Hàm toàn phương lồi suy rộng và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN VĂN THIỆN HÀM TOÀN PHƯƠNG LỒI SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN VĂN THIỆN HÀM TOÀN PHƯƠNG LỒI SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM Hà Nội – 2015 Möc löc Mºt sŁ k‰ hi»u Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 1.2 Khỉng gian Ìclit Tp lỗi 1.3 1.4 H H 1.5 1.6 H m MŁi quan h» giœa nhng m m H m to n phữỡng lỗi suy rºng 2.1 2.2 Nh›c l⁄i mºt sŁ ành ngh¾ Mºt s tnh chĐt ca h m 2.3 2.4 Tiảu chu'n ki”m tra theo g Ti¶u chu'n ki”m tra theo m 2.5 2.6 Ti¶u chu'n ki”m tra theo Ti¶u chu'n xĂc nh cho o 2.7 Tnh giÊ lỗi trản oc - tan ng dửng v o lỵ thuyt ti ữu 3.1 Ùng dưng v o b i to¡n tŁi ÷ 3.2 Ùng dưng v o b i to¡n tŁi ÷ T i li»u tham kh£o B£ng k‰ hi»u R ÷íng thflng thüc Rn f :X!R int A A khỉng gian Euclid n chi•u t“p sŁ thüc suy rºng ¡nh x⁄ i tł X v o R phƒn cıa A bao âng cıa A dom(f) mi•n hœu hi»u cıa f epi(f) trản ỗ th ca f R=R[f ; +1g ’ (x) rf(x) 00 ’ (x) r f(x) h:; :i jj:jj jxj af f(A) coA ⁄o h m cıa ’ t⁄i x gradient cıa f t⁄i x ⁄o h m b“c hai cıa ’ t⁄i x ma tr“n Hessian ca f ti x tch n vổ hữợng R chu'n n khæng gian R trà tuy»t Łi ca s x bao lỗi affine ca A bao lỗi cıa A o⁄n thflng mð nŁi x v y o⁄n = f x + (1 )y j (0; 1]g [x; y] = f x + thflng mð nŁi x v y o⁄n thflng âng nŁi x v y t“p (1 )y j [0; 1]g L(f; ) = fx X j f(x) mức dữợi 6g (x; y) = f x + (1 )y j (0; 1)g (x; y] Mð ƒu Trong quy ho⁄ch phi tuy‚n v kinh t lữổng, tnh tỹa lỗi v giÊ lỗi ữổc xem nhữ l sỹ m rng quan trồng ca tnh lỗi Mºt trð ng⁄i l m vi»c vỵi nhœng kh¡i niằm lỗi suy rng l chúng khổng d kim tra V vy, ngữới ta mong mun ữa nhng tiảu chu'n thỹc tin hỡn kim tra tnh lỗi suy rºng Lu“n v«n n y tr…nh b y mºt c¡ch cõ hằ thng nhng ni dung cỡ bÊn nhĐt vã lợp h m to n phữỡng lỗi suy rng v mt s ứng dửng ca nõ v o lỵ thuyt ti ữu Lun vôn ữổc trnh b y gỗm ch÷ìng Ch÷ìng 1: Ki‚n thøc cì b£n T¡c gi£ tr…nh b y cĂc kin thức cỡ bÊn vã lỗi, h m lỗi, h m tỹa lỗi, h m giÊ lỗi v mi quan hằ gia cĂc h m lỗi suy rng CĂc kin thức cỡ bÊn ữổc sò dửng nghiản cứu cĂc vĐn ã chữỡng Chữỡng 2: H m to n phữỡng tỹa lỗi v h m to n phữỡng giÊ lỗi Ni dung chnh ca chữỡng trung trnh b y cĂc tiảu chu'n kim tra tnh lỗi suy rng ca cĂc h m to n phữỡng CĂc tiảu chu'n ữổc nảu chữỡng gỗm: ti¶u chu'n ki”m tra theo gi¡ trà ri¶ng v v†c tì ri¶ng, ti¶u chu'n ki”m tra theo ma tr“n Hessian tông cữớng, tiảu chu'n kim tra theo nh