Luận văn thạc sĩ về hàm triệt tiêu cấp vô hạn

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - NGUYEN TH± THU HÀ VE HÀM TRIfiT TIÊU CAP VƠ HAN LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - 2016 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - NGUYEN TH± THU HÀ VE HÀM TRIfiT TIÊU CAP VÔ HAN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CAP Mã so: 60460113 LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: TS NINH VĂN THU LèI CAM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan cna TS Ninh Văn Thu Nhân d%p này, tơi xin bày to lịng biet ơn sâu sac chân thành nhat tói Thay Ngưịi cho tơi biet muon làm khoa HQc phai HQc, phai ĐQc the Đưoc làm vi¾c dưói sn hưóng dan cna Thay, tơi thay trưong thành rat nhieu Thay Ngưòi dành nhieu thòi gian, cơng súc đe hưóng dan, kiem tra giúp đõ tơi hồn thành lu¾n văn Tơi xin gui lòi cam ơn đen lãnh đao thay khoa Tốn Cơ - Tin HQc, trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên, Đai HQc Quoc Gia Hà N®i ve nhung kien thúc, nhung đieu tot đep mà tơi nh¾n đưoc suot q trình HQc t¾p tai Khoa Tơi xin gui lịi cam ơn đen Phòng Sau Đai HQc cna nhà trưòng tao đieu ki¾n cho tơi hồn thành thn tuc HQc t¾p bao v¾ lu¾n văn Cuoi cùng, tơi muon bày to lịng biet ơn đen gia đình, ngưịi thân ban bè Nhung ngưịi ln bên canh đ®ng viờn nng hđ tụi ca ve vắt chat v tinh than cuđc song v HQc Mắc dự ban thân tơi có nhieu co gang ban lu¾n văn van khó tránh khoi nhung thieu sót Vì v¾y, tơi rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cna q thay, ban Hà N®i, ngày 24 tháng 10 năm 2016 Nguyen Th% Thu Hà Mnc lnc Tính nhat biên cua ánh xa chinh hỡnh 1.1 Mđt so khỏi niắm giai tích phúc 1.1.1 Khái ni¾m hàm chinh hình 1.1.2 Khái ni¾m ve chi so cna đưịng cong 1.2 Khái ni¾m hàm tri¾t tiêu cap vơ han .5 1.3 Gia thuyet Huang, Krantz, Ma Pan 1.4 M®t so đ%nh nghĩa bő đe kĩ thu¾t 1.5 Tính nhat biên cna ánh xa chinh hình 12 M®t so láp hàm tri¾t tiêu cap vơ han Éng dnng 14 2.1 M®t so ket qua bő tro 14 2.2 Sn không ton tai trưịng vectơ chinh hình tiep xúc .19 2.2.1 Các bő đe kĩ thu¾t 20 2.2.2 Chúng minh Đ%nh lí 2.1 21 Danh mnc kớ hiắu ã P (z) := Pz(z) = J P ∂z (z): Đao hàm theo bien z cna hàm P • ∆r := {z ∈ C : |z| < r} vói r > ∆ = ∆1 • ∆˜ r := {z2 ∈ ∆r : P (z2 ) = 0} vúi r > ã Kớ hiắu v : Kớ hiắu bat ang thỳc sai khỏc mđt hang so dng ã Kớ hiắu ket hop hai kớ hiắu v ã Ck(): Khụng gian cỏc hàm kha vi đen cap k mien Ω ⊂ Cn; • C∞(Ω): Khơng gian hàm kha vi cap vơ han (hàm nhan) mien Ω ⊂ Cn; • ΓC := {z ∈ C : |Im(z)| ≤ C|Re(z)|}, C > 0; • Γ∞ := {z ∈ C : Re(z) ƒ= 0} ∪ {0}; • ∆+ := {z ∈ C : |z| < 1, Im(z) > 0}; • ∆+ := {z ∈ C : |z| ≤ 1, Im(z) ≥ 0}; • Hol(∆+ ) := {f : ∆+ → C}, f hàm chinh hình; • R+ := {x ∈ R : x > 0}; • I(r) := Ind(f ◦ γr) (r > 0), o γr := {z ∈ C : |z| = r, Im(z) ≥ 0} Đ¾t f, g : A → C hàm xác đ%nh A ⊂ C vói ∈ A cho limz→0 f (z) = limz→0 g(z) = Chúng ta viet: • f ∼ g tai A neu limz→0 f (z)/g(z) = 1; • f ≈ g tai A neu vói C > 1/C|g(z)| ≤ |f (z)| ≤ C|g(z)| vói MQI z ∈ A Ma đau Trong giai tích thnc, biet hàm f : R → R xác đ%nh boi  ex2 neu x ƒ= f (x) = − 0 neu x = kha vi cap vô han R f (n) (0) = vói MQI n ∈ N Tuy nhiên, hàm f khơng khai trien đưoc thành chuoi Taylor tai điem Nhung hàm so đưoc GQI hàm tri¾t tiêu cap vơ han Muc đích cna lu¾n văn nghiên cúu m®t so tính chat cna lóp hàm so tri¾t tiêu cap vơ han úng dung cna chúng tốn ve sn ton tai trưịng vectơ chinh hình tiep xúc Lu¾n văn trình bày lai m®t so ket qua báo"A note on uniqueness boundary of holomorphic mappings" cna tác gia Ninh Văn Thu, Nguyen NGQc Khanh ([8]) tien an pham"On the nonexistence of nontrivial tangential holomorphic vector fields of a certain hypersurface of infinite type" cna tác gia Ninh Văn Thu ([9]) Bo cuc lu¾n văn gom hai chương: Chương I: Tính nhat biên cna ánh xa chinh hình N®i dung cna chương trình bày m®t so kien thúc ban cna giai tích phúc khái ni¾m hàm chinh hình, chi so cna đưịng cong, khái ni¾m ve hàm tri¾t tiêu cap vơ han Ngồi ra, chúng tơi cịn giói thi¾u gia thuyet cna Huang, Krantz, Ma, Pan ([4]) chúng minh đ%nh lí ve tính nhat biên cna ánh xa chinh hình Chương II: Mđt so lúp hm triắt tiờu cap vụ han v úng dung Trong chương này, chúng tơi trình bày khái ni¾m hàm thoa mãn đieu ki¾n (I), bő đe kĩ thu¾t úng dung cna lóp hàm tri¾t tiêu cap vô han chúng minh sn không ton tai trưịng vectơ chinh hình khơng tam thưịng tiep xúc vói siêu m¾t kieu vơ han C2 Chương Tính nhat biên cua ánh xa chinh hình 1.1 1.1.1 Mđt so khỏi niắm giai tớch phẫc Khái ni¾m hàm chinh hình Gia su Ω mien cna m¾t phang phúc C f hàm bien phúc z = x + iy xác đ%nh Ω Đ%nh nghĩa 1.1 Hàm f đưoc GQI C - kha vi tai điem z0 ∈ Ω neu ton tai giói han f (z0 + h) − f (z0) lim h→0 h Ta nói rang f có đao hàm theo bien phúc tai điem z0 kí hi¾u f J (z0 ) Đ%nh nghĩa 1.2 Hàm f đưoc GQI chsnh hình tai điem z0 neu C kha vi tai mđt lõn cắn no ú cna điem z0 Hàm f đưoc GQI chinh hình mien Ω