Hàm toàn phương lồi suy rộng và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN VĂN THIỆN HÀM TOÀN PHƯƠNG LỒI SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN VĂN THIỆN HÀM TOÀN PHƯƠNG LỒI SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM Hà Nội – 2015 Mnc lnc M®t so kí hi¾u Kien thÉc chuan b% 1.1 Không gian Ơclit 1.2 T¾p loi 1.3 Hàm loi 1.4 Hàm tna loi .10 1.5 Hàm gia loi 14 1.6 Moi quan h¾ giua nhung hàm loi suy r®ng .16 Hàm tồn phương loi suy r®ng 18 2.1 Nhac lai m®t so đ%nh nghĩa 18 2.2 M®t so tính chat cna hàm tồn phương loi suy r®ng .19 2.3 Tiêu chuan kiem tra theo giá tr% riêng véctơ riêng 23 2.4 Tiêu chuan kiem tra theo ma tr¾n Hessian tăng cưịng 32 2.5 Tiêu chuan kiem tra theo đ%nh thúc biên 33 2.6 Tiêu chuan xác đ%nh cho oc-tan không âm 34 2.7 Tính gia loi oc - tan nua dương oc - tan không âm Úng dnng vào lý thuyet toi ưu 54 3.1 Úng dung vào toán toi ưu vói ràng bu®c hình 3.2 Úng dung vào tốn toi ưu có ràng bu®c bat thúc Tài li¾u tham khao 51 HQc 54 57 64 Bang kí hi¾u R đưịng thang thnc Rn R = R ∪ {−∞, +∞} f :X →R int A A dom(f ) epi(f ) ϕJ (x) ∇f (x) ϕJJ (x) ∇2f (x) khơng gian Euclid n - chieu t¾p so thnc suy r®ng ánh xa tù X vào R phan cna A bao đóng cna A mien huu hi¾u cna f đo th% cna f đao hàm cna ϕ tai x gradient cna f tai x đao hàm b¾c hai cna ϕ tai x ma tr¾n Hessian cna f tai x (., ) tích vơ hưóng Rn ||.|| chuan không gian Rn |x| tr% tuy¾t đoi cna so x af (A) bao loi affine cna A coA bao loi cna A (x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1)} đoan thang mo noi x y (x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1]} đoan thang mo noi x y [x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]} đoan thang đóng noi x y L(f, α) = {x ∈ X | f (x) ™ α} t¾p múc dưói Ma đau Trong quy hoach phi tuyen kinh te lưong, tính tna loi gia loi đưoc xem sn mo r®ng quan TRQNG cna tính loi Mđt tro ngai lm viắc vúi nhung khỏi niắm loi suy r®ng chúng khơng de kiem tra Vì v¾y, ngưịi ta mong muon đưa nhung tiêu chuan thnc tien đe kiem tra tính loi suy r®ng Luắn ny trỡnh by mđt cỏch cú hắ thong nhung n®i dung ban nhat ve lóp hàm tồn phương loi suy r®ng m®t so úng dung cna vào lý thuyet toi ưu Lu¾n văn đưoc trình bày gom chương Chương 1: Kien thúc ban Tác gia trình bày kien thúc ban ve t¾p loi, hàm loi, hàm tna loi, hàm gia loi v moi quan hắ giua cỏc hm loi suy rđng Các kien thúc ban đưoc su dung đe nghiên cúu van đe chương Chương 2: Hàm toàn phương tna loi hàm toàn phương gia loi Nđi dung chớnh cna chng trung trỡnh by cỏc tiêu chuan kiem tra tính loi suy r®ng cna hàm toàn phương Các tiêu chuan đưoc nêu chương gom: tiêu chuan kiem tra theo giá tr% riêng véc tơ riêng, tiêu chuan kiem tra theo ma tr¾n Hessian tăng cưòng, tiêu chuan kiem tra theo đ %nh thúc biên, tiêu chuan kiem