định lí fermat, rolle, lagrange, cauchy, quy tắc lopital, khai triển taylor

Định lí giá trị trung bình

IV Định lí trung bình Cauchy _9

V Quy tắc L’Hospital. 10

B MỘT SỐ ỨNG DỤNG CÁC ĐỊNH LÍ FERMAT, ROLLE, LAGRANGE, CAUCHY QUY TẮC L’HOSPITAL. _12

I Ứng dụng của định lí Fermat 12

II Ứng dụng của định lí Rolle, định lí Lagrange, định lí Cauchy: _13

1 Chứng minh sự tồn tại nghiệm và biện luận số nghiệm 13

2 Giải phương trình: _16

3 Chứng minh bất đẳng thức: 18

4 Định lí Rolle - Sự phân bố nghiệm cả đa thức và đạo hàm: _21

5 Định lí Lagrange – Tìm giới hạn dãy số: _22

III Ứng dụng Quy tắc L’Hospital: 23 III Bài tập đề xuất: _25

C KHAI TRIỂN TAYLOR: _27

I Khai triển Taylor _27 III Khai triển Maclaurin các hàm cơ bản: _29

III Ứng dụng của Khai triển Taylor _31

1 Tính gần đúng: _31

2 Tính giới hạn: 33

3 Tính cực trị bằng đạo hàm cấp cao: _33

IV Bài tập đề xuất: _35

A ĐỊNH LÍ FERMAT VÀ CÁC ĐỊNH LÍ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH.

Trường hợp (1) ta nói rằng f đạt cực tiểu địa phương tại x 0

Trường hợp (2) ta nói rằng f đạt cực đại địa phương tại x 0

0 0 0

 Nếu hàm đạt cực trị tại x0 thì x0 a b,  Như vậy nếu f(x) xác định trên

[a,b] thì không có khái niệm đại cực trị tại hai đầu mút a và b, nếu có thìchỉ nói về đại hàm trái tại b và đạo hàm phải tại a

 Định lí Fermat có thể phát biểu tổng quát hơn: Nếu ( )f x khả vi phải và

trái tại a và đạt cực đại ( cực tiểu) tại a thì:

 0 0

t

f x  và f x p 0  0 (hay f x t 0  0 và f x p 0  0 )

 Hàm số có cực trị tại x0 chưa chắc khả vị tại x0

Chẳng hạn f x x có cực tiểu chặn tại 0 vì 0 x, x 0, f  0 0 Tuy

nhiên không khả vi tại 0 vì:

 Hàm só khả vi tại x0 và f x 0  0 chưa chắc đạt cực trị tại x0, chẳng hạn:

  3

Vậy hàm không có cực trị tại 0

 Ý nghĩa hình học: là tiếp tuyến tại điểm tương ứng của đường cong, songsong với trục Ox

(Hình 1)

II Định lí Rolle:

1 Định nghĩa:

Cho hàm số f : ,a b  R thỏa mãn:

i) Hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn a b, .

ii) Có đạo hàm hữu hạn f x( ) trong khoảng a b, 

iii) f a( )f b( ) Khi đó tồn tại ca b, sao cho f c( ) 0

Tồn tại ít nhất 1 điểm M c ,f c C f với ca b,  tại đó tiếp tuyến của

f

C song song với trục hoành Ox (hình 2)

 Điểm ca b,  tương ứng số  0,1 sao cho c a b a 

3 Hệ quả:

(n là số nguyên dương lớn hơn 1) trên (a; b) thì f x'( )có ít nhất n - 1 nghiệm trên (a; b).

(a; b) thì f x( )có nhiều nhất 1 nghiệm trên (a; b).

nghiệm (n là số nguyên dương) trên (a; b) thì f x( )có nhiều nhất n + 1 nghiệm trên (a; b).

Các hệ quả trên được suy ra trực tiếp từ định lí Rolle và nó vẫn đúng nếu cácnghiệm là nghiệm bội (khi f x( )là đa thức)

III Định lý số gia hữu hạn - Định lý Lagrange:

1 Định nghĩa:

Cho hàm số f : ,a b  R thỏa mãn:

i) Hàm số f(x) xác định và liên tục trên [a,b]

ii) Hàm số f(x) khả vi trên (a,b) khi đó tồn tại c thuộc (a,b) để có:

a c b x

(hình 3)

Ngoài ra định lí Lagrange còn được phát biểu dưới dạng tích phân như sau:

 Theo định lí Largrange trên dây cung AM tìm được ít nhất một điểm c

mà tại đó tiếp tuyến song song với dây cung AM Trường hợp

   

f a f b ta có định lí Rolle

 Bởi vì ca b, , nên ta có thể viết c a b a ,0 1 khi đó côngthức Lagrange có thể viết dưới dạng:

