Ứng dụng thực tế của đạo hàm

Giới thiệu về đạo hàm và ứng dụng thực tế Nhà toán học người Mỹ Judith Victor Grabiner đã từng nói: “ Đạo hàm lần đầu tiên được sử dụng như công cụ, sau đó mới được phát minh, tiếp nữa là được mở rộng và phát triển, cuối cùng mới được định nghĩa.” Câu nói ấy có nghĩa là trước khi được phát minh ra, người ta đã biết sử dụng đạo hàm như một công cụ đầy hiệu quả. Newton và Leibniz được lịch sử công nhận là độc lập với nhau phát minh ra giải tích và khái niệm đạo hàm nói riêng. Leibniz xuất phát từ việc giải quyết bài toán tiếp tuyến đã đưa ra khái niệm “vi phân” và xây dựng đạo hàm theo khái niệm này. Trong khi đó, Newton phát minh ra đạo hàm trong một hoàn cảnh rất đặc thù: ông phát minh ra giải tích chỉ như sáng tạo ra công cụ thích hợp để phục vụ cho các tính toán trong một lý thuyết vĩ đại mà sau này đã đặt nền móng cho cơ học cổ điển: Thuyết vạn vật hấp dẫn. Tìm hiểu sâu hơn về đạo hàm và ứng dụng của nó là mục tiêu chính của tiểu luận này. Để triển khai điều đó, tiểu luận được xây dựng thành 3 chương bao gồm: Chương 1: Giới hạn. Đây là chương mở đầu, cũng là chương sở hữu kiến thức cơ bản để tiếp tục tiếp cận những kiến thức của các chương tiếp theo Chương 2: Đạo hàm. Chương này đề cập, giải thích những kiến thức về đạo hàm, các định nghĩa và công thức áp dụng. Chương 3: Ứng dụng thực tế của đạo hàm Trong chương này, chúng em cung cấp một số bài tập có liên quan đến đạo hàm được tham khảo từ tài liệu 1 và đưa ra cách giải quyết những bài tập này. Bên cạnh đó, chúng em giới thiệu một vài ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán thực tiễn. Ví dụ như tính khoảng cách trong thể thao hay tốc độ tăng trưởng của số lượng cá thể... trong chương này. Kiến thức trong tiểu luận lần này được chúng em tham khảo từ nhiều nguồn tài liệu tin cậy và giáo trình có liên quan, đồng thời đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ từ các nhóm khác. Chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Nguyễn Nhân Trí đã tạo cơ hội cho chúng em được học hỏi và bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học. Trân Trọng Bình Dương, ngày 17 tháng 04 năm 2021 Nhóm thực hiện

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG 11L _* _ ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA ĐẠO HÀM TIỂU LUẬN CUỐI KỲ Học phần: Giải tích Nhóm thực hiện: Hồng Anh Quốc Nguyễn Nguyễn Nguyên Hằng Nguyễn Thành Danh Nguyễn Phạm Anh Khoa Nguyễn Long Khương Tỉnh Bình Dương Tháng năm 2021 Lời nói đầu Nhà tốn học người Mỹ Judith Victor Grabiner nói: “ Đạo hàm lần sử dụng cơng cụ, sau phát minh, tiếp mở rộng phát triển, cuối định nghĩa.” Câu nói có nghĩa trước phát minh ra, người ta biết sử dụng đạo hàm công cụ đầy hiệu Newton Leibniz lịch sử công nhận độc lập với phát minh giải tích khái niệm đạo hàm nói riêng Leibniz xuất phát từ việc giải toán tiếp tuyến đưa khái niệm “vi phân” xây dựng đạo hàm theo khái niệm Trong đó, Newton phát minh đạo hàm hồn cảnh đặc thù: ơng phát minh giải tích sáng tạo cơng cụ thích hợp để phục vụ cho tính tốn lý thuyết vĩ đại mà sau đặt móng cho học cổ điển: Thuyết vạn vật hấp dẫn Tìm hiểu sâu đạo hàm ứng dụng mục tiêu tiểu luận Để triển khai điều đó, tiểu luận xây dựng thành chương bao gồm: Chương 1: Giới hạn Đây chương mở đầu, chương sở hữu kiến thức để tiếp tục tiếp cận kiến thức chương Chương 2: Đạo hàm Chương đề cập, giải thích kiến thức đạo hàm, định nghĩa công thức áp dụng Chương 3: Ứng dụng thực tế đạo hàm Trong chương này, chúng em cung cấp số tập có liên quan đến đạo hàm tham khảo từ tài liệu [1] đưa cách giải tập Bên cạnh đó, chúng em giới thiệu vài ứng dụng đạo hàm tốn thực tiễn Ví dụ tính khoảng cách thể thao hay tốc độ tăng trưởng số lượng cá thể chương Kiến thức tiểu luận lần chúng em tham khảo từ nhiều nguồn tài liệu tin cậy giáo trình có liên quan, đồng thời nhận quan tâm giúp đỡ từ nhóm khác Chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Nguyễn Nhân Trí tạo hội cho chúng em học hỏi bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học Trân Trọng! Bình Dương, ngày 17 tháng 04 năm 2021 Nhóm thực Chương Giới hạn 1.1 Giới hạn hàm số Định nghĩa 1.1: ([1]) Khi tiến tới ( không ) , giới hạn , viết Ví dụ 1.1: Với , ta có bảng giá trị sau 3.9 10.8 3.99 10.98 3.999 10.998 4.001 11.002 4.01 11.02 4.1 11.2 Đây giới hạn mặt bảng số Ví dụ 1.2: Với , ta có đồ thị sa  Đây giới hạn mặt đồ thị 2 1 1.2 Giới hạn bên hàm số Định nghĩa 1.2: ([1]) Khi tiến tới từ bên trái , ta có giới hạn bên trái, viết Khi tiến tới từ bên phải , giới hạn bên phải, viết Mệnh đề 1.1: ([1]) Nếu giới hạn bên trái bên phải tồn giới hạn tiến tới Nếu giới hạn bên trái bên phải không khơng tồn giới hạn tiến tới Ví dụ 1.3: Xét hàm G cho Vẽ đồ thị hàm tìm giới hạn tồn a) b) Giải Ta sử dụng phương pháp kiểm tra giới hạn bên trái bên phải số đồ thị a) 0.9 3.1 0.99 3.01 0.999 3.001 1.1 2.9 1.01 2.99 1.001 2.999 Giới hạn số Giới hạn mặt đồ thị Cả bảng đồ thị cho thấy rằng: Khi tiến gần đến 1, kết đến gần đến Như vậy, b) 1.3 2.5 1.5 2.9 1.1 2.99 1.01 2.999 1.001 3.5 2.224 3.1 2.048 3.01 2.005 3.001 2.000 Cả bảng đồ thị Vì giới hạn bên trái bên phải khác nên không tồn Giới hạn hữu tỉ hàm số Định nghĩa 1.3: ([1]) 2.1 Đối với hàm hữu tỉ với nằm miền xác định nó, ta có Định lý 1.1: ([1]) Một hàm liên tục đáp ứng ba điều kiện sau: tồn ( Tồn kết ) tồn ( Giới hạn tồn tại) ( Giới hạn giống với kết quả) Nếu điều kiện không đáp ứng, hàm khơng liên tục Ví dụ 1.4: Cho , Ta có Cho , Ta có Ví dụ 1.5: Hàm cho có liên tục khơng? Giải Để g liên tục , phải liên tục điểm Lưu ý , với Vì khơng thuộc miền xác định nên khơng tồn đó, khơng liên tục Chương Đạo hàm 2.1 Tỉ lệ thay đổi trung bình Định nghĩa 2.1: ([1]) Tốc độ thay đổi điểm điểm hệ số góc đoạn thẳng nối hai điểm đó: Ví dụ 2.1: Vào lúc 13 giờ, hiệu sách có tổng doanh thu ngày 570 Vào lúc 16 giờ, hiệu sách có tổng doanh thu ngày 900 Do đó, tỷ lệ doanh thu trung bình theo thời gian , 110 khoảng thời gian từ 13 tới 16 Định nghĩa 2.2: ([1]) Gọi hàm số Mọi đường thẳng nối điểm đồ thi gọi đường cát tuyến