thức biản, tiảu chu'n kim tra cho Oc-tan khổng Ơm v xt tnh giÊ lỗi ca mt h m to n phữỡng trản oc-tan nòa dữỡng v oc - tan khổng Ơm Ch÷ìng 3: Ùng dưng v o b i to¡n tŁi ữu Lun vôn trnh b y vã ứng dửng ca h m to n phữỡng lỗi suy rng v o nghiản cứu b i toĂn ti ữu to n phữỡng vợi r ng buc hnh hồc v b i toĂn ti ữu vợi r ng buc bĐt flng thức NhƠn dp n y, tĂc giÊ lun vôn xin b y tọ lặng knh trồng v bit ỡn sƠu sc tợi PGS.TS Nguyn Nông TƠm  hữợng dÔn tn tnh t¡c gi£ ho n th nh lu“n v«n n y T¡c gi£ cơng xin b y tä lỈng bi‚t ìn chƠn th nh n cĂc thy phÊn biằn  d nh thới gian ồc v õng gõp nhiãu ỵ kin quỵ bĂu cho tĂc giÊ TĂc giÊ xin trƠn trồng c£m ìn ban l¢nh ⁄o khoa To¡n Cì Tin håc, khoa Sau ⁄i håc v c¡c thƒy cỉ gi¡o tr÷íng ⁄i håc Khoa håc Tü nhi¶n, ⁄i håc QuŁc gia H Ni  trang b kin thức, to iãu kiằn thu“n lỉi cho t¡c gi£ suŁt thíi gian t¡c gi£ håc t“p t⁄i tr÷íng CuŁi cịng, t¡c gi£ xin cÊm ỡn gia nh, bn b v ỗng nghiằp  quan tƠm, ng viản v chia sà tĂc giÊ ho n th nh lu“n v«n cıa m…nh H Nºi, ng y 02 th¡ng 10 n«m 2015 T¡c gi£ lu“n vôn Trn Vôn Thiằn Chữỡng Kin thức chu'n bà Ch÷ìng n y tr…nh b y mºt sŁ nºi dung kin thức cỡ bÊn vã lỗi, h m lỗi, h m tỹa lỗi, h m giÊ lỗi v mi quan hằ gia cĂc h m lỗi suy rng Nhœng nºi dung ÷ỉc tr…nh b y ch÷ìng n y chı y‚u chån tł t i li»u Mathematics of Optimization: Smooth and Nonsmooth Case cıa G Giorgi, A Guerraggio and J Thierfelder [17] v nhœng t i li»u tr‰ch dÔn õ 1.1 Khổng gian èclit Tp hổp n R := fx = (x1; :::; xn) j x1; :::; xn Rg vỵi hai ph†p to¡n (x1; :::; xn) + (y1; :::; yn) := (x1 + y1; :::; xn + yn) (x1; :::; xn) := ( x1; :::; xn); 2R l“p th nh mºt khỉng gian v†c tì Ìclit n chi•u N‚u x = (x1; :::; xn) R th… xi gåi l th nh phƒn ho°c tåa º thø i cıa x n V†c tì khỉng cıa khỉng gian n y gåi l gŁc cıa R v ÷ỉc k‰ hi»u ìn gi£n l 0, v“y = (0; :::; 0) n Trong R ta ành ngh¾a t‰ch vổ hữợng chnh tc h:; :i nhữ sau: n vợi x = (x1; :::; xn); y = (y1; :::; yn) R , hx; yi = n X xiyi: i=1 n Khi â vỵi måi x = (x1; :::; xn) R ta ành ngh¾a v un X p kxk := u hx; xi = t (xi) i=1 v gåi l chu'n Euclid cıa v†c tì x 1.2 T“p lỗi n nh nghắa 1.1 Tp C R ữổc gồi l lỗi, nu 8x; y C; R : 1) x + (1 ) y C: n M»nh • 1.2 Cho C R ( I) l cĂc lỗi, vợi I l ch s bĐt k Khi õ C = C cụng lỗi T 2I n M»nh • 1.3 Cho c¡c t“p Ci R lỗi, i R (i = 1; 2; :::; m) Khi â 1C1 + ::: + mCm công l t“p lỗi Mằnh ã cĂc C1 ã 1.4 Cho cĂc Ci ::: n R Cm l lỗi R lỗi, (i = 1; 2; : : : ; m) Khi â t‰ch i n ::: R n m : ành ngh¾a 1.5 V†c tì x 1; :::; x m thuº c Rn, n‚u i n ành lỵ 1.6 Cho C R lỗi; x1; :::; xm C Khi â C chøa t§t c£ c¡c tŒ hổp lỗi ca x1; :::; xm n nh nghắa 1.7 Cho C R Giao cıa t§t c£ c¡c lỗi chứa C ữổc gồi l bao lỗi ca t“p C, k‰ hi»u l coC n ành ngh¾a 1.8 GiÊ sò C R Giao ca tĐt cÊ cĂc lỗi õng chứa C ữổc gồi l bao lỗi âng cıa t“p C v k‰ hi»u l coC n Mằnh ã 1.9 Cho C R lỗi Khi õ, i) Phƒn intC v bao âng C cıa C l cĂc lỗi; ii) Nu x1 intC; x2 C, th… f x1 + (1 1.3 )x2 : < 1g intC: H m lỗi n nh nghắa 1.10 Cho h m f : C ! R, â C epi(f) = f(x; ) C R , t“p R j f(x) g; ữổc gồi l trản ỗ th cıa f n ành ngh¾a 1.11 Cho C R l mt lỗi, f : C ! R H m f ữổc gồi l lỗi trản C nu trản ỗ th epi(f) ca nõ l mt lỗi n R R H m f ữổc gồi l lêm trản C nu f l h m lỗi trản C Ta nhc li mt s c trững v tnh chĐt ca h m lỗi mt bin khÊ vi nh lỵ 1.12 Cho ’ : (a; b) ! R i) N‚u ’ khÊ vi trản (a; b) th lỗi trản (a; b) v gi£m tr¶n (a; b) ch¿ ’ khæng ii) N‚u ’ câ ⁄o h m b“c hai trản (a; b) th lỗi trản (a; b) v ch¿ 00 ’ (t) > vỵi mồi t (a; b) iii) Nu lỗi trản [a; b] th… ’ li¶n tưc tr¶n (a; b) n nh lỵ 1.13 Cho C l lỗi khổng gian R v f : C ! R Khi â, cĂc iãu kiằn sau l tữỡng ữỡng: a) f ( x + (1 ) y) f (x) + (1 ) f (y) ; [0; 1] ; 8x; y C: b) f ( x + (1 c) f ( x + (1 d)(BĐt flng thức Jensen) Vợi b§t k… i [0; 1]; i = 1; : : : ; m; f ( 1x1 + ::: + mxm) 1f (x1) + ::: + mf (xm) : n e) Vỵi måi x C, vỵi måi y R , h m ’x;y(t) = f(x + ty) l h m lỗi trản on Tx;y = ft R j x + ty Cg: f) Vỵi måi x; y C, h m x;y( ) = f( x + (1 n+1 g) Trản ỗ th ca f l lỗi R )y) lỗi trản on [0; 1]: n nh lỵ 1.14 GiÊ sò C R l mt lỗi m, f : C ! R Khi õ, f lỗi trản C n v ch vợi mồi x0 C, tỗn ti x R cho f(x) f(x0) > x (x x0); x C: n nh lỵ 1.15 Cho C R l mt lỗi v f : C ! R Khi õ, nu f lỗi trản C th, vợi mồi R mức dữợi ca f L(f; ) = fx C j f (x) g l lỗi V dö X†t h m sŁ f : R ! R x¡c ành bði f(x) = x Ta câ f khổng lỗi trản R, L(f; ) = fx R j x g = fx R j x n 1=3 g l lỗi vợi mồi R nh lỵ 1.16 Cho C R l mt t“p mð v f : C ! R kh£ vi trản C Khi õ cĂc khflng nh sau tữỡng ữỡng: a) f lỗi trản C xt = tx + (1 t)x t v Q(xt) < Q(x ); Qi(xt) + i maxfQi(x ) + i; Qi(x ) + ig; Vỵi mØi i = I(x ), Q (x ) + Qi(xt) + i < vỵi måi t nhọ Do õ, xt thọa mÂn iãu kiằn r ng buºc cıa b i to¡n B¥y gií ta xt b i toĂn sau Ơy: (QP3) : c vợi i•u ki»n Ax 6b; n â Q0(x) l h m to n phữỡng tỹa lỗi trản a diằn fx R j Ax bg v t§t c£ c¡c h m to n ph÷ìng r ng buºc Qi(x) l lỗi (i = 1; 2; :::; m) Chú ỵ r‹ng, b i to¡n (QP3) câ r ng buºc a diằn Ta cõ kt quÊ sau: nh lỵ 3.12 (Lou-Zhang) GiÊ sò rng (QP3) cõ mt chĐp nhn ữổc kh¡c rØng v h m mưc ti¶u bà ch°n tr¶n chĐp nhn ữổc Hỡn na, giÊ sò rng h m mửc tiảu Q 0(x) tỹa lỗi trản mt a di»n fx : Ax bg Khi â, t“p nghi»m tŁi ÷u cıa (QP3) l kh¡c rØng Chøng minh Chóng ta s‡ sß dưng ph†p quy n⁄p theo m (m l sŁ r ng buºc cıa d⁄ng to n ph÷ìng) Nu m = th nh lỵ luổn úng GiÊ sò rng nh lỵ úng vợi m l Hỡn na, v Q 0(x) l h m tỹa lỗi, khổng mĐt tnh tng quĂt cõ th giÊ sò r‹ng: Q0(x) = x +x 2 + ::::::: + x v Ax b ) Q0(x) 0; x1 > 58 r B¥y gií ta x†t tr÷íng hỉp m = l + Ta xƠy dỹng mt dÂy ca b i toĂn cht nhữ sau: (QP3)kcỹc tiu vợi iãu kiằn Ax 6b; kxk 6k; k = 1; 2; ::: Vợi mỉi (QP3)k tỗn ti mt nghiằm ti ữu tnh compact ca miãn chĐp k nhn ữổc GiÊ sò, k hiằu x l nghiằm câ chu'n cüc ti”u cıa (QP 3)k Ch›c k ch›n, n‚u mºt d¢y cıa x : k = 1; 2; ::: b chn th nh lỵ úng k lp tức Khổng mĐt tnh tng quĂt, ta giÊ sò r‹ng x ! v lim = u, vỵi mºt v i u câ jjujj = k k!1 kx xk k k Tł Q0(x ) : k = 1; 2; ::: l d¢y ìn i»u gi£m v Qi(x) l h m to n phữỡng lỗi vợi i = 1; 2; :::; l + cho ta k‚t qu£: T u A0u =0 T u Aiu =0; i = 1; 2; :::; l + T b i 60; i = 1; 2; :::; l + Au 60 B¥y giớ,chúng ta xt riảng hai trữớng hổp tnh tng quĂt, ta giÊ sò j = l + Trong trữớng hỉp n y ta x†t (QP3)k : cüc ti”u vỵi iãu kiằn: Ax 6b; Cõ hai khÊ nông vợi b i to¡n cüc ti”u hâa ð tr¶n: ho°c nâ vła khỉng bà ch°n ho°c nâ câ th” ⁄t ÷ỉc nghi»m cüc ti”u b‹ng gi£ thi‚t quy n⁄p 59 Trong c£ hai t…nh huŁng, v… t‰nh li¶n tưc cıa Q 0(x) õ tỗn ti mt 0 k nghiằm x cho Q0(x ) = inf Q0 x v k Qi(x ) 60; i = 1; 2; :::; l Ax 6b 0 N‚u Ql+1(x ) th… x l nghi»m tŁi ÷u cıa (QP 3) v v… th‚ ành l‰ ÷ỉc chøng minh k BƠy giớ ta xt khÊ nông khĂc, v dử Ql+1(x ) > Nhỵ l⁄i r‹ng Q0(x ) ! T Q0(x ) v Q0(x) l h m tüa lỗi trản mt miãn Chúng ta ặi họi rng u rQ0 (x ) thĐy iãu n y ta nhợ li kt quÊ trản l x10 > v u uX t Tł ành ngh¾a cıa Q0(x) chóng ta câ T 0 k (rQ0 (x )) (x x ) = 2x1 x1 + 2x10x1k + uX = x k+ r i= 2 (xi0) (x1k v Chia hai v‚ cho kx k lim k!1 sup (r 60 B¥y gií nh nghắa vổ hữợng dữỡng t := v l+1 °t x (t ) := x + t u Rª r ng, 0 T Ql+1 (x (t )) =Ql+1 (x ) + t (rQl+1 (x )) u =Q l+1 T l+1u (x ) + t b =0; nh nghắa t Sò dửng cĂc kt quÊ ð — â ta sß dưng Al+1u = v tr¶n ta cơng câ: 0 T Qi (x (t )) =Qi (x ) + t (rQi (x )) u T =Q (x ) + t b u i i 6Qi (x ) 60 vỵi måi i = 1; 2; :::; l CuŁi còng ta câ 0 T Q0 (x (t )) = Q0 (x ) + t u rQ0 (x ) Q0 (x ) = inf ((QP3)) : Tł c¡c k‚t lu“n tr¶n ta k‚t lu“n r‹ng x (t ) l mºt nghi»m tŁi ÷u cıa (QP3) T Tr÷íng hỉp : b i u = vỵi måi i = 1; 2; :::; l + Trong tr÷íng hỉp n y chóng ta bi‚t r‹ng c£ u v u l ph÷ìng chĐp nhn ữổc cho b i toĂn (QP3): p k Vợi k c nh bĐt ký, t Q0(x ) < Q0(x ) vỵi måi p > k v tł t‰nh tỹa lỗi ca Q0(x) suy rng x p x k T k rQ0 x 0; 8p > k p Chia hai v‚ hai v‚ cho jjx j j v cho p ! ta câ: T u rQ0 x k 0: V u l phữỡng chĐp nhn ữổc v (QP3) l b chn dữợi, ta kt lun rng T k u rQ0 x = 0; 8k = 1; 2; ::: 61 x B¥y gií, v… u = lim k , ta suy r‹ng vỵi k k k!1 kx k T ı lỵn ta câ k u x > 0; v ta câ sü k†o theo (Au)i < ) (Ax vợi mỉi i k b)i < iãu n y cõ nghắa l , tỗn ti "0 > cho vỵi måi < " "0; k x (") := x k l mºt nghi»m ch§p nhn ữổc vợi (QP3) "u k (QP3)k Do õ ta câ Q0(x (")) = k v Q0(x ) vỵi < " "0 Tuy nhi¶n, uT x k + " xk (") v v“y ta chån " > ı nhä cho: k k x (") < x k iãu n y mƠu thuÔn vợi x l nghi»m câ chu'n cüc ti”u Do â tr÷íng hỉp hai khỉng bao gií x£y K‚t lu“n Trong ch÷ìng 3, t¡c gi£ ¢ tr…nh b y øng dưng cıa h m to n phữỡng lỗi suy rng v o nghiản cứu b i toĂn ti ữu to n phữỡng vỵi r ng buºc h… nh håc v b i toĂn ti ữu vợi r ng buc bĐt flng thức 62 Kt lun Lun vôn  trnh b y mt c¡ch câ h» thŁng c¡c nºi dung sau: Mºt sŁ kh¡i ni»m v nhœng t‰nh ch§t cì b£n cıa h m lỗi v h m lỗi suy rng Mt s tnh chĐt ca h m to n phữỡng lỗi suy rng, mt s tiảu chu'n kim tra tnh lỗi suy rºng cıa h m to n ph÷ìng Ùng dưng tnh lỗi suy rng v o nghiản cứu b i toĂn ti ữu to n phữỡng vợi r ng buc h…nh håc v r ng buºc b§t flng thøc V khÊ nông v iãu kiằn cõ hn, lun vôn ch›c ch›n khỉng th” tr¡nh ÷ỉc thi‚u sât K‰nh mong cĂc thy cổ v cĂc ỗng nghiằp gõp ỵ kin tổi cõ iãu kiằn chnh sòa lun vôn ữổc tŁt hìn 63 T i li»u tham kh£o [1] Arrow, K J., and Enthoven, A D.(1961), "Quasiconcave Program-ming, Econometrica",29, pp 779-800 [2] Avriel, L.(1976), "Nonlinear Programming: Analysis and Methods", Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey [3] Avriel, M., and Schaible, S.(1981), Second-Order Criteria for Pseu-doconvex Functions, General Inequalities, Vol 1, pp 231232, Edited by E F Beckenbach, Birkhauser-Verlag, Basel, Switzerland [4] Avriel, M., and Schaible, S.(1978), "Second-Order Characterizations of Pseudoconvex Functions", Mathematical Programming, Vol 14, pp 170-185 [5] Cottle, R W.