tra cho Oc-tan không âm xét tính gia loi cna m®t hàm tồn phương oc-tan nua dương oc - tan không âm Chương 3: Úng dung vào tốn toi ưu Lu¾n văn trình bày ve úng dung cna hàm tồn phương loi suy r®ng vào nghiên cúu tốn toi ưu tồn phương vói ràng bu®c hình HQ c tốn toi ưu vói ràng bu®c bat thúc Nhân d%p này, tác gia lu¾n văn xin bày to lịng kính TRQNG biet ơn sâu sac tói PGS.TS Nguyen Năng Tâm hưóng dan t¾n tình tác gia hồn thành lu¾n văn Tác gia xin bày to lòng biet ơn chân thành đen thay phan bi¾n dành thịi gian góp nhieu ý kien q báu cho tác gia Tác gia xin trân ban lãnh đao khoa Toán – Cơ – Tin HQ c, thay giáo trưịng Đai HQc Khoa Tn nhiên, Đai HQ c ĐQ c đóng TRQNG cam ơn khoa Sau đai HQ c HQ c Quoc gia Hà Nđi ó trang b% kien thỳc, tao ieu kiắn thuắn loi cho tác gia suot thòi gian tác gia HQ c t¾p tai trưịng Cuoi cùng, tác gia xin cam ơn gia đình, ban bè đong nghi¾p quan tâm, đ®ng viên chia se đe tác gia hon thnh luắn cna mỡnh H Nđi, ngy 02 tháng 10 năm 2015 Tác gia lu¾n văn Tran Văn Thi¾n Chương Kien thÉc chuan b% Chương trình bày m®t so n®i dung kien thúc ban ve t¾p loi, hàm loi, hàm tna loi, hàm gia loi v moi quan hắ giua cỏc hm loi suy rđng Nhung n®i dung đưoc trình bày chương chn yeu cHQN tù tài li¾u Mathematics of Optimization: Smooth and Nonsmooth Case cna G Giorgi, A Guerraggio and J Thierfelder [17] nhung tài li¾u trích dan 1.1 Khơng gian Ơclit T¾p hop Rn := {x = (x1, , xn) | x1, , xn ∈ R} vói hai phép toán (x1, , xn) + (y1, , yn) := (x1 + y1, , xn + yn) λ(x1, , xn) := (x1, , xn), R lắp thnh mđt khụng gian véc tơ Ơclit n−chieu Neu x = (x1 , , xn ) ∈ R xi GQI thành phan ho¾c x Véc tơ khơng cna khơng gian đơn gian 0, v¾y = (0, , 0) GQI TQA đ® thú i cna goc cna Rn đưoc kí hi¾u Trong Rn ta đ%nh nghĩa tích vơ hưóng tac (., ) sau: vói x = (x1, , xn), y = (y1, , yn) ∈ Rn, n Σ (x, y) = xiyi i=1 Khi vói MQI x = (x1 , , xn ) ∈ Rn ta đ%nh nghĩa √ ǁxǁ : = GQI 1.2 ‚.Σn (x, x) = (xi) , i= chuan Euclid cna véc tơ x T¾p loi Đ%nh nghĩa 1.1 T¾p C ⊂ Rn đưoc GQi loi, neu ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R : ≤ λ ≤ ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ C M¾nh đe 1.2 Cho Cα ⊂ Rn (α ∈ I) t¾p loi, vái I t¾p chs so T bat kì Khi C = Cα loi α∈I M¾nh đe 1.3 Cho t¾p Ci ⊂ Rn loi, λi ∈ R (i = 1, 2, , m) Khi λ1C1 + + λmCm t¾p loi M¾nh đe 1.4 Cho t¾p Ci ⊂ Rni loi, (i = 1, 2, , m) Khi tích Đe C1 × × Cm t¾p loi Rn1 × × Rnm Đ%nh nghĩa 1.5 Véc tơ x ∈ Rn đưoc x1, , xm Rn tő hop loi cna véctơ Σ m thu®c , neu ∃λi ≥ 0(i = 1, 2, λi = cho i= , m) , GQI m Σ x = λix i i=1 Đ%nh lý 1.6 Cho t¾p C ⊂ Rn loi; x1, , xm ∈ C Khi C chúa tat ca tő hap loi cua x1, , xm Đ%nh nghĩa 1.7 Cho C ⊂ Rn Giao cna tat ca t¾p loi chúa C đưoc GQI bao loi cna t¾p C, kí hi¾u coC Đ%nh nghĩa 1.8 Gia su C ⊂ Rn Giao cna tat ca t¾p loi đóng