Độ dốc đường thẳng tốc độ thay đổi trung bình hàm số , tính thương số chênh lệch: Trong gọi độ chênh lệch hai giá trị Ví dụ 2.2: Cho hàm số Khi Thương số chênh lệnh hàm số đơn giản thành Do đó, độ dốc đường thẳng 2.2 Đạo hàm Định nghĩa 2.3: ([1]) Đạo hàm hàm xác định bởi: Nhận xét 2.1: ([1]) Qua đạo hàm, biết độ dốc hàm số với đường tiếp tuyến biến xét, hệ số góc coi tốc độ thay đổi tức thời hàm số Q trình để tính đạo hàm gọi vi phân Ví dụ 2.3: Cho hàm số Thương số chênh lệch hàm số Do đó, đạo hàm hàm số Hệ số góc đường tiếp tuyến với đồ thị hàm số Ví dụ 2.4: Cho hàm số , tìm Ta có: Vì Nên ta có Do đó, 2.3 Tính liên tục hàm số Định lý 2.1: ([1]) Nếu hàm số khả vi hàm số liên tục (Tính khả vi nghĩa tính liên tục) Hàm số liên tục không thiết phải khả vi Bất kỳ hàm số có góc đồ thị liên tục khơng khả vi góc Nếu hàm số khơng liên tục hàm số khơng phân biệt Ví dụ 2.5: Cho hàm số Vì biết đạo hàm tồn đạo hàm nên ta kết luận hàm số liên tục tồn tại, hàm số liên tục -1 nhiều ứng dụng lí thuyết kinh tế quản lí kinh doanh Các ứng dụng tập trung chủ yếu quanh vấn đề tổng chi phí, giá cả, lượng hàng tồn kho, Trong chế thị trường nước ta, mục tiêu lâu dài bao trùm doanh nghiệp kinh doanh có hiệu tối đa hóa lợi nhuận Mơi trường kinh doanh ln biến đổi địi hỏi doanh nghiệp phải có chiến lược kinh doanh thích hợp Cơng việc kinh doanh nghệ thuật địi hỏi tính tốn nhanh nhạy, biết nhìn nhận vấn đề tầm chiến lược Vậy xuất hai toán lớn mà nhà kinh doanh cần phải giải Giả sử ta có doanh nghiệp sản xuất mặt hàng Y Tổng chi phí hàm phụ thuộc theo sản lượng hàng hóa Y Tổng chi phí thường bao gồm hai loại: thứ chi phí để xây dựng nhà máy, mua sắm máy móc, thường giá trị cố định, gọi ; loại thứ hai chi phí tiền lương chi phí vật liệu thô Vậy để hoạt động sản xuất đạt hiệu tối đa? Chi phí tiền lương vật liệu thô để làm đơn vị sản lượng cố định, gọi Khi đó, để làm sản phẩm hàng hóa Y cần chi phí Như vậy, tổng chi phí tính sau: Để cho doanh nghiệp sản xuất hiệu lợi nhuận phải đạt cực đại chi phí phải đạt cực tiểu hay chi phí trung bình đạt cực tiểu Ta lấy đạo hàm hàm ta được: Mức làm hiệu sản xuất tối đa mức cho đạo hàm khơng, tức hay Vì ta kết luận rằng, hoạt động sản xuất đạt hiệu tối đa chi phí lề chi phí trung bình Tuy vậy, thực tế tổng chi phí khơng đơn giản mà cịn phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác thời gian loại chi phí thứ hai nhiều không tỉ lệ với x x tăng (theo thời gian) máy móc hỏng nhiều thiếu hiệu khác mà phát sinh từ lực lượng sản xuất với mức độ ngày cao Vì vậy, hàm chi phí có dạng tạo hàm phức tạp Đạo hàm cho biết tốc độ gia tăng tổng chi phí theo biến Các nhà kinh tế học gọi phép đạo hàm chi phí lề Thực tế chi phí gia tăng ta muốn tăng sản lượng đơn hàng lên đơn vị từ mức Theo đó, sản lượng sản phẩm biến đổi từ tới 16 17 Bài tập lời giải Bài 1: Mặc dù hầu hết máy tính khơng thể tính tốn xác phương trình quỹ đạo đường bóng chày , giả sử phương trình tìm thấy cách sử dụng số loại đường cong kĩ thuật phù hợp a Vẽ đồ thị hàm đoạn