chương IV định lí fermat

định lí fermat là định lí nổi tiếng trong số học, để có thể bồi dưỡng thêm về chuyên đề này, ad đã viết ra nhằm mong các bạn được rèn luyện cọ xát và trau dồi kĩ năng giải toán trong chuyên đề này. Mong rằng qua chuyên đề này mọi người có thể hoàn thiện, cải thiện kĩ năng giải toán của mình

Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề số học IV Định lí Fermat nhỏ MỞ ĐẦU: Chủ tịch Hồ Chí Minh dạy: “Dân ta phải biết sử ta Cho tường gốc tích nước nhà Việt Nam” Biết "sử ta" để có lịng tự tơn, tự hào ơng cha, qua muốn phát huy nâng cao kho tàng tri thức vốn hiểu biết mình, ta cần biết "sử giới" Lịch sử nhân loại, đặc biệt lịch sử toán học, sản sinh vô số cá nhân tài ba Nếu người có niềm đam mê mãnh liệt, say sưa u thích mơn số, bạn có đủ tự tin để nói rằng: "Tơi biết đến nhà tốn học vĩ đại này"? Vì vậy,“dân toán” hẳn phải nghe danh nhà toán học Cùng tớ tìm hiểu qua nhà tốn học Fermat ! Pierre de Fermat:Pierre de Fermat sinh ngày 17/8/1601 xã Beaumont-de-Lomagne, tỉnh Tarn-et-Garonne vùng Occitanie nước Pháp gia đình giả Cha ơng, Dominique Fermat thương gia buôn bán da Cha ông cú v, Franỗoise Cazeneuve v Claire de Long ễng theo học Đại học Orléans từ năm 1623 nhận cử nhân luật năm 1626 trước đến Bordeaux Ở Bordeaux, ông bắt đầu nghiên cứu nghiêm túc tốn học Năm 1630, ơng mua văn phịng ủy viên hội đồng nghị viện Parlement of Toulouse, Tòa án Tối cao Pháp viện, tuyên thệ Grand Chambre vào tháng năm 1631 Ơng làm việc văn phịng từ cuối đời Bằng cách đó, ơng đổi tên từ Pierre Nguyễn Trọng Đức Minh- Trường THPT chuyên Lam Sơn Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề số học Fermat thành Pierre de Fermat Ơng thơng thạo ngôn ngữ: Tiếng Pháp, Latin, Occitan, tiếng Hy Lạp cổ, tiếng Ý tiếng Tây Ban Nha Ông để lại phần lớn cơng trình dạng thư viết cho người bạn ông, thường có khơng có nhiều chứng định lí ơng Ở vài thư, ông khám phá nhiều ý tưởng Vi tích phân trước Newton Leibniz Fermat làm tốn theo sở thích nhiều trở thành nhà tốn học chun nghiệp Dù vậy, ơng có nhiều đóng góp quan trọng cho Hình học giải tích, Xác suất, Vi tích phân Lý thuyết số Anders Hald viết: "Nền tảng toán học Fermat luận văn Hy Lạp cổ điển kết hợp với phương pháp đại số Vieta"[2] Công việc Cơng trình tiên phong Fermat Hình học giải tích (Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de tangentibus linearum curvarum) lưu hành dạng thảo vào năm 1636 (dựa kết đạt vào năm 1629), trước La Géométrie Descartes xuất năm 1637 Bản thảo xuất sau ông qua đời (1679) Trong Methodus ad disquirendam maximam et minimam De tangentibus linearum curvarum, Fermat phát triển phương pháp (bất bình đẳng) cho việc xác định cực đại, cực tiểu