(1967), "On the Convexity of Quadratic Forms over Convex Sets", Operations Research, Vol 15, pp 170-172 [6] Cottle, R W., and Ferland, J A.(1971), "On Pseudoconvex Functions of Non-negative Variables", Mathematical Programming, Vol 1, pp 95-101 [7] Cottle, R W., and Ferland, J A.(1972), "Matrix-Theoretic Crite-ria for the Quasiconvexity and Pseudoconvexity of Quadratic Func-tions",Linear Algebra and Its Applications, Vol 5, pp 123-136 [8] Cottle, R W.(1974), "Manifestations of the Schur Complement", Lin-ear Algebra and Its Applications, Vol 8, pp 189-211 64 [9] Crouzeix, J P.(1980), "Conditions for Convexity of Quasiconvex Functions",Mathe-matics of Operations Research, Vol pp 120-125 [10] J P Crouzeix and J A Ferland (1982), "Criteria for quasiconvexity and pseudoconvexity: relationships and comparisons", Math Program-ming, 23, 193-201 [11] W E Diewert, M Avriel and I Zang (1981), Nine kinds of quasi concave and concave, J Econ.Theory 25, 397-420 [12] Ferland, J A.(1971), "Quasi-Convex and Pseudo-Convex Functions on Solid Convex Sets",Stanford University, Operations Research House, Technical Report No 71-4 [13] Ferland, J A.(1972), "Maximal Domains of Quasi-Convexity and Pseudo-Convexity for Quadratic Functions",Mathematical Program-ming, Vol 3, pp 178-192 [14] Gantmacher, F R.(1959), The Theory of Matrices, Vol 1, Chelsea Publishing Company, New York [15] Gantmacher, F R.(1959), The Theory of Matrices, Vol 2, Chelsea Publishing Company, New York [16] Greenberg, H J., and Pierskalla, W P.(1971), "A Review of Quasi-convex Functions",Operations Research, Vol 19, pp 1553 1570 [17] G Giorgi, A Guerraggio and J Thierfelder (2004), Mathematics of Optimization: Smooth and Nonsmooth Case ,Elsevier B.V Amsterdam The Netherlands [18] Jacobson, D H.(1976), "A Generalization of Finslers Theorem for Quadratic Inequalities and Equalities", Quaestiones Mathematicae, Vol 1, pp 19-28 [19] S Karamadian (1967),Strictly quasi convex (concave) functions and duality in mathematical programming, J Math Anal Appl., 20, 344-358 65 [20] D G Luenberger (1968), Quasiconvex programming, SIAM J Appl Math., 16, 1090-1095 [21] Mangasarian, O L.(1965), "Pseudo-Convex Functions", SIAM Jour-nal on Control, Vol 3, pp 281-290 [22] Mangasarian, O L.(1969), Nonlinear Programming, McGraw-Hill Book Company, New York, New York [23] Martos, B.(1969), Subdefinite Matrices and Quadratic Forms, SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol 17, pp 1215-1223 [24] Martos, B.