n Df e (a) = a + i √ Σ e a 2 2 Khi xay trưịng hop sau • Vói < a < 1, đưịng giá tr% riêng e1(a) e2(a) bat đau đưòng tròn đơn v% qua đưòng tròn đơn v% Điem bat đ®ng (0, 0) điem hút đo th% l co diắn tớch ã Vúi a = 1, đo th% xoay tat ca vecto khác không qua m®t π Điem góc bat đ®ng (0, 0) điem bat đ®ng elliptic tat ca điem bat đ®ng điem tuan hồn chu kỳ Đo th% l bao ton diắn tớch ã Vúi a > 1, điem bat đ®ng (0, 0) điem đay đo th% giãn di¾n tích Đoi vói HQ đo th% phi tuyen tính fa giá tr% riêng cna Dfa chìa khóa đe phát hi¾n thay đői ve đ® őn đ%nh cna điem bat đ®ng dan đen xay re nhánh Đe xác đ%nh v% trí re nhánh cna quy đao tuan hoàn k DQc theo đưịng cna điem bat đ®ng, tìm điem tai đưịng e(a) cna giá tr% riêng qua vịng trịn đơn v% tai nghi¾m thú k cna đơn v% Neu de đưòng e(a) qua vịng trịn đơn v% vói v¾n toc khác khơng (neu ƒ= 0), d a m®t đưịng cong khép kín bat bien se tách khoi đưòng cna điem bat đ®ng Trong ví du 3.1.3 tìm hieu m®t re nhánh HQ Hénon đo th% chuyen tù co di¾n tích sang giãn di¾n tích Ví dn 3.1.3 Cho đo th% hb(x, y) = (−0.75 − x2 + by, x) Ma tr¾n Jacobi cna hb b ∂ (−0.75 − x2 + by) ∂ (−0.75 − x2 + by) Σ ∂x Dh (x, y) = ∂ (x) ∂ x ∂y ∂ (x) ∂ y = −2x b Ta thay |detDhb| = | − b|, xay trưịng hop sau • Vói |b| < đo th% l co diắn tớch ã Vúi b = o th% l bao ton diắn tớch, cú iem bat đng elliptic −1 −1 √ , Σ vói giá tr% riêng e± = ± i (2 nghi¾m thú cna đơn v%) 2 2 • Vói |b| > đo th% giãn di¾n tích • Vói b = đo th% bao tồn di¾n tích Hình 3.2 cho biet vùng lân c¾n cna điem bat đ®ng b tăng tù −0.9 đen −1.1 Điem bat đ®ng chuyen tù hút (Hình 3.2(a)) sang đay (Hình 3.2(b)) Hình 3.2(a) đo th% co di¾n tích có m®t điem bat đ®ng hút Các đa tap őn đ%nh đa tap khơng őn đ%nh cna m®t điem n ngna gan đưoc mơ ta M®t nhánh cna đa tap không őn đ%nh xoan oc vào điem hút Hình 3.2(b) đo th% giãn di¾n tích có m®t điem bat đ®ng đay, đa tap őn đ%nh cna m®t điem n ngna xoan oc ngồi điem đay Hình 3.2(c) đo th% bao tồn di¾n tích có điem bat đ®ng elliptic, đa tap őn đ%nh đa tap khơng őn đ%nh cna m®t điem n ngna giao qua vô han điem đong nghiêng Hình 3.2: (a) b = −0.9, (b) b = −1.1, (c) a = −1.0 Ví dn 3.1.4 Cho đo th% ha(x, y) = (a − x2 − y, x) Ma tr¾n Jacobi cna h Dha ∂ (a − x2 − y) ∂x (x, y) = ∂ ∂y ∂ (x) ∂x (a − x2 − y) ∂ ∂y (x) = Σ −2x −1 Ta có |detDha (v)| = vói MQI v ∈ R2 Do đo th% bao tồn di¾n tích vói MQI a Điem bat đ®ng cna h(a, x, y) = a − x2 − y vói y = x thoa mãn x = a − x2 − y, y = x • Neu a < −1, đo th% h khơng có iem bat đng ã Neu a = 1, o th% h có m®t điem bat đ®ng (−1, −1) có giá tr% riêng λ1 = λ2 = Khi xay re nhánh nút-yên ngna √ √ • Neu −1 < a < 3, đo th% h có điem bat đ®ng (−1 − + a, −1 − + a) √ √ điem yên ngna (−1 + + a, −1 + + a) điem elliptic giá tr% riêng cna điem bat đ®ng elliptic b% giói han vịng trịn đơn v% m¾t phang phúc Vì v¾y, có hai đưịng di chuyen cna giá tr% riêng, m®t di chuyen DQc theo đinh (phan