tiếp tuyến với đường cong khác tương đương với Vi phân Cái chết Pierre de Fermat vào ngày 12 tháng năm 1665 Castres Trường trung học cổ uy tín Toulouse đặt theo tên ông: Lycée Pierre-de-Fermat Nhà điêu khắc người Pháp Théophile Barrau tạo tượng cẩm thạch đặt tên Hommage Pierre Fermat để tưởng nhớ tới ông, tượng nằm Capitole de Toulouse (Nguồn: wikipedia) Vậy ta lật lại điểm sơ qua trang tiểu sử Fermat vĩ đại Sang phần tiếp theo, tớ giới thiệu định lý hay ho thú vị - định lí Fermat nhỏ! (định lí Fermat lớn tớ nhắc tới cuối chương Câu chuyện định lí Fermat lớn hấp dẫn khơng nên kiên trì tớ dõi theo tới chương cuối nhé, tớ tin cậu làm ^^😊) 4.1Định lí:Cho hai số nguyên dương a số nguyên tố p , ta có: a p  a(mod p) Hệ quả: Cho hai số nguyên dương a số nguyên tố p thoả mãn (a; p)  , đó: a p1  1(mod p) Lời bình: Dựa vào kinh nghiệm, suy nghĩ tự nhiên ta nghĩ đến cách chứng minh với a  1, a  , cho với a , ta cần chứng minh với a  Lời giải: Cách 1: Với a  tốn ln Giả sử toán với a, nghĩa a p  a p , ta chứng minh với a  Thật vậy: Nguyễn Trọng Đức Minh- Trường THPT chuyên Lam Sơn Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề số học  p (a  1)  (a  1)  (a  a)    .a k k 1  k   p Lại có:   p với  k  p  giả thiết quy nạp ta suy (a  1) p  (a  1) p k  p 1 p p  (a  1) p  a  1(mod p) (điều phải chứng minh) Theo ngun lí quy nạp nên tốn với số nguyên dương a Lời bình: Ở cách cách làm vô tự nhiên, để mở rộng thêm kiến thức, tớ đưa thêm lời giải khác (tớ thấy cách không tự nhiên cho lắm) cách sử dụng hệ thặng dư, mời bạn đọc tham khảo: Cách 2: Ta xét trường hợp: TH1: gcd(a; p)  d (d  1)  p  d p số nguyên tố  a p  a p  a(mod p) gcd(a; p)  Xét số đem chia cho p có số dư khác (nếu giả sử có số có số dư với ta có ia  ja(mod p) i, j  (1; p  1) TH2:  a(i  j ) p  i  j p , điều khơng xảy | i  j | p mà | i  j | p Dấu “=” xảy  i  j ) Do đó: a.2a.3a ( p  1)a  1.2.3 ( p  1)(mod p)  a p1  1(mod p)  a p  a(mod p) (đpcm) Qua hai cách chứng minh tớ tin giúp bạn đọc hiểu rõ định lí Fermat nhỏ này, để vận dụng vận dụng cao định lí Fermat ta cần rèn luyện, cọ sát qua tập Sau tớ xin đưa tập vận dụng chuyên đề này: 4.2 Các ví dụ Ví dụ 1:Cho 𝑝, 𝑞 hai số nguyên tố phân biệt thỏa mãn 𝑎𝑝 ≡ 𝑎(mod𝑞) 𝑎𝑞 ≡ 𝑎(mod𝑝) Chứng minh 𝑎𝑝𝑞 ≡ 𝑎(mod𝑝𝑞) Lời giải: pq q p p  a  (a )  a (mod p) Nhận xét: nhận thấy  pq từ ta dễ dàng suy lời giải p q q a  ( a )  a (mod q )   Theo định lí Fermat với p số nguyên tố ta có: a p  a(mod p) Tương tự ta có: a q  a(mod q) a pq  a  (a p )q  a q  a q  a  0(mod q) a pq  a  (a q ) p  a p  a p  a  0(mod p) Nguyễn Trọng Đức Minh- Trường THPT chuyên Lam Sơn Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề số học Mà ( p; q)   a pq  a  0(mod pq)  a pq  