sáng kiến kinh nghiệm phương pháp đồ thị

1) Cho phương trình: F(x, m) = 0 (1), m là tham số. • Biến đổi phương trình (1) về dạng f(x) = g(m) (2) • Trong cùng hệ trục Oxy, vẽ 2 đường (C): y = f(x) và đường thẳng : y = g(m) • Số hoành độ giao điểm của (C) và  là số nghiệm của phương trình (1) 2) Chú ý: a) Đường thẳng  có ba dạng sau: • : y = g(m)   là đường thẳng trục Ox • : y = kx + m   là đường thẳng có hệ số góc k • : y = m(x x0) + y0   là đường thẳng quay quanh một điểm cố định A(x0; y0) b) Nếu F(x; m) = 0 có nghiệm x thoả mãn điều kiện   x   • Ta chỉ vẽ đường (C): y = f(x) với x  ;  • Biện luận theo m chọn nghiệm thuộc đoạn ;  c) Nếu phải đặt ẩn phụ, ta biện luận để tìm ẩn số phụ, sau đó biện luận để tìm m.

Sáng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị A PHƯƠNG PHÁP I) BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ: 1) Cho phương trình: F(x, m) = (1), m tham số  Biến đổi phương trình (1) dạng f(x) = g(m) (2)  Trong hệ trục Oxy, vẽ đường (C): y = f(x) đường thẳng : y = g(m)  Số hoành độ giao điểm (C)  số nghiệm phương trình (1) 2) Chú ý: a) Đường thẳng  có ba dạng sau:  : y = g(m)   đường thẳng // trục Ox  : y = kx + m   đường thẳng có hệ số góc k  : y = m(x - x0) + y0   đường thẳng quay quanh điểm cố định A(x0; y0) b) Nếu F(x; m) = có nghiệm x thoả mãn điều kiện   x    Ta vẽ đường (C): y = f(x) với x  [; ]  Biện luận theo m chọn nghiệm thuộc đoạn [; ] c) Nếu phải đặt ẩn phụ, ta biện luận để tìm ẩn số phụ, sau biện luận để tìm m II) ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1) Dạng tổng quát:  Xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối A A  - A  Dựa vào định nghĩa: nÕu A 0 nÕu A  để bỏ giá trị tuyệt đối  Viết hàm số dạng cho nhiều công thức  Khảo sát hàm số ứng với công thức  Lập bảng biến thiên chung vẽ đồ thị hàm số 2) Các điều cần nhớ:  Các phép biến đổi phần phép đối xứng qua trục toạ độ Cơ sở nhận xét sau đây:  Hai điểm (x; y) (x; -y) đối xứng qua trục hoành  Hai điểm (x; y) (-x; y) đối xứng qua trục tung  Hai điểm (x; y) (-x; -y) đối xứng qua gốc toạ độ O  Đồ thị hàm số y = f(x) đồ thị hàm số y = -f(x) đối xứng qua trục hồnh 3) Các dạng đồ thị có chứa giá trị tuyệt đối thường gặp: Trang:1 S¸ng kiÕn kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị a) Dng th (C1) hàm số: y =  f  x  f  x Ta có: y = =  - f  x f  x nÕu f  x 0 nÕu f  x   Vẽ đồ thị (C): y = f(x)  Đồ thị (C1) gồm phần:  Các phần đồ thị (C) nằm phía trục hồnh (f(x)  0)  Phần đối xứng đồ thị (C) nằm phía trục hồnh qua Ox f x b) Dạng đồ thị (C2) hàm số: y =  f  x    f x Ta có y = =  f  - x nÕu x 0 nÕu x  Vẽ đồ thị (C): y = f(x)  Đồ thị (C2) gồm phần:  Các phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung (hay phần đồ thị (C) ứng với x >0)  Phần đối xứng phần đồ thị trục Oy y  f  x c) Dạng đồ thị (C3) hàm số:  f  x  0  y  f  x  Ta có:   y f  x  y  f  x  coi hàm đa trị y theo x) (Do  Vẽ đồ thị (C) hàm y = f(x)  Đồ thị (C3) gồm hai phần:  Phần đồ thị (C) nằm phía trục hồnh  Phần đối xứng phần đồ thị qua trục Ox f  x d) Dạng đồ thị hàm số: y = g  x   f  x nÕu f  x 0  g  x  f  x   f  x nÕu f  x   g  x  g  x  Ta có: y = = f  x  Vẽ đồ thị (C) hàm số: y = g  x   Đồ thị (C4) gồm hai phần:  Phần đồ thị (C) ứng với f(x)   Phần đồ thị (C) ứng với