chúa C đưoc gQI bao loi đóng cna t¾p C kí hi¾u coC M¾nh đe 1.9 Cho C ⊂ Rn loi Khi đó, i) Phan intC bao đóng C cua C t¾p loi; ii) Neu x1 ∈ intC, x2 ∈ C, {λx1 + (1 − λ)x2 : < λ ≤ 1} ⊂ intC 1.3 Hàm loi Đ%nh nghĩa 1.10 Cho hàm f : C → R, C ⊂ Rn, t¾p epi(f ) = {(x, α) ∈ C × R | f (x) ≤ α} , đưoc gQI đo th% cna f Đ%nh ngha 1.11 Cho C Rn l mđt loi, f : C → R Hàm f đưoc GQI loi C neu đo th% epi(f ) cna nú l mđt loi Rn ì R Hm f đưoc GQi lõm C neu −f hm loi trờn C Ta nhac lai mđt so ắc trưng tính chat cna hàm loi m®t bien kha vi Đ%nh lý 1.12 Cho ϕ : (a, b) → R i) Neu ϕ kha vi (a, b) ϕ loi (a, b) chs ϕJ khơng giam (a, b) ii) Neu ϕ có đao hàm b¾c hai (a, b) ϕ loi (a, b) chs ϕJJ(t) “ vái MQI t ∈ (a, b) iii) Neu ϕ loi [a, b] ϕ liên tnc (a, b) Đ%nh lý 1.13 Cho C t¾p loi khơng gian Rn f : C → R Khi đó, đieu ki¾n sau tương đương: a) f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) , ∀λ ∈ [0, 1] , ∀x, y ∈ C b) f (λx + (1 − λ) y) “ λf (x) + (1 − λ) f (y) , ∀λ > 1, ∀x, y ∈ C cho λx + (1 − λ) y ∈ C c) f (λx + (1 − λ) y) “ λf (x) + (1 − λ) f (y) , ∀λ < 0, ∀x, y ∈ C cho λx + (1 − λ) y ∈ C d)(Bat thúc Jensen) Vái bat kì x1, , xm ∈ C, i = 1, , m vái Σm bat kì λi ∈ [0, 1], i = 1, λi = bat thúc sau i= đúng: , m, f (λ1 x1 + + λm xm ) ≤ λ1 f (x1 ) + + λm f (xm ) e) Vái MQI x ∈ C, vái MQI y ∈ Rn, hàm ϕx,y(t) = f (x + ty) hàm loi đoan Tx,y = {t ∈ R | x + ty ∈ C} f) Vái MQI x, y ∈ C, hàm ψx,y(λ) = f (λx + (1 − λ)y) loi đoan [0, 1] g)Trên đo th% cua f t¾p loi Rn+1 Đ%nh lý 1.14 Gia su C ⊂ Rn mđt loi mỏ, f : C R Khi đó, f loi C chs vái mQi x0 ∈ C, ton tai x∗ ∈ Rn cho f (x) − f (x0 ) “ x∗ (x − x0 ), x ∈ C Đ%nh lý 1.15 Cho C Rn l mđt loi v f : C → R Khi đó, neu f loi C thì, vái MQI α ∈ R t¾p múc dưái cua f L(f, α) = {x ∈ C | f (x) ≤ α} t¾p loi Ví dn Xét hàm so f : R → R xác đ%nh boi f (x) = x3 Ta có f khơng loi R, L(f, α) = {x ∈ R | x3 ≤ α} = {x ∈ R | x ≤ α1/3 } t¾p loi vói MQI α ∈ R Đ%nh lý 1.16 Cho C Rn l mđt mỏ f : C → R kha vi C Khi khang đ%nh sau tương đương: a) f loi C f : R2 → R, f (x, y) = (y − x2)(y − 2x2), có điem đ%a phương theo tia tai x0 − (0, 0), x0 = (0, 0) không phai điem cnc tieu đ%a phương Tuy nhiên, ta có Đ%nh lý 3.9 Xét tốn (QP1 ) Neu Q hàm tna loi C MQI nghi¾m cnc tieu đ%a phương theo tia đeu nghi¾m cnc tieu đ%a phương Chúng minh Xem [36] Đ%nh lý 3.10 Xét toán (QP1) Neu Q hàm tna loi nua ch¾t C x0 nghi¾m cnc tieu tồn cnc chs x0 nghi¾m cnc tieu đ %a phương theo tia Chúng minh Xem [36] 3.2 Úng dnng vào toán toi ưu có ràng bu®c bat thÉc Bây giị ta xét tốn quy hoach tồn phương {Q (x) | x ∈ C, Qi(x) + αi ™ 0, i = 1, , m} , (QP2) C ⊂ Rn t¾p loi Q, Qi : Rn → R, i = 1, , m, hàm tồn phương Kí hi¾u x∗ l mđt nghiắm cna (QP2 ), I(x ) = {i | Qi (x∗ ) + αi = 0} GQI l chs so rng buđc hoat tai x Đ%nh lý 3.11 Gia su hàm Q (QP2 ) hàm tna