Luận văn thạc sĩ tái chuẩn hóa và phép toán r trong điện động lực học lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Phạm Tiến Dự TÁI CHUẨN HÓA VÀ PHÉP TOÁN R TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƢỢNG TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Phạm Tiến Dự TÁI CHUẨN HĨA VÀ PHÉP TỐN R TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số: 60440103 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Nguyễn Xuân Hãn Hà Nội – Năm 2015 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo, GS.TSKH.Nguyễn Xuân Hãn, ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn bảo tận tình cho tơi để tơi hồn thành luận văn này, nhƣ giúp đỡ suốt thời gian học tập trƣờng Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo, cô giáo tồn thể cán bộ mơn Vật lý Lý thuyết nói riêng nhƣ khoa Vật lý nói chung, ngƣời ln tận tình dạy bảo, giúp đỡ động viên cho Tôi xin gửi lời cảm ơn tới bạn môn đóng góp, thảo luận trao đổi ý kiến khoa học q báu để tơi hồn thành luận văn Do thời gian kiến thức nhiều hạn chế nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đƣợc bảo, góp ý quý thầy cô bạn Một lần nữa, xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày … tháng … năm 2015 Học viên Phạm Tiến Dự MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chƣơng – ĐẠI CƢƠNG VỀ TÁI CHUẨN HÓA… 1.1 S- ma trận… 1.1.1 Các điều kiện cho S- ma trận… 1.1.2 Xác định S- ma trận… .12 1.2 Quy tắc Feynman giản đồ phân kỳ bậc thấp QED .18 1.2.1 Khai triển S- ma trận dạng N- tích 18 1.2.2 Quy tác Feynman QED… 22 1.2.3 Bậc hội tụ giản đồ Feynman 24 Chƣơng – TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÒNG… .31 2.1 Giản đồ lƣợng riêng electron 31 2.2 Giản đồ phân cực photon… 37 2.3 Giản đồ vòng bậc ba… 44 2.4 So sánh bốn phƣơng pháp khử phân kỳ 51 Chƣơng – TÁI CHUẨN HÓA VÀ PHÉP TỐN R… 54 3.1 Tái chuẩn hóa 54 3.2 Phép toán R để khử phân kỳ 64 KẾT LUẬN… 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO… 74 PHỤ LỤC… 76 DANH MỤC BẢNG BIỂU  Bảng 1: Qui tắc Feynman QED 22  Bảng 2: Các giản đồ phân kỳ bậc thấp QED .29  Bảng 3: So sánh phần phân kỳ thu đƣợc phƣơng pháp khử phân kỳ QED 51  Bảng Quy tắc Feynman cho lý thuyết QED tái chuẩn hóa 58 DANH MỤC HÌNH VẼ  Hình 1.1 Miền nhân quả…  Hình 1.2 : Giản đồ Feynman bậc hai… 20  Hình 1.3 : Giản đồ Feynman bậc ba… 21  Hình 1.4 : Giản đồ vịng photon 21  Hình 1.5 Giản đồ lượng riêng electron… .27  Hình 1.6 Giản đồ lượng riêng photon… 27  Hình 1.7 Giản đồ đỉnh bậc 3… .27  Hình 1.8 Quá trình tán xạ ánh sáng – ánh sáng… 27  Hình 2.1: Giản đồ lượng riêng electron… 31  Hình 2.2: Giản đồ phân cực photon… .38  Hình 2.3: Giản đồ vòng bậc ba… .44  Hình 3.1: Hàm truyền tồn phần electron 59  Hình 3.2: Bổ bậc thấp 1PI cho electron… 61  Hình 3.3: Bổ bậc thấp cho 1PI photon… 63  Hình 3.4: Bổ bậc thấp cho phần đỉnh… 63  Hình 3.5: Nút suy rộng 65 Luận văn thạc sĩ Phạm Tiến Dự MỞ ĐẦU Những thành tựu điện động lực học lƣợng tử (Quantum Electrodynamics- QED) dựa sở lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phƣơng pháp tái