Rẽ nhánh Hopf và Định lý tâm Lyapunov

Rẽ nhánh Hopf và Định lý tâm Lyapunov Rẽ nhánh Hopf và Định lý tâm Lyapunov Rẽ nhánh Hopf và Định lý tâm Lyapunov luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thanh Hải RẼ NHÁNH HOPF VÀ ĐỊNH LÝ TÂM LYAPUNOV LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thanh Hải RẼ NHÁNH HOPF VÀ ĐỊNH LÝ TÂM LYAPUNOV Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ HUY TIỄN Hà Nội - 2020 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn - người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Đào tạo, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Cảm ơn thầy cô giáo tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt q trình học tập hồn thành luận văn cao học Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân ln động viên, cổ vũ em q trình học tập Hà Nội, ngày 23 tháng 05 năm 2020 Học viên Nguyễn Thanh Hải i Mục lục Lời cảm ơn i Lời nói đầu Danh sách hình KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ VÍ DỤ RẼ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Các ví dụ rẽ nhánh phương trình vi phân 1.3 Các ví dụ rẽ nhánh phương trình vi phân NHÁNH CỦA chiều hai chiều 4 14 SỰ TỒN TẠI RẼ NHÁNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 18 2.1 Rẽ nhánh nút-yên ngựa 18 2.2 Rẽ nhánh xuyên tới hạn 21 2.3 Rẽ nhánh dĩa 24 2.4 Rẽ nhánh Hopf 27 SỰ 3.1 3.2 3.3 BẢO TOÀN TÂM LYAPUNOV Tâm Lyapunov Hệ vi phân Hamilton Tâm Lyapunov bảo toàn 33 33 35 36 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 ii LỜI NÓI ĐẦU Trong hệ động lực, rẽ nhánh khái niệm ngược với ổn định Khái niệm rẽ nhánh lần giới thiệu Henri Poincaré vào năm 1885, sau nhà toán học nghiên cứu sâu rộng, chẳng hạn [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], Lý thuyết rẽ nhánh nghiên cứu toán học thay đổi tranh pha nghiệm phương trình sai phân, nghiệm phương trình vi phân hệ phương trình vi phân Rẽ nhánh xảy thay đổi nhỏ giá trị tham số hệ động lực gây thay đổi đột ngột tranh pha Rẽ nhánh chia làm hai loại • Rẽ nhánh địa phương xảy thay đổi tham số làm cho tranh pha xung quanh điểm cân điểm tuần hồn thay đổi • Rẽ nhánh tồn cục xảy tranh pha toàn cục thay đổi giá trị tham số thay đổi Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu rẽ nhánh Hopf định lý tâm Lyapunov Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Các ví dụ rẽ nhánh phương trình vi phân Trong chương này, ta trình bày lại kiến thức liên quan phục vụ cho việc tìm hiểu rẽ nhánh phương trình vi phân Sau đó, ta tính tốn chi tiết minh họa hình học số loại rẽ nhánh khơng gian chiều không gian hai chiều Chương Sự tồn rẽ nhánh phương trình vi phân Mục đích chương trình bày định lý tồn rẽ nhánh nút-yên ngựa, rẽ nhánh xuyên tới hạn, rẽ nhánh dĩa, rẽ nhánh Hopf Chương Sự bảo toàn