Thông tin tài liệu
ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Nguyen Thanh Hai RE NHÁNH HOPF VÀ NH Lí TM LYAPUNOV LUÔN VN THAC S KHOA HOC Hà N®i - 2020 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Nguyen Thanh Hai RE NHÁNH HOPF VÀ бNH LÝ TÂM LYAPUNOV Chuyên ngnh: Toỏn giai tớch Mó so: 8460101.02 LUÔN VN THAC SĨ KHOA HOC NGƯDI HƯDNG DAN KHOA HOC TS LÊ HUY TIEN Hà N®i - 2020 LèI CAM ƠN Trưóc trỡnh by nđi dung chớnh cna luắn vn, em xin bày to lịng biet ơn sâu sac nhat tói TS Lê Huy Tien - ngưịi đ%nh hưóng cHQN đe tài t¾n tình hưóng dan đe em hồn thành lu¾n văn Em xin bày to lịng biet ơn chân thành tói Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Phòng Đào tao, Đai HQc Khoa HQ c Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà N®i Cam ơn thay giáo tao MQI đieu ki¾n thu¾n loi cho em suot q trình HQc t¾p hồn thành lu¾n văn cao HQc Em xin đưoc gui lịi cam ơn chân thành tói gia đình, ban bè, ngưịi thân ln đ®ng viên, cő vũ em q trỡnh HQc H Nđi, ngy 23 thỏng 05 nm 2020 HQc viên Nguyen Thanh Hai iii Mnc lnc Lài cam ơn i Lài nói đau Danh sách hình KIEN THÚC CHUAN B± VÀ VÍ DU RE NHÁNH CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.1 Kien thúc chuan b% 1.2 Các ví du re nhánh cna phương trình vi phân m®t chieu 1.3 Các ví du re nhánh cna phương trình vi phân hai chieu 14 SU 18 2.1 2.2 2.3 2.4 TON TAI RE NHÁNH CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN SU 3.1 3.2 3.3 BAO TOÀN TÂM LYAPUNOV 33 Tâm Lyapunov 33 H¾ vi phân Hamilton 35 Tâm Lyapunov sn bao toàn .36 Re nhánh nút-yên ngna 18 Re nhánh xuyên tói han .21 Re nhánh dĩa 24 Re nhánh Hopf .27 Ket lu¾n 41 Tài li¾u tham khao 42 LèI NểI AU Trong hắ đng lnc, re nhỏnh l khỏi ni¾m ngưoc vói on đ%nh Khái ni¾m re nhánh lan đau tiên đưoc giói thi¾u boi Henri Poincaré vào năm 1885, sau đưoc nhà tốn HQc nghiên cúu sâu r®ng, chang han [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], Lý thuyet re nhánh nghiên cúu toán HQc ve nhung thay đői búc tranh pha cna nghi¾m phương trình sai phân, nghi¾m phương trình vi phân h¾ phương trình vi phân Re nhánh xay thay i nho giỏ tr% tham so cna mđt hắ đng lnc gây sn thay đői đ®t ng®t búc tranh pha Re nhánh đưoc chia làm hai loai • Re nhánh đ%a phương xay thay đői tham so làm cho búc tranh pha xung quanh điem cõn bang hoắc iem tuan hon thay i ã Re nhánh toàn cuc xay neu búc tranh pha toàn cuc thay đői giá tr% tham so thay đői Trong lu¾n văn này, tác gia nghiên cúu re nhánh Hopf đ%nh lý tâm Lyapunov Lu¾n văn gom phan mo đau, ba chương, phan ket lu¾n danh muc tài li¾u tham khao Chương Các ví dn re nhánh cua phương