chuẩn hóa khối lƣợng điện tích cho phép tính tốn q trình vật lý phù hợp tốt với số liệu thu đƣợc từ thực nghiệm, với độ xác đến bậc theo số tƣơng tác theo lý thuyết nhiễu loạn  e   4 137 [10] Trong lý thuyết trƣờng tƣơng tác QED lý thuyết đƣợc xây dựng hồn chỉnh Mơ phƣơng pháp tính tốn trình vật lý QED ngƣời ta xây dựng cơng cụ tính tốn cho Sắc động học lƣợng tử (Quantum Chromodynamics- QCD) – lý thuyết tƣơng tác hạt quarkgluon, tƣơng tác yếu hay lý thuyết thống dạng tƣơng tác – nhƣ lý thuyết điện yếu tƣơng tác mạnh - đƣợc gọi mơ hình chuẩn Việc tính trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn bậc thấp lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến (các giản đồ Feynman, khơng chứa vịng kín ) ta khơng gặp tích phân phân kỳ, nhƣng tính bổ lƣợng tử bậc cao cho kết thu đƣợc, ta gặp phải tích phân phân kỳ vùng xung lƣợng lớn hạt ảo, tƣơng ứng với giản đồ Feynman có vịng kín hạt ảo Các giản đồ diễn tả tương tác hạt với chân không vật lý trƣờng tham gia tƣơng tác quan niệm hạt điểm khơng có kích thước khơng tích Việc tách phần hữu hạn phần phân kỳ tích phân phân kỳ phải tiến hành theo cách tính tốn nhƣ nào? Phần phân kỳ phần hữu hạn đƣợc giải thích vật lý sao? Bỏ phần phân kỳ vào đâu để có kết thu đƣợc cho trình vật lý hữu hạn Lƣu ý, việc loại bỏ phân kỳ lý thuyết trƣờng nhiệm vụ trọng yếu vật lý lý thuyết kể từ đời đến nay, ta cần phải nghiên cứu , tìm hiểu giải Ý tƣởng tái chuẩn hóa – gộp phần phân kỳ vào điện tích hay khối lƣợng electron đƣợc Kraumer – Bethe, sau đƣợc tác giả Schwinger Feynman Tomonaga thực hóa QED Cách xây dựng chung S-ma trận phân loại phân kỳ thuộc Dyson Cách chứng minh tổng quát triệt tiêu phân kỳ số hạng đƣợc tái chuẩn hóa chuỗi lý thuyết nhiễu loạn Bogoliubov – Parasyk tiến hành Trong QED sử dụng việc tái chuẩn hóa điện tích khối lƣợng electron, giúp ta giải hợp lý phần phân kỳ tính tốn, kết ta thu đƣợc hữu hạn cho biểu thức đặc trƣng cho tƣơng tác ( bao gồm tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã thời gian sống hạt) Khi so sánh với thực nghiệm kết thu đƣợc, phù hợp với số liệu thực nghiệm Lý thuyết trƣờng lƣợng tử sau tái chuẩn hoá cho kết hữu hạn đặc trƣng trình vật lý, đƣợc gọi lý thuyết tái chuẩn hố Các phƣơng pháp khử phân kỳ thơng dụng lý thuyết trƣờng bao gồm: phƣơng pháp cắt xung lƣợng lớn, phƣơng pháp Pauli –Villars, phƣơng pháp chỉnh thứ nguyên, phƣơng pháp R- toán tử N.N Bogoliubov khởi xƣớng Tiếp nối khóa luận tốt nghiệp đại học: “ Lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến phƣơng pháp khử phân kỳ mơ hình 3 ”, ta tiếp tục nghiên cứu cho điện động lực học lƣợng tử Trong khóa luận tốt nghiệp, xem xét đến ba phƣơng pháp khử phân kỳ xem xét đến phƣơng pháp khử phân kỳ cuối sử dụng phép làm Boguliubov toán tử R Mục đích luận văn ý nghĩa việc tái chuẩn hóa, sử dụng phép làm Bogoliubov để tách giản đồ phân kỳ thành hai phần hữu hạn phân kỳ Cuối tái chuẩn hóa gần vịng sử dụng phép toán R để khử phân kỳ cho trƣờng hợp tổng quát Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chƣơng, phần