b Dự đoán khoảng cách theo phương ngang từ sân nhà mà bóng chạm đất khơng trúng biển quảng cáo c Tìm tốc độ thay đổi chiều cao bóng so với khoảng cách nằm ngang d Tìm (các) điểm mà đồ thị có đường tiếp tuyến nằm ngang Giải thích Giải a b Để cho bóng chạm đất (do vị trí bóng chạm đất phải khác vị trí đánh bóng), phương trình trở thành: (Nhận) Vậy, bóng đánh trình bay khơng trúng biển quảng cáo, rơi (Loại) cách sân nhà khoảng ft c Tốc độ thay đổi chiều cao bóng đạo hàm phương trình d Điểm mà đồ thị có đường tiếp tuyến nằm ngang (Nhận) (Loại) - 18 Tại đó, độ cao bóng Vậy, vị trí cách sân nhà ft, có độ cao tối đa ft, đồ thị có đường tiếp tuyến nằm ngang Bài 2: Cho phương trình đường cong sinh sản , tính hàng nghìn a Vẽ đồ thị đường cong sinh sản, đường thẳng hàm thu hoạch b Tìm số lượng cá thể thời điểm thu hoạch tối đa bền vững diễn Dùng biện pháp sử dụng đồ thị giải tích c Tìm giá trị thu hoạch bền vững tối đa Giải a b Điểm thu hoạch bền vững tối đa xác định cách đạo hàm hàm thu hoạch cho để giá trị cho thu hoạch tối đa - Giá trị cực đại xác định cách cho đạo hàm hàm thu hoạch - - Số lượng cá thể cho thu hoạch tối đa giá trị thu - Giá trị xác định số lượng cá thể xác minh từ đường cong c Có giá trị mà thu hoạch tối đa, thay giá trị vào hàm thu hoạch có giá trị thu hoạch bền vững tối đa Bài 3: Cho đường cong sinh sản , P tính hàng nghìn Đây đường cong sinh sản khu vực Vịnh Hudson dành cho thỏ rừng – lồi thú có lơng a Vẽ đồ thị đường cong sinh sản, đường thẳng hàm thu hoạch b Tìm số lượng cá thể thời điểm thu hoạch tối đa bền vững diễn Dùng biện pháp sử dụng đồ thị giải tích 19 c Tìm giá trị thu hoạch bền vững tối đa Giải a b Điểm thu hoạch bền vững tối đa xác định cách đạo hàm hàm thu hoạch cho để giá trị cho thu hoạch tối đa - Giá trị cực đại xác định cách cho đạo hàm hàm thu hoạch - Số lượng thỏ rừng cho thu hoạch tối đa giá trị thu - Giá trị xác định số lượng cá thể xác minh từ đường cong c Có giá trị mà thu hoạch tối đa, thay giá trị vào hàm thu hoạch có giá trị thu hoạch bền vững tối đa Bài 4: Cho đường cong sinh sản , tính hàng nghìn Đây đường cong sinh sản khu vực Vịnh Hudson dành cho linh miêu – lồi thú có lơng a Vẽ đồ thị đường cong sinh sản, đường thẳng hàm thu hoạch b Tìm số lượng cá thể thời điểm thu hoạch tối đa bền vững diễn Dùng biện pháp sử dụng đồ thị giải tích c Tìm giá trị thu hoạch bền vững tối đa Giải 20 a b Điểm thu hoạch bền vững tối đa xác định cách đạo hàm hàm thu hoạch cho để giá trị cho thu hoạch tối đa - Giá trị cực đại xác định cách cho đạo hàm hàm thu hoạch - Số lượng linh miêu cho thu hoạch tối đa giá trị thu - Giá trị xác định số lượng linh miêu xác minh từ đường cong c Có giá trị mà thu hoạch tối đa, thay giá trị vào hàm thu hoạch có giá trị thu hoạch bền vững tối đa Bài 5: Cho đường cong sinh sản , tính hàng nghìn Giả sử đường cong sinh sản cho quần thể cá hồi nâu hồ lớn a Vẽ đồ thị đường cong sinh sản, đường thẳng hàm thu hoạch b Xác định đồ thị số lượng cá thể mà thu hoạch bền vững tối đa xảy c Tìm giá