neu chinh hình tai MQI điem cna mien ay 1.1.2 Khái ni¾m ve chi so cua đưàng cong Đ%nh nghĩa 1.3 Cho γ : [a, b] → C∗ đưịng cong trơn tùng khúc Khi đó, chi so cna γ đoi vói m®t so thnc ∫ dt ∫ b Ind(γ) := Re dz 2πi γ z = Re γ J (t) 2π i a γ(t) Tính chat 1.1 (M®t so tính chat cna chi so) • Ind(γ) := Ind(γ/|γ|) • Ind(γ) := neu γ nam tia xuat phát tù goc TQA đ ã Ind() < 1/2 neu \ {0}, Γ∞ := {z ∈ C : Re(z) ƒ= 0} ∪ {0} • Ind(γ) < neu γ ⊂ C∗ \ {iy : y > 0} 1.2 Khái ni¾m hàm tri¾t tiêu cap vơ han Đ%nh nghĩa 1.4 Cho Ω mien Rn vói a ∈ Ω Hàm liên tuc f : Ω → C đưoc gQI tri¾t tiêu cap vơ han tai a neu vói MQI N ∈ N, ta có lim Ω3x→a |x f (x) − a| N Ví dn 1.1 Hàm f : C → R xác đ%nh boi  −e 1α f (z) = = neu z ƒ= |z| 0 neu z = 0, α > 0, tri¾t tiêu cap vơ han tai Ví dn 1.2 Hàm f đưoc xác đ%nh boi √ f (z) = exp(−eiπ/4 / z), hàm chinh hình ∆+, thác trien nhan lên ∆+ tri¾t tiêu cap vơ han tai Nh¾n xét 1.1 Cho ∆+ = {z ∈ C : |z| < 1, Re(z) > 0} gia su hàm f : ∆+ → R xác đ%nh ∆+ Khi đó, hàm f tri¾t tiêu cap vơ han tai neu chi neu f (z) = o(|z|n ) vói MQI n ∈ N Đ%nh nghĩa 1.5 Hàm f : ∆G0 → C (s0 > 0) đưoc GQI phang (flat) tai z = neu vói MQI n ∈ N, ton tai hang so C, s > (chi phu thu®c vào n) thoa mãn < s < s0 cho |f (z)| ≤ C|z|n , vói MQI z ∈ ∆G Nh¾n xét 1.2 Trong đ%nh nghĩa ta khơng can đen tính trơn cna hàm f Ví du hàm f đưoc cho dưói −  e 12 neu < |z| ≤ , n = 1, 2, 0n |z| n neu zn+1 = 0, f (z) = phang tai z = không liên tuc ∆ Tuy nhiên neu f ∈ C ∞ (∆G0 ) theo đ%nh lí Taylor ta có f phang tai z = neu chi neu ∂m+n ∂z m ∂z¯n f (0) = 0, vói MQI m, n ∈ N, i.e., f tri¾t tiêu cap vơ han tai V¾y nên, neu f ∈ C ∞ (∆G0 ) f ∂ phang tai ∂z m+n phang tai vói moi m, n ∈ N m ∂z¯ n 1.3 Gia thuyet Huang, Krantz, Ma Pan Năm 1991, M Lakner [6] chúng minh đưoc ket qua sau Đ%nh lý 1.1 ([6]) Gia su f ∈ Hol(∆+ ) ∩ C (∆+ ), vói ∆+ := {z ∈ C : |z| < 1, Im(z) > 0} cho f (−1, 1) ⊂ ΓC := {z ∈ C : |Im(z)| ≤ C|Re(z)|} vói C > Neu f |(−1,1) có khơng điem l¾p tai goc TQA đ thỡ f triắt tiờu cap huu han tai Ta biet rang hàm √ f (z) = exp(−eiπ/4 / z), chinh hình ∆+, thác trien nhan ∆+ tri¾t tiêu cap vơ han tai [6] Do đó, ví du cho thay đieu ki¾n ánh xa f bien (−1, 1) vào nón ΓC can thiet Năm 1993, M Baouendi and L Rothschild [1] thu đưoc ket qua dưói đây, đieu ki¾n f |(−1,1) có khơng điem l¾p tai không can thiet Đ%nh lý 1.2 ([1]) Cho f ∈ Hol(∆+ ) ∩ C (∆+ ) Gia su Ref (x) ≥ vói MQI x = Re(z) ∈ (−1, 1) Khi đó, neu f tri¾t tiêu cap vơ han tai