tâm Lyapunov Trong chương ta tìm hiểu định nghĩa định lý tồn tâm Lyapunov Nội dung luận văn chủ yếu tham khảo từ sách [2] Luận văn xét rẽ nhánh hệ liên tục, tức phương trình vi phân Hà Nội, ngày 23 tháng 05 năm 2020 Học viên Nguyễn Thanh Hải Danh sách hình 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 Điểm yên ngựa (a) a < 0, (b) a = 0, (c) a > Lược đồ rẽ nhánh nút-yên ngựa không gian chiều (a) a < 0, (b) a = 0, (c) a > Lược đồ rẽ nhánh dĩa không gian chiều (a) a > 0, (b) a = 0, (c) a < Lược đồ rẽ nhánh xuyên tới hạn không gian chiều Bức tranh pha rẽ nhánh nút-yên ngựa không gian hai chiều 1.9 Lược đồ rẽ nhánh Hopf 1.10 (a) a = −0.5, (b) a = 0.5 2.1 2.2 2.3 2.4 ∂ 2f ∂ 2f (x , µ ) (x , µ ) 0 0 ∂x ∂x > 0, (b) − , (b) − , (b) − cho x(t + T ) = x(t) với t Số T nhỏ gọi chu kỳ nghiệm tuần hoàn x(t) Điểm p gọi điểm tuần hoàn hệ (1.2) nằm quỹ đạo tuần hồn γ = x(t) đó, tức tồn t0 cho p = x(t0 ) Với ε > 0, ký hiệu Nε (p) ε-lân cận điểm p, tức Nε (p) = {x ∈ Rm : x − p < ε} Định nghĩa 1.1.2 Cho p điểm cân Nếu tồn x ∈ N (p) mà lim ϕt (x) = p, t→+∞ > cho với p gọi điểm hút Nếu tồn > cho với x ∈ N (p) mà lim ϕt (x) = p, t→−∞ p gọi điểm đẩy Nói cách khác, điểm cân p gọi hút điểm gần p hút p tác động dòng ϕt ; điểm cân p gọi đẩy điểm gần p xa p tác động ánh xạ dòng ϕt Do dòng ϕt khả ngược, nên điểm cân p hút dòng ϕt p đẩy dịng ϕ−t Ta có tiêu chuẩn phổ để xác định điểm cân hút hay đẩy, dựa vào giá trị riêng ma trận Jacobi Định nghĩa 1.1.3 Cho f = (f1 , f2 , , fm ) ánh xạ Rm cho p ∈ Rm Ma trận Jacobi f p, ký hiệu Dp f , hay Df (p) ma trận  ∂f1 ∂x1  Dp f = Df (p) =  (p) · · · ∂fm ∂x1 (p) · · · ∂f1 ∂xm (p)    ∂fm ∂xm (p) đạo hàm thành phần p Định lý 1.1.4 Cho p điểm cân phương trình vi phân (1.2) hàm f trơn Khi đó, phát biểu sau (i) Nếu ma trận Dp f có giá trị riêng với phần thực âm Reλ < với λ ∈ σ(Dp f ) p hút (cũng gọi ổn định tiệm cận) (ii) Nếu ma trận Dp f có giá trị riêng với phần thực dương Reλ > với λ ∈ σ(Dp f ) p đẩy Trong không gian hai chiều không gian có số chiều lớn hơn, tồn điểm cân hỗn hợp (điểm yên ngựa) Điểm yên ngựa trường hợp đặc biệt điểm hyperbolic Xét hàm F : R × R2 : (λ, x) −→ F (λ, x), thỏa mãn F (λ, 0) = 0, Dx F (λ, 0) = Biểu diễn hệ ban đầu dạng khác  x x = λx1 + x2 + F1 (λ, x1 , x2 ) = −x1 + λx2 + F2 (λ, x1 , x2 ) (2.1) Khi đó, ta phát biểu lại Định lý Hopf theo cách sau, biến a nên xem biên độ gần nghiệm tuần hoàn Định lý 2.4.2 Cho (2.1) Giả sử tồn số a0 > 0, λ0 > 0, δ0 > 0, hàm giá trị thực λ∗ (a), T ∗ (a), hàm tuần hoàn x∗ (t, a) cho với ≤ a < a0 , • λ∗ (0) = 0, T ∗ (0) = 2π , x∗ (0, a) = a • x∗ (t, a) nghiệm (2.1) với λ = λ∗ (a), gồm thành phần  x∗ (t, a) = a cos t + o(|a|) x∗ (t, a) = a cos t + o(|a|) a → • Với |λ| < λ0 |T − 2π| < δ0 , nghiệm T -tuần hoàn x(t) (2.1) thỏa