loi ch¾t C, vái MQI i ∈/ I(x∗ ) hàm Qi tna loi C Khi min{Q(x) | x ∈ C, Qi (x) + αi ™ 0, i ∈ I(x∗ )} = Q(x∗ ) x Chúng minh Gia su phan chúng rang, ton tai x0 ∈ C cho Qi(x0)+αi ≤ vói MQI i ∈ I(x∗ ) Q(x0 ) < Q(x∗ ) Khi đó, vói moi t ∈ (0, 1) ta có xt = tx0 + (1 − t)x∗ ∈ t Q(xt ) < Q(x∗ ), (3.2) ∗ Qi (xt ) + αi ≤ max{Qi (x ) + αi , Qi (x ) + αi }, ∀i ∈ I(x∗ ) Vói moi i ∈/ I(x∗ ), Qi (x∗ ) + αi < và, Qi liên tuc tai x∗ , ta có Qi ( xt ) + αi Nhó lai rang Q0 (xk ) → Q0 (xJ ) Q0 (x) hàm tna loi m®t mien Chúng ta địi hoi rang uT ∇Q0 (xJ ) ™ Đe thay đieu ta nhó lai ket qua o r ‚ Σ ‚ r k Σ2 (xiJ )2 , x “ , , ∀k i , Jx k “ x Σ Tù đ%nh nghĩa cna Q0(x) có (∇ Q T k (x )) (x − x ) = − 2x x + J J J xJ xk − 2Q Σ (xJ ) r 1 1 i=2 ‚ r Σ ii ‚ Σ i r Σ2 i xk − 2Q0 (xJ ) ‚ ‚ ™ − 2xJ xk + 2, Σ Σ J 2, (x ) r Σ2 , ™ − 2,r (xJ )2 (xk − xk ) − 2Q0 (xJ ) i i=2 Σi=r (xi J 2 i i=2 ) Σ k J =xk1 + Σ r x Q0( ) − 2Q0(x ) i=2 x k2 i Chia hai ve cho ǁxk − xJ ǁ cho k → ∞ có xk − T lim sup (∇Q0 ≤0 Σ J k→ Jǁx − x ǁ J x (x )) ∞ k Bây giị đ%nh nghĩa vơ hưóng dương t∗ := − Ql+1 (x ) đ¾t xJ (t∗ ) := xJ + t∗ u Rõ ràng, j l+1 Ql+1 (xJ (t∗ )) =Q l+ (xJ ) + t∗ (∇Q u l+ (xJ ))T u =Ql+1 (xJ ) + t∗ bT u l+ =0, e ta su dung Al+1 u = đ%nh nghĩa t∗ Su dung ket qua o ta có: Qi (xJ (t∗ )) =Qi (xJ ) + t∗ (∇Qi (xJ ))T u =Qi (xJ ) + t∗ bT u ™Qi (xJ ) i ™0 vói MQI i = 1, 2, , l Cuoi ta có Q0 (xJ (t∗ )) = Q0 (xJ ) + t∗ uT ∇Q0 (xJ ) ≤ Q0 (xJ ) = inf ((QP3 )) Tù ket lu¾n ta ket luắn rang xJ (t ) l mđt nghiắm toi ưu cna (QP3 ) Trưàng hap : bT u = vói MQI i = 1, 2, , l + i Trong trưòng hop biet rang ca u −u phương chap nh¾n đưoc cho tốn (QP3 ) Vói k co đ%nh bat kỳ, tù Q0 (xp ) < Q0 (xk ) vói MQI p > k tù tính tna loi cna Q0 (x) suy rang ΣT Σ p k x −x ∇Q xk ≤ 0, ∀p > k Chia hai ve hai ve cho ||xp| | cho p → ∞ ta có: uT ∇Q0 xk ≤ Σ Vì u phương chap nh¾n đưoc (QP3) b% ch¾n dưói, ta ket lu¾n rang Σ T u ∇Q0 xk = 0, ∀k = 1, 2, Bây giị, u = lim xk , ta suy rang vói k đn lón ta có k k→∞ ǁx ǁ uT xk > 0, ta có sn kéo theo (Au)i < ⇒ (Axk − b)i < vói moi i Đieu có nghĩa là, ton tai ε0 > cho vói MQI 0 đn nho cho: xk (ε)< xk Đieu mâu thuan vói xk nghi¾m có chuan cnc tieu Do trưịng hop hai khơng bao giị xay Ket lu¾n Trong chương 3, tác gia trình bày úng dung cna hàm tồn phương loi suy r®ng vào nghiên cúu tốn toi ưu tồn phương vói ràng bu®c hình hQc tốn toi ưu vói ràng buđc bat ang thỳc Ket luắn Luắn ó trỡnh by mđt cỏch cú hắ thong cỏc nđi dung sau: Mđt so khỏi niắm v nhung tớnh chat c ban cna hàm loi hàm loi suy r®ng M®t so tính chat cna hàm tồn phương loi suy r®ng, m®t so tiêu chuan đe kiem tra tính loi suy r®ng cna hàm tồn phương Úng dung tính loi suy r®ng vào nghiên cúu tốn toi ưu tồn phương vói ràng bu®c hình HQ c ràng bu®c bat thúc Vì kha đieu ki¾n có han, lu¾n văn chac chan khơng the tránh đưoc thieu sót Kính mong thay đong nghi¾p góp ý kien đe tơi có đieu ki¾n chinh sua lu¾n văn đưoc tot Tài li¾u tham khao [1] Arrow, K J., and Enthoven, A D.