Trước hết thấy ngay g a  g b , vì nếu g a g b , theo định lí Rolle suy

ra tồn tại ca b,  để g c  0, vô lí theo giả thiết

Thấy ngay rằng định lý Lagrange là trường hợp riêng của định lí Cauchy( lấy g x  x trên a b, )

2 Dạng

0

0:

Quy tắc L’Hospital còn đúng cho trương hợp f x g x ( ), ( ) 0 khi x    hay

x  , Chẳng hạn khi x   và giả thiết f và g là khả vi và g x  0 khi x đủlớn Nếu

Áp dụng quy tắc L’Hospital với f x1 ( ), ( )g x1 ta có:

3 Dạng



:

Giả sử ca b;  và khi xc mà đủ gần c các hàm f và g khả vi tại x với g x  0

Hơn nữa lim ( ) , lim ( ) 

, ( ) ( )

0 0

( ) 1

( ) ( ) ( )

1 ( )

( ) ( )

1 ( )

g x f

( )

1 ( ) 1

LAGRANGE, CAUCHY QUY TẮC L’HOSPITAL.

I Ứng dụng của định lí Fermat trong bài toán cực trị về hàm khả vi một biến

f x f

x





 hay f x  f  1 0, hay f x  f  1 khi x khá gần 1, x<1

Từ lí luận trên suy ra giá trị bé nhất của hàm số trên 0,1 không thể xảy ra

ở hai đầu mút 0 và 1 vậy giá trị bé nhất đạt được tại 0,1 Theo định líFermat:

  0

f  

II Ứng dụng của định lí Rolle, định lí Lagrange, định lí Cauchy:

1 Chứng minh sự tồn tại nghiệm và biện luận số nghiệm của phương trình Bài 2.1:

Chứng minh rằng phương trình acosx + bcos2x + ccos3x luôn có nghiệm với mọi bộ các số thực a, b, c.

Suy ra điều phải chứng minh

Nhận xét: Bài toán trên có dạng tổng quát:

Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b], chứng minh rằng phương trình f(x) = 0

có ít nhất một nghiệm trên (a; b).

Chứng minh rằng với mọi a b c R, ,  cho trước thì

a x b x c x x  luôn có nghiệm

Giải:

3 2

0, 2

Nhận xét: x0;x1là nghiệm của phương trình (2).

Gọi x0 là nghiệm của phương trình đã cho, ta có: 5x0 5 0 3x0 3x (2a) 0

Vì f t( )liên tục trên [3; 5] và có đạo hàm trên (3; 5), do đó theo định lí

Lagrange luôn tồn tại c (3; 5) sao cho:

0

0

0 '( ) 0 ( 1)=0

Bài 2.6: Giải phương trình:

1 sin  x 2 4  sinx  3.4 sinx(*)

Giải: Đặt sin xy, với điều kiện   1 y 1 Khi đó:

1  2 4  3.4 (*)

y y

y y

Thử lại các nghiệm đều thỏa mãn phương trình (*) Vậy phương trình đãcho có các họ nghiệm là:

Mặt khác, từ (*) ta có f(11)f(5) Do đó theo định lí Rolle,  c 5;11 saocho f c( ) 0

c c

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x=1 và x=0

Từ (1) suy ra: f x'( ) 0,  x (0; ) f x( ) đồng biến trên (0;).

Suy ra: f x( 1) f x( ), x (0; ) điều phải chứng minh

Nhận xét: Trong ví dụ trên thực chất của vấn đề là ta đi chứng minh hàm số

1

1 ( ) (1 )x

Với mọi cặp số thực x, y bất kì thỏa mãn 0 < x < y, theo định lí Lagrange,

luôn tồn tại x0  (0; ),x y0  ( ; )x y thỏa mãn:

Ta có f a( )f b( )f c( )f d( ) 0 , theo định lí Rolle suy ra f x '( ) 0có ba

nghiệm (nếu a = b thì a là nghiệm của f’(x)).

Suy ra tồn tại u v, , w 0 thỏa mãn f x'( ) 4( x u x v x )(  )(  w)

4x3 4(u v w x  ) 24(uv vw wu x  )  4uvw

3 4 1 2 1

4 Định lí Rolle - Sự phân bố nghiệm cả đa thức và đạo hàm:

Nếu a, b là hai điểm không kề nhau của hàm f(x) (nghĩa là f(a)=f(b)=0,

( ) 0 với a x b  ) thì trong khoảng (a;b) hàm f’(x) có một số lẻ các không điểm (do đó các ít nhất một không điểm)

Giải:

Nếu trong khoảng ( ;a ), f x( ) có số các không điểm là vô hạn Khi đótheo định lí Rolle ta suy ra số các không điểm của trong khoảng ấy là vô hạn

Giả sử trong khoảng ấy hàm f x( ) có các số điểm không là hữu hạn và x m

là không điểm cuối cùng trong hàm f x( ) trong khoảng ấy Khi đó trong nửakhoảng a  xx m hàm f x( ) có ít hơn f x( ) tối đa là một khong điểm

f x

Chứng minh tương tự trong khoảng ( ; )a

5 Định lí Lagrange – Tìm giới hạn dãy số:

( 3)

1

x x

x f

Theo định lý Lagrange : với mọi cặp hai số thực x, y (x < y), luôn tồn tại

( ; )

z x y thỏa mãn: f(x) – f(y) = f’(z)(x-y).