mãn x(0) = a x(t) < a0 Khi đó, x(t) = x∗ (t, a) Chứng minh Xét (2.1), đổi biến tọa độ cực, ta có  x = r cos θ x2 = r sin θ  x = r cos θ − θ r sin θ ⇒ x = r sin θ + θ r cos θ 29 Tính tốn trực tiếp, ta có r = x1 cos θ + x2 sin θ = (λx1 + x2 + F1 (λ, x1 , x2 )) cos θ + (−x1 + λx2 + F2 (λ, x1 , x2 )) sin θ = (λr cos θ + r sin θ + F1 (λ, x1 , x2 )) cos θ + (−r cos θ + λr sin θ + F2 (λ, x1 , x2 ) sin θ = λr + F1 (λ, x1 , x2 ) cos θ + F2 (λ, x1 , x2 ) sin θ Từ đó, r = λr + P (λ, r, θ) (2.2) với P (λ, 0, θ) = 0, Dr P (λ, 0, θ) = (2.3) Nếu r(λ, θ, a) nghiệm (2.2) với giá trị ban đầu r(λ, 0, a) = a, r(λ, θ + 2π, a) = r(λ, θ, a) với θ r(λ, 2π, a) = a (Đây nghiệm 2π -tuần hoàn (2.1).) Theo Công thức biến thiên số, nghiệm (2.1) thỏa mãn r(λ, 0, a) = a cho θ r(λ, θ, a) = eλθ a + eλ(θ−s) P (λ, r(λ, s, a), s)ds (2.4) r(λ, 0, a) = r(λ, 2π, a) = a λ a thỏa mãn 2π (1 − e−2πλ )a + e−λs P (λ, r(λ, s, a), s)ds = (2.5) Sử dụng Định lý hàm ẩn, giá trị a λ thỏa mãn phương trình đường cong mặt phẳng (a, λ) đường cong đồ thị trục a biểu thị λ hàm số a Từ (2.3), a = thỏa mãn (2.5) hàm lấy tích phân bị triệt tiêu Nghiệm tầm thường tương ứng với nghiệm cân Để tìm nghiệm tuần hồn không tầm thường, xét hàm h(a, λ) cho h(a, λ) ≡ − e−2πλ + a 2π e−λs P (λ, r(λ, s, a), s)ds, với a = 0, định nghĩa h(0, 0) = 30 Từ (2.3), h hàm khả vi gần a = λ = ∂h (0, 0) = −2π = ∂λ Do đó, từ Định lý hàm ẩn tồn hàm λ∗ (a) với λ∗ (0) = cho h(a, λ∗ (a)) = Bây giờ, với λ∗ (a) này, hàm r∗ (θ, a) ≡ r(λ∗ (a), θ, a) nghiệm 2π -tuần hồn (2.1) Do đó, quỹ đạo qua điểm x0 (a) = (a, 0) cho γ(x0 (a)) = {(x1 , x2 ) : x1 = r∗ (θ, a) cos θ, x2 = −r∗ (θ, a) sin θ; ≤ θ ≤ 2π} quỹ đạo tuần hoàn (2.1) Để thu nghiệm tương ứng (2.1), lấy θ∗ (t, a) nghiệm θ = + Θ(λ∗ (a), r∗ (θ, a), θ), thỏa mãn θ∗ (0, a) = Do chu kì nhỏ γ(x0 (a)) xác định giá trị T ∗ (a) θ(T ∗ (a), a) = 2π Đặc biệt, có T ∗ (0) = 2π Nếu ta định nghĩa x∗ (t, a) ≡ (r∗ (θ∗ (t, a), a) cos θ∗ (t, a), −r∗ (θ∗ (t, a), a) sin θ∗ (t, a)) Khi đó, x∗ (t, a) thỏa mãn điều kiện định lý Quay lại Ví dụ 1.3.2: Xét hệ phương trình vi phân  x = ax − y − x(x2 + y ) với x, y, a ∈ R y = x + ay − y(x2 + y ) Điểm cân hệ (0, 0) Ta có F (a, 0) = Dx F (a, x) = −3x2 − y −2xy −2xy −x2 − 3y Như vậy, Dx F (a, 0) = 31 0 0 Dễ tính phổ (tập giá trị riêng) ma trận A = a −1 −a σ(A) = a ± i Tính tốn trực tiếp cho ta    α(0)   β(0) = 0, = = 0,     dα (0) = = da Theo Định lý 2.4.2, điểm xảy rẽ nhánh Hopf điểm (0, 0) tương ứng với giá trị a = 32 Chương SỰ BẢO TOÀN TÂM LYAPUNOV 3.1 Tâm Lyapunov Xét hệ trơn x = F (x) với điểm cân x0 , tức F (x0 ) = Chúng ta thấy ổn định điểm cân x0 hệ thường xác định ma trận Jacobi Dx0 F trường véctơ trơn F Khi giá trị riêng ma trận Jacobi có phần thực âm, vị trí cân x0 ổn định tiệm cận Khi có giá trị riêng