Giá trị tới hạn tại vô hạn của ánh xạ đa thức và ánh xạ hữu tỷ với thớ một chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN TẤT THẮNG GIÁ TRỊ TỚI HẠN TẠI VÔ HẠN CỦA ÁNH XẠ ĐA THỨC VÀ ÁNH XẠ HỮU TỶ VỚI THỚ MỘT CHIỀU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI-2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN TẤT THẮNG GIÁ TRỊ TỚI HẠN TẠI VÔ HẠN CỦA ÁNH XẠ ĐA THỨC VÀ ÁNH XẠ HỮU TỶ VỚI THỚ MỘT CHIỀU Chuyên ngành: Hình học tơpơ Mã số: 62.46.10.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TSKH Hà Huy Vui TS Phó Đức Tài Mnc lnc Mnc lnc Me đau Giá tr% téi han tai vô han cua cau xa giEa t¾p đai so phÉc vội thộ mđt chieu 12 1.1 Bi toỏn ắc trng giá tr% tói han tai vơ han 12 1.2 Mđt nhắn xột ve bi toỏn ắc trng giá tr% tói han tai vơ han cua cau xa giua cỏc so phỳc vúi thú mđt chieu 17 Tô pô cua hàm đa thÉc han che trờn mđt mắt so v cua ỏnh xa a thÉc tÈ Cn vào Cn−1 22 2.1 Đ¾c trưng giá tr% tói han tai vơ han 23 2.2 Mđt so ieu kiắn u cho sn ton tai cua phép chieu tot 35 2.3 Tơ pơ cua thó 41 Tô pô cua hàm hEu tý hai bien phÉc 45 3.1 Các giá tr% re nhánh 46 3.2 Đ¾c trưng giá tr% tói han tai vô han 53 3.2.1 Tiêu chuan thơng qua đ¾c trưng Euler 54 3.2.2 Đieu ki¾n Malgrange đieu ki¾n M-tame 62 3.2.3 Đieu ki¾n Fedoryuk 68 Phn lnc: T¾p giá tr% re nhánh cua ánh xa đa thÉc 70 Ket lu¾n 79 Danh mnc cơng trình cua tác gia liên quan đen lu¾n án 80 Tài li¾u tham khao 81 Me đau Vi¾c nghiên cúu tính chat tơ pơ cua đa tap đai so có the chia thành hai mang đe tài: (i) Nghiên cúu đa tap xa anh; (ii) Nghiên cúu đa tap affine Thành tnu ban cua nghiên cúu ve mang đe tài thú nhat lý thuyet Lefschetz Bang cách khao sát Lefschetz pencil, cn the thơng qua vi¾c mơ ta tơ pơ cua thó tong qt mơ ta tốn tu đơn đao quanh thó đ¾c bi¾t - mà o thó có kỳ d%, tính chat tơ pơ cua đa tap xa anh đưoc hieu rõ ([10], [38], [36]) Vói mang đe tài thú hai, nhieu chuyên gia lĩnh vnc nh¾n xét, tình hình rat khác Cịn nhieu câu hoi ve đa tap affine ánh xa đa thúc van chưa có câu tra lịi, ca cho trưòng hop hai bien Cái tương tn cua Lefschetz pencil trưịng hop affine phân thó Milnor tồn cnc Tù m®t ket qua rat tong qt cua R Thom ([43]), neu f m®t ánh xa a thỳc tự mđt so khụng k d% V vào khơng gian Ck f xác đ%nh m®t phân thó tam thưịng đ%a phương lóp C ∞ ngồi mđt so B cua khụng gian ớch Ck Đó phân thó Milnor tồn cnc Do tính khơng compact cua khơng gian Cn , o xuat hi¾n mđt hiắn tong m ta khụng gắp nghiờn cỳu Lefschetz pencil, hi¾n tưong kỳ d% vơ han Mđt thú f (t0 ) l thú ắc biắt khụng chi vỡ nú chỳa mđt iem k d%, mà cịn ánh xa f khơng xác đ%nh m®t phân thó tam thưịng MQI lân c¾n cua điem vơ han cua thó f −1 (t0 ) Boi v¾y, ngồi giá tr% tói han, t¾p B cịn chúa giá tr% tái han tai vô han Đe su dnng phân thó Milnor tồn cnc cho vi¾c nghiên cúu tính chat tơ pơ cua t¾p đai so affine, m®t nhung tốn đau tiên can phai giai quyet Đ¾c trưng giá tr% tái han cua kỳ d% tai vơ han M¾c