trình vi phân Trong chương này, đau tiên ta se trình bày lai nhung kien thúc liên quan phuc vu cho vi¾c tìm hieu re nhánh phương trình vi phân Sau đó, ta tính tốn chi tiet minh HQA hình HQc m®t so loai re nhánh khơng gian m®t chieu khơng gian hai chieu Chương SE ton tai re nhánh cua phương trình vi phân Muc đích cna chương trình bày đ%nh lý ton tai re nhánh nút-yên ngna, re nhánh xuyên tói han, re nhánh dĩa, re nhánh Hopf Chương SE bao toàn tâm Lyapunov Trong chương ta se tìm hieu đ%nh nghĩa %nh lý sn ton tai tõm Lyapunov Nđi dung luắn văn chn yeu tham khao tù cuon sách [2] Lu¾n văn chi xét re nhánh cna h¾ liên tuc, túc phương trình vi phân Hà N®i, ngày 23 tháng 05 năm 2020 HQc viên Nguyen Thanh Hai Danh sách hình 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 Điem yên ngna (a) a < 0, (b) a = 0, (c) a > Lưoc đo re nhánh nút-n ngna khơng gian m®t chieu.9 (a) a < 0, (b) a = 0, (c) a > 11 Lưoc đo re nhánh dĩa khơng gian m®t chieu 11 (a) a > 0, (b) a = 0, (c) a < 12 Lưoc đo re nhánh xuyên tói han khơng gian m®t chieu 13 Búc tranh pha re nhánh nút-yên ngna không gian hai chieu .14 1.9 Lưoc đo re nhánh Hopf 15 1.10 (a) a = −0.5, (b) a = 0.5 .16 ∂ 2f (x0, µ ∂x0)2 2.1 (a) − ∂f (x0, ∂µ µ02 ) ∂f 2.2 (a) − 2.3 (a) ∂µ20f) (x0, ∂x∂µ µ03) ∂f (x0, ∂x µ20) ∂f (x0, ∂x∂µ µ0) ∂ 2f µ ∂x0)2 > 0, (b) − > 0, − (b) (x0, < 20 ∂f (x0, ∂µ µ0)2 ∂f ∂µ20f) (x0, ∂x∂µ µ03) ∂f (x0, ∂x µ20) ∂f (x0, ∂x∂µ µ0) < 24 < 26 > 0, (b) − 2.4 Điem cân bang (a, 0, 0): tù őn đ%nh ti¾m c¾n sang őn đ%nh, roi − không őn đ%nh 28 Chương KIEN THÚC CHUAN B± VÀ VÍ DU RE NHÁNH CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trong chương se nhac lai nhung kien thúc liên quan đen sn re nhánh cna phương trình vi phân Cu the ta đ%nh nghĩa điem cân bang, điem tuan hoàn, điem őn đ%nh (hút), điem khơng őn đ%nh (đay) đieu ki¾n liên quan phuc vu cho Chương Chương Sau m®t so ví du ve re nhánh khơng gian m®t chieu khơng gian hai chieu đưoc tính tốn minh HQA cu the 1.1 Kien thÉc chuan b% Xét phương trình vi phân phu thu®c tham so y J = f (a, y) = fa (y) (1.1) Trong tồn lu¾n văn, ta gia su ve phai thoa mãn đieu ki¾n cna sn ton tai nhat nghi¾m tồn cuc Ta ký hi¾u ϕa,t dịng sinh boi phương trình vi phân trên; nói cách khác x(t) = ϕa,t(x0) nghi¾m nhat cna (1.1) thoa mãn x(0) = x0 Vi¾c thay đői giá tr% tham so a tù a0 đen giá tr% a1 gan a0 se làm thay đői búc tranh pha cna nghi¾m phương trình vi phân Có hai trưịng hop xay Trưịng hop 1: búc tranh pha vói a = a1 đong phơi vói búc tranh pha vói a = a0 Tình huong ta nói a0 điem őn đ%nh (stability) Trưịng hop 2: búc tranh pha vói a = a1 