a(mod pq) Khái niệm số Carmichael: 𝑎𝑛 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑𝑛) ⇒ 𝑛 gọi số Carmichael Số square - free 𝑛 số có dạng 𝑛 = 𝑝1 ⋅ 𝑝2 ⋅ 𝑝3 … 𝑝𝑘 với 𝑝𝑖 số nguyên tố Ví dụ 2: Gọi 𝑝 ước nguyên tố tùy ý số square - free 𝑛 Nếu 𝑛 − chia hết cho 𝑝 − 𝑛 số Carmichael Lời giải: Do n  p  nên đặt n   m( p  1) với m  Z a n1  a m ( p 1)  1(mod p ) Ta có:  a n  a (mod p ) Làm tương tự với tất ước nguyên tố pi số square – free n ( p1; p2 ; ; pk )   a n  a(mod n) Như n số Carmichael Ví dụ 3: Cho số tự nhiên 𝑎, 𝑏 thỏa mãn 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 chia hết cho số nguyên tố 𝑝 = 3𝑘 + với 𝑘 ∈ ℕ∗ Chứng minh 𝑎, 𝑏 chia hết cho 𝑝 Lời giải: Nếu a chia hết cho p b chia hết cho p Nếu a khơng chia hết cho p b không chia hết cho p, mà p số nguyên tố nên (a; p)  (b; p)  theo đề ta có: p | a  ab  b2  p | (a  b)(a  ab  b2 )  a3  b3  a3  b3 (mod p)  a3k  b3k (mod p) Theo định lí Fermat ta có: a p  a (mod p )  a 3k   a (mod p )  a 3k a  b3k a  a (mod p ) b p  b(mod p )  b3k b  b(mod p )  b3k (a  b )  a  b(mod p)  (a  b) b3k (a  b)  1 p Nếu a  b(mod p)  a  ab  b2  3a (mod p)  vơ lí Nếu b3k (a  b)  p  b3k 1.a  b3k 2  b p  a.b3k 1 p (vơ lí) Nguyễn Trọng Đức Minh- Trường THPT chuyên Lam Sơn Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề số học Ví dụ 4:Chứng minh số nguyên dạng 𝑥 + khơng có ước ngun tố dạng 6𝑘 + Lời giải: Giả sử tồn số nguyên tố có dạng 6k + ước 𝑥 + Từ ta có: 𝑥 + ≡ 0(mod𝑝) Nếu 𝑥 thỏa mãn 𝑥 + ≡ 0(mod𝑝) x + kp thóa mãn Dịng chứng minh: (𝑥 + 𝑘𝑝)2 + = 𝑥 + 2𝑥𝑘𝑝 + 𝑘 𝑝2 + ≡ 0(mod𝑝) Nếu 𝑥 thầy chẵn chọn k = 1−> x + p lẽ Có: (2𝑦 + 1)2 + ≡ 0(mod𝑝) ⇔ 4(𝑦 + 𝑦 + 1) ≡ 0(mod𝑝) ⇔ 𝑦 + 𝑦 + ≡ 0(mod𝑝) Nhân y − vơ có (𝑦 − 1)(𝑦 + 𝑦 + 1) ≡ 0(mod𝑝) ⇔ 𝑦 ≡ 1(mod𝑝) Theo Fermat 𝑦 𝑝−1 ≡ 1(mod𝑝) ⇒ 𝑦 6𝑘+4 ≡ 1(mod𝑝) Có 𝑦 ≡ 1(mod𝑝) ⇒ (𝑦 )2𝑘+1 ≡ 1(mod𝑝) ⇒ 𝑦 6𝑘+3 ≡ 1(mod𝑝) Từ có: ≡ 𝑦 6𝑘+4 ≡ 𝑦 6𝑘+3 ⋅ 𝑦 ≡ 𝑦(mod𝑝) ⇒ 𝑦 ≡ 1(mod𝑝) Suy ra: 𝑦 + 𝑦 + ≡ 3(mod𝑝) Thế ≡ 0(mod𝑝) vơ lí 4.3: Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho p số nguyên tố Chứng minh rằng: p  p  chia hết cho 42 p Bài 2*: Tìm số nguyên dương n nhỏ cho    2016 không chia hết cho 2017 Bài 3: Cho hai số nguyên tố p,q phân biệt Chứng minh p q1  q p1  pq Bài 4: Cho p số nguyên tố có dạng 4k+3, a b hai số nguyên dương Chứng minh a  b2 p  a p b p Bài 5: Chứng minh với số nguyên tố p tồn vô hạn số tự nhiên cho n n n 2n  n p Bài 6: Tìm tất số nguyên tố p; q cho: (5 p  2q )(5q  p ) pq Bài 7: Cho số nguyên dương a, b, c, d số nguyên tố p thoả mãn hệ thức: ap  bp  p p c d p 1 Nguyễn Trọng Đức Minh- Trường THPT chuyên Lam Sơn Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề số học Chứng minh a  b  c  d p Bài 8: Tìm số nguyên tố cho tổng luỹ thừa bậc chúng tích