Hàm riêng của biến đổi chính tắc tuyến tính OF(a,b,c,d) cho trường hợp

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - TĂNG TH± ĐÚC HÀM RIÊNG CUA BIEN ĐOI CHÍNH TAC TUYEN TÍNH OF (a,b,c,d) CHO TRƯèNG HeP |a + d| “ Chuyên ngành: Giai tích Mã so: 60460102 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS.TS.NGUYEN MINH TUAN HÀ N®I - 2016 Mnc lnc Lài nói đau Tốn HQc giai tích m®t nhung chun ngành nghiên cúu quan TRQNG hàng đau cna tốn HQc hi¾n đai Nó bao gom nhieu lĩnh vnc đưoc MQI ngưòi quan tâm, nghiên cúu Và bien đői Fourier m®t so có rat nhieu úng dung khoa HQc, ví du v¾t lý, so HQc, xác suat, thong kê, hai dương HQc, hình HQc nhieu lĩnh khác Ngày nhà khoa HQ c van co gang khám phá nhung ket qua có tam quan TRQNG nham nâng cao đưoc úng dung cna Trong lu¾n văn se tìm hieu ve trưịng hop đ¾c bi¾t bien đői tích phân Fourier úng dung cna quang HQc Bo cuc lu¾n văn gom phan mo đau, ba chương, phan ket lu¾n danh muc tài li¾u Chương mo đau kien thúc chuan b%, se nhac lai bien đői tac tuyen tính trưịng hop bien đői đ¾c bi¾t cna bien đői này, hàm riêng cna bien đői Fourier phân thú, m®t so ket qua đa đưoc xây dnng ve hàm riêng cna LCT Cuoi ta trình bày hai tính chat quan TRQNG se đưoc dùng suot lu¾n văn Chương hai, phan đau ta trình bày hàm riêng cna LCT trưịng hop |a + d| = Trong trưịng hop ta trình bày hàm riêng cna LCT a + d = b = 0; a + d = −2 b = 0; {a, b, c, d} = {±1, b, 0,±1}; a + d = b ƒ= 0; a + d = −2 b ƒ= Phan hai, ta trình bày hàm riêng cna LCT trưòng hop |a + d| > Trong trưòng hop ta trình bày hàm riêng cna LCT {a, b, c, d} = {±σ−1, 0, 0,±σ}; a + d > 2; a + d < −2 Trong chương cuoi ta trình bày quan h¾ cna LCT vói h¾ quang HQc giai quyet toán tao anh Các ket qua cna lu¾n văn dna báo "Eigenfuntions of linear canonical transform" Soo-Chang Pie Jian-Jiun Ding Trong q trình thnc hi¾n lu¾n văn tơi nh¾n đưoc sn chi bao, hưóng dan t¾n tình cna PGS.TS Nguyen Minh Tuan Các thay khoa Tốn - Cơ Tin HQ c trưòng đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc Gia Hà N®i giúp đõ tơi có thêm nhieu kien thúc đe có the hon thnh luắn v khúa HQc mđt cỏch tot đep Bên canh cịn có sn giúp đõ nhi¾t tình cna thay phịng Sau Đai HQc tao đieu ki¾n thu¾n loi giúp đõ tơi hồn thành thn tuc bao v¾, thay ban seminar Tốn Giai Tích có nhung góp ý huu ích đe tơi hồn thành lu¾n văn tot nhat Cuoi cùng, tơi xin gui lịi biêt ơn tói gia đình, ngưịi thân ln đ®ng viên, nng hđ tụi suot thũi gian HQ c v hồn thành khóa lu¾n M¾c dù có nhieu co gang ban lu¾n văn khó tránh khoi nhung thieu sót Tơi rat mong nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cna q thay ban Hà N®i, tháng 10 năm 2015 Tăng Th% ĐÉc Chương Kien thÉc chuan b% Bien đői tac tuyen tính (LCT)[1]-[4] bien đői tích phân vói bon tham so {a, b, c, d} Bien đői LCT đưoc giói thi¾u lan đau tiên