có phần thực dương, vị trí cân khơng ổn định Vấn đề: Điều xảy giá trị riêng ảo (có phần thực khơng)? Định nghĩa 3.1.1 Điểm cân x0 gọi điểm tâm (hay gọn hơn, tâm) hệ x = F (x) ma trận Jacobi A = Dx0 F trường véctơ F có giá trị riêng ảo σ(A) ⊂ iR Ví dụ 3.1.2 Xét hệ tuyến tính  x = y y = −x 33 Ma trận hệ J= −1 Phương trình đặc trưng λ2 + = 0, nên ta thu giá trị riêng λ = ±i ảo iR i R −i Vì vậy, điểm cân (0, 0) tâm Ta muốn nghiên cứu trạng thái hệ gần với hệ có tâm Từ nguyên lý tuyến tính hóa, ta đốn hệ tuyến tính hóa y = Ay có tâm 0, hệ ban đầu x = F (x) có tâm x0 Suy đốn nói chung sai Chúng ta trường hợp tuyến tính Đối với hệ tuyến tính hai chiều vừa xét  x = y y = −x với giá trị riêng ±i, gốc (0, 0) điểm cân bằng, tất nghiệm  x = C cos t + C sin t y = −C1 sin t + C2 cos t quỹ đạo tuần hoàn chu kỳ 2π : đường trịn đồng tâm1 (0, 0) (xem hình dưới) Tên gọi tâm điểm xuất phát từ ví dụ tiêu biểu 34 y x Bây ta nhiễu hệ số ma trận sau K= δ −1 δ Ma trận K có giá trị riêng δ ± i Với δ < 0, hệ u = Ku ổn định (hút) Với δ > 0, hệ u = Ku không ổn định (đẩy) Như vậy, với δ nhỏ khác khơng, hệ tuyến tính u = Ku khơng có tâm, dù gần với hệ có tâm u = Ju Tóm lại dù hệ tuyến tính hóa y = Ay có tâm 0, điểm cân x0 hệ ban đầu x = F (x) điểm hút, điểm đẩy, điểm yên ngựa, nghĩa tâm khơng bảo tồn 3.2 Hệ vi phân Hamilton Có lớp hệ phi tuyến bảo toàn tâm Lyapunov: lớp hệ vi phân Hamilton Định nghĩa 3.2.1 Cho hàm trơn H (gọi hàm Hamilton hàm lượng) H : R2 → R Hệ vi phân Hamilton hàm H hệ   x =  y ∂H ∂y ∂H =− ∂x Ví dụ 3.2.2 Phương trình sau Hamilton  x = x + y − 2xy y = −y + y − x 35 (3.1) với hàm Hamilton 1 H(x, y) = xy + y − xy + x2 Thật vậy, 1 Hx = xy + y − xy + x2 = y − y + x = −y x 1 Hy = xy + y − xy + x2 = x + y − 2xy = x y Ví dụ 3.2.3 Xét hệ vi phân mơ hình lắc đơn khơng có ma sát ngoại lực tác dụng x + k sin x = x khoảng cách góc so với chiều thẳng đứng, k = g/l với độ dài lắc l gia tốc trọng trường g Đặt y = x , ta có hệ vi phân sau  x = y y = − sin x Các dẫn dắt vật lý cho ta biểu thức lượng hệ E(x, y) = y2 + − cos x Dọc theo quỹ đạo γ(t) = (x(t), y(t)), ta có dE dE dx dE dy = + dt dx dt dy dt = (sin x)x + yy = y sin x − y sin x = nghĩa lượng bảo toàn dọc theo quỹ đạo Chú ý hệ vi phân hệ Hamilton với hàm Hamilton hàm lượng E 3.3 Tâm Lyapunov bảo toàn Trong hệ Hamilton, vị trí cân với giá trị riêng ảo có lân cận chứa quỹ đạo tuần hoàn Chúng ta nghiên cứu Định lý tâm Lyapunov trường hợp hai chiều cho đơn giản không giảm tổng quát 36 Định lý 3.3.1 (Định lý bảo toàn tâm Lyapunov) Giả sử O tâm hệ Hamilton (3.1) ±bi giá trị riêng đơn ma trận Jacobi A trường véctơ O Thêm giả sử khơng có giá trị riêng khác A bội nguyên bi Khi đó, lân cận U O chứa quỹ đạo tuần hoàn γ , chu kì của của 2π γ tiến O nghiệm tiến dần tới b