Hình học phẳng với số phức

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUY€N VĂN CÚ HÌNH HOC PHANG VéI SO PHC LUắN VN THAC SY TON HOC H Nđi - 2017 NGUY€N VĂN CÚ HÌNH HOC PHANG VéI SO PHÚC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cap Mã so: 60.46.01.13 LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC PGS TS.NGUY€N HUU ĐI€N Hà N®i - 2017 ii Mnc lnc Danh mnc kí hi¾u Má đau Tong quan ve so phúc 1.1 Lý xuat hi¾n so phúc 1.1.1 L%ch su hình thành phát trien so phúc 1.1.2 Cách tiep c¾n so phúc 11 1.2 Bieu thúc đai so cua so phúc 12 1.2.1 Các khái ni¾m 12 1.2.2 Các phép toán 12 1.2.3 phúc liên hap 13 1.3 Dang lưang giác cua so phúc 14 1.3.1 Khái ni¾m 14 1.3.2 Các phép toán 14 1.3.3 Công thúc Moivre 14 1.3.4 Căn b¾c n cua so phúc 15 Công thúc so phúc cho hình HQC phang 16 2.1 Đ® đo góc cua hai tia .16 2.2 Phương trình đưàng thang 19 2.2.1 Phương trình tőng quát 19 2.2.2 Phương trình tham so 20 2.3 Phương trình đưàng trịn .26 2.3.1 phương trình tőng quát 26 2.3.2 Đưàng tròn đơn v% 27 2.3.3 Giao điem cua hai cát tuyen 28 2.3.4 Giao điem cua hai tiep tuyen .28 2.3.5 Chân đưàng vng góc ã dây cung .29 iii 2.4 2.5 Đưàng thang đưàng tròn Euler 30 2.4.1 Nhãn cua nhung điem đ¾c bi¾t tam giác 30 2.4.2 Các đ%nh nghĩa 32 Đưàng thang Simson .34 Úng dnng phương pháp so phúc giái tốn hình HQC phang theo đe 37 3.1 Bài tốn điem quan h¾ vái đưàng thang, đoan thang 37 3.2 Bài toán ve tính chat cua tam giác 44 3.3 Bài toán đưàng thang đong qui .52 3.4 M®t so tốn ve đưàng trịn 58 3.5 M®t so tốn kì thi 62 Ket lu¾n 67 Tài li¾u tham kháo 68 Danh mnc kí hi¾u arg z |AB| i |z| Argumen cua so phúc z Đ® dài đoan thang AB Đơn v% ão cua so phúc Mô đun cua so phúc z z So phúc có dang z = a + bi a, b, c chu nhõSo phúc hap nhãncua cuaz điem A, B, C z So phúc liên V(zz0,, zz1,, zz2), z ) Ti soTi kép so đơn z0,, z , z2 W cua cua z0 , z ( z , z3 A B Véc tơ A B IMO Viet tat cua International Mathematical Olympic ÝĐ ÝĐ Lài cám ơn Lu¾n văn ket quó cua có mđt quỏ trỡnh HQC v nghiên cúu m®t cách nghiêm túc Trong qua trình HQC t¾p thnc hiên lu¾n văn em nh¾n đưac sn quan tâm, giúp đã, đ®ng viên, cua thay cơ, ban đong nghi¾p Qua em xin gui lài cãm ơn tái nhung ngưài giúp em Lài đau tiên cho phép em xin gui lài cãm ơn sâu sac tái thay giáo hưáng dan PGS.TS.Nguyen Huu Đien Thay giao đe tài t¾n tình hưáng dan em q trình hồn thành lu¾n văn Nhân d%p em xin gui lài cám ơn cua tái thay giáo khoa Tốn-Cơ-Tin HQC t¾n tình giãng day giúp chúng em suot q trình HQC t¾p tai khoa em xin cãm ơn nhung ý kien đóng góp cua thay h®i seminar cho em nhung ý kien hay đe em hồn thành lu¾n văn Đong thài, em xin gui lài cãm ơn tái ban giám hi¾u