(1961), "Quasiconcave Programming, Econometrica",29, pp 779-800 [2] Avriel, L.(1976), "Nonlinear Programming: Analysis and Methods", Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey [3] Avriel, M., and Schaible, S.(1981), Second-Order Criteria for Pseudoconvex Functions, General Inequalities, Vol 1, pp 231-232, Edited by E F Beckenbach, Birkhauser-Verlag, Basel, Switzerland [4] Avriel, M., and Schaible, S.(1978), "Second-Order Characterizations of Pseudoconvex Functions", Mathematical Programming, Vol 14, pp 170-185 [5] Cottle, R W.(1967), "On the Convexity of Quadratic Forms over Convex Sets", Operations Research, Vol 15, pp 170-172 [6] Cottle, R W., and Ferland, J A.(1971), "On Pseudoconvex Functions of Non-negative Variables", Mathematical Programming, Vol 1, pp 95101 [7] Cottle, R W., and Ferland, J A.(1972), "Matrix-Theoretic Crite- ria for the Quasiconvexity and Pseudoconvexity of Quadratic Functions",Linear Algebra and Its Applications, Vol 5, pp 123-136 [8] Cottle, R W.(1974), "Manifestations of the Schur Complement", Lin- ear Algebra and Its Applications, Vol 8, pp 189-211 [9] Crouzeix, J P.(1980), "Conditions for Convexity of Quasiconvex Functions",Mathe-matics of Operations Research, Vol pp 120-125 [10]J P Crouzeix and J A Ferland (1982), "Criteria for quasiconvexity and pseudoconvexity: relationships and comparisons", Math Programming, 23, 193-201 [11]W E Diewert, M Avriel and I Zang (1981), Nine kinds of quasi concave and concave, J Econ.Theory 25, 397-420 [12]Ferland, J A.(1971), "Quasi-Convex and Pseudo-Convex Functions on Solid Convex Sets",Stanford University, Operations Research House, Technical Report No 71-4 [13]Ferland, J A.(1972), "Maximal Domains of Quasi-Convexity and Pseudo-Convexity for Quadratic Functions",Mathematical Programming, Vol 3, pp 178-192 [14]Gantmacher, F R.(1959), The Theory of Matrices, Vol 1, Chelsea Publishing Company, New York [15]Gantmacher, F R.(1959), The Theory of Matrices, Vol 2, Chelsea Publishing Company, New York [16]Greenberg, H J., and Pierskalla, W P.(1971), "A Review of Quasiconvex Functions",Operations Research, Vol 19, pp 1553 – 1570 [17]G Giorgi, A Guerraggio and J Thierfelder (2004), Mathematics of Optimization: Smooth and Nonsmooth Case ,Elsevier B.V Amsterdam The Netherlands [18]Jacobson, D H.(1976), "A Generalization of Finslers Theorem for Quadratic Inequalities and Equalities", Quaestiones Mathematicae, Vol 1, pp 19-28 [19]S Karamadian (1967),Strictly quasi convex (concave) functions and duality in mathematical programming, J Math Anal Appl., 20, 344- 358 [20]D G Luenberger (1968), Quasiconvex programming, SIAM J Appl Math., 16, 1090-1095 [21]Mangasarian, O L.