trị thu hoạch bền vững tối đa Giải a 21 b Điểm thu hoạch bền vững tối đa xác định cách đạo hàm hàm thu hoạch cho để giá trị cho thu hoạch tối đa - Giá trị cực đại xác định cách cho đạo hàm hàm thu hoạch - Số lượng cá thể cho thu hoạch tối đa giá trị thu - Giá trị xác định xác minh từ đường cong c Có giá trị mà thu hoạch tối đa, thay giá trị vào hàm thu hoạch có giá trị thu hoạch bền vững tối đa Bài 6: Cho đường cong sinh sản , tính hàng nghìn a Vẽ đồ thị đường cong sinh sản, đường thẳng hàm thu hoạch b Xác định đồ thị số lượng cá thể mà thu hoạch bền vững tối đa xảy c Tìm giá trị thu hoạch bền vững tối đa Giải a 22 b Điểm thu hoạch bền vững tối đa xác định cách đạo hàm hàm thu hoạch cho để giá trị cho thu hoạch tối đa - Giá trị cực đại xác định cách cho đạo hàm hàm thu hoạch - Số lượng cá thể cho thu hoạch tối đa giá trị thu - Giá trị xác định xác minh từ đường cong c Có giá trị mà thu hoạch tối đa, thay giá trị vào hàm thu hoạch có giá trị thu hoạch bền vững tối đa Bài 7: Cho bảng số liệu sau Khoảng cách ngang 50 100 200 285 (Tính đơn vị feet) Khoảng cách dọc 4,5 43 82 130 142 (Tính đơn vị feet) Vẽ đồ thị điểm kết nối chúng đoạn thẳng a Dùng hồi quy để tìm hàm bậc ba phù hợp với liệu b Vẽ đồ thị hàm đoạn c Hàm số có hình dạng giống với liệu cho khơng? 23 300 360 400 134 100 60 d Dự đoán khoảng cách theo phương ngang từ sân nhà mà bóng rơi xuống đất khơng chạm vào bảng quảng cáo e Tìm tốc độ thay đổi chiều cao bóng khoảng cách ngang từ sân nhà f Tìm (các) điểm mà đồ thị có đường tiếp tuyến nằm ngang Giải thích ý nghĩa (các) điểm Giải a Gọi đồ thị quỹ đạo bóng chày Với bảng giá trị cho, ta dễ dàng tìm : Vậy đồ thị đường cong phù hợp với liệu b c Hàm số có hình dạng giống với liệu cho d Tại vị trí bóng rơi xuống đất 24 Hay (Nhận) Vì vậy, bóng chày 418,816 ft (Loại) khơng bị cản trở (Loại) e Tốc độ thay đổi chiều cao bóng đạo hàm đồ thị quỹ đạo bóng f Để bóng đạt vị trí cao tiếp tuyến qua điểm phải song song với phương ngang hay hệ số góc khơng Hay (Nhận) (Loại) Thay vào phương trình ta Vậy, bóng chạm độ cao tối đa 134,672 ft sau 242,128 ft theo phương ngang Bài 8: Đối với bóng chạm chướng ngại vật ft ft, ước lượng bóng bao xa theo sau quỹ đạo thấp quỹ đạo trung bình, quỹ đạo cao Giải Đối với bóng, ta có cơng thức quỹ đạo sau đây: Quỹ đạo thấp: Quỹ đạo trung bình: Quỹ đạo cao: Thay ft ft ta được: Quỹ đạo thấp: ft Quỹ đạo trung bình: ft Quỹ đạo cao: ft Bài 9: Năm 1953, Hall-of-Famer Mickey Mantle đạt cú home run cao ngất ngưởng Sân vận động Griffith cũ Washington, D.C., đạt chướng ngại vật cao 60 ft 460 ft từ vị trí đánh bóng Những phóng viên khẳng định vào thời điểm bóng 565 ft Ước tính có hợp lệ khơng? Giải Thay ft ft vào công thức ta được: Quỹ đạo thấp: ft Quỹ đạo trung bình: ft Quỹ đạo cao: ft 25 Ước tính phóng viên sai lệch Ngay với quỹ đạo thấp, bóng theo phương ngang khoảng cách khoảng 526 ft 26 Tổng kết Qua tiểu luận này, chúng em muốn đưa đến nhìn cao xa Đạo hàm, hay cụ thể ứng dụng thực tế Đạo hàm Đây điều mà sách giáo khoa đem đến