khơng đong phơi vói búc tranh pha vói a = a0 Ta nói a0 điem phân nhánh hay re nhánh (bifurcation) Vói phương trình sai phân, ta chi xét khái niắm iem bat đng, iem tuan hon iem tuan hon cna ánh xa điem bat đ®ng cna m®t lũy thùa cna Điem tuan hồn chu kỳ điem bat đ®ng Tuy nhiên đoi vói phương trình vi phân, điem cân bang (nghi¾m hang) điem nam quy đao đóng (nghi¾m tuan hồn) có đ¾c tính rat khác Đ%nh nghĩa 1.1.1 Xét phương trình vi phân y J = f (y) (1.2) vái f : Rm → Rm ánh xa trơn Điem p đưac GQI điem cân bang, hay điem kỳ d% cua h¾ (1.2) neu f (p) = De thay điem cân bang cua h¾ điem bat đ®ng cua ánh xa ϕt , hay nói cách khác x(t) ≡ p nghi¾m hang cua phương trình vi phân Nghi¾m x(t) GQI nghi¾m tuan hồn neu ton tai so T > cho x(t + T ) = x(t) vái MQI t So T nhó nhat GQI chu kỳ cua nghi¾m tuan hồn x(t) Điem p đưac GQI điem tuan hồn cua h¾ (1.2) neu nam quy đao tuan hồn γ = x(t) đó, túc ton tai t0 cho p = x(t0 ) Vói ε > 0, ký hi¾u Nε(p) ε-lân c¾n cna điem p, túc Nε(p) = {x ∈ Rm : ǁx − pǁ < ε} Đ%nh nghĩa 1.1.2 Cho p điem cân bang Neu ton tai s > cho vái MQI x ∈ NG (p) mà lim ϕt(x) = p, t→+ ∞ Chương SU BAO TOÀN TÂM LYAPUNOV 3.1 Tâm Lyapunov Xét h¾ trơn xJ = F (x) vói điem cân bang x0, túc F (x0) = Chúng ta thay rang sn őn đ%nh cna điem cân bang x0 cna h¾ thưịng đưoc xác đ%nh boi ma tr¾n Jacobi Dx0 F cna trưịng véctơ trơn F Khi MQI giá tr% riêng cna ma tr¾n Jacobi đeu có phan thnc âm, v% trí cân bang x0 n %nh tiắm cắn Khi cú mđt giỏ tr% riờng có phan thnc dương, v% trí cân bang khơng őn đ%nh Van đe: Đieu se xay giá tr% riêng thuan ao (có phan thnc bang không)? Đ%nh nghĩa 3.1.1 Điem cân bang x0 đưac GQI điem tâm (hay GQN hơn, tâm) cua h¾ xJ = F (x) neu ma tr¾n Jacobi A = Dx0 F cua trưàng véctơ F chs có giá tr% riêng thuan ao σ(A) ⊂ iR Ví dn 3.1.2 Xét h¾ tuyen tính xJ = y J y = −x Ma tr¾n cua h¾ J = Σ−1 Phương trình đ¾c trưng λ2 + = 0, nên ta thu đưac giá tr% riêng λ = ±i thuan ao iR i R −i Vì v¾y, điem cân bang (0, 0) tâm Ta muon nghiên cúu trang thái cna h¾ gan vói h¾ có tâm Tù ngun lý tuyen tính hóa, ta đốn rang neu h¾ tuyen tính hóa y J = Ay có tâm 0, h¾ ban đau xJ = F (x) có tâm x0 Suy đốn nói chung sai Chúng ta trưịng hop tuyen tính Đoi vói h¾ tuyen tính hai chieu vùa xét o xJ = y y J = −x vói giá tr% riêng ±i, goc (0, 0) điem cân bang, tat ca nghi¾m x = C cos t + C sin t y = −C1 sin t + C2 quy đao tuan hồn chucos kỳ t2π: đưịng trịn đong tâm1 (0, 0) (xem hình dưói) Tên GQI tâm điem xuat phát tù ví du tiêu bieu y x Bây giị ta nhieu h¾ so cna ma tr¾n sau K = δ Σ−1 δ Ma tr¾n K có giá tr% riêng δ ± i Vói δ < 0, h¾ uJ = Ku őn đ%nh (hút) Vói δ > 0, h¾ uJ = Ku khơng őn đ%nh (đay) Như v¾y, vói δ nho khác khơng, h¾ tuyen tính uJ = Ku khơng có tâm, dù gan vói h¾ có tâm uJ = Ju Tóm lai dù h¾ tuyen tính hóa y J = Ay có tâm 0, điem cân bang x0 cna h¾ ban đau xJ = F (x) có the điem hút, ho¾c điem đay, ho¾c điem n ngna, nghĩa tâm khơng đưoc bao tồn 3.2 Hắ vi phõn Hamilton Cú mđt lúp hắ phi tuyen bao tồn tâm Lyapunov: lóp h¾ vi phân Hamilton Đ%nh nghĩa 3.2.1 Cho hàm trơn H (GQI hàm Hamilton ho¾c hàm lưang) H : R2 → R xJ = x + H¾ vi phân Hamilton cua hàm H h¾ 2xy ∂H xJ = y J = −y + ∂ y y J = −∂H ∂x Ví dn 3.2.2 Phương trình sau Hamilton (3.1) vái hàm Hamilton H(x, y) = xy + Th¾t v¾y, H J = xy + 1 y3 − xy2 + y − xy + x = y − y + x = −y J x2 Σj x x H J =y.xy + 1 y − xy + x2 Σj = x + y − 2xy = xJ y Ví dn 3.2.3 Xét h¾ vi phân cua mơ hình lac đơn khơng có ma sát ngoai lnc tác dnng xJJ + k sin x = x khoang cách góc so vái chieu thang đúng, k = g/l vái đ® dài lac l gia toc trQNG trưàng g Đ¾t y = xJ , ta có h¾ vi phân sau xJ = y Jy = − sin Các dan dat v¾t lý cho ta bieu thúc lưang cua h¾ x − cos x E(x, y) = y+ DQc theo mői quy đao γ(t) = (x(t), y(t)), ta có dE dE dx + dE dy dt dx dt dy dt = (sin x)xJ + yy J = = y sin x − y sin x = nghĩa lưang đưac bao toàn DQc theo mői quy đao Chú ý rang h¾ vi phân h¾ Hamilton vái hàm Hamilton hàm lưang E 3.3 Tâm Lyapunov sE bao ton Trong hắ Hamilton, mđt v% trớ cõn bang vói giá tr% riêng thuan ao se có mđt lõn cắn chỳa cỏc quy ao tuan hon Chỳng ta se nghiên cúu Đ%nh lý tâm Lyapunov trưịng hop hai chieu cho đơn gian khơng giam tőng quát Đ%nh lý 3.3.1 (Đ%nh lý bao toàn tõm Lyapunov) Gia su O l mđt tõm cua hắ Hamilton (3.1) ±bi giá tr% riêng đơn cua ma tr¾n Jacobi A cua trưàng véctơ tai O Thêm nua gia su rang khơng có giá tr% riêng khác cua A b®i nguyên cua bi Khi đó, mői lân c¾n U cua O chúa quy đao tuan hồn γ, chu kì cua 2π nghi¾m tien dan tái γ tien ve O b Đ%nh lý đưoc chúng minh dna vào Đ%nh lý re nhánh Hopf Đe chúng minh, ta se xây dnng m®t HQ tham so cna phương trình vi phân mà (3.1) có thành phan tai a = Sau chi rang re nhánh Hopf xay tai a = 0, khơng có thành phan vói a ƒ= có quy đao tuan hồn Kha nhat quy đao tuan hoàn bat nguon tù điem re nhánh Hopf phai xay vói a = 0, nghĩa chúng quy đao tuan hoàn xung quanh tâm Chúng minh • Bưóc Tù (3.1) ta suy H J (v) = 0, tai v(x, y) ∂H dx ∂H dy H J (v) = ∂x dt + ∂y dt Do đó, Halmiton H hang so DQc theo nghi¾m Tőng quát: H ∈ R2n suy (x1, , xn; y1, , yn) ∈ R2n Khi đó, hai phương trình cna (3.1) tro thành h¾ 2n phương trình dxi d ti d = y = − dt ∂H , ∂y i ∂H ∂x , i = 1, n i = 1, n i Bây giò, gia