Định lý chứng minh dựa vào Định lý rẽ nhánh Hopf Để chứng minh, ta xây dựng họ tham số phương trình vi phân mà (3.1) có thành phần a = Sau rẽ nhánh Hopf xảy a = 0, khơng có thành phần với a = có quỹ đạo tuần hồn Khả quỹ đạo tuần hoàn bắt nguồn từ điểm rẽ nhánh Hopf phải xảy với a = 0, nghĩa chúng quỹ đạo tuần hoàn xung quanh tâm Chứng minh • Bước Từ (3.1) ta suy H (v) = 0, v(x, y) H (v) = ∂H dx ∂H dy + ∂x dt ∂y dt Do đó, Halmiton H số dọc theo nghiệm Tổng quát: H ∈ R2n suy (x1 , , xn ; y1 , , yn ) ∈ R2n Khi đó, hai phương trình (3.1) trở thành hệ 2n phương trình  dxi ∂H  = , i = 1, n  dt ∂yi dy   i = − ∂H , dt ∂xi i = 1, n Bây giờ, giả sử Hamilton thỏa mãn giải thiết hai chiều Định lý tâm Lyapunov; gốc O cân ±bi giá trị riêng ma trận Jacobi O Nhúng hệ Hamilton vào họ tham số phương trình vi phân  ∂H ∂H  + x = a ∂x ∂y (3.2) ∂H ∂H  y = a − ∂y ∂x với a tham số vô hướng (a ∈ R) Khi a = 0, (3.2) trở thành (3.1) • Bước Chỉ {(a, O) : a ∈ R} đường cân 37 Ta có điểm cân thỏa mãn  ∂H   (x, y) = ∂y   ∂H (x, y) = ∂x Do O tâm Lyapunov (3.1) nên  ∂H   (0, 0) = ∂y ∂H   (0, 0) ∂x = Suy O = (0, 0) điểm cân  với a  ∂H  ∂x  Sử dụng kí hiệu gradH =  ∂H  J = , ta viết (3.2) −1 ∂y dạng ma trận dạng v = (aI + J)gradH(v) • Bước Chỉ khơng có quỹ đạo tuần hoàn (3.2) với a = Lấy (xa (t), ya (t)) nghiệm (3.2) Ta có ∂H dx ∂H dy dH (xa (t), ya (t)) = + dt ∂x dt ∂y dt ∂H ∂H ∂H a + = ∂x ∂x ∂y =a ∂H ∂x = a gradH + + ∂H ∂y ∂H ∂y a ∂H ∂H − ∂y ∂x = Như ta thấy lượng tăng giảm, nói riêng khơng tuần hồn Mục tiêu chứng minh (3.2) có rẽ nhánh Hopf a = 0, trường hợp tất quỹ đạo tuần hoàn rẽ nhánh xảy gốc O (gốc Hamilton) Cuối cùng, cần đường giá trị riêng hệ tuyến tính cắt trục ảo ib a = Lấy fa (v) = (aI + J)gradH(v) Khi   2 2 ∂ H ∂ H ∂ H ∂ H a ∂x2 + ∂y∂x a ∂x∂y + ∂y   Dv fa (v) =   ∂ 2H ∂ 2H ∂ 2H ∂ 2H  a ∂y∂x − ∂x2 38 a ∂y − ∂x∂y Do đó, Dv fa (0) = (aI + J)M ,  ∂ 2H  ∂x2 M = Hessian H =   ∂ 2H ∂y∂x  ∂ 2H ∂x∂y   ∂ 2H  ∂y • Bước Dễ thấy M ma trận đối xứng theo Định lý Schwartz ta có ∂ 2H ∂ 2H = ∂x∂y ∂y∂x Ta chứng minh M −1 ma trận đối xứng Để tiện tính tốn giả sử ma trận đối xứng M có dạng M = a b b c với detM = ac − b2 = Khi M −1 = ac − b2 c −b −b a Vậy M −1 ma trận đối xứng • Bước Có thể v = JM v (3.3) hệ Hamilton với hàm Hamilton E(v) = v T M v • Bước Lấy c(a) + d(a)i đường (path) giá trị riêng Dv fa (0) = (aI + J)M Theo bước bước 4, a = c(a) = • Bước Nếu λ giá trị riêng (aI + J)M , −λ giá trị riêng (−aI + J)M Giả sử λ giá trị riêng (aI + J)M det((aI + J)M − λI) = 39 Ta có det((aI + J)M − λI) = detM −1 [(aI + J)M − λI]T M = detM −1 M T (aI + J)T − λI M = det(M −1 M T (aI + J)T M − M −1 λIM ) = det((aI + J)T M − λI) = det(−(−aI + J)M + λI) Như thế, det(−(−aI + J)M + λI) = hay −λ giá trị riêng (−aI + J)M • Bước Sử dụng bước bước 