hoàn chỉnh cho Việc đem đến ứng dụng thực tế Đạo hàm giúp cho bạn học sinh có nhìn khách quan Đạo hàm nói riêng Tốn học nói chung Một số nội dung cần nắm là: Một số công thức đạo hàm thường gặp: Giới hạn hàm số Giới hạn hữu tỉ hàm số Đạo hàm Đạo hàm số Đạo hàm hàm luỹ thừa Đạo hàm tích số với hàm Đạo hàm tổng hay hiệu hai hàm số Đạo hàm tích hai hàm số Đạo hàm thương hai hàm số Đạo hàm hàm số hợp Đạo hàm cấp Đạo hàm cấp cao Lời kết 27 , Trong tiểu luận này, chúng em trình bày khái niệm bản, cơng thức mở rộng Giải tích Giới hạn, Đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm, đạo hàm cấp cao Ngồi ra, chúng em cịn tập trung giới thiệu ứng dụng đạo hàm xung quanh đời sống chúng ta, từ Sinh học, Thể thao, Kinh tế, … tất mang kết riêng mà Đạo hàm mang lại Tuy vậy, ứng dụng thực tế chúng em chưa mang tính xác tuyệt đối lượng kiến thức chưa đủ rộng, kèm theo thời gian làm tiểu luận có hạn nên chúng em chưa thể đưa ứng dụng sâu xa Đạo hàm thực tế Tuy vậy, việc giải toán thực tế bản, chúng em thấy Đạo hàm ý nghĩa Tốn học mà cịn nhiều lĩnh vực khác mà chúng em chưa biết đến Đây kiến thức bản, bàn đạp để chúng em tiếp cận nhiều kiến thức mới, rộng cao cách dễ dàng Trong trình làm tiểu luận, chúng em học hỏi nhiều kinh nghiệm kinh nghiệm hành trang cho chúng em sau Trong thời gian hồn thành tiểu luận, nhóm em thảo luận đưa ý kiến tốt cho làm chúng em, đồng thời giúp cho chúng em có nhìn tích cực với Đạo hàm nói riêng Tốn học nói chung Vì lần chúng em biên soạn hoàn chỉnh tiểu luận nên chắn khơng tránh khỏi thiếu sót khơng đáng có Do chúng em mong nhận ý kiến phản hồi đến từ thầy Nguyễn Nhân Trí để rút kinh nghiệm cho lần làm tiểu luận 28 Tài liệu tham khảo [1] Marvin L.Bittinger, David J.Ellenbogen, Scott A.Surgent, Calculus and Its Applications [2] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng, Đại số Giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [3] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng, Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [4] Khoá luận tốt nghiệp “Ứng dụng đạo hàm toán thực tế tốn sơ cấp” Đỗ Thị Hồ, Đại học Sư phạm Hà Nội II [5] 29 https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BA%A1o_h%C3%A0m Mục lục Lời nói đầu 1 Giới hạn 1.1 Giới hạn hàm số 1.2 Giới hạn bên hàm số 1.3 Giới hạn hữu tỉ hàm số .5 Đạo hàm 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Tỉ lệ thay đổi trung bình Đạo hàm Tính liên tục hàm số Ký hiệu 10 Các quy tắc tính đạo hàm .10 2.5.1 Đạo hàm số 10 2.5.2 Đạo hàm hàm luỹ thừa 10 2.5.3 Đạo hàm tích số với hàm .10 2.5.4 Đạo hàm tổng hay hiệu hai hàm số .11 2.5.5 Đạo hàm tích hai hàm số .11 2.5.6 Đạo hàm thương hai hàm số 11 2.5.7 Đạo hàm hàm số hợp 11 2.6 Đạo hàm cấp cao 12 2.6.1 Đạo hàm cấp hai 12 2.6.2 Đạo hàm cấp cao .12 Ứng dụng thực tế đạo hàm 13 3.1 Ứng dụng đạo hàm thể thao – Mơn bóng chày .13 3.2 Ứng dụng đạo hàm sinh học – Đường cong sinh sản 14 3.3 Ứng dụng đạo hàm kinh tế – Chi phí sản xuất 16 Bài tập lời giải 18 Tổng kết 28 Tài liệu tham khảo 30 30