su Hamilton thoa mãn giai thiet hai chieu Đ%nh lý tâm Lyapunov; goc O cân bang ±bi giá tr% riêng cna ma trắn Jacobi tai O Nhỳng hắ Hamilton vo mđt HQ tham so cna phương trình vi phân xJ = ∂x ∂y ∂ H ∂ H ∂H ∂H J a +y = a − ∂y ∂x vói a tham so vơ hưóng (a ∈ R) Khi a = 0, (3.2) tro thành (3.1) • Bưóc (3.2) Chi {(a, O) : a ∈ R} m®t đưịng cân bang Ta có MQI điem cân bang thoa mãn ∂H (x, y) = ∂ y (x, y) = ∂H ∂x Do O tâm Lyapunov cna (3.1) nên ∂H (0, 0) = ∂ y (0, 0)= ∂H ∂x Suy O = (0, 0) điem cân bang vói MQI a ∂H ∂x J = Su dung kí hi¾u ∂H gradH = ∂y dưói dang ma tr¾n dang −1 Σ, ta có the viet (3.2) v J = (aI + J )gradH(v) • Bưóc Chi khơng có quy đao tuan hồn cna (3.2) vói a ƒ= Lay (xa(t), ya(t)) nghi¾m cna (3.2) Ta có dH ∂H dx ∂H dy (xa(t), ya(t)) ∂x dt + ∂y dt = dt Σ ∂H ∂H ∂H ∂H = a + + ∂ ∂ ∂ ∂ x Σ2 x y Σy2 Σ ∂H ∂H = + ∂ ∂ a x y = aǁgradHǁ ƒ= a ∂ y ∂H − ∂ x ∂H Σ Như v¾y ta thay lưong tăng ho¾c giam, nói riêng khơng tuan hồn Muc tiêu bây giị chúng minh rang (3.2) có re nhánh Hopf tai a = 0, trưịng hop tat ca quy đao tuan hồn re nhánh xay tai goc O (goc Hamilton) Cuoi cùng, can chi rang m®t đưịng cna giá tr% riêng cna h¾ tuyen tính cat truc ao tai ib a = Lay fa(v) = (aI + J )gradH(v) Khi a ∂2H ∂2H (v) = ∂2H ∂2H + + a ∂x ∂y∂ ∂x∂ Dv f a ∂y 22 2 ∂y∂ x x y2 ∂x∂ y ∂ H a − ∂ H a ∂ H − ∂ H Do đó, Dvfa(0) = (aI + J )M , ∂2H ∂2H M∂ ∂x∂y Hes x sian H •B ∂2H ∂y2 ó c De thay M ma tr¾n đoi xúng theo Đ%nh lý Schwartz ta có ∂ ∂2H = ∂x∂y ∂ y ∂ x −1 Ta chúng minh M ma tr¾n đoi xúng Đe ti¾n tính tốnΣgia su ma tr¾n đoi xúng M có dang M = a b Σ vói detM = ac − b2 ƒ= b c c −b −b a Khi M−1 = ac − b2 V¾y M −1 ma tr¾n đoi xúng • Bưóc Có the chi rang v J = JM v (3.3) h¾ Hamilton vói hàm Hamilton E(v) = vT Mv • Bưóc Lay c(a) + d(a)i m®t đưịng (path) cna giá tr% riêng cna Dvfa(0) = (aI + J )M Theo bưóc bưóc 4, neu a ƒ= c(a) = ã Búc Neu l mđt giá tr% riêng cna (aI + J ) M , −λ m®t giá tr% riêng cna (−aI + J )M Gia su λ m®t giá tr% riêng cna (aI + J ) M det((aI + J )M − λI) = Ta có det((aI + J )M − λI) = detM = detM −1 Σ −1 [(aI + J )M − λI]T M M T (aI + J )T − λI M = det(M−1ΣMT (aI + J )T M − M−1λIM ) = det((aI + J )T M − λI) = det(−(−aI + J )M + λI) det(−(−aI + J )M + λI) = Như the, hay −λ m®t giá tr% riêng cna (−aI + J )M • Bưóc Su dung bưóc bưóc 7, ta ket lu¾n rang giá tr% riêng cna Dvfa(0) cat truc ao tai ±bi a = • Bưóc Tù phiên ban yeu (túc phiên ban hai chieu trình bày o trên) cna Đ%nh lý re nhánh Hopf, ta suy chu kì cna quy đao tuan hồn tien ve 2π b vói MQI quy đao tuan hồn lân c¾n cna goc O KET LU¾N Đóng góp cna lu¾n văn bao gom: Trình bày lai nhung