vào năm 1970 [5], [6] M®t so phép toán như, bien đői Fourier (Fourier transform-FT), bien đői Fourier phân thú (fractional Fourier transform-FRFT)[7]-[9], bien đői Fresnel [10] phép tốn co giãn trưịng hop đ¾c bi¾t cna LCT Trong m®t so báo, phép bien đői LCT đưoc GQI phép bien đői Fourier afin (affine Fourier transform-AFT) [2],[11], bien đői Fresnel tőng quát [12], công thúc Collins [6], bien đői ABCD [3] (ABCD transform), ho¾c bien đői Fourier bien đői Fresnel Phép bien đői LCT đưoc úng dung phân tích h¾ rada, phân tích h¾ mơi trưịng Grin, thiet ke máy LQc nhieu ỳng dung khỏc Ta xột mđt so trũng hop ắc bi¾t cna LCT Ví du, hàm riêng cna FRFT hàm Hermite đưoc nhân thêm vói exp(−t2/2) Hàm riêng cna LCT {a, b, c, d} = {1, b, 0, 1} (trưòng hop LCT tro thành bien đői Fresnel) hàm tuan hoàn (hàm tuan hoàn GQI hi¾u úng Talbot[16],[17]) Trong trưịng hop {a, b, c, d} = {1/d, 0, 0, 1} (trong trưòng hop LCT tro thành phép toán co giãn) hàm riêng hàm Frac [18],[19] (fractal) Nhung hàm bat bien vói phép tốn co giãn Trong lu¾n văn ta se tőng quát ket qua đưoc xây đnng suy hàm riêng cna LCT cho tat ca trưòng hop Sau đó, hàm riêng cna LCT đưoc su dung đe giai thích hi¾n tưong tao anh quang HQc Ta su dung ký hi¾u OF (a,b,c,d) ho¾c O(a,b,c,d) cho bien đői tac tuyen tính F Phan đau cna luắn tụi se trỡnh by lai mđt cỏch ngan GQN kien thúc ve bien đői tac tuyen tính, hàm riêng cna bien đői Fourier phân thú m®t so ket qua đưoc xây dnng ve hàm riêng cna LCT, tính chat suy hàm riêng cna LCT 1.1 Bien đoi tac tuyen tính Đ%nh nghĩa 1.1.1 Bien đői tac tuyen tính đưoc đ%nh nghĩa sau (a,b,c,d) O e−i(u/b)te(i/2)(a/b)t f (t)dt (i/2)(d/b)u2 (f (t)) = e ∫ ∞ F i2π b neu −∞ b ƒ= 0, √ O(a,b,c,d) (f (t)) = d.e(i/2)cdu2 f (d.u) neu b = 0, F (1.1) LCT thoa mãn tính chat c®ng tính (a ,b ,c ,d ) OF 1 1 (a ,b ,c ,d ) OF 2 2 (f Σ (t)) = FO (a3 ,b3 ,c3 ,d3 ) (f (t)), a3 b3 a2 b2 a b1 Σ= Σ Σ Σ Σ c3 c2 c1 Σ (1.2) Tính chat c®ng tính cna LCT đưoc suy tù phép tốn ma tr¾n cơng thúc (1.2), ta thưịng bieu dien LCT vói tham so {a, b, c, d} boi ma tr¾n Σ a b Σc d Tiep theo ta trình bày m®t so phép tốn trưịng hop đ¾c bi¾t cna LCT chang han bien đői Fourier (FT), bien đői Fourier phân thú (FRFT), bien đői Fresnel, phép toán co giãn a) Bien đői Fourier (FT) Bien đői tac tuyen tính (LCT) bien đői Fourier {a, b, c, d} = {0, 1, −1, 0}, ∫ O F (0,1,−1.0) (i/2)(0/1)u2 ∞ −i.u.t (i/2)(0/−1)t2 (f (t)) = e e e i2 −∞ g(t)dt π O(0,1,−1,0) (f (t)) = ∫ ∞ e−i.u.t g(t)dt F i2 π −∞ √ F i.O(0,1,−1,0) (f (t)) = FT(f (t)) π = −∞ ∫ ∞ e−i.u.t.g(t)dt b) Bien đői Fourier phân thú (FRFT) Bien đői tac tuyen tính (LCT) bien đői Fourier phân thú (FRFT) {a, b, c, d} = {cos α, sin α, − sin α, cos α} [7]-[9] F(cos α,sin α,− sin α,cos α) O (f (t))2π =sin α∫ e(i/2)(cos α/ sin α).u × ∞ e−i(u/ sin α).te(i/2)(cos α/ sin α)t f (t)dt, −∞ − i cot α (i/2) cot α.u2 Oα (f (t)) = e F × 2π ∫ −i csc α.ut (i/2) cot αt2 ∞ e e f (t)dt (1.3) −∞ Bien đői Fourier phân thú (FRFT) bien đői tőng quát cna bien đői Fourier (FT) Bien đői Fourier phân thú thoa mãn tính chat c®ng tính OαF.Oβ (f (t))Σ = OFα+β (f (t)) F Bien đői Fourier phân thú vói hi¾u so pha khơng đői Oα (f (t)) = F √ (cos α,sin α,− sin α,cos α) eiα.O (f (t)) (1.4) F Bien đői Fourier phân thú có úng dung phân tích h¾ quang hQc, giai phương trình vi phân, c) Bien đői Fresnel Bien đői Fresnel phép tốn mơ ta vi¾c truyen ánh sáng đơn sac qua mơi trưịng suot Bien đői Fresnel đưoc đ%nh nghĩa sau f (x, y)dxdy, ∫ ∞∫ ∞ OFresnel (f (x, y)) = z ei2πz/ λ iλz e (1.5) i(π/λz)((u−x)2+ (v−y)2) −∞ −∞ f (x, y) hàm phân bo cna nguon ánh sáng đơn sac, λ bưóc sóng z khoang cách Cơng thúc (1.5) có the đưoc bieu dien dưói dang hop thành cna hai bien đői Fresnel (f z OFresnel = (x, y)) O z z Fresnel(y) O Fresnel(x) (f (x, y))Σ Bien đői tac tuyen tac tuyen tính LCT bien đői Fresnel 1-D {a, b, c, d} = {1, zλ/2π, 0, 1} ∫ ∫ (1,zλ/2π,0,1) ∞ e−i(2πu/zλ)t.e(iπ/zλ)t2 ∞ OF (g(t)) = izλe(i/2)(2π/zλ)u i(π/λz) e −∞ g(t)dt −∞ g(t)dt i2πz/λ ∫ e = √ 2 iλz eu −2ut+t z Fresnel(t) O = e√i2πz/λ iλz (g(t)) ∞ ei(π/λz).(u−t)2 −∞ (1.6) g(t)dt Bien đői Fresnel 1-D vói hi¾u so pha khơng đői z OFresnel(t) (f (x)) = eiπz/λ.O F (1,zλ/2π,0,1) (1.7) (f (t)) H¾ thúc liên h¾ giua tham so b khoang cách z zλ b= 2π (1.8) d) Phép tốn co giãn Bien đői tac tuyen tính LCT phép toán co giãn {a, b, c, d} = {σ−1, 0, 0, σ} (σ OF −1 √ (g(t)) = σ.e(i/2).0.σ.u2 g(σ.u) √ = σ.g(σ.u) ,0,0,σ) σ O(g(t)) S c = √ (σ sgn(σ).O −1 F ,0,0,σ) (g(t)) Như v¾y, bien đői Fourier, bien đői Fourier phân thú, bien đői Fresnel phép tốn co giãn trưịng hop đ¾c bi¾t cna LCT 1.2 Hàm riêng cua bien đoi Fourier phân thÉ (FRFT) Trong [7], Namias chi bien đői Fourier phân thú có hàm riêng √ −t2 /2 φm(t) = √ e 2mm! π o Hm(t) hàm Hermite cap m Chương Úng dnng toán tao anh Tù nhung nghiên cúu ve bien đői Fourier phân thú (FRFT) có ba úng dung tù hàm riêng cna LCT: Bài toán tao anh (self-imaging problem) ; Bài tốn c®ng hưong; Phương pháp lna cHQN Tương tn, ta có the dùng hàm riêng cna LCT đe suy các úng dung Trong chương này, ta se thao lu¾n cách dùng hàm riêng cna LCT đe giai thích tốn tao anh Trưóc thao lu¾n đieu này, ta thao lu¾n cách dùng hàm riêng cna LCT đe bieu dien h¾ quang HQc đưa m®t tính chat quan TRQNG 3.1 Quan h¾ giEa bien đoi LCT h¾ quang HQC Bien đői LCT có moi quan h¾ m¾t thiet vói quang HQc nhieu phép tốn sn lan truyen sóng có the đưoc bieu dien trưịng hop đ¾c bi¾t cna LCT [13]-[15] Ví du, tù cơng thúc (1.7) ta su dung hàm riêng cna LCT vói tham so {a, b, c, d} bangzλ{1, 2π , 0, 1} đe mơ ta ánh sáng đơn sac qua mơi trưịng suot vói khoang cách z Bên canh đó, ánh sáng đơn sac vói bưóc sóng λ xuyên qua thau kính có tiêu cn tiêu cn f có the bieu dien đưoc sau f Olens g(x) = ei(π/λ)n∆ e−i(π/f.