kết luận, tài liệu tham khảo số phụ lục Chƣơng Giới thiệu chung lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Trong mục 1.1 giới thiệu S-ma trận điều kiện nó, từ kỳ dị lý thuyết trƣờng xuất bất định T – tích thời gian chập Mục 1.2 trình bầy vắn tắt việc xây dựng giản đồ Feynman tổng kết quy tắc Feynman cho QED Tiếp theo xem xét bậc hội tụ giản đồ Feynman, từ ba giản đồ phân kỳ QED Chƣơng Xem xét chi tiết ba giản đồ phân kỳ đƣa chƣơng 1, từ tách tích phân tƣơng ứng thành hai phần: phần hữu hạn phần phân kỳ, phƣơng pháp làm Bogoliubov Chi tiết đƣợc trình bầy mục: 2.1 giản đồ lƣợng riêng electron, 2.2 giản đồ phân cực chân không photon 2.3 giản đồ đỉnh bậc ba Cuối mục 2.4 so sánh bốn phƣơng pháp khử phân kỳ : Cắt xung lƣợng lớn; PauliVillars; Điều chỉnh thứ nguyên phƣơng pháp làm Bogoluibov Chƣơng Từ kết chƣơng 2, ta xây dựng lý thuyết tái chuẩn hóa cho QED Mục 3.1 dành cho việc tái chuẩn hóa điện tích khối lƣợng QED cho gần vòng; Mục 3.2 đƣa phép toán R để khử phân kỳ dựa kết chƣơng bất định T - tích Phần kết luận liệt kê kết thu đƣợc Bản khóa luận thảo luận khả vận dụng hình thức luận tính toán cho lý thuyết trƣờng tƣơng tự Trong luận văn này, sử dụng hệ đơn vị nguyên tử  c 1 metric giả Euclide (metric Feynman-hay metric Bogoliubov) tất bốn thành phần véctơ 4-chiều ta chọn thực A A, gồm thành phần thời  A gian thành phần không gian, số   0,1, 2,3 , theo quy ƣớc ta gọi thành phần phản biến véctơ 4-chiều ký hiệu thành phần với số  A , A   A , A , A , A A 0  A def (0.1)  Các véctơ phản biến tọa độ:  x  x  t, x1  x, x2  y, x3  z   t, x  , (0.2) véctơ tọa độ hiệp biến:  x  g x  x  t, x  x, x   y,  z   t, x  , x (0.3) véctơ xung lƣợng:  p  E, p x, p ,y p   E, p Tích vơ hƣớng hai véctơ đƣợc xác định: (0.4) p  p.k  D   Một số tích phân đơn giản sử dụng chƣơng 2: 1  dx.x(1  x)  1dx.ln x   dx.x ln(x)   ;   M2 M 0 dx.ln m (1  x)   ln m 1   ;  M2  M2 0 dx.x.ln m (1  x)   ln m  1  ; dx.(1  x) ln(1  x)    M2  M2 x   ln  0 dx.(1  x).ln  m2 m   (B.15) Phụ lục C: Kết mơ hình L  g3 int Trong tất mơ hình tƣơng tác hạt bản, xét mặt toán học dẫn đến hai mơ hình tƣơng tác bản: mơ hình tự tƣơng tác hạt vơ hƣớng thực Lint  g3 Mơ hình tƣơng tác đơn giản, cho phép ta thực tính tốn cụ thể, chi tiết Qua ví dụ L  g3 ta minh họa rõ ràng int phƣơng pháp khử phân kỳ, đƣợc sử dụng lý thuyết trƣờng lƣợng tử Trong lý thuyết L  g3 tồn hai giản đồ gần vòng: int giản đồ tƣơng ứng với phần lƣợng riêng hạt vơ hƣớng (Hình C.1 ) và giản đồ khác ứng với giản đồ đỉnh ba (Hình vẽ ) Hình C.1: Giản đồ lƣợng riêng Hình C.2: Giản đồ ba đỉnh Theo qui tắc Feynman, giản đồ Hình vẽ X tƣơng ứng với tích phân đơn giản: I (k) ~ i  dp  (m2  p2  i )[m2  ( p  k)  i ] , (C.1) tƣơng ứng với giản đồ Feynman loop với hai đƣờng vô hƣớng Biểu thức (C.1) giản đồ lƣơng riêng hạt vơ hƣớng Tích phân (C.1) ảnh Fourier tích hai hàm truyền với biến số chập nhau:  c I (k) ~ 16 i eikx[D (x)]2dx Các tích phân (C.2) chứa hàm kỳ dị suy rộng dạng , 1 (trong (C.2)   x ) Vì vậy, cơng thức (C.2) khơng phải đại lƣợng xác định Xét