chúng Bài 9: Cho số tự nhiên k  số nguyên tố p  6k  Chứng minh với m   2m1  số tự nhiên 127m Bài 10: Tìm tất số nguyên dương x, y thoả mãn: x2010  x 2009   x   y Bài 11: (Bulgarian MO 1995) Tìm tất số nguyên n  cho a  N * ta có p a25  a n  ax  bx  c  với Bài 12:(diendantoanhoc.net) Giả sử phương trình x a; b; c  Z có ba nghiệm nguyên x1 , x2 , x3 Chứng minh rằng: 2017 (1  a  b  c)( x1  x2 )( x2  x3 )( x3  x1 ) 2017 Bài 13: (IMO 2005) Cho 𝑎, 𝑏 số tự nhiên thỏa mãn 𝑎𝑛 + 𝑛 chia hết cho 𝑏𝑛 + 𝑛 với số tự nhiền Chửng minh 𝑎 = 𝑏 Bài 14:Chứng minh 220 + 330 + 4∞0 + 550 + 6∞0 chia hết cho Bài 15:Giải phương trình đồng dư 𝑥 86 ≡ 6(mod29) Bài 16:Cho 𝑝 số nguyên tố khác Chứng minh dãy 9,99,999, … có vơ hạng số chia hết cho 𝑝 4𝑝 +1 Bài 17:Chứng minh 𝑛 = lả số giả nguyên tố vời số nguyên tố 𝑝 > 5 𝑛 Bài 18.Chứng minh + 𝑛 chia hết cho 17 vả 8𝑛8 + chia hết cho 17 với 𝑛 số nguyên dương Bài 19: (IMO Shortlist 2012) Giải phương trình nghiệm nguyên: 𝑥 (𝑦 + 𝑧 3) = 2012(𝑥𝑦𝑧 + 2) Nguyễn Trọng Đức Minh- Trường THPT chuyên Lam Sơn Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề số học Đọc thêm: Ý nghĩa toán Fermat lớn!! Định lý cuối Fermat nghĩ năm 1637 Fermat nghiên cứu sách toán cổ Hy lạp Arithmetica, viết Diophantus vào khoảng năm 250 AD Trang sách gợi ý cho Fermat bàn tính chất quanh định lý Pythagore, có đại ý là: Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng số bình phương hai cạnh góc vng Nói khác đi, phương trình x  y  z có vơ số lời giải từ tìm số Pythagore Từ định lý Pythagore, Fermat tìm xem có số ngun x,y,z thỏa cho phương trình xn  y n  z n phương trình Pythagore bậc cao hay không Nhưng thất bại Theo x , y , z Fermat phương trình với ẩn số nguyên n  khơng thể giải Ơng viết điều bên lề Arithmetica đại khái sau: Không thể tách số lập phương thành tổng số hai số lập phương khác, hay số tứ phương thành tổng số hai số tứ phương khác Một cách tổng quát: Không thể tách rời lũy thừa bậc lớn hai số nguyên thành hai lũy thừa bậc hai số nguyên khác ơng cịn viết thêm: Tơi tìm chứng minh tuyệt vời cho mệnh đề lề quyền sách không đủ chỗ để viết Định lý Fermat gây cảm hứng cho nhiều hệ tiếp theo, khơng cho nhà tốn học mà cho người hiếu kỳ muốn thử tài Người tìm cách chứng minh định lý đúng, người tìm cách chứng minh định lý sai Các trường hợp n=3 Euler, Dirichlet Legendre chứng minh năm 1825 phải đến 15 năm sau, trường hợp n=7 Gabriel Lamé chứng minh Một điều không may chứng minh tương đối dài khó mà suy rộng đến trường hợp tổng quát Mặc dầu gọi định lý mệnh đề mà Fermat nêu lên chưa chứng minh cách tổng quát Sở dĩ định lý gọi "Định lý cuối Fermat" tất mệnh đề tốn học mà Fermat nêu lên chứng minh, trừ mệnh đề này! Năm 1823 1850, Hàn lâm viện