4.DẠNG 4:Vận dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn -Phương pháp chung là biến đổi biểu thức cần tính về tổng của một dãy số quen thuộc -Khó khăn của học sinh; +Thường h[r]
Trang 1GIỚI HẠN DÃY SỐ
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
1.DẠNG 1: lim
n
n
u v
- Cách nhận biết dạng
là khi n thì u n và v n
- Phương pháp thường dùng để khử dạng
lũy thừa bậc cao nhất của n có mặt ở phân thức đó
* Những khó khăn học sinh thường mắc phải:
+Học sinh hiểu
+Khi chia n(hoặc đặt thừa số chung n) cho tử số và mẫu số của biểu thức tính giới hạn đôi khi các em gặp khó khăn Gv nên nhắc lại một công thức mà các em đã học ở lớp dưới
a
a
a
(Với , là những số nguyên dương , a0)
+Khi gặp dạng có chứa căn thức, học sinh càng gặp khó khăn khi chia tử số và mẫu số của biểu thức tính giới hạn cho n(hoặc đặt nlàm thừa số chung) để khử dạng vô định
phân tích đưa biểu thức cần tính giới hạn về dạng q n,để áp dụng định lí limq n 0, q 1 +Khi gặp bài toán chưa đúng dạng (chẳng hạn như bài e dưới đây), học sinh chưa định hướng
để phân tích đưa về dạng đã biết
*Bài tập áp dung:Tìm các giới hạn
a)
3
2
lim
1
n
;b)
2
3
2 lim
1
n
; c)
4 2
3
n n
d)
2 1 4
lim
n
1 2 3
lim
1
n n
; f)
1
lim
n n
n n
Giải
a)
3
2
lim
1
n
2
3
lim
1
n n n
=1
b)
2
3
2
lim
1
n
2
3
0 0 lim
1
n n n
=0
c)
4 2
3
n n
2 3
3
1 lim
1n 1n
n n
Trang 2d)
2 1 4
lim
n
2
1
lim
3
n n
1 2 3
lim
1
n n
Trước khi tính giới hạn ta đi tính tổng 1+2+3+…+n
Ta có
1 2 3
2
n n
(tổng n số hạng đầu của cấp số cộng)
1 2 3
lim
1
n n
2
2
2
n n
1
lim
2
n n
f)
1
lim
n n
n n
Áp dụng công thức: limq n 0, q 1 Để xuất hiện dạng q n, ta chia tử và mẫu cho 7n:
1
lim
n n
n n
lim
n n
n n
3
7 7
n n
n
n
*Bài tập tương tự: Tìm các giới hạn sau:
a)
3 3 5 9
lim
n
2
lim
1
3 2
5 lim
n n
d)
2
lim
n
1
lim
1 9
n n n
3 2
lim
n
- Cách nhận biết dạng ( ) là khi n thì u n và v n
hợp (hoặc qui đồng phân thức) để đưa về dạng
-Các dạng liên hợp thường dùng:
+Lượng liên hợp bậc hai: a – b có lượng liên hợp là a + b
a +b có lượng liên hợp là a – b
+Lượng liên hợp bậc ba: a – b có lượng liên hợp là a2 +ab +b2
a + b có lượng liên hợp là a2 - ab +b2
-Những khó khăn học sinh thường mắc phải:
+Học sinh thường lúng túng khi khi sữ dụng lượng liên hợp
Trang 3+Học sinh sữ dụng qui tắc về dấu để tính giới hạn còn lung túng
*Bài tập áp dụng:Tìm các giới hạn sau:
a)lim( n2 n n) ; b) 3
lim
c)lim n2 1 n22n
;d) lim3 n3 n2 n
Giải
a)lim( n2 n n) ta nhân lượng liên hợp n2 n n , ta được:
a)lim( n2 n n)=
=
2 1
n n
n n
lim
3
1 1
1
n
c)lim n2 1 n22n
Nhân lượng liên hợp : n2 1 n22n
ta được;
=
1 2
1 2
a) lim3n3 n2 n
=
3
3
lim
=lim
3 3 23 3 2
2
2
2
2
n
=lim
2
2
3
* Bài tập tương tự: Tìm các giới hạn sau:
a) lim( n2 2n1 n2 7n3) ; b)lim(1n2 n43n1)
Trang 4c) lim n 1 n
; d) lim n2 n 1 n
3.DẠNG 3: Sữ dụng qui tắc tính giới hạn
Khó khăn là học sinh thường áp dụng qui tắc không chính xác Do đó cần phải có một cách cho học sinh dễ nhớ và vận dụng
*Bài tập áp dụng: Tìm các giới hạn sau:
a) lim( 3 n34n2 5n6) ; b) lim 3n45n3 6n1 ; c) 2
( 1) lim 9
1
n
n
d)
os4
5
n
; e)
1 lim
3n 1 n1 ; f)lim 3.4n 2n1
Giải
a) lim( 3 n34n2 5n6) =
3
2 3
, nên lim( 3 n34n2 5n6)= b) lim 3n45n3 6n1 =lim
4
3 4
n
=
4
3 4
Nên lim( 3 n34n2 5n6)=
( 1)
lim 9
1
n
n
( 1) lim
1
n
n
d)
os4
5
n
os4
5
e)
1 lim
3n 1 n1 Nhân lượng liên hợp 3n 1 n1 ta được
lim
=
2
n n n n
f)lim 3.4n 2n1 =
Vì lim 4n và
4n 4n
n
Nên lim 3.4n 2n1 =
*Bài tập tương tự: Tìm các giới hạn sau;
a)lim(2n c os2 )n ;b)
2
1
Trang 5c)lim3 n3n2 n 1 ;d)
lim
n
4.DẠNG 4:Vận dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn
-Phương pháp chung là biến đổi biểu thức cần tính về tổng của một dãy số quen thuộc
-Khó khăn của học sinh;
+Thường học sinh xác định sai cấp số nhân lùi vô hạn, để tính tổng
+Phân tích tổng ban đầu để xuất hiện tổng quen thuộc đôi khi gặp khó khăn, chẳng hạn bài 1b) dưới đây
*Bài tập áp dụng : Tính tổng sau:
a) S=
3 6 12
3 6 12 3.2n
là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu
u1 =
1
1 2
3 6 12 3.2n
=
1
1 2 3 1
2
u
= 2+
33 b) S = 1+ 2x +3x2 +4x3 +… Với x 1
2 3
(Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn u1 = 1 và q = x, với x 1)
Do đó
1
x
*Bài tập tương tự: Tính tổng sau:
; b) S = 1+ 3x +5x2 +7x3 +9x4 +… Với x 1