dù khoang gan 30 năm tro lai rat nhieu nhà toán HQC nghiên cúu toán này, cho đen van cịn m®t tốn mo Ngay ca V tồn b® Cn f ánh xa đa thúc tù Cn vào C, ngưòi ta van chưa biet cách tra lịi, ngoai trù đoi vói mđt ớt trũng hop ắc biắt m ta se liắt kê dưói Khi V = C2 k = 1, túc f m®t đa thúc hai bien phúc, giá tr% tói han tai vơ han đưoc đ¾c trưng theo nhieu cách khác Đau tiên ket qua cua Hà Huy Vui – Lê Dũng Tráng ([45]) M Suzuki ([42]), nói rang giá tr% t giá tr% tói han tai vơ han cua f chi đ¾c trưng Euler cua thó f −1 (t) khác đ¾c trưng Euler cua thó tong qt Sau Hà Huy Vui ([44]) đưa khái ni¾m so mũ Lojasiewicz tai vô han cua thá chúng minh ba đieu ki¾n sau tương đương: (i) t giá tr% tói han tai vơ han cua f ; (ii) so Lojasiewicz tai vơ han cua thó f −1(t) nho 0; (iii) so Lojasiewicz tai vô han cua thó f −1(t) nho −1 Nói cách khác, m®t giá tr% t giá tr% tói han tai vơ han neu chi neu đieu ki¾n Fedoryuk ho¾c đieu ki¾n Malgrange cua đa thúc tai t khơng đưoc thoa mãn Khi V = Cn, n > k = 1, [30] M Tibar chi rang tiêu chuan thơng qua đ¾c trưng Euler nói chung khơng cịn Cũng bang ví dn cn the, L Paunescu A Zaharia ([32]) chúng to rang đ¾c trưng thơng qua so mũ Lojasiewicz trưịng hop hai bien khơng cịn A Parusinski thnc hiắn oc mđt búc đt phỏ tỡm cỏch khai thác đưoc m®t ưu điem ban cua trưịng hop ánh xa tù C2 vào C, tat ca đa thúc hai bien chi có kỳ d% l¾p tai vơ han Trong [24], vói gia thiet đa thúc f : Cn → C chi có kỳ d% l¾p tai vơ han n tùy ý, A Parusinski chúng minh đưoc rang ba đieu ki¾n sau tương đương: (i) t giá tr% tói han tai vơ han cua f ; (ii) đ¾c trưng Euler cua thó f −1(t) khác đ¾c trưng Euler cua thó tong quát; (iii) so mũ Lojasiewicz tai vơ han cua thó f −1(t) nho −1 Lu¾n án tìm cách khai thác m®t ưu điem khác cua trưòng hop ánh xa tù C2 vào C: thỏ tng quỏt cú chieu phỳc bang mđt Trong luắn án nghiên cúu cau xa tù M vào N, vói M, N t¾p đai so không kỳ d% dimM = dimN + Điem chung cua ánh xa vói đa thúc hai bien thó tong quát đeu đưịng cong Vói đieu ki¾n ta hy vQNG rang ket qua cua trưịng hop C2 vào C có the mo r®ng đưoc cho lóp ánh xa xét Lu¾n án chu yeu t¾p trung nghiên cúu tốn đ¾c trưng giá tr% tói han tai vơ han cua ánh xa tình huong sau: Các ánh xa đa thúc tù Cn vào Cn−1; Han che cua mđt a thỳc trờn mđt mắt đai so không kỳ d% Cn; Các hàm huu tý hai bien phúc, túc ánh xa có dang gf : C2 \ {g = 0} → C vói f , g nhung đa thúc hai bien phỳc Mđt nđi dung khỏc cua luắn ỏn l đưa moi quan h¾ giua t¾p giá tr% tói han tai vơ han cua m®t ánh xa đa thỳc vúi cỏc giỏ tr% túi han suy rđng t¾p giá tr% mà tai ánh xa khơng thoa mãn đieu ki¾n M-tame Lu¾n án gom Chương Phn lnc Chương gom hai phan Trong phan đau, chúng tơi giói thi¾u tốn đ¾c trưng giá tr% tói han tai vơ han cua cau xa nhac lai ket qua biet Ket qua cua Chương đưoc trình bày phan thú hai Theo đ%nh lý cua Hà Huy Vui - Lê Dũng Tráng M Suzuki, có the đ¾c trưng giá tr% tói han cua đa thúc