7, ta kết luận giá trị riêng Dv fa (0) cắt trục ảo ±bi a = • Bước Từ phiên yếu (tức phiên hai chiều trình bày trên) Định lý rẽ nhánh Hopf, ta suy chu kì quỹ đạo tuần hoàn tiến 2π với quỹ đạo tuần hoàn lân cận gốc O b 40 KẾT LUẬN Đóng góp luận văn bao gồm: Trình bày lại khái niệm bản, tính tốn chi tiết minh họa hình học số ví dụ rẽ nhánh phương trình vi phân không gian chiều, hai chiều Trình bày định lý rẽ nhánh nút-yên ngựa, rẽ nhánh xuyên tới hạn, rẽ nhánh dĩa phương trình vi phân chiều, rẽ nhánh Hopf phương trình vi phân hai chiều Áp dụng định lý để xác định loại rẽ nhánh cho phương trình vi phân khơng gian chiều, hai chiều Trình bày định lý tâm Lyapunov Mặc dù cố gắng, nhiên luận văn khơng tránh khỏi sai sót, mong nhận góp ý q thầy bạn đọc 41 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Huy Tiễn (2019), Bài giảng hệ động lực (đang viết), Hà Nội Tiếng Anh [2] K T Alligood, T D Sauer, and James A Yorke (1996), An introduction to dynamical systems, New York [3] D K Arrowsmith and C M Place (1990), An introduction to dynamical systems, Cambridge University Press [4] W E Boyce, R C Diprima, and D B Meade (2017), Elementary differential equations and boundary value problems, John Wiley Sons, Inc [5] A Dawes, Bifurcation theory for discrete time systems, http://www.math.ualberta.ca/~atdawes/m371_2010/discrete_ bifurcation.pdf [6] J Guckenheimer and P Holmes (1983), Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields, Springer-Verlag, New York [7] J K Hale and H Kocak (1991), Dynamics and bifurcations, SpringerVerlag, New York [8] J H Hubbard and B H West (1995), Differential equations: a dynamical systems approach: higher-dimensional Systems, Springer-Verlag, New York [9] Y A Kuznetsov (2004), Elements of applied bifurcation theory, SpringerVerlag, New York 42 [10] L Perko (2006), Differential equations and dynamical systems, SpringerVerlag, New York [11] S H Strogatz (2018), Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology, chemistry, and engineering, CRC Press Taylor & Francis Group [12] S Wiggins (2003), Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos, Springer-Verlag, New York 43 ... trình bày định lý tồn rẽ nhánh nút-yên ngựa, rẽ nhánh xuyên tới hạn, rẽ nhánh dĩa, rẽ nhánh Hopf Chương Sự bảo toàn tâm Lyapunov Trong chương ta tìm hiểu định nghĩa định lý tồn tâm Lyapunov Nội... Theo Định lý 2.3.1 điểm xảy rẽ nhánh dĩa (0, 0) 2.4 Rẽ nhánh Hopf Rẽ nhánh Hopf hay rẽ nhánh Andronov -Hopf tượng rẽ nhánh sinh quỹ đạo tuần hồn Trong hình vẽ sau, a < ta có điểm cân ổn định tiệm... điểm cân bằng, ta gọi rẽ nhánh rẽ nhánh "dĩa" Lý ta gọi rẽ nhánh rẽ nhánh "dĩa" quan sát lược đồ rẽ nhánh (Hình 1.5), ta thấy hình dáng đồ thị giống dĩa Hình 1.5: Lược đồ rẽ nhánh dĩa không gian