λ)x g(x), n : chiet suat, ∆ : đ® dày thau kính Cơng thúc tương úng vói bien đői LCT vói tham so {1, 0, f i(π/λ)n∆ FO Olens g(x) = e (1,0,−2π/fλ,1) −2π fλ (g(x)) , 1} (3.1) Tù công thúc (1.7), (3.1) sn tő hop cna nhung thành phan quang HQc có the bieu dien boi ma tr¾n abcd [18] Ta có the su dung bien đői LCT đe bieu dien h¾ quang HQc có mơi trưịng suot nhieu thau kính Ví du, neu mđt hắ quang HQc gom mđt thau kớnh vúi tiêu cn f qua mơi trưịng suot vói khoang cách z, Σ Σ ΣΣ 1 zλ 2Σ −2π π 01 1− π z fλ −f fλπ = zλ Σ , −2π ta dùng bien đői LCT vói tham so {1 −fz ,2 zλ , fλ , 1} bieu dien h¾ quang HQc π Ta phát bieu m®t tính chat quan TRQng Tính chat úng dung đe thao lu¾n hi¾n tưong tao anh h¾ quang HQc Tính chat 3.1.1 (Đieu ki¾n đe hai LCT tương đương h¾ quang HQc [29]) Ta biet rang b1 a1 , ket qua bien đői LCT vái tham so {a1, b1, c1, d1, } a = b2 {a2, b2, c2, d2}, tương úng thóa mãn h¾ thúc sau |F(a2,b2,c2,d2)(u)| = |√σ.F(a1,b1,c1,d1)(σ.u)|, a1 b1 σ = = a2 b2 Khi đó, ta có ket lu¾n sau a) Neu chs xét cưàng đ® hai LCT tương đương neu a1 = a2, b1 = b2 b) Neu bó qua hi¾u so co giãn hai LCT tương đương neu a1 : b1 = a2 : b2, c1 : d1 = c2 : d2 c) Neu chs xột cng đ v bú qua hiắu so co giãn hai LCT tương đương neu a1 : b1 = a2 : b2 Vì h¾ quang hQc, hi¾u so pha hi¾u so co giãn đưoc bo qua vúi Tớnh chat (3.1.1) rng buđc giua hắ a vào đe giai thích hi¾n tưong tao anh rat thoai mái Do đó, hau het h¾ quang HQc có sn thay đői giua hàm đưoc đưa vào vói hi¾n tưong tn tao anh Trưịng hop ta se xét dưói 3.2 Giai thích tốn tao anh Vì quan h¾ giua LCT h¾ quang HQc, ta có the dùng hàm riêng cna LCT đe giai thích hi¾n tưong tao anh h¾ quang HQc, tìm anh đau vào se có anh đau tương úng Neu moi h¾ quang HQc sn tő hop cna nhieu thau kính mơi trưịng suot tù thao lu¾n muc (3.1) ta có the bieu dien h¾ quang HQc boi LCT vói tham so {a1 , b1 , c1 , d1 , } Vì v¾y, neu ánh sáng đưa vào có sn phân bo giong hàm riêng cna bien đői LCT vói tham so {a1 , b1 , c1 , d1 , } se giai thích ngun nhân tao anh h¾ quang HQc Tuy nhiên, h¾ quang HQc, chi xột đ ỏnh sỏng, v giai thớch hiắn tưong tao anh bo qua hi¾u so co giãn Vỡ vắy, neu mđt hắ quang hQc cú the bieu dien LCT vói tham so {a1 , b1 , c1 , d1 , } hàm riêng cna LCT vói tham so {a1 , b1 , c1 , d1 , } có the giai thích hi¾n tưong tao anh Tù Tính chat 3.1.1 tat ca hàm riêng cna LCT vói tham so {a, b, c, d, } thoa mãn a1 : b1 = a2 : b2 có the giai thích hi¾n tưong tao anh Vì v¾y, thao lu¾n hi¾n tong tao anh cna mđt hắ quang HQc ta cú the dùng thu¾t tốn sau Tìm tham so {a1, b1, c1, d1, } cna LCT bieu dien h¾ quang HQc Nêú xét hi¾u so co giãn ta có the dùng thu¾t tốn sau i) CHQN a = a1, b = b1 ii) d ∈ (−∞, +∞), c =b ad−1 Do đó, tat ca tham so {a, b, c, d, } cna LCT thoa mãn a = a1, b = b1 có the đưoc tìm thay Hàm riêng cna LCT vói tat ca tham so {a, b, c, d, } tìm đưoc o ta có the giai thích hi¾n tưong tao anh Neu bo qua hi¾u so co giãn ta có the su dung thu¾t tốn sau i) CHQN a = a1 , b = b1 σ σ ii) d ∈ (−∞, +∞), c = ad−1 tìm tat ca hàm riêng cna LCT vói tham so b {a, b, c, d, } cna LCT thoa mãn a = a1 , b = b1 σ σ iii) d ∈ (−∞, +∞) làm lai i) ii) Như v¾y , tat ca tham so {a, b, c, d, } cna LCT thoa mãn a : b = a1 : b1 có the tìm đưoc Hàm riêng cna LCT vói tham so {a, b, c, d, } tìm đưoc o có the giai thích hi¾n tưong tao anh bo qua hi¾u so co giãn ty so co giãn (ty so σ thoa mãn |f0(t)| = τ.|fi(σ.t)| o fi(t) đau vào f0(t) đau ra) σ= Hình 3.1: H¾ quang HQ c a1 a = b1 b vói hai thau kính m®t mơi trưịng suot Ta đưa ví du sau Cho h¾ quang HQc hình 3.1, ta bieu dien boi bien đői LCT vói tham so sau: Σ ΣΣ ΣΣ zλ 1 Σ 12 −2 2π − f2 λ π f1 λ π0 Σ = − z f1λ −f − 2π + f 2λ zλ f 2λ 2f1πz Σ 2π 1− z f2 Khi đó, tat ca hàm riêng cna LCT vói tham so {a, b, c, d, } z zλ a:b=1− : , f 2π se giai thích hi¾n tưong tao anh quang HQc vói ty so co giãn σ =− z f1 a = zλ 2πb Khi z a= −1, f1 zλ b= , 2π (3.2) σ = hàm riêng cna LCT trưịng hop se giai hi¾n tưong tao anh bo qua hi¾u so co giãn Sau ta se thao lu¾n trưịng hop σ = bo qua hi¾u so co giãn Trưóc tiên ta cHQN a b công thúc (3.2) Giá tr% cna a + d xác đ%nh tù hàm riêng cna bien đői LCT Tù d có the bat kỳ giá tr% z a+d= −1 + d, f1 bat kỳ giá tr% Giá tr% d ∈ (−∞, +∞) ta có the tìm đau vào hop lý đe giai thích hi¾n tưong tao anh h¾ quang HQc o hình 3.1 bo qua hi¾u so co giãn Trưòng hop d = −3 +f (a + d = −2) (gia su z ƒ= 2f1 ) Trong trưòng hop z này, tù muc (2.1.5) ta tìm hàm sau đe giai thích hi¾n tưong tao anh ∫ ∞ i(t−x)2/2ρ i.π((−2+z/f1 )/zλ)t2 φ(t) = e ∞ Σ o g(t) = e −∞ g(x)dx, 2n C cos 2πt + hΣ, n=0 n ho¾c z λ ∞ g(t) = Σ C sin 2πt.2n + hΣ, n z λ n=0 o ρ Cn tùy ý, ™ h < z λ Ta có the cHQN ρ = φ(t) = A.ei.π((−2+z/f1 )/zλ)t2 g(t) Trưòng hop d = + (a + d = 2) z f Trong trưòng hop này, tù muc (2.1.4), ta tìm hàm sau đe giai thích hi¾n tưong tao anh ∫ φ(t) = ei(π/f1λ)t2 ∞ ei((t−x) /2ρ) g(x)dx, −∞ o ∞ Σ 2n g(t) =Σ C exp i2πt + h+ ∞D n=0 Σm n zλ exp − i2πt m=0 0™h< 2zλ o ρ, Cn, Dm tùy ý Ta có the cHQN ρ = φ(t) = ei.π.t2/f1λ.g(t) Trưòng hop d > + z f (a + d > 2) 2m z λ + hΣ, Trong trưịng hop này, tù muc (2.2.2) ta se tìm hàm xác đ%nh boi cơng thúc (2.43) đe giai thích hi¾n tưong tao anh, o giá tr% σ, τ, η đưoc tính tù cơng thúc (2.42) (2.44) boi phép the {a, b, c, d} bang {1 − z , zλ , c, d} f π Vì v¾y, có nhieu anh đau vào đe giai thích hi¾n tưong tao anh h¾ quang HQc hình 3.1 Ta ý rang thau kính o (tiêu cn f2 ) khơng anh hưong hi¾n tưong tao anh Ta có the dùng phương pháp tương tn thay đői giá tr% ca b, d khoang (−∞, +∞) đe tìm đau vào mà có the giai thích