mặt toán học, phải tiến hành định nghĩa lại đại lƣợng (C.2) Ở có hai cách gải vấn đề: Bản chất phƣơng pháp Pauli-Villars việc thay hàm Green kỳ dị trƣờng vô hƣớng tự với khối lƣợng m tổ hợp tuyến tính sau:  c (x)  reg M  c (m)   c (m)   c i  c (M i ) , (C.3) i kí hiệu c (m) hàm Green trƣờng vô hƣớng với khối lƣợng m.Tuy nhiên chuyên đề hiểu hàm Green nhân quả, phƣơng pháp Pauli-Villars kí hiệu thống cho hàm Green c ký hiệu thống cho hàm Green  , nhƣ hàm Green c  ,  ,  ,  ký hiệu khác nhau) Trong vế phải (C.3), hàm (Mi ) hàm Green bổ trợ với ret adv khối lƣợng Mi, cịn ci hệ số khơng đổi thỏa mãn điều kiện đặc biệt Những điều kiện lựa chọn cho hàm đƣợc điều chỉnh reg(x, m) biểu diễn tọa độ hàm số đủ điều chỉnh lân cận hình nón ánh sáng, cho biểu diễn xung lƣợng (p, giảm đủ nhanh vùng m) xung lƣợng lớn | p |2 Đối với trƣờng có spin ngun, kỳ dị cao hình nón ánh sáng , 1 có mặt hàm Green trễ D(x; m) với hệ số không phụ thuộc vào khối lƣợng m Chính thế, giả sử đặt điều kiện cho ci là:   ci  (C.4) i Để cho hàm Green đƣợc điều chỉnh reg(x, m) Chúng ta nhận đƣợc biểu thức mà khơng chứa kỳ dị dạng , 1 Ảnh Fourier hàm Green đƣợc điều chỉnh reg(p, vùng xung lƣợng lớn | p | giảm nhanh m) 2 nhƣ | p2 |2 Nhƣ điều kiện: m  c M  i (C.5) i i đảm bảo cho hàm Green đƣợc điều chinh đƣa đến điều kiện hàm Green ngoại Thực phép lấy giới hạn mong muốn reg(p, m) khơng có kỳ dị dạng  (), ln  giảm nhanh | p2 |6 vùng tử Mi  , thu đƣợc kết nhƣ Áp dụng phƣơng pháp Pauli – Villars cho trƣờng hợp giản đồ đơn giản hình C.1 Chúng ta cần đại lƣợng khối lƣợng bổ trợ M với hệ số c  1 thỏa mãn điều kiện (C.4) Trong biểu diễn xung lƣợng có Dc (p)   m  p2 reg M Dc (p)  1 m  p2  M2  p2 (C.2.6) Sử dụng phép (C.6) biểu thức dƣới dấu tích phân vế phải (C.1) nhận đƣợc : I(k)  reg I(k)  M i dp     2 m  p    1  M2  p2 m2  (p  k)2  (C.7)  M2  (p  k)2  Vế phải phƣơng trình (C.7) biểu thức hữu hạn : reg i I(k)  lim M 0 2 dp      m2  p2  i   1      M  p  i m  (p  k)  i M  (p  k)  i (C.8) Theo phƣơng pháp tham số hóa tích phân Feynman: (C.9)   i dteiHt H 0 Thì biểu thức (C.8) viết lại nhƣ sau (để đơn giản ta ngầm hiểu   ): i3  () e reg M I(k)   dddpe  ik2 im2 iM2 im2 e e  e    e exp  i (  )p iM2   2pk Áp dụng cơng thức tích phân Gauss: i(ak 2bk) dke   b 2  b2   b2  2   dk exp  ia k  exp a  , (C.10) .exp i a   a  i ia         Chúng ta có : reg I (k)  i2    d d   (  ) i k eii Mm  eei M  eei m   e 2 2 M 2        ik   exp    i2  d d  e (  ) ei m     2  i M e    ei m  ei M  exp ik        2 Tiếp tục đƣa vào phép biến đổi:   ax;  a(1  x)  , a, x (C.11)  a , thay vào biểu thức (C.11): reg M I(k)  i   a e dx da .e a ik2ax (1x) ia(1x)m  iaxm2 iaxM2 e e ea    dx da 0     e  exp  ia x(1  x)k  m a ia(1x)M2 e      2   exp  ia x(1  x)k  xm  (1  x)M    exp  iax(1  x)k  M   exp  iax(1  x)k  xM  (1  x)m2  Sử dụng cơng thức tích phân:   da  ae  iaB a iaA e  (C.12)  B  i   ln A  i    e Chúng ta thu đƣợc : reg M I(k)  dx ln  m  x(1  x)k  i  M  x(1  x)k  i  2 xM  (1  x)m  x(1  x)k  i xm  (1  x)M2  x(1  x)k  i   Xét biểu thức :  M  x(1  