hai bien thơng qua m®t bat bien tơ pơ đ¾c trưng Euler Ket qua cua chương nói rang, neu F l mđt cau xa giua cỏc đai so phúc khơng kỳ d% có thó m®t chieu m®t giá tr% t0 giá tr% tói han tai vơ han cua F chi đ%a phương tai t0 F xác đ%nh m®t phân thó tam thưịng tơ pơ Như v¾y, neu F m®t cau xa có thó m®t chieu (phúc) ve ban chat, tốn đ¾c trưng giá tr% tói han tai vơ han cua F van cịn m®t tốn tơ pơ: neu có phép tam thưịng hóa cua F cho boi ánh xa liên tnc có phép tam thưịng hóa cho boi ánh xa kha vi Ket qua cua Chương đưoc trình bày báo [28] Đ%nh lý cua Chương sau: Đ%nh lý (xem Đ%nh lý 1.2.1) Cho cau xa F : M → N, M, N ⊂ Cn t¾p đai so phúc không kỳ d% cho dimM = dimN + t0 ∈ N m®t giá tr% qui cua F Khi đó, khang đ%nh sau tương đương: (i) t0 giá tr% qui tai vơ han cua F, túc ton tai lân c¾n D cua t0 m®t vi phơi Φ : F−1(D) → F1(t0) ì D cho s o F1(D) F−1(t0) × D F pr2 ˛v D giao hốn (ii) F tam thưàng tô pô đ%a phương tai t0, túc ton tai lân c¾n D cua t0 mđt ong phụi : F1(D) F1(t0) ì D cho s o F1(D) F1(t0) ì D F pr2 v˛ D giao hoán Trong Chương chúng tơi nghiên cúu tốn đ¾c trưng giá tr% tói han tai vơ han cua ánh xa đưoc xác đ%nh m®t hai trưịng hop sau: (a) F = (F1, F2, , Fn−1) : Cn → Cn−1 m®t ánh xa đa thúc; (b) F = g|V han che cua hàm đa thúc g : Cn → C lên V, V Cn l mđt mắt so khụng k d%, túc V = {x ∈ Cn : g1(x) = g2(x) = · · · = gn−2(x) = 0} t¾p đai so khơng kỳ d% dimCV = Cho t0 m®t giá tr% qui cua F Khi đó, vói MQI t đu gan t0 thó F (t) l mđt so phỳc mđt chieu khơng kỳ d% Hàm tuyen tính L : Cn → C đưoc GQI m®t phép chieu tot đoi vái t0 neu ton tai lân c¾n đu nho D cua t0 cho vói MQI t ∈ D ta có i) ánh xa han che Lt : F−1(t) → C riêng ii) so dL (F −1 (t)) := #Lt−1 (A), A m®t giá tr% qui cua Lt , khơng phn thu®c vào t Các ket qua cua Chương là: Đ%nh lý (xem Đ%nh lý 2.1.7) Cho F = (F1, F2, , Fn−1) : Cn → Cn−1 m®t ánh xa đa thúc Cho t0 m®t giá tr% qui cua F Giá su rang ton tai phép chieu tot đoi vái t0 Khi đó, t0 giá tr% tái han tai vô han chi đ¾c trưng Euler cua thá F−1(t0) lán đ¾c trưng Euler cua thá tőng quát Đ%nh lý (xem Đ%nh lý 2.1.8) Cho F = g|V : V → C han che cua g lên V, V ⊂ Cn l mđt mắt so khụng k d% v g m®t đa thúc n bien Cho t0 m®t giá tr% qui cua F Giá su rang ton tai phép chieu tot đoi vái t0 Khi đó, t0 giá tr% tái han tai vô han chi đ¾c trưng Euler cua thá F−1(t0) lán đ¾c trưng Euler cua thá tőng quát Các Đ%nh lý cho phép mô ta sn thay đoi tô pơ giua thó tong qt thó úng vói kỳ d% tai vụ han Cho V l mđt cua Cn Ta đ%nh nghĩa m®t phép gan k đoan lên V m®t ánh xa liên tnc φ: U := ∪i=1, ,k[ai, bi] → Cn thoa mãn • φ((ai, bi)) vi phơi vói (0, 1), • φ(ai) = φ(a1) vúi MQI i, ã vúi MQI a ầ b ta cú (a) ầ (b) hoắc a, b {ai, i = 1, , k}, • φ(U) ∩ V = {φ(b1), , φ(bk)} Đ¾t V j = V ∪ φ(U) Ta nói rang V j nh¾n đưoc tù V boi m®t phép gan k đoan thang Đ%nh lý (xem Đ%nh lý 2.3.7) Cho F cau xa đưac xác đ%nh m®t hai trưàng hap (a) hoắc (b) Cho t0 l mđt giỏ tr% tỏi han tai vô han cua F Giá su rang ton tai phép chieu tot đoi vái t0 Khi đó, sai khác m®t tương đương đong ln thá tőng qt F−1(t) nh¾n đưac tù thá đ¾c bi¾t F−1(t0) sau s phép gan, s so điem tái han cua Lt chay vô han t → t0 Cũng chương chúng tơi đưa ví dn chúng to tiêu chuan thông qua so Lojasiewicz cua m®t giá tr% tói han tai vơ han m¾c dù vói trưịng hop ánh xa tù C2 vào C, se khơng cịn vói trưịng hop (a) (b) N®i dung cua Chương đưoc viet dna báo ([33], [34]) Trong Chương chúng tơi nghiên cúu tốn đ¾c trưng giá tr% tói han tai vơ han cua hàm huu tý hai bien phúc Cho P : Cn → C m®t ánh xa đa thúc z Cn l mđt iem k d% cụ lắp cua P Khi đó, so Milnor cua P tai z đưoc đ%nh nghĩa ∂P ∂P µz(P) := dimCOz/( , , n ), ∂x ∂x ∂P vói Oz vành chuői lũy thùa h®i tn tai z ( , , ∂P ) iđêan sinh boi ∂P ∂P , , ∂x1 ∂x1 ∂xn ∂xn Cho F = fg: C2 \ {g = 0} → C m®t hàm huu tý, f , g ∈ C[x, y] khơng có nhân tu chung khác hang Theo Đ%nh lý phân thó Thom hàm huu tý F m®t phân thó tam thũng %a phng lúp C bờn ngoi mđt huu han B(F) ⊂ C Đ¾t A(F) := {(x, y) ∈ C2 : f (x, y) = g(x, y) = 0} Ký hi¾u K0 (F) t¾p giá tr% qui cua F K1 (F) t¾p hop giá tr% t0 ∈ C \ K0 (F) cho ton tai p ∈ A(F) đe µ p ( f t0 g) ầ p ( f tg) vói MQI t khác đu gan t0 Ta có f Đ%nh lý (xem Đ%nh lý 3.1.10) Cho F = : C2 \ {g = 0} → C m®t hàm huu tý g Giá su deg f > deg g Khi B(F) = K0(F) ∪ B∞(F) ∪ K1(F) Theo đieu ki¾n (a2) ta có the khai trien F(ϕ(s)) sau F(ϕ(s)) = t0 + csρ + so hang vái so mũ cao hơn, c ∈ Cm \{(0, , 0)} ρ > Boi v¾y, ord(ǁ ds ord(φ(τ)) cua mői đưịng cong giai tích d F (ϕ) ǁ) = ρ−1 Ő φ(τ) = cτm + so hang vái so mũ cao hơn, c Ç đưoc đ%nh nghĩa so m Tù (1-4) ta có ord(ǁϕǁ2) − ord(ǁλǁ) ≥ ρ > Do lims→0 ǁϕǁ · ν(dF(ϕ)) = Ket hop vói (a1) (a2) ta đưoc t0 ∈ K∞(F) Đ%nh lý đưoc chúng minh □ β n cβ x Ký hi¾u supp( f ) = { | c ầ 0} a diắn Cho a thúc f (x) = β∈Z ≥ Newton Γ−( f ) đưoc đ%nh nghĩa bao loi cua t¾p {(0, 0, , 0)} ∪ supp( f ) ⊂ Rn Ký hi¾u Γ( f ) hop cua m¾t đóng cua Γ−( f ) mà khơng chúa (0, 0, , 0) ∈ Rn Vói mői m¾t γ đ¾t fγ = β∈γ cβxβ Đa thúc f đưoc GQI không suy bien (theo đa di¾n Newton) neu vói MQI m¾t γ cua Γ( f ) h¾ ∂ fγ { i (x) = 0, i = 1, 2, , n} ∂x ∗ n khơng có nghi¾m (C ) Đa thúc f đưoc GQI ti¾n lai neu giao cua supp( f ) vói mői trnc TQA đ® khác rőng GQI supp( f ) to hop loi cua t¾p supp( f ) \ {0} Mđt mắt úng cua supp( f ) đưoc GQI xau neu: (i) goc TQA đ® thu®c khơng gian affine nho nhat chúa ∆, (ii) ton tai m®t siêu phang H = {x ∈ Rn : a1 x1 + a2x2 + · · · + anxn = 0} cho (iia) ton tai i j đe · a j < 0, (iib) H ∩ supp( f ) = ∆ Ve m¾t hình HQC, đieu ki¾n (iia ) có nghĩa siêu phang H có điem chung vói phan cua mien dương cua Rn Ta ký hi¾u B( f ) t¾p hop m¾t xau cua supp( f ) Vói mői ∆ ∈ B( f ) đ¾t Σj ( f∆ ) := { f∆ (z0 ) | z0 ∈ (C − {0})n grad f∆ (z0 ) = 0} Cho Σ∞ ( f ) := ∪∆∈B( f )Σj ( f∆ ) Rõ ràng Σj ( f∆ ) ⊂ K0 ( f∆ ) Theo Đ%nh lý Sard (xem 0 [2]) t¾p hop Σ∞( f ) huu han Ket