Khoa học Pháp treo hai giải thưởng cho lời giải định lý Một giải thưởng thứ ba Hàn lâm viện Brussels đề nghị năm 1883 năm 1908, nhà toán học tài tử Paul Friedrich Wolfskehl tặng 100,000 Mác cho Hàn lâm viện Khoa học Göttingen để làm giải thưởng Nguyễn Trọng Đức Minh- Trường THPT chuyên Lam Sơn Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề số học Sau ngàn lời giải gởi đến Hàn lâm viện khoảng thời gian từ 1908 đến 1911, tất sai! Theo thời gian, có nhiều cơng trình thực để cố chứng minh định lý sau Fermat, tất chứng minh nầy khám phá sai Càng cố gắng bao nhiêu, nhà toán học thất vọng nhiêu chứng minh chấp nhận xa vời Nhà toán học người Đức Ernst Kummer chứng minh định lý với số nguyên tố tới 100 (trừ Số nguyên tố phi quy 37, 59, 67) Cuối chứng minh Andrew Wiles năm 1993 sau gần năm ròng nghiên cứu, phát triển chứng minh giả thiết có liên quan Mãi đến tháng năm 1995 hội thảo Đại học Boston, giới tốn học cơng nhận chứng minh đúng.(sưu tầm) Bài tốn có nhiều người biết đến, toán kinh điển tiếng thách thức nhân loại suốt 400 năm Ấy mà, nhiều lúc tớ thắc mắc, người lại phải đánh đổi 400 năm phát triển để giải tốn ta cịn chưa thấy ứng dụng đâu, ngành nào? Những suy nghĩ trở trở lại ngày đầu tớ, hệt mớ tơ vò☹ Thế đến lúc tớ nhận ra, việc giải tốn khơng vơ ích chút Có thể tốn ứng dụng vào ngành khoa học tự nhiên đó, vĩ đại đến nhường mà ta biết rõ được, tớ cảm nhận trình chinh phục tốn đó, ta tìm thấy vơ số phát minh mới, định lí Từ sở cho thấy việc giải toán khó khơng khát khao chinh phục, mà tốn cịn giúp ta phát triển tư duy, làm cho ta tìm hay, đường chinh phục tri thức ấy! Có thể bạn chưa biết: Fermat thực khơng phải nhà tốn học, ơng luật sư có niềm đam mê bất tận với tốn! Nguyễn Trọng Đức Minh- Trường THPT chuyên Lam Sơn Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề số học Nguyễn Trọng Đức Minh- Trường THPT chuyên Lam Sơn Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề số học Nguyễn Trọng Đức Minh- Trường THPT chuyên Lam Sơn Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề số học Nguyễn Trọng Đức Minh- Trường THPT chuyên Lam Sơn ... qua trang tiểu sử Fermat vĩ đại Sang phần tiếp theo, tớ giới thiệu định lý hay ho thú vị - định lí Fermat nhỏ! (định lí Fermat lớn tớ nhắc tới cuối chương Câu chuyện định lí Fermat lớn hấp dẫn... a(mod p) (đpcm) Qua hai cách chứng minh tớ tin giúp bạn đọc hiểu rõ định lí Fermat nhỏ này, để vận dụng vận dụng cao định lí Fermat ta cần rèn luyện, cọ sát qua tập Sau tớ xin đưa tập vận dụng... toán Fermat lớn!! Định lý cuối Fermat nghĩ năm 1637 Fermat nghiên cứu sách toán cổ Hy lạp Arithmetica, viết Diophantus vào khoảng năm 250 AD Trang sách gợi ý cho Fermat bàn tính chất quanh định