khái ni¾m ban, tính tốn chi tiet minh HQA hình hQc m®t so ví du ve re nhánh cna phương trình vi phân khơng gian m®t chieu, hai chieu Trình bày đ%nh lý ve re nhánh nút-yên ngna, re nhánh xuyên tói han, re nhánh dĩa cna phương trình vi phân m®t chieu, re nhánh Hopf cna phương trình vi phân hai chieu Áp dung đ%nh lý đe xác đ %nh loai re nhánh cho phương trình vi phân khơng gian m®t chieu, hai chieu Trình bày đ%nh lý tâm Lyapunov M¾c dù co gang, nhiên lu¾n văn khơng tránh khoi nhung sai sót, rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna quý thay cô ban ĐQc Tài li¾u tham khao Tieng Vi¾t [1]Lê Huy Tien (2019), Bài giang hắ đng lnc (ang viet), H Nđi Tieng Anh [2]K T Alligood, T D Sauer, and James A Yorke (1996), An introduction to dynamical systems, New York [3]D K Arrowsmith and C M Place (1990), An introduction to dynamical systems, Cambridge University Press [4]W E Boyce, R C Diprima, and D B Meade (2017), Elementary differential equations and boundary value problems, John Wiley Sons, Inc [5]A Dawes, Bifurcation theory for discrete time systems, http://www.math.ualberta.ca/~atdawes/m371_2010/discrete _ bifurcation.pdf [6]J Guckenheimer and P Holmes (1983), Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields, Springer-Verlag, New York [7]J K Hale and H Kocak (1991), Dynamics and bifurcations, SpringerVerlag, New York [8]J H Hubbard and B H West (1995), Differential equations: a dynamical systems approach: higher-dimensional Systems, Springer-Verlag, New York [9]Y A Kuznetsov (2004), Elements of applied bifurcation theory, SpringerVerlag, New York [10]L Perko (2006), Differential equations and dynamical systems, SpringerVerlag, New York [11]S H Strogatz (2018), Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology, chemistry, and engineering, CRC Press Taylor & Francis Group [12]S Wiggins (2003), Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos, Springer-Verlag, New York ... đ%nh lý ton tai re nhánh nút-yên ngna, re nhánh xuyên tói han, re nhánh dĩa, re nhánh Hopf Chương SE bao toàn tâm Lyapunov Trong chương ta se tìm hieu đ%nh nghĩa đ%nh lý sn ton tai tõm Lyapunov. .. 0, (0, 0) = =ƒ 0, (0, 0) = −6 Theo Đ%nh lý 2.3.1 điem xay re nhánh dĩa (0, 0) 2.4 Re nhánh Hopf Re nhánh Hopf hay re nhánh Andronov -Hopf hi¾n tưong re nhánh sinh quy đao tuan hồn Trong hình ve... 2.4 TON TAI RE NHÁNH CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN SU 3.1 3.2 3.3 BAO TOÀN TÂM LYAPUNOV 33 Tâm Lyapunov 33 H¾ vi phân Hamilton 35 Tâm Lyapunov sn bao toàn .36 Re nhánh nút-yên ngna
Ngày đăng: 24/12/2021, 20:13
Xem thêm:
