MỘT số CÁCH KHAI THÁC GIẢ THIẾT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU và VUÔNG góc với NHAU TRONG GIẢI TOÁN HÌNH học KHÔNG GIAN

Trong quá trình ôn thi đại học, khi giải bài toán hình học không gian tổng hợp, học sinh thường lúng túng khi gặp giả thiết bài toán “cho trước hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau”. Đa số học sinh đều nhận xét dạng toán này khó, vì học sinh thường không liên kết được hai đường thẳng chéo nhau đó trong một quan hệ vuông góc để từ đó dễ dàng suy luận ra các kết quả phục vụ cho việc giải toán. Đặc biệt, khi học về “Định lý ba đường vuông góc” học sinh chỉ biết áp dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau mà không biết cách khai thác khác của nó là: tạo ra mối liên hệ gần gũi hơn giữa hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Trên đây là lí do cơ bản để tôi chọn đề tài: MỘT SỐ CÁCH KHAI THÁC GIẢ THIẾT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ VUÔNG GÓC VỚI NHAU TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ………… TRƯỜNG THPT ………… SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: MỘT SỐ CÁCH KHAI THÁC GIẢ THIẾT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ VUÔNG GĨC VỚI NHAU TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Người thực hiện: ……………… Chức vụ: Giáo viên Môn học ứng dụng: Hình học ……………… MỤC LỤC MỤC TRANG A Đặt vấn đề B Giải vấn đề I Cơ sở lí luận II Thực trạng vấn đề III Giải pháp tổ chức thực III.1 Định hướng phương pháp III.2 Tiến trình thực III.3 Các ví dụ điển hình III.4 Một số tập áp dụng IV Kết thực nghiệm C Kết luận D Tài liệu tham khảo 2 4 6 14 15 16 17 MỘT SỐ CÁCH KHAI THÁC GIẢ THIẾT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ VUÔNG GĨC VỚI NHAU TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN A ĐẶT VẤN ĐỀ Trong q trình ơn thi đại học, giải tốn hình học khơng gian tổng hợp, học sinh thường lúng túng gặp giả thiết toán “cho trước hai đường thẳng chéo vng góc với nhau” Đa số học sinh nhận xét dạng tốn khó, học sinh thường khơng liên kết hai đường thẳng chéo quan hệ vng góc để từ dễ dàng suy luận kết phục vụ cho việc giải toán Đặc biệt, học “Định lý ba đường vng góc” học sinh biết áp dụng để chứng minh hai đường thẳng vng góc với mà khơng biết cách khai thác khác là: tạo mối liên hệ gần gũi hai đường thẳng chéo vng góc với Trên lí để tơi chọn đề tài: MỘT SỐ CÁCH KHAI THÁC GIẢ THIẾT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ VNG GĨC VỚI NHAU TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lí luận I.1 Góc hai đường thẳng khơng gian Hai đường thẳng vng góc + Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm song song ( trùng) với a b a’ a b’ I + Hai đường thẳng khơng gian gọi vng góc với góc chúng 900 b I.2 Điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng + Nếu đường thẳng a vng góc với hai đường thẳng cắt b c nằm mặt phẳng (P) đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P) a b P I c I.3 Định lý ba đường vng góc + Cho đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) đường thẳng b nằm mặt phẳng (P) Khi điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a’ a (P) B a A P A’ b B’ a’ II Thực trạng vấn đề Khi toán giả thiết cho trước hai đường thẳng chéo vuông góc với Học sinh thường định hướng giải tốn khơng liên kết hai đường thẳng chéo quan hệ vng góc để từ dễ dàng suy luận kết phục vụ cho việc giải toán III Giải pháp tổ chức thực III.1 Định hướng phương pháp Cho hai đường thẳng a, b chéo vuông góc với (1) Để khai thác giả thiết áp dụng vào giải tốn, có hai hướng suy luận: Hướng 1: Từ giả thiết (1) , lập luận để hai đường thẳng cắt vng góc với Từ áp dụng tính chất hình học phẳng để giải tốn ( Định lý Pytagore,….) Hướng 2: Từ giả thiết (1) suy đường thẳng vng góc với mặt phẳng Từ áp dụng tính chất đường thẳng vng góc với mặt phẳng để giải toán Để suy luận theo hai hướng ta đưa ba cách thực hiện: Cách 1: + Qua điểm I b, kẻ a’ // a Ta hai đường thẳng a’ b cắt vng góc với b I a’ a Cách 2: Áp dụng Định lý đường vng góc + Nếu đường thẳng b nằm mặt phẳng (P), mà ta dễ dàng xác định hình chiếu vng góc a lên (P) ta dựng hình chiếu a’ a lên (P) Ta có kết quả: a '  b B a A B’ a’ A’ b P Cách 3: + Nếu đường thẳng c cắt b c  a Suy a  mp(b, c) a b P I c III.2 Tiến trình thực + Cung cấp cho học sinh số kiến thức hình học khơng gian cách khai thác giả thiết hai đường thẳng chéo nhau, vng góc với + Đưa ví dụ tốn hình học khơng gian tổng hợp có giả thiết hai đường thẳng chéo vng góc với nhau, phân tích để học sinh tự lựa chọn cách khai thác giả thiết dựa cách gợi ý + Yêu cầu học sinh nhận xét xem cịn dùng cách khác để khai thác giả thiết khơng, so sánh tính khả thi hiệu phương pháp III.3 Các ví dụ điển hình Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC cạnh a Gọi M N trung điểm SA, SC Tính thể tích khối chóp S.ABC biết BM  AN S K M N A C O B Phân tích: Khi tiếp cận với giả thiết BM  AN , dùng cách Lời giải: Gọi K trung điểm SN, suy MK // AN ( tính chất đường trung bình) 2 Vì BM  AN � BM  MK �VBMK vuông M � BM  MK  BK (*) Đặt SA = b ( b > 0) Theo công thức độ dài đường trung tuyến, ta có: BM  AB2  SB2 SA2 a2  b2 b2 2a2  b2 2a2  b2     AN  4 4 , tương tự: � MK  2a2  b2 16 Áp dụng ĐL Cosin, ta có: SB2  SC  BC 2b2  a2 � cos BSC   2SB.SC 2b2 b2 b 2b2  a2 9b2 a2 � BK  SK  SB  2SB.SK cos BSC   b  2b   16 2b2 16 2 Khi (*) � 2a2  b2 2a2  b2 9b2 a2 a    �b 16 16 Gọi O tâm tam giác ABC, suy SO  ( ABC ) , 2a a 6a2 3a2 a 42 AO   � SO  SA2  AO2    3 1 a 42 a2 a3 14 VS ABC  SO.S ABCD   3 24 (đvtt) Suy ra: Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật, AB = a, SA  a 3, SA  ( ABCD) Gọi M trung điểm SD Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng BM, AC, biết BM  AC S M A Phân tích: B F K D E C Khi tiếp cận với giả thiết BM  AC , dùng cách 2, thấy việc dựng hình chiếu BM lên (ABCD) dễ dàng Lời giải: Gọi K trung điểm AD, suy MK // SA � MK  ( ABCD) Vì BM  AC � BK  AC (Theo ĐL đường vng góc) � � � Khi đó, ta có ABK  ACB (vì phụ với BAC ) �V BAC đồng dạng với V AKB � AB BC AD  � AB2  AK BC � a2  AD � AD  a AK AB 1 a3 VS ABCD  SA.S ABCD  a 3.a2  3 (đvtt) Suy ra: Gọi E  AC �BK Kẻ EF  BM F Ta có EF  AC ( EF �( BMK )  AC ) Suy EF đoạn vng góc chung hai đường thẳng BM AC � d ( BM , AC )  EF �a � a a BK  AB  AK  a  � �  , BE  BK  �2 � 3 � � Ta có 2 � BM  BK  MK  6a2 3a2 3a   4 a 6a EF MK BE MK a sin � BMK   � EF    3a BE BM BM Ta có Vậy d ( BM , AC )  EF  a � Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC, tam giác SAC cân C, có SCA  120 , SC  a � Biết ( SAC )  ( ABC ), SA  BC BAC  30 Tính thể tích khối chóp S.ABC tính thể tích khối tứ diện SBCK, biết K điểm thuộc SA thỏa mãn CK vng góc với SB S K A C H B Phân tích: Khi tiếp cận với giả thiết SA  BC , dùng cách 2, ( SAC )  ( ABC ) nên hình chiếu SA lên (ABC) AC Lời giải: Vì ( SAC )  ( ABC ) , suy AC hình chiếu vng góc AS lên mặt phẳng (ABC) Lại có SA  BC � AC  BC ( Theo ĐL đường vng góc) Suy tam giác ABC vng C � SV ABC � BC  AC.tan 300  a a2  AC.BC  Kẻ SH  AC H, suy SH  ( ABC ) Ta có a � SCH  600 � SH  SA.sin 600  1 a a2 a VS ABCD  SH SV ABC   3 12 (đvtt) Suy 10 Vì AC  BC � BC  ( SAC ) , suy SC hình chiếu vng góc SB lên mặt phẳng (SAC) Vì SB  CK � SC  CK ( Theo ĐL đường vng góc) Khi ta có: SK  SC 2a  cos 30 2 2 Ta có: SA  SC  AC  2SC.AC.cos 120  3a � SA  a 2a VS BCK SK SC SB 2 a3    � VSBCK  VS ABC  V SA SC SB 3 18 (đvtt) a S ABC Ta có Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thoi cạnh a, BD  a Biết SA  BD, SB  AD (SBD) tạo với mặt đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AC, SB theo a s F H K E D A O B C Phân tích: Bài tốn phức tạp cho hai cặp đường thẳng chéo vuông góc với là: SA  BD, SB  AD +Ta để ý đến SA  BD trước, có AC  BD � BD  (SAC ) (cách 3) 11 Suy ( SAC )  ( ABCD) , ta nghĩ đến việc dựng hình chiếu vng góc S lên (ABCD) Đây sở để ta dùng cách để khai thác giả thiết SB  AD Lời giải: Vì ABCD hình thoi nên AC  BD , mà SA  BD , suy BD  ( SAC ) � ( SAC )  ( ABCD) Kẻ SH  AC H, suy SH  ( ABCD) Vì SB  AD � BH  AD ( Theo ĐL đường vng góc) Gọi AC �BD  O , ta có BD  ( SAC ) , suy góc hai mặt phẳng (SBD) � (ABCD) góc SOH  60 Từ giả thiết, suy tam giác ABC ACD tam giác cạnh a Vì � BH  AD � OBH  600 � OH  OB.tan 600  Suy Suy SH  OH tan 600  a 3a 3 2 3a 3a 3a a 3.a  2 (đvtt) VS ABCD  SH S ABCD  Tính d ( AC , SB)  ? Dựng hình bình hành OHEB, suy OHEB hình chữ nhật Ta có BE // AC, suy AC // (SBE) � d ( AC , SB )  d ( AC ,(SBE ))  d ( H ,(SBE )) Ta có BE  HE , BE  SH � BE  ( SHE ) � (SBE )  (SHE ) Kẻ HF  SE F, suy HF  ( SBE ) 3a a SH HE SH HE  3a 30 � d ( H ,(SBE ))  HF    SE 20 SH  HE 27a2 3a2  4 12 Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi M trung điểm B’C’ Biết AB’ vng góc với A’M AB’ = AM Cạnh bên AA’ hợp với đáy góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a tính cosin góc hai mặt phẳng (BCC’B’) với (A’B’C’) Phân tích: Để ý A ' M  B ' C ' , từ giả thiết AB '  A ' M � A ' M  ( AB ' C ') Đây cách A C N B A’ C’ B’ H M Lời giải: Vì tam giác A’B’C’ nên A ' M  B ' C ' , lại có A ' M  AB ' � A ' M  ( AB ' C ') � ( AB ' C ')  ( A ' B ' C ') Gọi H trung điểm B’M, tam giác AB’M cân đỉnh A nên AH  B ' C ' � AH  ( A ' B ' C ') AA ' H  600 Suy góc AA’ (A’B’C’) góc � 13 Ta có Suy Suy A ' H  A ' M  HM  AH  A ' H tan 600  3a2 a2 a 13   16 a 13 a 39 3 4 VABC A' B 'C '  AH S A' B 'C '  a 39 a2 3a 13  4 16 (đvtt) Tính tính cosin góc hai mặt phẳng (BCC’B’) với (A’B’C’) Vì (ABC) // (A’B’C’) nên số đo góc hai mặt phẳng (BCC’B’) với (A’B’C’) số đo góc hai mặt phẳng (BCC’B’) với (ABC) Gọi N trung điểm BC, ta có AN  BC Vì AH  ( ABC ) � AH  BC Suy   ( ANH )  BC � � ( ABC ),( BCC ' B ')  � ANH   Ta có tam giác ANH vng A, nên cos  a 39 AH AH 13 221     2 2 NH 17 17 AH  AN 39a 3a  16 Ví dụ 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ABCD hình vng cạnh a, AA '  a Gọi M, N trung điểm cạnh BB’, AD Biết BN vng góc với CM, AA’ hợp với (ABCD) góc 60 Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ N A K D H C B A’ D’ M 14 B’ C’ Phân tích: Vì ABCD hình vng, ta liên tưởng đến tính chất : Gọi K trung điểm AB BN  CK , mà BN  CM � BN  (CKM ) , ta chọn cách Lời giải: Gọi K trung điểm AB Ta dễ dàng chứng minh BN  CK Vì BN  CM � BN  (CMK ) � (CMK )  ( ABCD) Kẻ MH  CK H, suy MH  ( ABCD) Vì AA’ // BB’ Suy     � � AA ',( ABCD)  � AA ',( ABCD)  � MBH  600 MH  MB.sin 600  a 3 3a  2 Suy VABCD A' B 'C ' D '  d ( B ',( ABCD)).S ABCD  2d (M ,( ABCD)).S ABCD  MH S ABCD  3a 3a a  4 (đvtt) III.4 Một số tập áp dụng Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có AB = a Gọi M trung điểm cạnh SD Biết SA  CM Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AB CM Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, AC  a Gọi M thuộc đoạn CD cho MC = 2MD Biết SA  BD, SM  BC Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ C đến (SAB) 15 Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC tam giác vng B, �  600 AC  a, BAC Biết AB '  A ' C ', AA '  B ' M , với M trung điểm A’C’; mặt phẳng (BCC’B’) tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Bài 4: Cho hình chóp SABC có ABC tam giác vng cân tai B, AC = 2a Tam � giác SAC vuông S, SAC  60 ; ( SAC )  ( ABC ) Gọi M trung điểm BC, N điểm thuộc đường thẳng SC thỏa mãn BN  AM Tính thể tích khối tứ diện SBMN IV Kết thực nghiệm 1) Trong khuôn khổ viết tơi đưa ví dụ điển hình Từ ví dụ hướng dẫn giáo, học sinh tìm tịi lời giải toán Sau giải toán, tơi hướng dẫn học trị thay đổi cách tiếp cận toán, để đưa so sánh tính khả thi hiệu phương pháp Trong q trình tìm tịi học sinh khơng phấn chấn, tự giác tiếp nhận kiến thức kỹ giải tốn dạng mà cịn hình thành cho em cách nhìn nhận Định lý, tính chất hình học nhiều góc độ khác nhau, biết cách phân tích vấn đề nhiều góc độ 2) Trong lớp 12C8, 12C9, 12C10 tơi dạy năm nay, tơi giao Ví dụ Ví dụ nhà cho lớp 12C8, 12C9 12C10 chưa phương pháp khai thác giải thiết hai đường thẳng chéo vng góc với Kết số học sinh giải sau: Lớp 12C8 Sĩ số 51 Số học sinh giải Tỉ lệ % học sinh giải 12(VD1) 23,5%(VD1) 7(VD2) 13,7%(VD2) 16 12C9 12C10 51 45 16(VD1) 31,4%(VD1) 10(VD2) 19,6%(VD2) 7(VD1) 15,6%(VD1) 5(VD2) 11,1%(VD2) Sau hướng dẫn phương pháp, phân tích hai ví dụ: Ví dụ Ví dụ lớp yêu cầu học sinh làm ví dụ cịn lại sở gợi mở, phân tích Hầu hết học sinh lớp hiểu, nắm phương pháp giải ví dụ 3,4,5,6 Khi giao bài tập nhà Kết số học sinh giải tập sau: Lớp Sĩ số Số học sinh giải Tỉ lệ % học sinh giải 12C8 51 38 74,5% 12C9 51 42 82,4% 12C10 45 30 58,8% C KẾT LUẬN Quá trình dạy học q trình tìm tịi suy nghĩ để khơng ngừng đúc rút kinh nghiệm nâng cao hiệu dạy Kinh nghiệm trình bày tơi ứng dụng nhỏ rèn luyện kỹ giải tốn hình học khơng gian Nhưng dù qua q trình nêu hình thành cho học sinh phương pháp luận; rèn luyện cho học sinh cách nhìn nhận vận dụng lý thuyết vào giải toán, tạo cho học sinh hứng thú tìm tịi, hứng thú học toán 17 Trên kinh nghiệm rút từ trình giảng dạy thân, tơi mong đồng nghiệp bổ sung, góp ý để áp dụng rộng rãi hiệu dạy học XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm ĐƠN VỊ 2013 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Việt Dũng D.TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Hình học 11, nâng cao, NXBGD 18 ... gần gũi hai đường thẳng chéo vuông góc với Trên lí để chọn đề tài: MỘT SỐ CÁCH KHAI THÁC GIẢ THIẾT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ VNG GĨC VỚI NHAU TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN B GIẢI QUYẾT... 16 17 MỘT SỐ CÁCH KHAI THÁC GIẢ THIẾT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ VNG GĨC VỚI NHAU TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN A ĐẶT VẤN ĐỀ Trong q trình ơn thi đại học, giải tốn hình học khơng gian tổng... Góc hai đường thẳng khơng gian Hai đường thẳng vng góc + Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm song song ( trùng) với a b a’ a b’ I + Hai đường thẳng không gian gọi vng góc