f ≡ Trong [4], Huang, Krantz, Ma Pan đưa gia thuyet sau Gia thuyet (Gia thuyet cna Huang, Krantz, Ma Pan ) Cho ∆+ nua đĩa C Gia su f ∈ Hol(∆+) ∩ C0(∆+) cho f (−1, 1) ⊂ ΓC , vói C > Neu f tri¾t tiêu cap vơ han tai f ≡ Chú ý rang neu C = Re[f (x)] ≥ vói MQI x ∈ (−1, 1) Như v¾y, theo Đ%nh lí 1.2 gia thuyet trưịng hop C ≤ 1.4 M®t so đ%nh nghĩa bo đe kĩ thu¾t Gia su rang f hàm chinh hình ∆+ := {z ∈ C : |z| < 1, Im(z) > 0} thác trien nhan lên (−1, 1) T¾p hop khơng điem cna f (−1, 1) ròi rac ( s ≤ k n+1 −1 ∫ +1 sk n+1 (k) |G(x + tsn+1)|| ψ ∫ +1 | sk −1 ψ n+1 2(n + 1)ǁψ(k)ǁ1 = skn+1 vói a n+1 ≤x≤ bn (t)|dt −1 2(n + 1) ≤ )dy| sn+1 (k) (t) |dt , su dung phép đői bien t = x−y sn+1 bat thúc cuoi o đưoc suy tù ket qua |G(y)| ≤ 2(n + 1) vói MQI an+1 − sn+1 ≤ y ≤ bn + sn Boi v¾y, khang đ%nh (c) đưoc chúng minh Tù (a) (b) ta có hàm −8 neu x ≥ 40 g(x) =  gn(x) neu an+1 ≤ x ≤ bn, n = 4, 5, , xác đ%nh tot Tù (c) de thay rang |g (k) (x)| “ x3k+1 vói k = 0, 1, vói MQI x ∈ (0, 1), hang so phu thuđc nhat vo k Nh vắy, de thay (iii), (i) (ii) hien nhiên Vì v¾y bő đe đưoc chúng minh Bo đe 2.3.n−1Cho h : (0, +∞ h(bn) = 22·4 , h(1/2) = √ ) → R hàm tuyen tính tùng khúc ncho h(an ) = h(t) = neu t ≥ 1, an = 1/24 , a = 1/2, bn = (an + an−1 )/2 vói MQI n ∈ N∗ Khi đó, hàm f : (0, 1) → R đưoc xác đ %nh boi ∫ f (t) = − h(τ )dτ t thoa mãn đieu ki¾n sau: (i) fJ(a n) = (ii) f J (b ) ∼ n √1 a vói MQI n ∈ N∗ ; n 4bn2 n → ∞; (iii) − “ f (t) “ − , ∀ < t < t t61/1 Chúng minh Ta có ) = 22·4n−1 = √1 Vì v¾y, (i) đưoc chúng minh )= h(an a M¾t khác, bn = (an + an−1 )/2 ∼ an−1 /2 nn → ∞, ta có f J (bn ) = h(bn ) = n−1 as n → ∞ Boi v¾y, khang đ%nh (ii) đưoc chúng minh 22·4 = ∼ f J (an a2 n−1 4b2 Bây giò ta se chúng minh (iii) Vói so thnc tùy ý t ∈ (0, 1/16), gia su N so nguyên dương cho 1/24N +1 ≤ t < 1/24N Khi đó, ta de thay rang ∫ N−1 (1/24 N−1 N 2·4 − 1/2 ) f (t) ≤ − h(τ )dτ − 22 = aN 4N−1 1 1 + ≤− + “ − ; ≤− 1/16 8 t1/16 ∫ bN ∫ t1 +1 f (t) ≥ h(τ )dτ h(τ )dτ −2 aN aN +1 − bN ≥ −2h(aN+1)(bN+1 − aN+1) − h(aN )(1 − aN ) ≥ −22·4N (1/24N − 1/24N +1 ) − 22·4N−1 (1 − 1/24N ) “ − t vói MQI < t < 1/16 Như v¾y, khang đ%nh (iii) đưoc chúng minh Nh¾n xét 2.3 i) Chúng ta ý rang f C -trơn, tăng lõm khoang (0, 1) Bang cách cHQN hàm f phù hop chúng minh cna Bő đe 2.2, ta có the gia su rang nhan van thoa mãn tính chat (i), (ii) (iii) Hơn nua, vói moi k ∈ N ton tai C(k) > d(k) > 0, chi phu thu®c vào k, cho C(k) (k) |f (t) | ≤ , t (0, ∀ 1) Như v¾y hàm R(z) đưoc xác đ%nh boi ∈ td(k) R(z) := exp(f (|z|2)) neu < |z| <  0 neu z = nhan tri¾t tiêu cap vơ han tai goc TQA đ® Hơn nua, ta có lim inf z→0 |RJ (z)/R(z)| < +∞ lim supz→0 |RJ (z)/R(z)| = +∞ ii) Vì hàm P, R đoi xúng nên chúng khơng thoa mãn đieu ki¾n (I) (Nh¾n xét 2.1) M¾t khác, P˜ (z) := P (Re(z)) R˜ (z) := R(Re(z)) thoa mãn đieu hàm ki¾n (I) Thắt vắy, bang mđt vi phộp tớnh c ban ta có R˜ J (z) = R˜ (z)f J (|Re(z)|2 )Re(z) vói MQI z ∈ C |Re(z)| < Theo tính chat (ii), ta có lim supz→0 |R˜ J (z)|/R˜ (z) = √ +∞ Hơn nua, vói moi k ∈ N∗ b ∈ C∗ neu ta cHQN dãy {zn } vói zn := bn + √ i( bn)β, < β < min{1, 2/(k − 1)} neu k > β = 1/2 neu k = 1, zn → n → ∞ √ ( bn)(k−1)β+2 → b n +∞ “ Σ ˜J k R (zn ) | |Re bz n n ) n → ∞ Do đó, R˜ thoa mãn đieu ki¾n (I) Theo cách xây dnng hàm g chúng minh cna bő đe 2.2 ta có g J ( ) ∼ 3n2 n → ∞ Vì v¾y, l¾p n lu¾n tương tn có the ket lu¾n đưoc P˜ thoa mãn đieu ki¾n (I) 2.2 SE khơng ton tai trưàng vectơ chinh hình tiep xúc Đ%nh nghĩa 2.2 M®t trưịng vector chinh hình Cn đưoc cho boi tốn tu: n H = Σ k=1 hk ∂ (z) ∂zk Trong h1 , h2 , , hn hàm chinh hình theo bien z = (z1 , z2 , , zn ) Mđt mam cna siờu mắt thnc trn M (đoi chieu thnc bang 1) tai p Cn đưoc đ%nh nghĩa boi hàm so đưoc GQI ρ, cho M đưoc mô ta boi bieu thúc ρ(z) = M®t trưịng vector H đưoc GQI tiep xúc vói M neu phan thnc cna cna H tiep xúc vói M có nghĩa H thoa mãn bieu thúc Re Hρ = Bài tốn đ¾t có sn ton tai hay khơng m®t trưịng vectơ chinh hình khơng tam thưịng tiep xúc vói siêu m¾t kieu vô han Cu the muc này, se chúng minh sn khơng ton tai trưịng vectơ chinh hình khơng tam thưịng C2 tiep xúc vói siêu m¾t nhan Đ%nh lý 2.1 Neu (M, 0) m®t mam siêu m¾t C1-trơn đưoc xác đ%nh boi hàm ρ(z) := ρ(z1, z2) = Re z1 + P (z2) + (Im z1)Q(z2, Im z1) = 0, thoa mãn đieu ki¾n: (i) P ƒ≡ 0, P (0) = Q(0, 0) = 0; (ii) P thoa mãn h¾ đieu ki¾n (I) (Đ%nh nghĩa 2.1 muc 2.1); (iii) P phang tai z2 = 0, bat kì trưịng vectơ chinh hình tri¾t tiêu tai goc TQA đ® tiep xúc vói (M, 0) đong nhat vói khơng GQI M = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : Re z1 + P (z2 ) + (Im z1 )Q(z2 , Im z1 ) = 0} l mđt mam cỏc siờu mắt thnc tai thoa mãn đieu ki¾n cna Đ%nh lí 2.1 Chúng ta se chi đưoc rang không ton tai mđt trũng vector chinh hỡnh khụng tam thũng triắt tiờu tai goc TQA đ® tiep xúc vói M Trong phan này, vói r > kí hi¾u ∆˜ r := {z2 ∈ ∆r : P (z2 ) ƒ= 0} 2.2.1 Các bo đe kĩ thu¾t Vói P hàm thoa mãn h¾ đieu ki¾n (I), ta có hai bő