ao dương) m®t di chuyen DQc phía dưói (phan ao âm) đưoc mơ ta Hình 3.3 ã Neu a=3, iem bat đng (1, 1) cú giá tr% riêng λ1 = λ2 = −1, xay re nhánh nhân đơi chu kỳ Hình 3.3: Giá tr% riêng phúc cna điem bat đ®ng elliptic KET LU¾N Đóng góp cna lu¾n văn bao gom: Trình bày lai nhung khái ni¾m ban, tính tốn chi tiet minh HQA hình HQc m®t so ví du ve re nhánh cna phương trình sai phân m®t chieu Trình bày đ%nh lý ve re nhánh nút-yên ngna, re nhánh xuyên tói han, re nhánh dĩa, re nhánh nhân đơi chu kỳ cna phương trình sai phân m®t chieu Áp dung đ%nh lý đe xác đ%nh loai re nhánh cho dang chuan tac phương trình sai phõn mđt chieu Trỡnh by re nhỏnh hắ phang ví du đưoc tính tốn chi tiet M¾c dù co gang, nhiên lu¾n văn khơng tránh khoi nhung sai sót, rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna q thay ban ĐQc Tài li¾u tham khao Tieng Vi¾t [1]Lê Huy Tien (2019), Bi giang hắ đng lnc (ang viet), H Nđi Tieng Anh [2]K T Alligood, T D Sauer, James A Yorke (1996), An introduction to dynamical systems, Jounal of Artist Rights Socienty, New York [3]D K Arrowsmith, C M Place (1990), An introduction to dynamical systems, Cambridge University Press [4]W E Boyce, R C Diprima, D B Meade (2017), Elementary differential equations and boundary value problems, John Wiley Sons, Inc [5]A Dawes, Bifurcation theory for discrete time systems, http://www.math.ualberta.ca/~atdawes/m371_2010/discrete _ bifurcation.pdf [6]J Guckenheimer, P Holmes (1983), Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields, Springer-Verlag, New York [7]J K Hale, H Kocak, (1991) Dynamics and bifurcations, Springer-Verlag, New York [8]J H Hubbard, B H West,(1995) Differential equations: a dynamical systems approach: higher-dimensional Systems, Springer-Verlag, New York [9]Y A Kuznetsov, (2004) Elements of applied bifurcation theory, SpringerVerlag, New York [10]L Perko (2006), Differential equations and dynamical systems, SpringerVerlag, New York [11]S H Strogatz, (2018), Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology, chemistry, and engineering, CRC Press Taylor & Francis Group [12]S Wiggins, (2003), Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos, Springer-Verlag, New York ... ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Nguyen Th% Hương RE NHÁNH VÀ VÀI ÚNG DUNG CHO CÁC Hfi PHANG Chuyên ngành: Toán giai tích Mã so: 8460101.02 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC TS LÊ HUY... = 2x(1 − x) 1.3 Vài ví dn re nhánh cua phương trình sai phân m®t chieu Trong muc se tính tốn minh hQa hình HQc re nhánh nút-yên ngna, re nhánh nhân đôi chu kỳ, re nhánh dĩa, re nhánh xun tói han... tai re nhánh cua phương trình sai phân m®t chieu Muc đích cna chương trình bày đ%nh lý ton tai re nhánh nút-yên ngna, re nhánh xun tói han, re nhánh dĩa, re nhánh nhân đơi chu kỳ Chương Re nhánh
Ngày đăng: 24/12/2021, 20:13
Xem thêm: