Luận văn thạc sĩ tán xạ hai hạt trong điện đông lực học lượng tử trong gần đúng một vòng

Luận văn thạc sĩ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đỗ Đức Thành TÁN XẠ HAI HẠT TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƢỢNG TỬ TRONG GẦN ĐÚNG MỘT VÒNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Đỗ Đức Thành TÁN XẠ HAI HẠT TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƢỢNG TỬ TRONG GẦN ĐÚNG MỘT VÒNG Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số: 60.44.01.03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn Hà Nội – 2014 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn, người trực tiếp bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn thạc sĩ khoa học Em gửi lời cảm ơn chân thành tới tất Thầy Cô, tập thể cán Bộ môn Vật lý lý thuyết, toàn thể người thân, bạn bè giúp đỡ, dạy bảo, động viên, trực tiếp đóng góp, trao đổi ý kiến khoa học quý báu để em hồn thành luận văn Qua đây, em chân thành gửi lời cảm ơn tới Thầy Cô khoa vật lý dạy bảo tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em suốt q trình học tập hồn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2014 Học viên Đỗ Đức Thành MỤC LỤC Mục lục… 02 Danh mục hình vẽ… 03 Mở đầu… 04 Chương 1: Tiết diện tán xạ… 07 1.1 Các biến Mandelstam 07 1.2 Tiết diện tán xạ vi phân cho hai hạt… 10 1.2.1 Tiết diện tán xạ hệ khối tâm… 15 1.2.2 Tiết diện tán xạ hệ phịng thí nghiệm… 16 Chương 2: Tán xạ electron-electron 18 2.1 Tán xạ electron-electron… 18 2.1.1 Tiết diện tán xạ hệ khối tâm… 22 2.1.2 Tiết diện tán xạ hệ phịng thí nghiệm… 23 2.2 Tán xạ electron-positron .25 2.2.1 Tiết diện tán xạ hệ khối tâm… 28 2.2.2 Tiết diện tán xạ hệ phịng thí nghiệm 30 Chương 3: Bổ vịng cho tán xạ electron-electron 33 3.1 Giản đồ Feynman 32 3.2 Tiết diện tán xạ tính đến bổ vịng 34 3.3 Thế tính đến bổ vịng… 37 Kết luận… 43 Tài liệu tham khảo… 45 Phụ lục A Metric giả Euclide… 46 Phụ lục B Các toán tử chiếu 50 Phụ lục C Tái chuẩn hóa… 56 C.1 Tái chuẩn hóa điện tích electron 57 C.2 Năng lượng riêng photon 62 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1.1 Các biến Mandelstam .05 Hình 1.2 Tán xạ hai hạt thành hai hạt 08 Hình 2.1 Tán xạ electron-electron 16 Hình 2.2 Tán xạ electron-positron 23 Hình 3.1 Giản đồ Feynman 30 Hình 3.2: Bổ vịng tán xạ electron-electron… 31 Hình 3.3 Bổ vịng cho hai hạt 39 Hình 3.2 Giản đồ phân cực chân khơng 53 Hình C.1 Tái chuẩn hóa điện tích electron 57 Hình C.2 Giản đồ lượng riêng photon 58 MỞ ĐẦU Điện động lực học lượng tử (QED) dựa vào việc tái chuẩn hóa khối lượng điện tích hạt lý thuyết tái chuẩn hóa, chứng minh vào kỷ 20 [1], [3], [6], [8], [10], [11], song việc tái chuẩn hóa cho trình vật lý cụ thể nghiên cứu liên tục phát triển tính đến cấu trúc bên hạt ta lại gặp toán tương tự tương tác hạt bên với Trong tự nhiên tồn bốn loại tương tác: tương tác điện từ, tương tác yếu, tương tác mạnh tương tác hấp dẫn, cơng cụ tính tốn định lượng tương tác điện từ-QED thường vận dụng để mơ xây dựng cơng cụ tính tốn tương tự cho dạng tương tác khác, hay tổ hợp dạng tương tác kể dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với việc tái chuẩn hóa tham số vật lý tùy mơ hình Việc nghiên cứu trình vật lý cụ thể bổ vịng QED cần thiết quan trọng, [8], [11] Mục đích luận văn thạc sĩ khoa học vật lý dành cho việc nghiên cứu trình tán xạ hai hạt thành hai hạt ( → ) tính đến bổ vòng đường trong QED Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, phụ lục tài liệu tham khảo Chƣơng 1: Tiết diện tán xạ hai hạt Trong mục $1.1 giới thiệu vắn tắt biến số Mandelstam công thức cho biên độ tán xạ vi phân qua biến Mục $1.2 dành cho việc xây dựng công thức tiết diện tán xạ vi phân kể hệ khối tâm hệ phịng thí nghiệm Chƣơng 2: Tán xạ electron-electron Trong mục $ 2.1, theo quy tắc Feynman cho tương tác điện từ ta viết yếu tố ma trận tương ứng với trình tán xạ electronelectron bậc thấp (gần Born) của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Dựa vào yếu tố ma trận, ta tính tiết diện tán xạ vi phân cho trình tán xạ electronelectron hệ khối tâm hệ phịng thí nghiệm Mục $2.2 dành cho việc nghiên cứu trình tán xạ electron lên positron Cách tính tương tự trình tán xạ electron–electron, có thay đổi electron thay positron Kết ta thu tiết diện tán xạ vi phân cho trình tán xạ electron-positron So sánh kết tiết diện tán xạ vi phân hai trình tán xạ kể ta nhận thấy hai kết giống khác dấu, có nghĩa ta chuyển từ kết thành kết cách chuyển đổi dấu chúng Chƣơng 3: Bổ vòng cho tán xạ electron-electron.Trong mục $3.1 giới thiệu giản đồ Feynman cho trình tán xạ electron-electron gần bậc theo số tương tác điện từ So với gản đồ Feynman xét chương trước, số lượng giản đồ tăng lên việc trao đổi hai photon (giản đồ d) gữa hạt, giản đồ phân cực chân không (chân không vật lý trường electron-positron) gắn với photon ảo trao đổi hạt (giản đồ c), giản đồ lại liên quan đến tương tác electron với chân không vật lý trường điện từ Trong luận văn xét giản đồ (b) giản đồ (c) bỏ giản đồ Feynman cịn lại Giản đồ (a) khơng cho đóng góp vào tương tác hai electron, giản đồ gắn với đường electron liên quan đến việc tái chuẩn hóa khối lượng electron, khơng cho đóng góp vào tương tác hai electron Mục $3.2 dành cho việc tính tiết