qua sau cho ta m®t đánh giá cho t¾p giá tr% re nhánh B( f ) cua f thơng qua biên Newton cua tai vơ han Đ%nh lý A.3 ([37], [5], [20]) Cho f : Cn → C m®t hàm đa thúc khơng suy bien Khi (i) Neu f ti¾n lai B( f ) = K0( f ) (ii) Neu f khơng ti¾n lai B( f ) ⊂ K0( f ) ∪ Σ∞( f ) ∪ { f (0)} Trong phan lai cua Phn lnc ta se đưa m®t mo r®ng cua Đ%nh lý A.3 cho ánh xa đa thúc F = (F1, F2, , Fm) : Cn → Cm Đ%nh nghĩa A.4 Ánh xa đa thúc F đưoc GQI không suy bien (theo đa di¾n Newton) neu {a : rank(J(Fiγ )(a) < m} ∩ (C∗)n = ∅, i vói MQI i = 1, , n vói MQI m¾t đóng γi cua Γ(Fi ) Nh¾n xét A.5 Khi m = khái ni¾m ánh xa khơng suy bien o trùng vói đ%nh nghĩa đa thúc khơng suy bien đưoc đ%nh nghĩa o Tương tn trưịng hop m®t đa thúc, vói mői ∆ = (∆1, ∆2, , ∆m), ∆i ∈ B(Fi), i = 1, , m, đ¾t Σj (F∆ ) := {(F1∆ (z0 ), F2∆ (z0 ), , Fm∆m (z0 )) : z0 ∈ (C∗ )n ; rank(J((Fi)γi )(z0)) < m} Σ∞ (F) := ∪∆∈B(F )×B(F )× ×B(F ) Σj (F∆ ) m Đ%nh lý A.6 Cho F = (F1, F2, , Fm) : Cn → Cm m®t ánh xa đa thúc khơng suy bien Khi Σ m m i M∞(F) ⊂ Σ∞(F) ∪ ∪ i={t ∈ C : t = Fi (0, 0, , 0)} Chúng minh Khơng mat tính tong qt có the gia thiet Fi(0, 0, , 0) = 0, i = 1, , m Cho t0 ∈ M∞(F) cho t0 Ç 0, i = 1, , m i Ta can chúng minh t0 ∈ Σ∞ (F) Th¾t v¾y, t0 ∈ M∞ (F) nên theo Bo đe cHQN đưòng cong o vơ han (Bo đe 2.2.9) ton tai đưịng cong giai tích ϕ(s) Cn λ(s) = (λ1 (s), λ1 (s), , λm(s)) Cm cho (b1) lims→0 ǁϕ(s)ǁ = ∞, (b2) lims→0 F(ϕ(s)) = t0, (b3) ϕ(s) = i= m λi (s) grad Fi (ϕ(s)) Đ¾t I := {i | ϕi Ç 0} Do đieu ki¾n (b1) nên I Ç ∅ Vói mői i ∈ I ta viet ϕi(s) = aisαi + so hang vái so mũ cao hơn, Ç mini∈I αi < Tương tn, J := { j | j ầ 0} Do ieu kiắn (b3) nờn J ầ Vúi mői j ∈ J ta viet λ j(s) = e jsρj + so hang vái so mũ cao hơn, e j ∈ C \ {0} Vì t0j Ç vói MQI j = 1, , m nên ket hop vói (b2) ta đưoc F j (ϕ(s)) Ç vói MQI s đu nho Boi v¾y, han che cua F j lên CI khơng tam thưịng Γ∞ (F j ) ∩ RI Ç ∅ GQI d j giá tr% nho nhat cua hàm tuyen tính i∈I βi αi Γ− (F j ) ∩ I R GQI ∆ j m¾t cnc đai (duy nhat) cua Γ− (F j ) ∩ RI mà hàm tuyen tính nh¾n giá tr% cnc tieu Khi đó, ta có the viet lai (b3) sau F j∆ j j j ∂x i e ∂ j i + d+ ρ − α (a)s α = · i· · i a s + · · · , i ∈ I, (5) a = (ai) ∈ (C∗)I F j∆ khơng phn thu®c vào bien xi vói i g I Đ¾t j I j = {i ∈ I : min(d j + ρ j − αi ) = αi } j∈ J J j ={ j ∈ J : d j + ρ j = min(dl + ρl ) l∈J } F j∆ Ta thay i g Ij chi (a) j ∂ e j∈J = j ∂xi (6) J Ngưoc lai, neu i ∈ I j F j∆ j ∂ (a = ej ∂x ) j∈J J i Xét kha sau: Trưèng hep 1: T¾p I J khác rőng Khi đó, vói MQI j ∈ J ta có F j(ϕ(s)) = F j ∆ (a)sdj + so hang vái so mũ cao j Neu F j∆ j (a) Ç d j ≥ (vì neu khơng F j(ϕ(s)) → ∞ s → 0) Tuy nhiên, neu d j > F j(ϕ(s)) → t0 = = F j(0, 0, , 0), trái j vói gia thiet V¾y ta ln có dj · F j∆ j (a) = F j∆ j Theo h¾ thúc Euler ta có ∂ d·F j (a) j∆ = i∈ I j Boi v¾y 0=  α j∈J J α a (a) ii (a) ae ∂Fj∆ j ∂xi  ii j  i∈I = e i∈I J , j∈J J ∂xi α a ∂Fj∆ (a) + j i ij ∂x i  α igI J a e ∂Fj∆ (a) i j  j∈JJ j ∂xi  Ket hop vói (6) ta nh¾n đưoc αi e ∂Fj∆ j j i∈I J , j∈J J ∂x i (a) = (7) Tù đ%nh nghĩa cua I j ta có i ∈ I j chi αi = minl=1, ,m dl +ρl Tù (5) suy ≤ αi vói MQI i ∈ I Ç vói l=1, Boi v¾y αi = MQI i ∈ ,m dl +ρl I j d +ρ minl=1, ,m l l Do (7) tương đương vói ∂ (a) a F e j∆ j i j h 0, ∂xi = a = i∈I J Đieu không the xay Ç i ∈ Ij Trưèng hep 2: T¾p I J bang rőng Khi đó, vói MQI i = 1, , n ta có ∂ ∂ x h F (a) = i Vì e j Ç vói MQI j ∈ J j nên e j grad F j∆ j (a) = j∈J J rank(J(Fj∆ j )(a)) < m Theo gia thiet F ánh xa không suy bien suy d j = vói MQI j = 1, 2, , m Do ∆ j m¾t xau cua supp(F j ) M¾t khác, vói MQI j = 1, , m ta có F j(ϕ(s)) = F j (a)sdj + ∆ so hang vái so mũ dương j Khi (a) Nói cách khác t0 ∈ t0 j Σ∞(F).j □ =F j∆ Đ%nh lý sau h¾ qua cua Đ %nh lý A.2 Đ%nh lý A.6 Đ%nh lý A.7 Cho F = (F1, F2, , Fm) : Cn → Cm m®t ánh xa đa thúc khơng suy bien Khi Σ B∞ (F) ⊂ Σ∞ (F) ∪ ∪m i={t ∈ Cm : ti = Fi (0, 0, , 0)} Nh¾n xét A.8 Điem noi b¾t cua ket qua t¾p B∞(F) m®t đoi tưong rat khó mơ ta Σ∞(F) lai đưoc mơ ta tưịng minh thơng qua thơng tin to hop cua ánh xa F Ket lu¾n cua lu¾n án Trong lu¾n án chúng tơi thu đưoc nhung ket qua sau Chúng minh đưoc rang neu cau xa f : M → N, vói M, N t¾p đai so phúc khơng kỳ d% dimM = dimN + 1, xác đ%nh m®t phân thó tam thưịng tơ pơ m®t lân c¾n cua giá tr% t0 cho trưóc xác đ%nh m®t phân thó tam thưịng lóp C∞ lân c¾n Đưa khái ni¾m phép chieu tot Mo r®ng đưoc ket qua cua Hà Huy Vui Lê Dũng Tráng M Suzuki ve tốn đ¾c trưng giá tr% tói han tai vơ han cua đa thúc hai bien phúc cho lóp ánh xa: (i) Ánh xa đa thúc tù Cn vào Cn−1; (ii) Han che cua m®t đa thúc n bien m®t m¾t đai so trơn Cn Tù ket qua mô ta đưoc sn thay đoi cua thó tong quát so vói thó úng vói kỳ d% tai vơ han Nghiên cúu tốn đ¾c trưng giá tr% re nhánh cua hàm huu tý hai bien phúc Vói m®t so gia thiet nhat đ%nh ve b¾c cua đa thúc, chúng tơi đưa đưoc tiêu chuan cho m®t giá tr% giá tr% tói han tai vơ han Chi mđt moi quan hắ giua cỏc giỏ tr% túi han tai vơ han cua m®t ánh xa đa thúc vúi cỏc giỏ tr% túi han suy rđng, giá tr% mà tai ánh xa khơng thoa mãn M-tame cua m®t ánh xa đa thúc bat kỳ v mđt cỏc giỏ tr% oc xõy dnng dna đa di¾n Newton cua đa thúc thành phan cua ánh xa Tài li¾u tham khao Tieng Anh [1] E Artal-Bartolo, I Luengo and A Melle-Hernendez (2000), "Milnor number at infinity, topology and Newton boundary of a polynomial function", Math Z 233, pp 679-696 [2] R Benedetti and J J Risler (1990), Real algebraic and semi-algebraic sets, Actualités Mathématiques, Hermann [3] A Bodin (2004), "Newton polygons and families of polynomials", Manuscripta Math 113(3), pp 371-382 [4] A Bodin and A Pichon (2007), "Meromorphic function, bifurcation sets and fibred links", Math Res Lett 14(3), pp 413- 422 [5] S A Broughton (1988), "Milnor numbers and the topology of polynomial hypersurfaces", Invent Math 92, pp 217-242 [6] A D R Choudary (2002), "Topology of complex polynomials