x)k  i  m  x(1  x)k  i  2 xM  (1  x)m  x(1  x)k  i xm  (1  x)M  x(1  x)k  i   ln 2  ln m  x(1  x)k  i ,  2  ln    M  x(1  x)k  i 2 xM  (1  x)m  x(1  x)k  i xm  (1  x)M  x(1  x)k  i   Sau lấy giới hạn M   , nhận đƣợc : reg M I(k)   ln M2 i  m  x(1  x)k    dx ln    tham số dƣơng tùy ý  1   2  M    (C.13) Nhƣ vậy, từ I(k) tách đƣợc phần phân kì hồng ngoại biểu diễn (C.13) đƣợc dƣới dạng : reg M I(k)  Trong : 2 Idefinite k ,    ln I M2  definite  , 2   m  x(1  x)k  i   dx ln   (C.14) biểu thức hữu hạn   So sánh kết thu từ ba phương pháp khử phân kì khác trên, thấy phần phân kì tách thành phần kì I(k)  Ianomalous  Idefinite dị phần hữu hạn: Phần kì dị phƣơng pháp Pauli – Villars chỉnh thứ nguyên  , phƣơng pháp ln M , phƣơng pháp cắt xung lƣợng lớn   Các phƣơng pháp Pauli – Villars Chỉnh thứ nguyên Cắt xung lƣợng lớn Phân kỳ  ln  M2 Phụ lục D Đồng thức Ward –Takahashi Đồng thức Ward – Takahshi có nghĩa    p, p  p     p, p   p G  p     ln m ln 2 m    ln m2 1  p ( D ) ( D ) Muốn chứng minh đồng thức ta sử dụng: a+b = a + 1 1 b + b + a a a a a (D.3)   1 Ta chứng minh:   lim     (D.4)  pˆ  m p  pˆ  m p  pˆ  pˆ   m pˆ  m    p 0 pˆ  m Điều đƣợc hiểu nhƣ sau: việc lấy đạo hàm hàm truyền electron tự tƣơng đƣơng với hàm đỉnh mà có photon với xung lƣợng - chiều k  Sự giải thích xuất phát từ dạng dịng j     mà có mặt dịng bảo tồn Chứng minh giản đồ đƣợc minh họa Hình D.1  [ p ] =  ( p) p      p     Hình D.1 Chứng minh giản đồ đồng thức Ward Dấu chéo ký hiệu việc thay đƣờng photon với xung lƣợng không vào đƣờng electron Đồng thức Ward - Takahashi tổng quát dạng tƣơng đƣơng:  pp p  p     p    p , p   G  1  G  p  1     p , p    p    p  (D.5)  2 Từ công thức: G  p  Z2   pˆ  m   p c   p, p  pc Z1  (D.6) p, Ta có:   G p  1   ,     p, p   (D.7) p   Z2 Z1 Sử dụng đồng thức Ward ta có: Z1  Z (D.8) Kết quan trọng để chứng minh tái chuẩn hóa đỉnh lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Nhƣ vậy, tiếp nối Khóa luận tốt nghiệp trƣớc đây, nghiên cứu phƣơng pháp khử phân kỳ cho mơ hình  , luận văn tiếp tục nghiên cứu lý thuyết tái chuẩn hóa cho mơ hình QED Chúng ta đƣa sở lý thuyết trƣờng lƣợng tử, từ việc định nghĩa, xây dựng S- ma trận, đến việc nghiên cứu giản đồ Feynman Chúng ta lần lƣợt xem xét đến bốn phƣơng pháp để khử phân kỳ đƣợc biết đến nay, bao gồm phƣơng pháp: Cắt xung lƣợng lớn; Pauli- Villars; Điều chỉnh thứ ngun R- tốn tử Bên cạnh đó, mục lục, thích lý thuyết đƣợc đƣa Đó sở lý thuyết tốt cho nghiên cứu sau ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Phạm Tiến Dự TÁI CHUẨN HÓA VÀ PHÉP TOÁN R TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã... tử Trong khóa luận tốt nghiệp, xem xét đến ba phƣơng pháp khử phân kỳ xem xét đến phƣơng pháp khử phân kỳ cuối sử dụng phép làm Boguliubov tốn tử R Mục đích luận văn ý nghĩa việc tái chuẩn hóa, ... Những thành tựu điện động lực học lƣợng tử (Quantum Electrodynamics- QED) dựa sở lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phƣơng pháp tái chuẩn hóa khối lƣợng điện tích cho phép tính tốn trình vật lý phù