đe sau Bo đe 2.4 Cho P hàm xác đ%nh ∆G0 (s0 > 0) thoa mãn đieu ki¾n (I) Neu a, b so phúc neu g0 , g1 , g2 hàm nhan xác đ%nh ∆G0 thoa mãn (i) g0(z) = O(|z|), g1(z) = O(|z|A+1), g2(z) = o(|z|m) Σ P (z) b (ii) ReΣaz m + Pn(z) z A+1 + g0 (z) j + g1 (z)ΣΣ = g2 (z) P (z) vói MQI z ∈ ∆˜ G0 vói MQi so ngun khơng âm A, m, trù trưịng hop m = Re(a) = 0, a = b = Chúng minh Tù đieu ki¾n (I.1) cna đ%nh nghĩa 2.1, ta có Σ f (z) ReΣbz k + O(|z|) z → M¾t khác, tù (ii) ta lai có ReΣaz P (z) + b.z m n A+1 (z) Σ + g0 g j Σ −→ +∞ f (z) P (z) j + (z)ΣΣ = g2 P (z) (z)Pn(z) Do Σ Σ ΣP (z)Σ Re n m Re.bz A+1 + g0 (z) g jP (z)+ (z) = P (z) g Σ (z) + Re az Khi Σ P (z) Re.bz A+1 + O(|z|) j P (z) A+1 Σ + Re O(|z| Σ Σ ) = P n (z).g2 (z) + Re az m Σ ΣΣ Ta thay P n (z) g2(z) + Re azm → z → Suy mâu thuan V¾y bő đe đưoc chúng minh Bo đe 2.5 Cho P hàm xác đ%nh ∆G0 (s0 > 0) thoa mãn đieu ki¾n (I) Lay B ∈ C∗ m ∈ N∗ Khi đó, ton tai α ∈ R đn nho cho lim sup |Re B(iα − 1)m P J (z)/P (z) | = +∞ ∆˜ s0 3z→0 Σ Chúng minh Do P thoa mãn h¾ đieu ki¾n (I.2) nên ton tai dãy vơ han {zk } ⊂ ∆˜ G0 h®i tu tói cho limk→∞ P J (zk )/P (zk ) = ∞ Ta có BP J (zk )/P (zk ) = ak + ibk , k = 1, 2, ; (iα − 1)m = a(α) + ib(α) Chúng ta ý rang |ak| + |bk| → +∞ k → ∞ Vì v¾y, trích dãy neu can, ta chi xét hai trưòng hop sau Trưàng hap limk→∞ ak = ∞ | bka| “ Vì a(α) → (−1)m b(α) → k α → 0, neu α đn nho ta có Re.B(iα − 1)m P J (zk )/P (zk )Σ = a(α)ak − b(α)bk = ak a k bk → a(α) − b(α)k Σ → ∞ ∞ Trưàng hap limk→∞ bk = ∞ limk→∞ | ak |b= Co đ%nh m®t so thnc α k cho b(α) ƒ= Khi đó, có Re.B(iα − 1)m P J (zk )/P (zk )Σ = a(α)ak − b(α)bk = bk a(α) − b(α)Σ → ∞ ak b k → ∞ Boi v¾y, ta có đieu phai chúng minh 2.2.2 k ChÉng minh Đ%nh lí 2.1 Gia su mam siêu m¾t (M, 0) C2 đưoc xác đ%nh boi hàm ρ(z1, z2) = 0, ρ(z1, z2) = Re z1 + P (z2) + (Im z1) Q(z2, Im z1) = 0, P, Q hàm C1-trơn thoa mãn ba đieu ki¾n gia thiet cna Đ%nh lí 2.1, muc 2.1 Đ¾c bi¾t lưu ý rang hàm P phang tai z2 = Xét trưịng vectơ chinh hình H = h1(z1, z2) ∂ ∂z1 xác đ%nh + h2(z1, z2) z2 mđt lõn cắn cna goc TQA đ® Ta chi xét trưịng hop H tiep tuyen tai M , đieu có nghĩa (Re H)ρ(z) = 0, ∀z ∈ M (2.1) Muc đích cna ta chi rang H ≡ Th¾t v¾y, gia su phan chúng H ƒ≡ Chú ý neu h2 ≡ tù (2.1) ta có h1 ≡ Như v¾y, h2 ƒ≡ Bây giị ta se chúng minh rang h1 ≡ Th¾t v¾y, gia su h1 ƒ≡ Khi đó, ta có the khai trien h1 h2 thành chuoi Taylor tai goc TQa đ® sau h1(z1, z2) = Σ ∞ a jk z z and h2(z1, z2) j = j,k=0 Σ ∞ k b jk z j z k , j,k=0 2 o ajk, bjk ∈ C Lưu ý rang a00 = b00 = h1(0, 0) = h2(0, 0) = Bang m®t so phép bien đői đơn gian, ta có ρ z1 Q(z z 1) (z , 2z, Im ) =+ Q 2i (z , Im z ) + (Im z ) z1 2 Q0(z2) 2(Im z1)Q1(z2) 3(Im z1) Q2(z2) = + 2i + + +···; 2i 2i ρz2 (z1 , z2 ) = P J (z2 ) + (Im z1 )Qz2 (z2 , Im z1 ), bieu thúc (2.1) có the viet sau Q(z2, Im z1) ReΣ + + (Im z1 )Qz (z2, Im z1 )Σh1 (z ,z) 2 i + P J (z2 ) + (Im z1 )Qz2 (z2 , Im z1 )Σh2 (z1 , z2 )Σ = vói MQ.I (z1 , z2 ) ∈ M Σ (2.2) Vì it − P (z2) − tQ(z2, t), z2 ∈ M vói MQI t ∈ R t đn nho, bieu thúc đưoctrên bieu dien dưói dang mói sau Σ.1 Re + Q0(z2) ∞ 2tQ1(z2) + 2i 2i ) − it − P Σ j,k=0 Σ 3t2Q2(z2) Σ + × zΣ + · · ) − t2 Q (z ) − · · · 2i k · a j tQ0(z2 (z2 J + P (z2 ) + tQ0 z (z2 ) + t2 Q1 z (z2 ) + · · · Σ Σ× ∞ it − P (z m,n=0 − tQ (z 2) j k (2.3) − t Q1 (z 2) znΣΣ = )−··· 2 Σm b m n vói MQI z2 ∈ C vói MQI t ∈ R, |z2 | < s0 |t| < δ0 , o s0 > δ0 > đn nho Tiep theo, ta kí hi¾u j0 so nguyên nho nhat cho aj0 k ƒ= vói so nguyên k Khi đó, GQI k0 so nguyên nho nhat cho aj0 k0 =ƒ Tương tn, GQI m0 so nguyên dương nho nhat cho bm0 n ƒ= vói so ngun n Khi đó, kí hi¾u n0 so nguyên nho nhat cho bm0 n0 Có m®t ý rang j0 ≥ neu k0 = m0 ≥ neu n0 = Chú ý có the cHQN t = αP (z2 ) (2.3) (vói α đưoc cHQN trên) P (z2) = o(|z2|n0 ), ta có (2.4) Σ1 Re a j 0k0 (iα − 1)j0 (P ))j0 z2k0 + (z2 b m0n0 (iα − 1)m0 (zn0 + o(| |n0 )(P (z2 ))m0 z2 × P J (z2 ) + αP (z2 )Qz2 (z2 , αP (z2 ))ΣΣ = o(P (z2 )j0 |z2 |k0 ) vói MQI |z2 | < s0 vói MQI α ∈ R Ta thay rang trưòng hop k0 = Σ Re(aj0 ) = 0, α có the cHQN cho Re (iα − 1)j0 a0 j 0 Do đó, tù phương trình suy j0 > m0Bây giị, chia l¾p lu¾n thành hai trưòng hop sau Trưàng hap n0 ≥ Trong trưịng hop này, phương trình (2.4) mâu thuan vói Bő đe 2.4 Trưàng hap n0 = Vì P thoa mãn đieu ki¾n (I) m0 ≥ 1, tù Bő đe 2.5 ta có the cHQN so thnc α cho lim sup |Re.bm0 (iα − 1)m P J (z2 )/P (z2 )Σ| = +∞, ∆˜ s0 3z2→0 s0 > đn nho Vì v¾y, (2.4) mâu thuan v¾y h1 ≡ lân c¾n cna (0, 0) C2 Do h1 ≡ nên tù (2.3) vói t = ta có Re Σ mΣ∞,n bm z n P J (z2 )Σ = =0 n vói MQI z2 thoa mãn |z2 | < s0 vói s0 > đn nho Vì P thoa mãn đieu ki¾n (I.1), ta ket lu¾n đưoc rang bmn = vói MQI m ≥ 0, n ≥ Bây giò ta se chi bm0 = vói MQI m ∈ N∗ Th¾t v¾y, gia su ngưoc lai Khi đó, GQI m0 so nguyên dương nho nhat cho bm0 ƒ= Tù (2.3) vói t = αP (z2 ) ta có Re bm (iα − 1)m0 P J (z2 )/P (z2 )Σ b% ch¾n ∆˜ G0 vói s0 > đn nho vói MQI α ∈ R đn nho Tù Bő đe 2.5, đieu không the xay Như v¾y, Đ%nh lí 2.1 