(1971), Quadratic Programming with a Quasiconvex Objec-tive Function, Operations Research, Vol 19, pp 82-97 [25] Martos, B., Nonlinear Programming: Theory and Methods, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Holland, 1975 [26] K Otani (1983), A characterization of quasi convex functions, J Eco Theory 31, 194-196 [27] Ponstein, J.(1967), Seven Kinds of Convexity, SIMA Review, Vol 9, pp 115-119 [28] Schaible, S., J A Ferland (1971), Private Communication [29] Schaible, S.(1971), Beitrage zur Quasikonvexen Programmierung, Universitat Koln, Doctoral Dissertation [30] Schaible, S.(1972), Quasiconvex Optimization in Real Linear Space, Zeitschrift fur Operations Research, Vol 16, pp 205-213 [31] Schaible, S.(1973), Quasi-Concave, Strictly Quasi-Concave, and Pseudo-Concave Functions, Methods of Operation Research, Vol 17, pp 308-316 [32] Schaible, S.(1973), "Quasiconvexity and Pseudoconvexity of Cubic Functions", Mathematical Programming, Vol 5, pp 243-247 66 [33] Schaible, S.(1977), "Second-Order Characterizations of Pseudoconvex Quadratic Functions", Jounal of Optimization Theory and Applica-tions, Vol 21, pp 15-26 [34] Schaible, S.(1977), "Generalized Convexity of Quadratic Func-tions",Generalized Concavity in Optimization and Economics ions, Vol 21, pp 15-26 [35] Schaible, S., and Cottle, R W.(1980), On Pseudoconvex Quadratic Forms, General Inequalities, Vol 2, pp 81-88, Edited by E F Beck-enbach, Birk-hauser-Veriag, Basel, Switzerland [36] Schaible, S.(1981), Quasiconvex, Pseudoconvex and Strictly Pseudo-convex Quadratic Functions Vol 35 [37] Shuzhong Zhang, (1998), On Extensions of the Frank-Wolfe The-orems, Econometric Institute, Erasmus University Rotterdam, The Netherlands [38] W A Thompson and D W Parke (1973), Some properties of gener-alized concave functions, Operation Research, 21, 305-313 67 ... HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN VĂN THIỆN HÀM TOÀN PHƯƠNG LỒI SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN... chữỡng  trnh b y khĂi niằm v mt s tnh chĐt ca mt s lợp h m lỗi suy rng, mi quan hằ gia cĂc h m lỗi suy rng 17 Chữỡng H m to n phữỡng lỗi suy rºng Ch÷ìng n y tr…nh b y t“p trung trản tnh tỹa lỗi v... Q(x) suy Mt cĂch tữỡng ữỡng, iãu n y ngh¾a l fx C : Q(x) g ành ngh¾a 2.2 Q(x) ÷ỉc gåi l y x suy Q(y) Q(x): 18 nh nghắa 2.3 Q(x) ữổc gồi l giÊ lỗi cht trản C nu vợi mồi x; y C; x 6= y; y x suy