tő tốn trưàng THPT My Đúc B đng viờn, tao ieu kiắn cho em rat nhieu q trình em tham gia khóa HQC Và hồn thành lu¾n văn Em xin cãm ơn ban láp cao HQC khóa 2015 2017 tao mđt mụi trng HQC on ket v giỳp ó h tra HQC H nđi, ngy thỏng 12 năm 2017 HQC VIÊN NGUY€N VĂN CÚ Má đau M®t nhung thành tnu to lán mang tính bưác ngo¾t cua tốn HQC phát hi¾n phát trien so phúc Đieu the hi¾n ã chő l%ch su phát trien so phúc trãi qua m®t thài gian dài vái rat nhieu nhung quan điem khác nhung tranh lu¾n cua nhà tốn HQC Tuy nhiên so phúc đưac cơng nh¾n phát trien đóng góp rat nhieu nhung thành tnu cho tốn HQC như: nhà có so phúc chúng minh đưac "đ%nh lí bãn" cua đai so, úng dnng cua so phúc hình HQC, v¾t lý The so phúc lai mđt khỏi niắm toỏn HQC CềN khỏ mỏi me oi vái HQC sinh trung HQC phő thơng hi¾n Bãi hi¾n chương trình tốn HQC phő thơng mái chi a vo v giỏi thiắu ve so phỳc mđt cỏch rat bãn, túc chi mang tính chat giái thiắu mđt so cỏc khỏi niắm c bón cua so phúc dang đai so cua so phúc Tuy nhiên so phúc có the đưac bieu dien dưái nhieu dang như: dang đai so, dang lưang giác, dang mũ, dang cnc, dang hình HQC Do so phúc m®t cơng cn huu hi¾u đe giãi quyet van đe tốn HQC, đong thài có nhung úng dnng lĩnh vnc khoa HQC tn nhiên khác V¾y mà ã nưác ta hi¾n chưa có nhieu tài li¾u nghiên cúu ve so phúc úng dnng cua lĩnh vnc tốn sơ cap Vì v¾y lu¾n văn cua em xin trình bày đe tài "HÌNH HOC PHANG VéI SO PHÚC" túc nghiên cúu úng dnng so phúc đe giãi toán hình HQC phang Thơng qua đe tài em mong muon đưac tìm hieu sâu ve úng dnng cua so phúc lĩnh vnc hình HQC phang, qua em mong muon úng dnng cua so phúc se ac tiep cắn nhieu hn rđng rói hn van đe tốn HQC Lu¾n văn đưac chia làm ba chương Chương Tong quan ve so phúc Trong chương em trình bày l%ch su phát trien cua so phúc, kien thúc tőng quan ve so phúc như: dang so phúc, phép toán so phúc, tính chat cua so phúc Chương Các cơng thúc so phúc cho hình HQC phang Trong chương em trình bày cơng thúc so phúc cho đưàng thang gom phương trình tőng quát phương trình tham so cua đưàng thang, cơng thúc điem đ¾c bi¾t cua tam giác (TRQNG tâm, trnc tâm, ), cơng thúc phương trình đưàng trịn (giao điem cua hai cát tuyen, giao điem cua hai tiep tuyen, ),đưàng thang Euler, đưàng tròn Euler, đưàng thang Simson Chương Úng dnng phương pháp so phúc giái tốn hình HQC phang theo đe Trong chương em trình bày van đe úng dnng công thúc so phúc đe giãi tốn hình HQC phang theo chu đe: Xét tính chat cua điem quan h¾ vái đưàng thang, đoan thang; xét tính chat cua tam giác; xét tính đong qui cua đưàng thang; m®t so tốn ve đưàng trịn; m®t so tốn kì thi Do thài gian thnc hi¾n lu¾n văn khơng nhieu, kien thúc bãn thân