diện tán xạ electron-electron , kết thu tiết diện tán xạ vi phân (3.6) Nghiên cứu tương tác tương ứng hai electron tính bổ vịng giới thiệu mục $3.3 Kết luận dành cho việc liệt kê kết thu luận văn phương hướng nghiên cứu Trong luận văn này, sử dụng hệ đơn vị nguyên tử  = c =1 metric giả Euclide (metric Feynman) tất bốn thành phần véctơ 4-chiều ta chọn  thực A = ( A0, A) gồm thành phần thời gian thành phần khơng gian, số µ = (0,1, 2,3) , theo quy ước ta gọi thành phần phản biến véctơ 4chiều ký hiệu thành phần với số A3  ( A , A) = ( A , A , A , ) A= 0 de f = Aµ (0.1) Các véctơ phản biến tọa độ: ( xµ = x = t, x1 = x, x2 = y, x3 = z =( )  t, x ) (0.2) Các véctơ tọa độ hiệp biến: x = g  xν =( x = t, x = −x, x = − y, x = −z ) = (t, − ) µ x (0.3) ) V ) é c t n ă n g x u n g l ợ n g : x y z p p ( Tích vơ hướng hai véc tơ xác định cơng thức: A B = Aµ = Bµ = g A0B µν − AB A (0.5) µ Bν Tensor metric có dạng: gµν  0  −1 0 = = −g µν  0 −1  0 −1    (0.6) Chú ý, tensor metric = gνµ = g µν Thành tensor đối xứng gµν gν phần véc µ tơ hiệp biến xác định cơng thức sau: A A µ = =0 g A, µ ν k A = − A k A ν Các số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ đến (0.7) CHƢƠNG 1: TIẾT DIỆN TÁN XẠ Chương dành cho việc dẫn công thức tán xạ hai hạt [8] Biên độ tán xạ, mà tỷ lệ với yếu tố S-matrận tán xạ, đại lượng phức Trước tiên ta xem xét trình p1 + p2 → p3 + p4 , mà ta gọi tán xạ → Tính tốn mang tính bất biến (biểu diễn qua biến bất biến- u, s, t biến số Mandelstam) trình tán xạ → toán động học sở vật lý hạt Trong chương ta xem xét đại lượng bất biến cho trình tán xạ hai hạt vơ hướng → , tìm biểu thức giải tích tổng quát cho tiết diện tán xạ vi phân cho trình qua biên độ tán xạ Viết biểu thức tiết diện tán vi phân hai hệ phịng thí nghiệm hệ khối tâm Việc tổng qt hóa cho q trình mà có spin khơng vấn đề khó khăn 1.1 Các biến Mandelstam Chúng ta sử dụng cho trình tán xạ hai hạt với hai hạt Mọi công thức trở nên đơn giản ta biểu diễn xung lượng hạt theo tập hợp biến gọi biến Mandelstam Các biến Mandelstam định nghĩa sau: s = ( p + p )2 = ( p + p )2 , (1.1) t = ( p − p )2 = ( p − p ) , (1.2) u = ( p − p )2 = ( p − p )2 , (1.3) 1 2 p1 p2 xung lượng chiều hạt vào p3 ,p4 xung lượng chiều hạt Vì vậy, s hiểu bình phương khối lượng trung tâm ( bất biến khối lượng ) t hiểu bình phương momen xung lượng chuyển đổi Trong giản đồ Feynman tán xạ → 2, s, t, u sử dụng dạng kênh s, kênh t kênh u Trong phần tính tốn đóng góp giản đồ phân cực chân khơng tơi xin vắn tắt hóa tính tốn phức tạp tập trung vào việc đưa kết việc tái chuẩn hóa nhằm phục vụ cho tính tốn luận văn k v k + p+k k v