(1965), "Pseudo-Convex Functions", SIAM Jour- nal on Control, Vol 3, pp 281-290 [22]Mangasarian, O L.(1969), Nonlinear Programming, McGraw-Hill Book Company, New York, New York [23]Martos, B.(1969), Subdefinite Matrices and Quadratic Forms, SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol 17, pp 1215-1223 [24]Martos, B.(1971), Quadratic Programming with a Quasiconvex Objective Function, Operations Research, Vol 19, pp 82-97 [25]Martos, B., Nonlinear Programming: Theory and Methods, NorthHolland Publishing Company, Amsterdam, Holland, 1975 [26]K Otani (1983), A characterization of quasi convex functions, J Eco Theory 31, 194-196 [27]Ponstein, J.(1967), Seven Kinds of Convexity, SIMA Review, Vol 9, pp 115-119 [28]Schaible, S., J A Ferland (1971), Private Communication [29]Schaible, S.(1971), Beitrage zur Quasikonvexen Programmierung, Universitat Koln, Doctoral Dissertation [30]Schaible, S.(1972), Quasiconvex Optimization in Real Linear Space, Zeitschrift fur Operations Research, Vol 16, pp 205-213 [31]Schaible, S.(1973), Quasi-Concave, Strictly Quasi-Concave, and Pseudo-Concave Functions, Methods of Operation Research, Vol 17, pp 308-316 [32]Schaible, S.(1973), "Quasiconvexity and Pseudoconvexity of Cubic Functions", Mathematical Programming, Vol 5, pp 243-247 [33]Schaible, S.(1977), "Second-Order Characterizations of Pseudoconvex Quadratic Functions", Jounal of Optimization Theory and Applications, Vol 21, pp 15-26 [34]Schaible, S.(1977), "Generalized Convexity of Quadratic Functions",Generalized Concavity in Optimization and Economics ions, Vol 21, pp 15-26 [35]Schaible, S., and Cottle, R W.(1980), On Pseudoconvex Quadratic Forms, General Inequalities, Vol 2, pp 81-88, Edited by E F Beckenbach, Birk-hauser-Veriag, Basel, Switzerland [36]Schaible, S.(1981), Quasiconvex, Pseudoconvex and Strictly Pseudoconvex Quadratic Functions Vol 35 [37]Shuzhong Zhang, (1998), On Extensions of the Frank-Wolfe Theorems, Econometric Institute, Erasmus University Rotterdam, The Netherlands [38]W A Thompson and D W Parke (1973), Some properties of generalized concave functions, Operation Research, 21, 305-313 ... chuan cna HQ hàm loi tőng quát khác hàm tích, hàm thương, hàm l¾p phương Ngun tac quan TRQNG cho vi¾c suy dien tiêu chuan vi¾c xem hàm hop cna hàm loi ho¾c hàm lõm Thơng thưịng nhung hàm hop tna... HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN VĂN THIỆN HÀM TOÀN PHƯƠNG LỒI SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI... cna m®t hàm tồn phương oc-tan nua dương oc - tan không âm Chương 3: Úng dung vào tốn toi ưu Lu¾n văn trình bày ve úng dung cna hàm tồn phương loi suy r®ng vào nghiên cúu tốn toi ưu tồn phương