cịn han che đe tài lu¾n văn mái nên làm lu¾n văn khơng tránh khõi nhung han che sai sót Em rat mong nh¾n đưac sn góp ý nhung ý kien phãn bi¾n cua q thay ban ĐQC Em xin chân thành cãm ơn! Chương Tong quan ve so phúc 1.1 Lý xuat hi¾n so phúc Nh ta ó biet quỏ trỡnh mó rđng cỏc hap so Tù t¾p hap so tn nhiên, đen t¾p hap so nguyên, đen t¾p hap so huu ti, đen t¾p hap so thnc t¾p hap so thnc t¾p trù m¾t trnc so đ%nh Chang trìnhtaxthay +1 =ton khơng cóso nghi¾m R.che Tuynhat nhiên xét trênhan, t¾p phương hap so thnc van tai mđt nhung han Cõu hừi l liắu cú ton tai t¾p hap so đe phương trình có nghi¾m Q trình nghiên cúu phát trien van đe dan đen ket q xuat hi¾n t¾p hap so phúc 1.1.1 L%ch sú hình thành phát trien so phúc ? ? ?châu Âu sau đêm trưàng trung cő Các đai lưang ão 1, b 1, a + b L%ch su so phúc bat đau tù the ki XV I Đó thài kì phnc hưng cua tốn HQC Italia "Ngh¾ thu¾t vĩ đai ve qui tac đai so" (1545) cua G.Cardano xuat hi¾n đau tiên tù the ki XV I cơng trình cua nhà tốn HQC (1501 1576) "Đai so" (1572) cua R.Bombelli (1526 1572) Nhà toán HQC Đúc Felix Klein (1849 1925) đánh giá cơng trình cua G.Cardano sau: "Tác pham quý giá đen t®t đinh chúa đnng mam mong cua đai so hi¾n đai vưat xa tam cua tốn HQC CŐ đai" ? hi¾u lài giãi hình thúc cua phương trình x2 + = Xét bieu ? thúc b Khi giãi phương trình b¾c hai G.Cardano Bombelli đưa vào xét kí nghi¾m hình thúc cua phương trình x2 + b2 = Khi bieu thúc tőng quát có dang a + b ? 1, b có the xem nghi¾m hình thúc cua phương trình (x a)2 + b2 = ? Ve sau bieu thúc dang a + b 1, b xuat hi¾n q trình giãi phương trình b¾c hai, b¾c ba (cơng thúc Cardano) đưac GQI đai lưang "ão" sau đưac ?Gauss GQI so phúc thưàng đưac kí hi¾u a + bi, kí hi¾u i := đưac Euler đưa vào (năm 1777) GQI đơn v% "ão" ? dien rat ch¾m chap Ngay tên GQI kí hi¾u i := đơn v% ão cng ó Quỏ trỡnh thựa nhắn so phỳc nh mđt cơng cn q giá cua tốn HQC gây nên nhieu női băn khoăn, thac mac Tù dan đen khung hỗng niem tin ngưài ta van làvái mđt hiắuthong trựu tang ngha i2 = nú khơng có xem chung so kí truyen - m®tthõa cơng cn đ%nh cua phép đem M¾c dù Sn khung hoãng niem tin trã nên sâu sac bãi viắc chuyen mđt cỏch thieu cõn nhac v thieu thắn TRQNG m®t so qui tac cua đai so thơng thưàng cho so phúc sãn sinh nhung ngh%ch lí khó ch%u Chang han ngh %ch lí sau: ? Vì i = nên i2 = Nhưng đong thài bang cách su dnng qui tac thông thưàng cua phép tốn khai b¾c hai ta lai thu đưac ket quã sau i = aa b 1= ( 1)( 1) = b ( )2 = ? = Như v¾y = Ta nhan manh lai rang h¾ thúc i2 = đ%nh nghĩa so mái i cho phép ta đưa vào xét so phúc Đieu có nghĩa rang h¾ thúc khơng the chúng minh, mà chi qui ưác Tuy v¾y có ngưài muon chúng minh