and Jacobian Conjecture", Topology and its Applications 123, pp 69-72 [7] A Dimca (1992), Singularities and Topology of Hypersufaces, Universitex, Springer - Verlag, NewYork, Berlin, Heidelberg [8] M V Fedoryuk (1976), "The asymptotics of a Fourier transform of the exponential function of a polynomial", Soviet Math Dokl 17, pp 486-490 [9] T Gaffney (1999), "Fibers of polynomial mappings at infinity and a generalized Malgrange condition", Compositio Math 119(2), pp 157-167 94 [10]P Griffiths and J Harris (1976), Principles of algebraic geometry, A WileyInterscience Series of texts, 1978 [11] W Hirsch (1976), Differential topology, Springer - Verlag, New York [12] M Ishikawa (2002), "The bifurcation set of a complex polynomial function of two variables and the Newton polygons of singularities at infinity", J Math Soc Japan 54(1), pp 161-196 [13] Z Jelonek (2003), "On the generalized critical values of a polynomial map- ping", manuscripta math 110, pp 145-157 [14] S Ji, J Kollar and B Shiffman (1992), "A global Lojasiewicz inequality for algebraic varieties", Transactions of Amer Math Soc 329 (2), pp 813-818 [15] K Kurdyka, P Orro and S Simon (2000), "Semialgebraic Sard theorem for gwneralized critical values", Jounal of Differential Geometry 56, pp 67-92 [16] L D Tráng and C.P Ramanujam (1976), "The invariance of Milnor’s number implies the invariance of the topological type", Amer J Math 98, pp 67–78 [17] G Meigniez (2002), "Submersions, fibrations and bundles", Transactions of Amer Math Soc 354 (9), pp 3771- 3787 [18] J Milnor (1965), Topology from the Differentiable Viewpoint, Princeton Uni- versity Press, Princeton [19] J Milnor (1968), Singular points of complex hypersurfaces, Annals of Math- ematics Studies 61, Princeton University Press, Princeton, New Jersey [20] A Némethi and A Zaharia (1990), "On the bifurcation set of a polynomial function and Newton boundary", Publ RIMS Kyoto Univ 26, pp 681-689 [21] Némethi and A Zaharia (1992), "Milnor fibration at infinity", Indag Math 3, pp 323-335 [22]W D Neumann (1989), "Complex algebraic plane curves via their links at infinity", Invent Math 98 (3), pp 445-489 [23] M Oka (1997), Non-degenerate complete intersection singularity, Actualités Mathématiques, Hermann, Paris [24] A Parusin´ski (1995), "On the bifurcation set of a complex polynomial with isolated singularities at infinity", Compositio mathematica 97, pp 369-384 [25] L Paunescu and A Zaharia (1997), "On the Lojasiewicz exponent at infinity for polynomial functions", Kodai Math J 20 (3), pp 269-274 [26]P.J Rabier (1997), "Ehresmann’s Fibration and Palais-Smale conditions for morphisms of Finsler manifolds", Annals of Math 146, pp 647-691 [27] S Spodzieja (2005), "The Lojasiewicz exponent of subanalytic sets", Ann Polon Math 87, pp 247-263 [28] N T Thang, "A remark on the bifurcation set of complex algebratic maps which have