BÀI TOÁN TÍNH NĂNG LƯỢNG DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA. Sử dụng phương pháp biến phân để ước tính năng lượng ở trạng thái cơ bản, trạng thái thứ nhất...Cơ học lượng tử nâng cao, năng lượng dao động tử điều hòa một chiều, năng lượng thấp nhất nguyên tử hidro
BÀI TỐN TÍNH NĂNG LƯỢNG DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HỊA Bài 1: Xét tốn dao động tử điều hịa chiều Sử dụng phương pháp biến phân để ước tính lượng a trạng thái b trạng thái kích thích thứ c Trạng thái kích thích thứ hai Lời giải: a Hàm thử mà ta chọn cho trạng thái phải hàm chẵn, triệt tiêu vơ cực khơng có nút Vì ta chọn hàm dạng Gauss sau: x, Ae x � Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ta có: ( x) * ( x)dx � A � � � 2 e 2 x dx � � Áp dung tích phân Poisson: � n x x e � dx 2n 1 !! � � => 2 x e � � n dx 2 2n 1 2n 1 !! 1.3.5.7 tích số lẻ=> 1/4 � �2 � A => A = � � 2 � � + Biểu thức lượng : � 2 � h d m 2 � x2 H A2 � e x � x � e dx 2 m dx � � � 0 H 0 A � x e � � � h2 d x2 2 x m e dx A � e x dx 2m dx � � h2 x d x 2 m A e ( xe ) d x A 2m � dx � 0 H 0 H A2 H A2 2 h2 2m � 2 h2 2m � 2 e x (e x 2 x e x )dx A2 � � 2 (e2 x dx 2 x e 2 x ) dx A2 � � � x e 2 x dx � � m 2 m 2 � x e2 x dx � � � x e 2 x dx � � + Áp dụng tích phân Poisson: � x e � x dx= � I1 � 2 x (e � (2n 1) n 2.n 1 dx 2 x e 2 x )dx= � I2 � 2 x e � x dx= � H A2 => Hay 2.11 8 2 2 h2 m A2 2m 2 2 8 0 H 0 E0 ( ) (2.1 1) 21 2 2 8 2 h2 m 2m 8 h2 m 2m 8 � E0 ( ) h2 m m => E0 2m 8 2h Để tìm tìm giá trị cực tiểu , ta có: � Với 0 m 2h thay vào E0 ta có : E0 ( ) h 2m x, 1/4 m �m � h x � � e � h � b Để tìm giá trị gần lượng trạng thái kích thích thứ nhất, hàm thử x, phải hàm lẻ triệt tiêu vơ cùng, có nút trực giao với hàm x, câu a Vì vậy, hàm thử phải có dạng: x, Bxe x Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ta có � ( x) * ( x) dx � B � � � x e 2 x dx � � Áp dụng tích phân Poisson: � n x x e � dx 2n 1 !! � � x e � => 2 x � B 2n 1 (2.1 1) 21 2n 1 !! 1.3.5.7 tích số lẻ 2.11 8 2 1/4 � => dx n x e � 2 x dx � � �32 � B � B= � � 8 � � Ta tìm lượng E1 ( ) : E1 ( ) H B � xe � x � � � h2 d m 2 � x2 x �xe dx � 2 � 2m dx � � 2 h2 m 2 x d x E1 ( ) B ( )� xe ( xe )dx B � x 4e 2 x dx 2m � dx � � � h2 m 2 x d x 2 x E1 ( ) B ( )� xe (e 2 x e ) dx B � x 4e 2 x dx 2m � dx � � � h2 m 2 x x x 2 x E1 ( ) B ( )� xe ( 2 xe 4 xe 4 x e ) dx B � x 4e 2 x dx 2m � � � h2 � 2 m E1 ( ) B � ( ) �(6 x e 2 x 4 x e2 x )dx � m � Áp dụng tích phân Poisson: � � 2 x x e d x � � � � � x e � => dx (2.1 1) 21 2.11 4 2 2 x dx (2.2 1) 22 2.2 1 16 2 2 � � x e � 2 x � 2 �32 �� h2 3 3m � E1 ( ) � ( )( ) � �� 32 2 � � �� 2m 2 2 3m � �2 ��h E1 ( ) 4 � �� ( � 2 � � ��2m 2 32 E1 ( ) 3 h2 3m 2m 8 � E1 ( ) 3h2 3m 0 2m 8 * Để tìm tìm giá trị cực tiểu E1 ( ) , ta có: � E1 ( ) => => m 2h 3h2 m 3m 3h 2m 2h m 2h 1/4 x, � �m � � 32 � � �� m x 3 1/4 � m � m2h x 2 h � � 2h � � xe � � xe � � h � � � � � � Kết trùng với lời giải xác phương trình trị riêng c Đối với trạng thái kích thứ hai ta chọn hàm thử dạng: x, , C ( x 1)e x 2 Hàm chứa thông số ∝ β Số hạng ( x 1) đảm bảo hàm thử có hai nút (x=±1/√β) Áp dụng điều kiện chuẩn hóa hàm sóng: � ( x) * ( x)dx � C � � � � C � ( � 2 ( x 1) e 2 x dx � � 2 x e2 x x e2 x e2 x )dx � � Áp dụng tích phân Poisson: � 2 x e � 2 x dx (2.1 1) 21 2.11 4 2 2 x dx (2.2 1) 22 2.2 1 16 2 2 x e � � � x e � � C ( � (2n 1) n 2.n 1 2 dx � � e x x dx= � 2 2 ) 1 16 2 4 2 2 1/2 �2 � C ( 1) � � 16 4 � � 2 1/4 �2 � 3 C � � ( 1) 1/2 2 � � 16 * Từ điều kiện trực giao hàm cho ta: 1/4 � m ( ) x �m � ∣ � � C � ( x 1)e h dx � h � � 1/ ∣ � m m ( ) x ( ) x �m � 2h � � C � ( x e e 2h )dx � h � � � Áp dụng tích phân Poisson: x e � � x dx= (2n 1) n 2.n 1 ∣ � 1/ �m � � � � C � � h � � 2( m ) 2h � ∣ � � 1/ � �m � � � � C � 1� � h � � 2( m ) � m � 2h � 2h ∣ m m 2h 2h � � 1/4 � � m � � 1� 0 � � C � � h � � m 2 � m � h � 2h � � � � � 1� � m � 2 � � h � � * Năng lượng E2 ( , ) C E2 ( , ) Hˆ � ( x � � � � � � � 1)e x => m 2 h : � h2 d m 2 � x x ( x 1) e dx � � 2 � 2m dx � � 2 2 d � � � h � x � m � E2 ( , ) C ��� ( x 1)e x ( x 1) e x ( x 1) e 2 x � �dx � � 2m dx � � � � � Đặt: � 2 � h2 � x d � I1 �� ( x 1) e ( x 1) e x � dx � � � 2m dx � � � Ta có: I1 � 2 � h2 � x d � ( x 1) e ( x 1) e x � dx � � � � � 2m dx � � � � � �m 2 I �� x ( x 1) e 2 x � dx � � � I1 � 2 2 � h2 � d ( x e x e x ) � (2 x.e x 2 xe x ( x 1) � dx � � � � � 2m dx � �� � 2 2 � h2 � d I1 � ( x e x e x ) � (2 x.e x 2 x3e x 2 xe x � dx � � � � 2m dx � �� I1 � 2 2 2 2 � h2 � ( x e x e x ) � (2 e x x e x 6 x e x 4 x e x 2 e x 4 x e x � dx � � � � � 2m � �� � I1 2 2 2 h2 ( x 2e x e x ) � (2 e x 10 x e x 4 x 4e x 2 e x 4 x e x �dx � � � 2m � I1 2 2 h2 (2 x e 2 x 10 2 x e2 x 4 x e 2 x 2 x e2 x 4 x e2 x dx � 2m � � � 2 2 h2 � (2 e 2 x 10 x e 2 x 4 x e 2 x 2 e 2 x 4 x e 2 x �dx � � � 2m � + � Áp dụng tích phân Poisson: � 2 x e � x e � 2 x dx � � (2.1 1) 21 2.11 4 2 2 2 x dx (2.2 1) 22 2.2 1 16 2 2 2 x dx � (2.3 1) 23 15 2.31 64 2 2 h2 � � (2 2m � 4 � 15 10 2 4 2 2 16 2 64 2 4 x e � � � x e � I1 � (2n 1) n 2.n 1 2 dx � � e x x dx= � + h2 � � (2 10 2m � 2 4 � 4 � 2 16 2 � � 4 2 4 2 16 2 2 4 � � 2 � I1 h2 � 15 15 3 � h2 � 5 3 � ( � (2 2 � � � 2m 2 �2 8 16 � 2m 2 � � + I1 � h2 �7 ( � � 2m 2 � 16 � Ta có: I2 I2 � � �m 2 x ( x 1) e 2 x � dx � � � � � � �m 2 2 x2 2 x 2 x � x ( x e x e e )� dx � � � �� m I2 I2 hay � 2 x xe 2 x e 2 x x e2 x ) dx � m 2 15 ( 2 2 64 2 16 2 4 m I2 => � ) 2 15 3 ( 2 ) 2 64 8 4 � h2 �7 m ( � � E2 ( , ) C ( I1 I ) = C 2m 2 �16 �+ C 2 E2 ( , ) C 2 15 3 ( 2 ) 2 64 8 4 �7h2 h2 h2 15m h2 3m h2 m h2 � ( � � 32 m m 128 16 8 � � 1/4 �2 � 3 m C � � ( 1) 1/2 2 2 � � 16 h Thay vào E2 ( , ) ta có: 1 � 15h2 9h m 3m3 m 2 ��3m3 m � E2 ( ) � � � � 16 128h2 32h �� 16h 4h � �18m � E2 ( ) 0 *Sử dụng điều kiện cực tiểu: � ta có : 0 m 2h => 0 * Như lượng hàm sóng trạng thái kích thích thứ có dạng: 2m h 1/4 E2 ( , ) h m x �m � 2m x, , � � ( x 1)e h �4 h � h Bài 2: Sử dụng Phương pháp biến phân để tích trạng tháng có nguyên tử hidro Bài giải: Hàm sóng trạng thái khơng có nút triệt tiêu vơ cùng, ta chọn hàm thử có dạng: x, , Ae r / * dV � Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ta có: 2r A � e dV V V Với dV r dr sin d d 2r A � e r dr sin d d V � 2r 2 A2 � e r dr � sin d � d =1 0 � 2r � � 2r e r dr � 3 �2 � � � � � � 2r 4 A2 � e r dr =1 � � Áp dụng công thức: A2 � e r dr.2.2 =1 In � x n e x dx = n! n 1 � 2r 4 A � e r d r =1 => � 3 4 A => A= * Năng lượng trung bình nguyên tử hidro: h2�2 e h2�2 e2 E ( ) Hˆ 2m 2m r Trong đó: + Số hạng thứ nhất: h2�2 h2 h2 �2 A (� *( )).(� ( )) Vd r 2m 2m 2m � r d (r ) $ r $ * (r ) � ( r ) r e r dr r với => � h2�2 4 h2 2 2r 4 h2 h2 A � r e dr A A2 2m 2m 2m 2m + Số hạng thứ hai: => E ( ) A2 2r e2 4 e A2 � re dr A2 4 e A2 e 2 2 r �2 � � � � � � h2 h2 e2 A2 e 2 2m 2m � E ( ) 0 *Sử dụng điều kiện cực tiểu: � E ( ) => tử hidro � - 2 h2 e 0 2m => = h2 me e2 me4 2 2h2 �h2 � h 2m � � me2 �me � Đây lượng trạng thái nguyên h2 Bài 3: Dùng phương pháp biến phân để ước tính lượng trạng thái dao động tử điều hòa chiều với hàm thử chọn sau: x, Ae x ∝ số thực dương Hàm sóng có dạng hình vẽ, có đỉnh chóp x = 0, đạo hàm bậc gián đoạn x = Áp dụng điều kiện chuẩn hóa hàm sóng: � ( x) * ( x)dx � � � A � A 2 x e � dx A � � 2A2 2 x e 2 2 x 2 x e � dx � A � e � dx 1 � � A 2 x e � dx A � � � 2 x e � dx A � 2 x e � dx � � 2 x e � dx � 2A 2 x e � dx A2 � (e e ) => A= E ( x, ) H ( x, ) ( x, ) h2 d m 2 x ( x, ) 2m dx 2 E ( x , ) H ( x , ) ( x, ) h2 d m 2 x ( x, ) 2m dx 2 + Số hạng trung bình động có dạng: 2 h2 h2 d * d d x dx 0 2m � dx 2m �dx 2 � * d2 � d dx � dx � �� � dx � dx � � h2 h2 d h2 d x * d d x d x = A e 0 2m � dx 2m �dx 2m � dx = h2 A2 2m 2h2 m � � � e x dx � 2 x e � e x dx � h2 A2 2m 2.h2 2 x dx e 2m 2 � � � 0 e x dx � x e � dx h2 (1 0) 2m h2 2m + Số hạng trung bình có dạng: V ( x) A2 m � A2 m E0 ( ) xe � � A2 m 2 x 2! 2 1 A2 m � 2 x dx= x e dx �� � � � 2 x xe � � A2 m � 2 x dx � � x e dx � �� n x n! � x e dx n 1 � �� � �0 2 1 m 4 h2 m 2m 4 � E0 ( ) 2h2 2 m 0 E0 � m Để tìm tìm giá trị cực tiểu , ta có: => 02 m 2h => E0 ( ) h2 m m 2h hm 4m 2mh Kết không trùng với kết xác, hàm thử có chóp x = ... ước tính lượng trạng thái dao động tử điều hòa chiều với hàm thử chọn sau: x, Ae x ∝ số thực dương Hàm sóng có dạng hình vẽ, có đỉnh chóp x = 0, đạo hàm bậc gián đoạn x = Áp dụng điều. .. ( ) 0 *Sử dụng điều kiện cực tiểu: � E ( ) => tử hidro � - 2 h2 e 0 2m => = h2 me e2 me4 2 2h2 �h2 � h 2m � � me2 �me � Đây lượng trạng thái nguyên h2 Bài 3: Dùng phương... m x �m � 2m x, , � � ( x 1)e h �4 h � h Bài 2: Sử dụng Phương pháp biến phân để tích trạng tháng có ngun tử hidro Bài giải: Hàm sóng trạng thái khơng có nút triệt tiêu vơ cùng,