Từ đó suy ra |f(x) – f(y)|  q|x – y| với mọi x, y thuộc R.

b)

1 ln(1 )

*Chú ý: Quy tắc L’Hospital là một ông cụ nhanh nhất để tìm giới hạn các dạng

vô định, nhưng điều đó không có nghĩa là nó có thể thay cho toàn bộ các phươngpháp tìm giới hạn chẳng hạn quy tắc L’Hospital không thể tìm giới hạn:

0

sin lim

1 sin lim sin

x

x x x



Ví dụ: CMR:

sin lim

cos cos

IV Bài tập đề xuất:

Bài 1: Cho a + b – c = 0 Chứng minh rằng: asinx+9bsin3x+25csin5x = 0 có ít

nhất 4 nghiệm thuộc 0; 

Bài 2: Cho đa thức P(x) và Q(x) = aP(x) + bP’(x) trong đó a, b là các số thực, a

0 Chứng minh rằng nếu Q(x) vô nghiệm thì P(x) vô nghiệm.

(''( ) 0

f x  có số nghiệm đếm được) Chứng minh rằng:

* 1

Bài 10: Cho đa thức P(x) và Q(x) = aP(x) + bP’(x) + cP”(x) trong đó a, b, c là

các số thực thỏa mãn a 0 và b2 – 4ac > 0 Chứng minh rằng nếu Q(x) vô nghiệm thì P(x) vô nghiệm.

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình f x n( )a luôn cóđúng một nghiệm dương duy nhất Kí hiệu nghiệm đó là x n.

x

x x

C KHAI TRIỂN TAYLOR:

I Khai triển Taylor

+ Nếu f ( x) khả vi liên tục tới cấp n−1 trên , khả vi cấp tại thì

f ( x )=f (x0)+ +f

( n)

(x0)

n ! (x−x0)n+∘(x −x0)n

(Công thức Taylor với phần dư Peano)

+ Nếu f ( x) khả vi liên tục tới cấp n trên , khả vi cấp (n+1) trên khoảng (a;b) thì f (x)=f (x0)+ .+

f(n)

(x0)

n ! (x−x0)n+f(n+1)

(c) (n+ 1)! (x−x0)n+1

1 2

n k

n n

III Khai triển Maclaurin các hàm cơ bản:

Trong đó 0 x n là VCB bậc cao hơn x n khi x  0

* Khai triển hàm f(x)=sin x

p p

2 1

1

(0) sin (0)

! sin ( 1)

(2 1)!

k n

k

k n

( )

(1 )

k k

(0) ln(1 ) (0)

!

k n

k

k n

k n

(Giống sinx, nhưng mẫu số không có giai thừa)

III Ứng dụng của khai triển Taylor

1 Tính gần đúng:

+ Dùng khai triển Taylor, ta có thể tính gần đúng giá trị của một hàm sốphức tạp tại một điểm

+ Ta có thể tính gần đúng đạo hàm bằng cách áp dụng khai triển Taylor tạilân cận x:

Trong phần này, ta sẽ sử dụng công thức Taylor với phần dư Lagrange để tính

n

Cần tính A = ln(1,05) tức là ta chọn x 0 =0,05, hằng số c trong phần dư Lagrange R n nằm giữa 0 và 0,05

3 1

ln(1 ) 1

x x

x





3 Tính cực trị bằng đạo hàm cấp cao:

Giả sử f x ( 0 ) f (x0 )   f(n1)(x0 )  0, f( )n (x0 )  0 Khí đó theo công thức Taylor với số dư Peano ta có:

( ) 0

khi x gần x0

Từ đây suy ra:

+ Nếu n lẻ thì f không có cực trị địa phương tại x 0

+ Nếu n chẵn thì f có cực trị địa phương tại x 0 Cụ thể, f( )n (x0 )  0 thì f đạt cực tiểu địa phương tại x 0 ; còn nếu f( )n (x0 )  0thì f đạt cực đại địa phương tại x 0.

Bài 5:

Giả sử f x( ) C( ), R f( )k(0)  0 k=0,1,2  và f( )k ( )x 0 với x 0,k 1, 2, CMR:( ) 0

f x  với x 0

Giải:

Khai triển Taylor hàm f x( ) với x 0,x 0 chú ý f k(0)  0  k N

( ) 1

0 ( )

(0)

1 ( )

Điều này xảy ra khi f x ( ) 0  ta có điều phải chứng minh.

IV Bài tập đề xuất:

x