one dimensional fibers”, preprint, pp [29] N T Thang, "On the topology of rational function in two complex variables”, preprint, 10 pp [30] M Tibar (1998), "Asymptotic equisingularity and topology of complex hy- persurfaces", Int Math Res Not 18, pp 979-990 [31] J.G Timourian (1977), "The invariance of Milnor’s number implies topologi- cal triviality", Amer J Math 99, pp 437–446 [32] M Tibar and A Zaharia (1999), "Asymptotic behavior of families of real curves", Manuscripta Math 99, pp 383-393 [33] H H Vui and N T Thang (2008), "On the topology of polynomial functions on algebraic surfaces in Cn", Singularities II, Contemp Math 475, pp 61-67, Amer Math Soc., Providence, RI [34] H H Vui and N T Thang (2011), "On the topology of polynomial mappings from Cn to Cn−1", Internat J Math 22(3), pp 435-448 [35] A Zaharia (1996), "On the bifurcation set of a polynomial function and New- ton boundary II", Kodai Math J 19, pp 218-233 [36] O Zariski (1965), "Studies in equisingularity II: Equisingularity in codimen- sion (and characteristic 0)", Amer J Math 87, pp 972–1006 Tieng Pháp [37] A G Kouchnirenko (1976), "Polyèdres de Newton et nombres de Milnor", Inventiones Mathematicae 32, pp 1-31 [38] S Lefschetz (1924), Analysis situs et la geometric algebrique, Gauthier - Vil- lars, Paris [39] L D Trang (1973), "Topologie des singularités des hypersurfaces complexes", Asterisque 7/8 (Singularités a Cargese), pp 171-182 [40] L D Tráng and K Saito (1973), "La constence du nombre de Milnor donne des bonnes stratifications", Compt Rendus Acad Sci Paris, serie A 272, pp 793-795 [41] B Malgrange (1980), Methode de la phase stationaire et sommation de Borel, Microlocal Caculus and Relativistic Quantum Theory, Lecture notes in Physics 126, pp 170-177 [42] M Suzuki (1974), "Proprietes topologiques des polynomes de deux variables complexes, et automorphismes algebriques de l’espace C2", J Math Soc Japan 26, pp 241-257 [43] R Thom (1969), "Ensembles et morphismes stratifiés", Bull Amer Math Soc 75, pp 240-284 [44] H H Vui (1990), "Nombres de Lojasiewicz et singularités l’infini des polynômes de deux variables complexes", C.R Acad Sci Paris Serie I t.311, pp 429-432 [45] H H Vui and L D Tráng (1984), "Sur la topologie des polynômes com- plexes", Acta Math Vietnamica 9, pp 21-32 ... HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN TẤT THẮNG GIÁ TRỊ TỚI HẠN TẠI VÔ HẠN CỦA ÁNH XẠ ĐA THỨC VÀ ÁNH XẠ HỮU TỶ VỚI THỚ MỘT CHIỀU Chuyên ngành: Hình học tơpơ Mã số: 62.46.10.01 LUẬN... trưòng hop C2 vào C có the mo r®ng đưoc cho lóp ánh xa xét Lu¾n án chu yeu t¾p trung nghiên cúu tốn đ¾c trưng giá tr% tói han tai vô han cua ánh xa tình huong sau: Các ánh xa đa thúc tù Cn vào Cn−1;... han cua ánh xa đa thúc tù Cn vào Cn−1 cua hàm đa thúc xác %nh trờn mđt mắt so khụng k d% %nh lý 2.1.7 Cho F = (F1, F2, , Fn−1) : Cn → Cn−1 m®t ánh xa đa thúc t0 m®t giá tr% qui cua F Giá su