hắ thỳc ú Trong cuon sỏch "Phng phỏp tQA đ" cua mình, vi¾n sĩ L.S.Pointriagin mơ tã lai chúng minh sau Đau tiên ngưài ta lay nua đưàng trịn đưàng kính AB Tù điem R tùy ý cua nua đưàng trịn đưàng vng góc RS trung bình nhân giua đ® dài cua đoanAS SB Vì nói đen đ® dài nên se khơng sai sót lán nói rang bình phương đoan RS bang tích đoan thangAS BS Bây già, trã ve vái m¾t phang phúc, kí hi¾u điem A, điem +1 B điem i R Khi S se điem Tác giã cua phép chúng minh l¾p lu¾n sau: Đoan thang RS i, đoan thang AS SB +1 Như v¾y theo đ%nh Xét p r qs = (a + b + k abk) abk) a k = a + k (a b + k + ( a + b + k + abk) ( a b + k abk) pr M¾t khác ti so so thuan ão Th¾t v¾y qs p q r s a k = = a+k a k 1 + a Suy PR vng góc vái QS p Thnc hi¾n tương tn ta có s q k = k a = k+ = k r a b b+ pr q s s p p s = q r k Và ti so so thuan ão Nên suy PS vng góc vái QR Bài tốn 3.28 Cho P điem nua đưàng tròn (S) vái đưàng kính AB Trên (S) lay hai cung BC CD bang Chnng minh rang neu AC BP cat tai E, AD CP cat tai F EF vng góc vái AD Lài giãi CHQN hắ tQA đ cho nua ng trũn ó cho nua đưàng tròn đơn v% A, B nam trnc hoành Suy a = 21, b = 1, ta tính đưac bd = c (vì cung BD bang hai lan Khi cung ta cóBC), hay c = d (a + c)bp (b + p)ac bp ac (c 1)p + (p + 1)c = e= p+c (cc)2c2 1)pc + ( p + f = pc = +c Hình 3.27: (c2 1)p + (p + c)c Do p+c p ( c 1) + ( p + + c)1 c )c p (c+ c1)p ( p f e= Tù suy f ed a (p + 1)(c 1) = p+c = c (p + 1)(c (p + c)(c2 + 1) 1) 62 Và f e d a = = 1) c (p + 1)(c ( p + c)(c2 c( p + 1)(c 1) + 1) ( p + c)(c2 + 1) 62 = Hay ti so f fe e d a so thuan ão d a Đieu chúng tõ EF AD vng góc vái 3.5 M®t so tốn kì thi Bài tốn 3.29 (Đe vô đ%ch nưác Anh 1983) Cho tam giác ABC cân ã đinh A GQI I tâm đưàng tròn ngoai tiep tam giác ABC; D trung điem cua AB G trQNG tâm cua tam giác ACD Chnng minh rang IGKCD Li giói CHQN hắ tQA đ cho đưàng tròn ngoai tiep tam giác ABC đưàng trịn đơn v% Khi đinh A, B, C thu®c đưàng trịn đơn v% nên nhãn tương úng cua đinh aađiem = bb ccnên = Dothõa D làmãn trung cua=AB d = Suy a+b a+b 2c a b DC = c d = c = M¾t khác G TRQNG tâm cua tam giác ACD nên nhãn cua điem G a a+c+ a+b g= +c+d = = 62 3a + 2c + b Hình 3.28: 62 3 Tù suy IG = a + 2c + b (trong I goc tQA đ®) Đe chúng minh IG K CD ta can chúng minh IG.DC = Th¾t v¾y ta có a + 2c + b 2c a b 3a + 2c + b 2c a b )( )+( )(2 ) IG.DC = ( = ( 4ab + 4ca 4ab + 4ac) = ( ab + ca ab + ac) 121 Suy IG.DC = ( ab + ca ab + ac) Hơn nua AC = AB nên suy (c a)(c a) = (b a)(b a) ðñ ca + ac = ba + ab 63 IG.DC = Hay ab + ca ab + ac = Suy V¾y chúng tõ IGKCD Bài toán 3.30 (IMO lan thn 17, 1975) Bên tam giác ABC dnng tam giác ABR, BCP, CAQ cho P z { BC = C AQ = 45 { ABR = { z B { CP = Q CA = 30 RAB = 15 Chnng minh rang tam giác PRQ vuông cân tai R Li giói Xột hắ tQA đ vuụng gúc vái goc tQA đ® R GQI M chân đưàng vng góc tù điem P xuong BC Khi ta có MP = MB (vì O BMP vng cân) MC = MP p c Nên ta có m = i = i 3, suy m b p m m c + 3b b c ? ? ? p= ? ? + i 1+ 1+ Bien đői tương tn ta đưac c+ q= 1+ ?a ? a c + 1+ ? i Hình 3.29: 5π Thnc hi¾n phép quay điem A quanh điem R m®t góc θ = 1500 = ta đưac điem B Nên ? 5π 5π b = a(cos + i sin ) = a( + i) 6 2 Dùng phép bien đői đai so ta chúng tõ đưac rang p = i Suy RQKRP Hơn nua pPRQ = qilà= q giác Nênvng suy racân RQ = RP V¾y tam q 64 Bài tốn 3.31 (IMO 1977) Cho hình vng ABCD, dnng ve phía hình vng tam giác đeu ABK, BCL, CDM, DAN Chnng minh rang trung điem cua đoan thang KL, LM, MN, NK, BK, BL, CL, CM, DM, DN, NA, AK đinh cua mđt thắp nh% giỏc eu Li giói CHQN hắ tQA đ cú goc O l tõm cua hỡnh vng ABCD Giã su hình vng ABCD Khi đ%nh nhãn hưáng cua cácdương điem tương úng b = ai, c = a, d = Đ¾t w = ei , ta có k = (iw + w)a, l = ( w + iw)a m = ( iw w)a, n = (w iw)a Đe ý rang đa giác P1Q1S1P2Q2S2P3Q3S3P4Q4S4 nh¾n điem O làm tâm đoi xúng, vái f phép quay tâm O, góc ϕ = π chi can chúng minh Hình 3.30: f ( p n ) = qn, f (q n) = sn, f (sn) = pn+1 vái n = 1, Th¾t v¾y ta có p 1 a = (k + l) = [(i 1)w + (i + 1)w] a p2 = [ (i + 1)w + (i 1)w] 2a q 1= [ i( + w ) + w ] a s1 = i π (1 + iw + w) a f ( p1 ) = G p1 = [(i 1)Gw a+ (i + 1) G w ] = q1 f ( q1 ) = G q1 = (i G + i G w + Gw ) = s1 2a f ( s ) = G s1 = Khi vái G = e ( G + i G w + G w ) = p2 Thnc hi¾n tương tn ta thu đưac ket quã f ( p ) = q , f ( q ) = s , f ( s ) = p3 Sau lay đoi xúng qua tâm O ta thu đưac ket quã can chúng minh Bài toán 3.32 (IMO lan thn 23) Cho tn giác ABCD, canh AB, CD ve tam giác đeu ABM, CDP phía ngồi tn giác, canh BC, AD ve tam giác BCN, ADQ vào phía tn giác Hãy xác đ%nh dang cua tn giác MNPQ Lài giãi π π Đ¾t G = cos + i sin 3 π góc ϕ = 60 = ta thu đưac điem M nên ta có Thnc hi¾n phép quay điem B quanh tâm A m®t m = a + ( b a ) G Tương tn quay điem B quanh tâm C m®t góc π ϕ = ta thu đưac điem N nên ta có n = c + (b c ) G π Quay điem D quanh tâm C m®t góc ϕ = ta thu đưac điem P nên ta có p = c + (d c )G π Quay điem D quanh tâm A m®t góc ϕ = ta thu đưac điem Q nên ta có q = a + (d a )G Hình 3.31: De thay rang m + n = a + c + (b + d a c)G = p + q Đang thúc chúng tõ MNPQ hình bình hành ho¾c M, N, P, Q thang hàng Bài tốn 3.33 (IMO lan thn 23) Cho lnc giác đeu ABCDEF, đưàng chéo AC lay CN điem M CE lay điem N cho = = r Tìm r đe ba điem B, M, N thang AM AC hàng CE Li giói CHQN hắ trnc tQA đ cho goc tQA đ® tâm đưàng trịn ngoai π tiep lnc π giác đeu ABCDEF Đ¾t G = cos + i sin 3 Khi nhãn cua đinh B, C, D, E, F, A theo thú tn 1, G, G2 , G3 , G4 , G5 MC N 1r Ta có E = Suy nhãn cua MA = r NC điem M, N lan lưat m = Gr + G (1 r) n = G2 r + G (1 r ) m Đe ba điem B, M, N thang hàng R n P Hình 3.32: Ta có m = Gr + G5 (1 ? = 1+i r) = Gr G (1 ? r 1+i (1 r) = r) ? + 1+i (2r 1) n 2 = G r + G (1 r ) r+ ? 3r i = Suy m n 1 + i? 1= (1 r) (1 r) + 22 ? + i 3(2r 1) ? = 2 ? 3(1 r) ? 3(2r 1)(1 + 3r) (1 + 3r) + i 3(1 r) + 3r + 3(2r 1)(1 ? ? = r) + + [ 3(1 r)]2 + [ 3(1 ( + 3r ) ( + 3r ) m Do n P R chi ? ? 3(1 r) (1 + 3r) 3(2r 1) = Suy r = ? ðñ r = 6r r V¾y ba điem B, M, N thang hàng chi r = ðñ r ? r)]2 = i Ket lu¾n Lu¾n văn vái đe tài "Hình HQC phang vái so phúc" giãi quyet nhung van đe sau: 1.Lu¾n văn h¾ thong lai khái ni¾m bãn giái thi¾u ve sn hình thành phát trien cua so phúc 2.Lu¾n văn h¾ thong cơng thúc ve phương trình đưàng thang, phương trình đưàng trịn, tQA đ® TRQNG tâm, tQA đ® trnc tâm, tQA đ® chân đưàng vng góc 3.Lu¾n văn giái thi¾u tốn theo chu đe: quan h¾ giua điem đoan thang, đưàng thang; tính chat dang tam giác; ve quan h¾ đong qui cua đưàng thang; ve đưàng trịn 4.Lu¾n văn t¾p hap đưac m®t so tốn kì thi Olympic có úng dnng phương pháp so phúc đe giãi quyet Tài li¾u tham kháo A Tieng Vi¾t [1]Nguyen Huu Đien (2000), Phương pháp so phnc hình HQC, NXB Đai HQC quoc gia, H Nđi [2]Nguyen Vn Mắu, Tran Nam Dũng, Nguyen Đăng Phat, Nguyen Thuy Thanh (2009), Chuyên đe cHQN LQC so phnc áp dnng, NXB Giáo dnc [3]Đồn Quỳnh (1998), So phnc vái hình HQC phang, NXB Giáo dnc B Tieng Anh [4]Andreescu T Andrica D (2006), Complex Numbers from A to Z, Birkhaăuser Boston [5]Deaux, R (1956), Introduction to the Geometry of Complex Numbers, Ungar, New York [6]Engel, A (1998), Problem-Solving Strategies, Springer-Verlag, New York [7]Hahn, L (1994), Complex Numbers & Geometry, The Mathematical Association of America [8]Modenov, P S (1981), Problems in Geometry, MIR, Moscow [9]Schwerdtfeger, H (1962), Geometry of Complex Numbers,University of Toronto Press, Toronto [10]Yaglom, I M (1968), Complex Numbers in Geometry, Academic Press, New York ... bày đe tài "HÌNH HOC PHANG VéI SO PHÚC" túc nghiên cúu úng dnng so phúc đe giãi tốn hình HQC phang Thông qua đe tài em mong muon đưac tìm hieu sâu ve úng dnng cua so phúc lĩnh vnc hình HQC phang,... c¾n so phúc, nhiên ã ta CHQN cách đ%nh nghĩa so phúc theo tiên đe minh HQA sã hình ãnh hình HQC Như ta biet bieu dien hình HQC CUA so thnc đưàng thang có hưáng GQI trnc so Ta xét m¾t phang có gan... cua tốn HQC CŐ đai" ? hi¾u lài giãi hình thúc cua phương trình x2 + = Xét bieu ? thúc b Khi giãi phương trình b¾c hai G.Cardano Bombelli đưa vào xét kí nghi¾m hình thúc cua phương trình x2 + b2