p Hình 3.2 Giản đồ phân cực chân khơng Hàm truyền photon tính đến bổ vịng: iD ' (q) đâ y: = iDFµν iDFµλ (q) + (q) Fµ iΠλσ i (q D ) F σ π ( C ) ν ( q ) DF µν (q) hàm truyền photon mức giản khơng có  vịng Πλσ (q) tensơ phân cực chân không với: iΠλσ (q) =− d  k  e0 ∫ − m 4π Tr γ λ (2π )4  e γσ k + iε ( k − q ) − m + iε  (C )e Do Πµν (q) tensơ lorentz nên phân tích thành số hạng chứa gµν , qµ , qν hàm vô q2 , cụ thể là: hướng Πµν (q) = Dgµν + gµν q2Π(1)(q2) + qµ qν Π(2)(q2) Thay (C.6) vào (C.5) q2 → ta : i D ' F µ ν (q2 → 0) = (C 7) −4 πig µν q −D + iε Như hàm truyền photon tương ứng với hàm truyền hạt boson với Dkhối lượng Từ (C.7) (C.6) ta : µ D = π=ie0Π ∫ µ (0) d 4k22k  me µ ie0 ∫ γµ k − me + iε   22 Tr γ (2π ) = π k  me  k − me + iε  2m2 − k dk e (2π ) e (k − m2 + ) iε (C.8) Trong trường hợp hạt truyền Photon D phải khơng, ta thấy từ công thức D đại lượng phân kỳ, điều định nghĩa tensơ phân cực chân không công thức (3.6) chưa xác Để khử phân kỳ ta phải định nghĩa lại tensơ phân chực chân không Từ công ban đầu, ta thêm phần để tich phân kết giảm đủ mạnh k tăng lên Hay đưa v M Ci i v Và o đế n h m gầ ộằ n t n cu k g ối h s ta ố ố ch i m o l ới ợ n g M (C.9) i µ ) d 4k  m Tr )γ γ  ( k + ( k −µ q + m  Πµν (q)(2 =π4π ) ie2k2 − m + iε e 2 (k −2q) − em + iε  0∫    e e  µ N )γ ( k − q + M )  Tr γ ( k + M i µ i   +∑ C 2 i k − M + iε  (k − q) − M  + iε  → ∞ ( đ ể ( i=1 p h ụ thu kết cuối kết khơng phụ thuộc vào Π  (q) = Mi Ci  (q, M 2k, ) µ ∑ i νk= ∫me d k  f µ ν )  i )  i   2 d 4k  kµ (k −2q)ν +2 kν (k − q)µ − g2µν (k − q.k − m )   k − m + i ε (k − q) − m + i ε ∫(2π ) e  Πµν (q) = (  ) e + Re g  e 16πie2     Reg phần thêm vào Sử dụng cơng thức thuật tốn sau để giải : i  ∞ k − m2 + i ε e ikµ = i  − me + iε ) = ∂ ex ∂ p i z ( µ kzi exp iα ∫ kdα (  ( C ) )| z =0 i d 4k    ∫ (2π ) Ta : Π µνπ(q) 16i e2=dα ∫ (  ib2  −i  ) exp i ak + b.k = exp−    (4π )2 a2  α α4a      ∞ ∞  −i dα  ∫ (α (+4πα )2)2 ex −m2 p (α + α i )+  e  12 q2  α+α   ( Πµν (q) = qµqν − â y ∆Πµν   2 ∞ Π   =− α 0      α α 2 π i × + − me   +   gµν Re g  N (α +α ∫ q )4 i=0 i α + α   )    α  α  α ) 2+ (α +  q2  expi ∑ C −M αα e2 d dα (q ) (C.1 2) ∞ ) gµν q2 Π(q2) +  0 (C.1 1) dạng ngắn gon sau : Πµν đ (q) ∫  ( q µ q ν − g (α µ q ) α α +    1 2    Ta viết    e2 ∞ N ∞ (α + απ ∫  αα ∆Π µ ν g= dαµν d1α∫ )2 i ∑ + C  +α ) (α i  i=0   − M q α +α i   1 2 ×   α1 α2   expi −Mi (α1 + α ) + q  + α α   ( C 3)    Số hạng thứ hai biến đổi biến Áp dụng công với α = = β (1− β ) thức sau để tính Π(q ) Qβ , β β i i ∞ • 1 − = α2 ∫ d Q δ ( Q − α ) R (C.14 ) e   (C 5) e+ ln Π (3 q )m π 20 Ta kết :  2 q  Λ 1 Π(q2 ) d β δ (1− − • d π me2 m ta ký hiệu )β m2 m2  ∫ Λ M ln = ∑N C ln i xung lượng ln2 1− β βi e ∫ 2 •  e2 q  1 q2 + +  = − 0 e  e  m e  π  = π   ∫π R Π (2q e2 d β (1− β ) ln 1− β (1− β )  )=  e e     15 140 m2   Λ  q2  m2 i=0 e  − ln , với Λ phần cắt q2  Nhƣ ta tách phần phân kỳ khổi e0 − ln + ∫ d β (1− β ) ln m hàm gốc, phần không phụ thuôc vào xung lƣợng, phần lại phần hữu 1− β (1− β ) hạn m2  Vậy ta có yếu tố ma trận tính đến bổ vịng viết dạng sau   = e e Λ (C.16 ) 'µ (2) 'ν −4πigτ  M= e −ie u γ u fi −ie0u2γ0 −4πi  i ( ( ) + Π  gµτµν(q) q q2 u2 ν ) −4π igτ   ν '  ' π µ (0)  )( ( ( e ( ) ν =iD−ie(q) uγ u − q qτ uΠ(q) 2γ g µτFq  g µ1ν + Λ  µ −ie ' +R q γµ (0)  Π   = − '  − e2 γν ) (− u2 ) (C 17) ) ie0u1 iD u1 (q ie0u2 u2 )1 (q )ln F ' µ 3π  R = ' −ie u γ u Z 1+ Π (q2 ) iD (0) (q) −ie ν u γ u 1  F 02  m ( ) ( ) ) ( Trong ta đặt =− 2 e ln Λ 3π Z me Đây phần phân kỳ ta tách Trong trường hợp q2 nhỏ ta có ΠR(q2)  ,Công thức trở thành ( ) ( M (2) = −ie u 'γ µ u  Z iD(0) (q) −ie u ' γ ν u fi 0 Z3 Z3 F ( )u γ u (iD ' Z3 (C 8) = −i e ' ν  γu  ) µ  F (0) ) ( )u (q) −i e   Công thức giống với dạng cơng thức ứng với q trình tán xạ khơng có vịng đ ặt eR = e0 9) ,tức M = −ie u γ µ u  iD(0) (q) −ie u ' γ ν u   fiF (2) ) R ( ' Kết luận : Bằng cách tái chuẩn hóa lại Hay nói điện tích electron, ta giải cách đƣợc phần phân kỳ sinh giản đồ khác vòng xung lƣợng nhỏ Ta biểu xung diễn kết luận hình vẽ sau: lượng hạt nhỏ phần phân kỳ gộp vào điện tích hạt Trong trường hợp xung lượng lớn ta khơng thể bỏ qua p Πđược Phần h R có đóng ầ ( góp đáng kể n q vào biểu thức tiết ) diện tán xạ vi phân biểu thức tương tác hai hạt e0 e0 eR = + e0 eR e0 Hình C.1 Tái chuẩn hóa điện tích electron : e0 điên tích electron chưa tái chuẩn hóa eR điện tích electron sau tái chuẩn hóa C.2 Năng lƣợng riêng photon Một phần đồ thị Feynman gọi phần lượng riêng trường vô hướng trường spinor bao gồm đường nối với phần khác đồ thị nhờ hai đường boson ferrmion Khi photon tương tác với trường electron-positron thi cặp hạt phản hạt electron-positron sinh ra, sau chúng lại tự hủy tạo photon Quá trình mô ta giản đồ lượng riêng photon sau: e p k k p+k v e Hình C.2 Giản đồ lượng riêng photon Đỉnh tương tác V (γ µ , e − , e+ ) : −ieRγ µ Hàm truyền electron (positron) G: i( p + me ) p2 − me2 Áp dụng quy tắc Feynman ta được: F = d n p(−ie γ ∫ Rµ γ µ ( p + k + me )γν ( p + me ) i( p + k + me ) i( p + me ) ) ) = dn p (−ie γ e ( p + k)2 − m2   p2 − m2  ( p2 + k)2 − m R ν R∫ e e p2 − mee2 (C.20) Đặt I = γ ( p + k + m )γ ( p + m ) µ ν e e I = γ µ ( p + k + me )γν ( p + me ) = γ µ pγν p + γ µ kγν p + γ µ meγν p + γ µ pγν me + γ µ kγν me + γ µ mRγν me = ( pρ pσ + k ρ pσ )Tr(γ µγ ρ γ ν γ σ ) + em Tr(µγν γ ) ρ σ ρ σ = ( p p + k p )n(gµρ gνσ − gµν gρσ + gµσ gνρ ) + m engµν Thay vào cơng thức ta được:  pν pν + kµ pν − ( pp)gµν + (kp)gµν + pν pµ + m2gµν  R ∫ ( p + k)2 − m2   p2 − m2 e F = e n dn p e e Sử dụng công thức hàm điểm: hai n B (k, m , m ) = d p e iπ e ∫ 12 Bµ (k, me , me ) iπ = ∫ Bµν d p n (p (p (k, me , me ) dn 2∫ iπ p = (p (C.21) ) − m2 ( p + k)2 − e m   pµ )  ( p + k)2 − −m e  m2  pµ pν )  ( p + k)2 − e −m  m2  Bµ (k, me , me ) = kµ B1 (k, me , me ) Bµν (k, me , me ) = kµ kν B21 (k, me , me ) + δµν B22 (k, me , me ) p2B (k, m , m ) + nB e Ta tính cơng thức: F B= 4e R  µν (k, m , m ) = A(m ) = m2B (k, m , m ) 2 e e e e (k, + Bm , m ) + k B (k, m , m ) e e µν e e e (k, m , m ) νµ e e (C.22) + kν Bµ (k, m ,m )+ e e e mg + B (k, m , m ) − g A (m ) µ e µ e + m2 B (k, m , m ) − g k ρ B (k, m , m )  e e e µν = eR2 4{kµ kν [2B 21(k, m e, m ) + 2B1 (k, me , m ) ] − δµ B22(k, m ,e m ) −g µν k 21B (k, em , em ) + A(m ) +e m02 B (k,e m , m )  e } A = 8e Ta đặt: R [B 21 R (k, me , m ) + B1 (k, me , m )] B = −4e e e e e R  k B (k, m , m ) + A(m ) + m2 B (k, m , e e m )  C = 4e 2B (k, m, m) 22 (C.23) Giờ ta tính hệ số A, B, C sử dụng công thức sau : ∆= 22 π + π (γ + ln (π )) − π 2c n R e e e − e A (  ) = im2∆ + iπ 2m2 ln (m2 ) − iπ 2m2 m π  B (k, m , m ) = −i∆ − iπ − + ln m2 e e e  B (k, m , m ) =− m B (k, m , m ) e e e e e 2m2  1 = i∆ − iπ + iπ + iπ ln m2 2 e 22 B (k, m , m ) = − iπ m − m A(m ) + B (k, m , m) ( ) e ( ) ( ) 21 e m e e e  e e 3m  e e 13 e = − i∆ + iπ − iπ − iπ ln m2 18 e 31 2 2 B (k, m , m ) = − iπ m + m A ( m ) −  m B (k, m , m ) ( ) ( ) e 22 e e 18 e e 6m  e 4  e e  e0 17 2 2 = i∆m2 − iπ m + iπ m + iπ m ln m 12 e 18 e ( ) e e 12 e − i∆m2 − i Ta đ ợc A =2 8e  : − T=E e 1−1−  cos θ  + i π 5i∆ − i1π + 1iπ −2 iπ ln m  m l n ( ) e  ( m  ) R   e B e  − e  e = 2 + i π m e C i ∆ m e e = − 18 e e  2  12   ( ) m R iπ 2m2 + iπ 3m2 + iπ 2m2 ln m2 π (C.24 )  R 17 e e e     m 2 2 + m (4E + 2) − 2m4 (C 5)   E2   e e ... e ) (2.25) Pdi tiết diện tán xạ trình tán xạ hai hạt ứng với kênh t r Pe x Pin t tiết diện tán xạ trình tán xạ hai hạt ứng với kênh u tiết diện tán xạ trinh tán xạ hai hạt ứng với kênh t kênh...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Đỗ Đức Thành TÁN XẠ HAI HẠT TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƢỢNG TỬ TRONG GẦN ĐÚNG MỘT VÒNG Chuyên ngành: Vật lý...   2   Pdir tiết diện tán xạ trình tán xạ hai hạt ứng với kênh t Pex tiết diện tán xạ trình tán xạ hai hat ứng với kênh u Pint tiết diện tán xạ trình tán xạ hai hạt ứng với kênh t kênh u