hi¾n tưong tao anh xét hi¾u so co giãn Trong lu¾n văn này, ta chia hàm riêng cna bien đői tac tuyen tính (the LCT) thành trưịng hop Ta có bang hàm riêng giá tr% riêng cna bien đői tac tuyen tính cho trưịng hop Ta dùng hàm riêng cna LCT đe thao lu¾n hi¾n tưong tao anh Ta tìm đưoc hàm Hermite, hàm tuan hoàn, hàm hau tuan hoàn, hàm đong dang phép nhân cna hàm có the giai thích hi¾n tưong tao anh quang hQc Bên canh đó, ta dùng hàm riêng cna FRFT đe thao lu¾n tốn cHQN LQc v hiắn tong cđng hong cna hắ a, phõn tớch hiắn tong cđng hong l ỳng dung quan TRQNG hàm riêng cna LCT Ket lu¾n Lu¾n văn trình bày ve bien đői tích phân Fourier, bien đői Fourier phân thú úng dung cna quang HQc Nđi dung chớnh cna luắn bao gom: • Đ%nh nghĩa bien đői tac tuyen tính, bien đői Fourier, bien đői Fourier phân thú, bien đői Fresnel, tính chat cna bien đői tac tuyen tính • Ta tìm đưoc hàm riêng giá tr% riêng cna bien đői LCT trưòng hop |a + d| “ • so ket qua thu đưoc hàm riêng cna bien đői LCT ta úng dung vào giai thích hi¾n tưong tao anh quang HQc Tài li¾u tham khao [1] K B Wolf, Integral transforms in science and engineering, in Canonical Transform New York: Plenum, 1979, ch.9 [2] S Abe and J T Sheridan, Optical operations on wave functions as the Abelian subgroups of the special affine Fourier transformation, Opt.Lett, vol 19, no 22, pp 1801-1803, 1994 [3] L M Bernardo, ABCD matrix formalism of fractional Fourier optics, Opt Eng., vol 35, no 3, pp 732-740 Mar 1996 [4] S Abe and J T Sheridan, Almost Fourier and almost Fresnel transformation,Opt.Commun.,vol.113, pp 385-388, 1995 [5] M Moshinsky and C Quesne, Linear canonical transformations and their unitary representation, J Math Phys., vol 12, no 8, pp 1772-1783, Aug 1971 [6] S A Collins, Lens-system diffraction integral written in terms of matric optics, J Opt Soc Amer., vol 60, pp 1168-1177, Sept 1970 [7] V Namias, The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics, J.Inst Math Appl., vol 25, pp 241-265, 1980 [8] L B Almeida, The fractional Fourier transform and time-frequency representations, IEES Trans Signal Processing, vol 42, pp 3084-3091, Nov 1994 [9] H M Ozaktas, M A Kutay, and Z Zalevsky, The fractional Fourier transform with applications in optics and processing, New York: Wiley, 2000 [10] J W Goodman, Introduction to Fourier optics, 2nd ed New York: McGraw- Hill, 1988 [11] S C Pei and J J Ding Eigenfuntions of the canonical transform and self- imaging problems in optical system, in Proc IEE Int Conf Acoust., Speech, Signal Process., Istanbul, Turkey, June 2000, pp 73-76 [12] D F V James and G S Agarwal, The generalized Fresnel transform and its applications to optics, Opt Commun., vol 126, pp 207-212, May, 1996 [13] M J Bastiaans, Wigner distribution funtion and its application to first- order