đưoc chúng minh Q Ket lu¾n Trong lu¾n văn này, chúng tơi nghiên cúu ve hàm tri¾t tiêu cap vơ han úng dung cna chúng giai tích tốn HQc, ket qua bao gom: Tìm hieu trình bày lai kien thúc ban ve giai tích phúc; chúng minh chi tiet bő đe kĩ thu¾t đ%nh lí ve tính nhat biên cna ánh xa chinh hình Trình bày chi tiet đ%nh lí ve sn khơng ton tai trưịng vectơ chinh hình khụng tam thũng tiep xỳc vúi mđt lúp siờu mắt nhan C2 Tài li¾u tham khao [1] Baouendi M and Rothschild L., Unique continuation and a Schwarz reflection principle for analytic sets, Comm Part Differ Equat (18) (1993), 1961–1970 [2] Byun J., Joo J.-C and Song M., The characterization of holomorphic vector fields vanishing at an infinite type point, J Math Anal Appl 387 (2012), 667–675 [3] Greene R and Krantz S.G., Techniques for studying automorphisms of weakly pseudoconvex domains, Math Notes, Vol 38, Princeton Univ Press, Princeton, NJ, 1993, 389–410 [4] Huang X., Krantz S., Ma D and Pan Y., A Hopf lemma for holomorphic functions and applications, Complex Variables Theory Appl 26 (1995), no 4, 273–276 [5] Kang-Tae Kim and Ninh Van Thu, On the tangential holomorphic vector fields vanishing at an infinite type point, Trans Amer Math Soc 367 (2015), 867-885 [6] Lakner M., Finite order vanishing of boundary values of holomorphic mappings, Proc Amer Math Soc 112 (1991), no 2, 521–527 [7] Ninh Van Thu, On the existence of tangential holomorphic vector fields vanishing at an infinite type point, arXiv: 1303.6156 [8] Ninh Van Thu and Nguyen Ngoc Khanh, A note on uniqueness boundary of holomorphic mappings, to appear in Complex variables and Elliphic Equations [9] Ninh Van Thu, On the nonexistence of nontrivial tangential holomorphic vector fields of a certain hypersurface of infinite type, preprint ... TH± THU HÀ VE HÀM TRIfiT TIÊU CAP VƠ HAN Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CAP Mã so: 60460113 LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: TS NINH VĂN THU LèI CAM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành... ni¾m hàm tri¾t tiêu cap vô han Đ%nh nghĩa 1.4 Cho Ω mien Rn vói a ∈ Ω Hàm liên tuc f : Ω → C đưoc gQI tri¾t tiêu cap vơ han tai a neu vói MQI N ∈ N, ta có lim Ω3x→a |x f (x) − a| N Ví dn 1.1 Hàm. .. chuoi Taylor tai điem Nhung hàm so đưoc GQI hàm tri¾t tiêu cap vơ han Muc đích cna lu¾n văn nghiên cúu mđt so tớnh chat cna lúp cỏc hm so triắt tiêu cap vô han úng dung cna chúng tốn ve sn ton tai