f(x) < qua trục hồnh Trang:2 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm - Phơng Pháp đồ thị f x g x e) Dạng đồ thị (C5) hàm số: y =  Các bước làm tương tự phần d)  Chú ý: g(x)  f) Dạng đồ thị (C6) đồ thị hàm số: y =  f  x  g x  f  x   g  x  =  - f  x  g x Ta có: y = f  x  g x nÕ u f  x 0 nÕ u f  x   đồ thị (C6) gồm hai phần:  Phần đồ thị hàm số: y = f(x) + g(x) ứng với f(x)   Phần đồ thị hàm số: y = -f(x) + g(x) ứng với f(x) <  Mở rộng: f  x   f  x    f k  x   g  x  Vẽ đồ thị hàm số: y =  Ta vẽ đồ thị khoảng mà biểu thức dấu giá trị tuyệt đối khơng đổi dấu f x g) Dạng đồ thị (C7) hàm số: y =  Ta vẽ đồ thị (C): y = f(x) x  Sau vẽ đồ thị (C2) hàm số: y = f( ) f x  Tiếp thực cách vẽ đồ thị (C1) hàm số: y = Tóm lại ta thực dần bước sau: x f x y = f(x)  y = f( )  y = B CÁC BÀI TẬP MẪU: Bài số 1: a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = x4 - 2x2 - x  2x  b) Với giá trị m phương trình: = log2m có nghiệm phân biệt? Giải:  TXĐ: D = R Hàm chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng  Sự biến thiên:  Chiều biến thiên: y' = 4x3 - 4x  x 0  x 1  y' =  4x(x - 1) =   Bảng xét dấu y': x -  Trang:3 -1  y   y   + S¸ng kiÕn kinh nghiƯm - Phơng Pháp đồ thị y' + 0 + Hàm số đồng biến khoảng: (-  ; -1) (0; 1) Hàm số nghịch biến khoảng: (-1; 0); (1; +  )  Cực trị:  Hàm số đạt cực đại xCĐ = 1 yCĐ = -2  Hàm số đạt cực tiểu xCT = yCĐ = -1  Giới hạn: lim  x   Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận  Tính lồi lõm điểm uốn: 14 y" = 12x2 - =  x =   y = - x - - y" + Đồ thị hsố lõm Bảng biến thiên: x -1 - - y' + + y + 3 lồi CĐ + lõm 3 + - + -  + +  U1  Vẽ đồ thị: C T 14 -9 U2 14 -9 CT  Giao với trục Ox: y =  x4 - 2x2 - =  x =    Giao với trục Oy: x =  y = -1  Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng  Các điểm khác: (2; 7)  14    ;  9 (1; -2)  Trang:4 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm - Phơng Pháp đồ thị x x  log2 m b) Phương trình: có nghiệm phân biệt đồ x  2x  thị hàm số: y = cắt đường thẳng y = log2m điểm phân biệt x  2x   Vẽ đồ thị (C1) hàm số: y =  f  x f  x    - f  x Ta có: y = nÕu f  x 0 nÕu f  x  Vậy đồ thị (C1) gồm hai phần:  Phần đồ thị (C) ứng với f(x)  có nghĩa phân đồ thị nằm phía trục Ox  Phần đồ thị đối xứng (C) nằm phía trục hồnh  Vẽ đường thẳng D: y = log2m; D // Ox cắt trục Oy điểm có tung độ log2m Nhìn vào đồ thị: ta có kết quả: đường thẳng D cắt đồ thị (C1) điểm  < log2m <  < m < KL: Vậy phương trình: 2 -2  Phần đồ thị đối xứng đồ thị (C) ứng với x < -2 qua trục Ox Trang:11 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm - Phơng Pháp đồ thị ng thng y = 2m đường thẳng song song trục Ox cắt trục Oy điểm có tung độ 2m Vậy nhìn vào đồ thị ta có kết quả:  Nếu 2m <  m < phương trình (*) vơ nghiệm  Nếu m = phương trình (*) có nghiệm kép m6  Nếu phương trình (*) có nghiệm đơn  Nếu m = phương trình (*) có nghiệm kép nghiệm đơn  Nếu m > phương trình (*) có nghiệm phân biệt Bài số ĐHY Dược TPHCM - 93 x  mx  m x 1 Cho (Cm) đồ thị hàm số: y = Vẽ đồ thị (C-1) ứng với m = -1 Từ suy đồ thị (C) hàm số: x   x  1 x 1 y= Giải: 2x  x  2 x   x 1 x 1  Với m = -1 ta y =  TXĐ: D = R\{-1}  Sự biến thiên: 2  x    Chiều biến thiên: y' = -   21    x  1     x 0  x  y' =   Bảng xét dấu y': x y' - Trang:12 + -2 -1 - - 0 + + Sáng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị Hm số đồng biến khoảng (-  ; -2); (0; +  ) Hàm số nghịch biến khoảng (-2; -1); (-1; 0)  Cực trị: Hàm số đạt cực đại xCĐ = -2 yCĐ = -9 Hàm số đạt cực tiểu xCT = yCT = -1  Giới hạn: lim y   x = -1 phương trình đường tiệm cận đứng lim  y   x  3   lim x  x   x  =  y = 2x + phương trình đường tiệm cận xiên  Bảng biến thiên: x -2 -1 - + y' + 0 + -9 + + x  CĐ - - -1 CT Vẽ đồ thị: Giao với trục Ox: (1; 0)   ;0      Giao với trục Oy: (0; -1) đồ thị nhận giao điểm I(-1; -5) hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng x   x  1 Vẽ đồ thị (C) hàm số: y = Trang:13 x 1  f  x S¸ng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị x  1 x  1 N Õux 1 x   x  1  x 1  x 1  1  x  x  1 N Õux   x  Ta có: y = Vậy đồ thị (C) hàm số gồm phần:  Phần đồ thị (C-1) ứng với x   Phần đối xứng đồ thị (C-1) ứng với x < qua trục hoành Bài số 6: ĐH Mở HN - 99 Cho hàm số: y = x + + x  a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số x 1  x b) Vẽ đồ thị (C*) hàm số y = c) Tìm tất giá trị m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x 1  x =m Giải:  TXĐ: D = R\{1} x  2x  Sự biến thiên: y' =  x  1  x 0   Chiều biến thiên: y' =  x2 - =   x 2 Bảng xét du y': Trang:14 Sáng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp ®å thÞ x - + y' + 0 + Hàm số đồng biến khoảng (-  ; 0); (2; +  ) Hàm số nghịch biến khoảng (0; 1); (1; 2)  Cực trị: Hàm số đạt cực đại xCĐ = yCĐ = Hàm số đạt cực tiểu xCT = yCT =  Giới hạn: lim y   x = phương trình đường tiệm cận đứng lim  y   x  1   lim x  x   x  =  y = x + phương trình đường tiệm cận xiên  Bảng biến thiên: x - + y' + 0 + + + x  CĐ y - - CT Vẽ đồ thị: Giao với Đồ thị  ;     2 ; trục Ox Oy: (0; 0) qua điểm khác:   1;     ; (2; 4)  Nhận xét: tâm đối đồ thị nhận giao điểm I(1; 2) hai đường tiệm cận làm xứng Giao với trục Ox Oy: (0; 0) b) Vẽ (C*): y = Trang:15 x 1  x (*) S¸ng kiÕn kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị Vi x > -1 (*) có dạng: y1 = x + + x  Vậy đồ thị phần (C) tương ứng với x  -1  Với x < -1 (*) có dạng: y2 = -x -1 + x   TXĐ: D = (-  ; -1)  Sự biến thiên: y2' = -1 -  x  1 < Hàm số nghịch biến khoảng (-  ; -1) Cực trị: Hàm số khơng có cực trị lim  y    x  1   lim 0 x   x  Giới hạn: x   y = -x - đường tiệm cận xiên  Bảng biến thiên: x -1 - + y'  y + -2 Đồ thị (C2) nhánh () Vậy đồ thị (C*) gồm hai phần:  Phần đồ thị (C1)  Phần đồ thị (C2) c) phương trình: x 1  x  = m có ba nghiệm phân biệt  đồ thị (C*) cắt đường thẳng d: y = m điểm phân biệt  Vẽ đường thẳng D: y = m, với D đường thẳng // Ox cắt Oy điểm có tung độ m Trang:16 S¸ng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị Nhỡn vào đồ thị ta thấy: đường thẳng D cắt (C*) ba điểm phân biệt   m     m    m    KL: Vậy phương trình có nghiệm phân biệt  m  Bài số 7: ĐH SP HN - Khối B - 2001 Cho hàm số: y = x3 - 6x2 + 9x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Từ đồ thị hàm số cho suy đồ thị hàm số: y = x  6x  x c) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: m=0 Giải: a)  TXĐ: D = R  Sự biến thiên:  Chiều biến thiên: y' = 3x2 - 12x + x  6x  x  x 1  y' =  x2 - 4x + =   x 3 Xét dấu y' x - y' + 0 + Hàm số đồng biến khoảng: (-  ; 1) ; (3; +  ) Hàm số nghịch biến khoảng (1; 3)  Cực trị: Hàm số đạt cực đại xCĐ = 1; yCĐ = Hàm số đạt cực tiểu xCT = 3; yCT =  Giới hạn: lim  x   Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận  Tính lỗi lõm điểm uốn: y" = 6x - 12 y" =  x =  y = Xét dấu y": x - y" +  Đồ thị lỗi khoảng (- ; 2) Trang:17 + + -3+ Sáng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị th lừm trờn khong (2; +  ) Đồ thị có điểm uốn I(2; 2)  Bảng biến thiên: x - y' + y - CĐ + + + U - CT  Vẽ đồ thị: Giao với Ox: (0; 0), (3; 0) Giao với Oy: (0; 0) Đồ thị nhận giao điểm I(2; 2) làm tâm đối xứng Các điểm khác: (-1; -16), (4; 4), (2; 2) b) Vẽ đồ thị (C1) hàm số: y = x  6x  x f x  Vẽ đồ thị (C2): y = x  x  x =  f  x    f x Ta có =  f   x NÕux 0 NÕux 0 Đồ thị (C2) gồm hai phần:  Phần đồ thị (C) ứng với x   Phần đối xứng phần đồ thị qua trục Oy  Vẽ xong đồ thị (C2) vẽ đồ thị (C1) Vậy đồ thị (C1) đồ thị (C2) đồ thị (C1) ứng với f(x)  x Trang:18 S¸ng kiÕn kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị c) S nghiệm phương trình: x  6x  x - + m = (*) số x  6x  x hoành độ giao điểm đồ thị (C1) hàm số y = với đường thẳng : y = - m đường thẳng // Ox Vậy nhìn vào đồ thị ta có kết sau:  Nếu - m <  m > phương trình (*) vô nghiệm  Nếu - m =  m = phương trình (*) có nghiệm kép  Nếu < - m <  -1 < m < phương trình (*) có nghiệm phân biệt  Nếu - m =  m = -1 phương trình (*) có nghiệm kép nghiệm đơn  Nếu - m >  m < -1 phương trình (*) có nghiệm đơn C CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI: BÀI1: ĐH kỹ thuật công nghệ năm 1997 x  3x  x2 Cho hàm số: y = a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Từ suy đồ x  3x  x2 thị (C1) hàm số: y = (Vẽ hình riêng) x  3x  x2 b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: = 2m đồ thị BÀI2: ĐHSP Vinh - Khối A,B - 2001 x2  x  Cho hàm số: y = x  Trang:19 Sáng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thÞ a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số x b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x2 - (1 + m) - m - =0 BÀI3: Cho hàm số: y = -x4 + 3x2 - a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Suy đồ thị hàm số: y  x  x  c) Biện luận số nghiệm phương trình: -x4 + 3x2 - + m = BÀI4: x2 Cho hàm số: y = x  a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số x  log2 5m x  b) Dùng đồ thị biện luận phương trình: BÀI5: x 3  x 1 Cho hàm số: y = a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm x  (-4; 3) phương trình: x 3  x  = 2m + BÀI6: Cho hàm số: y = -x3 + 3x2 - (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số  x  3x  b) Từ suy đồ thị: y =  x  3x  c) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: = -m +1 Trang:20 ... qua trục Oy  Vẽ xong đồ thị (C2) vẽ đồ thị (C1) Vậy đồ thị (C1) đồ thị (C2) đồ thị (C1) ứng với f(x)  x Trang:18 Sáng kiến kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị c) Số nghiệm phương trình: x  6x ... Vẽ đồ thị (C) hàm số: y = g  x   Đồ thị (C4) gồm hai phần:  Phần đồ thị (C) ứng với f(x)   Phần đồ thị (C) ứng với f(x) < qua trục hồnh Trang:2 S¸ng kiÕn kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị. .. có: y = = Vậy đồ thị (C1) gồm phần:  Phần đồ thị (C) ứng với x > -2  Phần đồ thị đối xứng đồ thị (C) ứng với x < -2 qua trục Ox Trang:11 S¸ng kiÕn kinh nghiệm - Phơng Pháp đồ thị ng thng y