optics, J Opt Soc Amer., vol 69, pp 1710-1716, 1979 [14] M Nazarathy and J Shamir, First-order optics–A canonical operator rep- resentation: Lossless system, J Opt Soc Amer., vol 72, pp 356-364, 1982 [15] M J Bastiaans, Propagation laws for the second-order moments of the Wigner distribution funtion in first-order optical systems, Optik, vol 82, pp 173-181, 1989 [16] J T Winthrop and C R Worthington, Theory of Fresenel images Plane periodic objects in monochromatic light, J Opt Soc Amer., vol 55, pp 373- 381, 1965 [17] K Paiorski, The self-imaging phenomenon and its applications, in Progess in optics, E Wolf, Ed Amsterdam, The Netherlands: NorthHolland, 1989, pt 1, vol 27 [18] W Zhao and R M Rao, Discrete-time, continuous-dilation construction of self-similar signals and linear scale-invariant systems, to be published [19] G W Wornell, Signal processing with Fractals, Upper Saddler River, NJ: Prentice-Hall, 1996 [20] R N Bracewell, The Fourier integal and its applications, 3rd ed Bonston, MA: McGraw-Hill, 2000 [21] T Alieva and A M Barbe, Self-fractional Fourier funtions and selection of modes, J Phys A: Math Gen, vol 30, pp 211-215,1997 [22] —– Self-imaging in fractional Fourier transform systems, Opt Commun., vol 152, pp 11-15, June 1998 [23] S G Lipson and H Lipson, Optical physics, 2nd ed Cambridge, U K Cambridge Univ, Press, 1981, pp 190-192 [24] S J Leon, Linear algebra with applications, 4th ed Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1994 [25] T Alieva and M J Bastiassns, Powers of transfer matrices determined by means of eigenfuntions, J Opt Soc Amer A, vol 16, no 10, pp 2413-2418, Oct, 1999 [26] H Hamam and J L de Bougrenet de la Tocnaye, Programmable joint frac- tional Talbot computer-generated holograms, J Opt Soc Amer., vol 12, no 2, pp 314-324, Feb 1995 [27] A W Lohmann, An arry illuminator based on the Talbot effect, Optik, vol 79, pp 41-45, 1998 [28] J Leger and G J Swanson, Efficient arry illuminator using binary- optics phase plates as fractional Talbot planes, Opt Lett., vol 15, pp 288290, 1990 [29] T Aliva and F Agullo-Lopez, Imaging in first-order optical systems, J Opt Soc, Amer A, vol 13, no 12, pp 2375-2380, Dec 1996 ... giãn) hàm riêng hàm Frac [18],[19] (fractal) Nhung hàm bat bien vói phép tốn co giãn Trong lu¾n văn ta se tőng quát ket qua đưoc xây đnng suy hàm riêng cna LCT cho tat ca trưòng hop Sau đó, hàm riêng. .. TRQNG, đưa m®t cách xây dnng hàm riêng cho phép bien đői LCT Cu the, thay xây dnng hàm riêng cho vói b® tham so {a, b, c, d} bat kỳ ta chi can xây dnng hàm riêng cho LCT vói b® tham so {a2 ,... bang tóm tat cna hàm riêng giá tr% riêng cna LCT cho trưòng hop Trên ta tìm hieu hàm riêng cna bien đői tac tuyen tính V¾y chúng có áp dung ? Chúng ta se tìm hieu chương cuoi Hàm riêng Trưòng hop