Phng trinh thay di th gii

Tủ sách hợp tác nhà tốn học Ngơ Bảo Châu, nhà văn Phan Việt với Nhà xuất Trẻ Tủ sách CÁNH CỬA MỞ RỘNG thực nhằm mục đích giới thiệu đầu sách có giá trị giới nước đến bạn đọc Việt Nam, đặc biệt bạn đọc trẻ, góp phần thúc đẩy việc đọc sách, tinh thần hiếu học, coi trọng tri thức giá trị sống Các tựa sách tủ nhà tốn học Ngơ Bảo Châu nhà văn Phan Việt tuyển chọn giới thiệu Tủ sách phân thành ba mảng: văn học, khoa học xã hội - kinh tế, khoa học tự nhiên; trước mắt cấu tạo tủ sách gồm 80% sách có khả tiếp cận đơng đảo bạn đọc 20% cho sách chuyên ngành Seventeen equations that changed the world Copyright © Joat Enterprises, 2012, 2013 Bản tiếng Việt © Nhà xuất Trẻ, 2015 BIỂU GHI BIÊN MỤC TRƯỚC XUẤT BẢN DO THƯ VIỆN KHTH TP.HCM THỰC HIỆN General Sciences Library Cataloging-in-Publication Data Stewart, Ian, 1945 17 phương trình thay đổi giới / Ian Stewart ; Phạm Văn Thiều, Nguyễn Duy Khánh dịch T.P Hồ Chí Minh : Trẻ, 2015 521 tr ; 20 cm - (Cánh cửa mở rộng) Nguyên : 17 equations that changed the world Phương trình Lịch sử Tốn học Lịch sử Vật lý Lịch sử I Phạm Văn Thiều II Nguyễn Duy Khánh III Ts IV Ts: Mười bảy phương trình thay đổi giới V Ts: 17 equations that changed the world VI Ts: Seventeen equations that changed the world 512.94 ddc 23 S849 Phạm Văn Thiều - Nguyễn Duy Khánh dịch Mục lục Tại lại phương trình? 10 1  Người đàn bà da hà mã 15 2  Rút ngắn thủ tục tính tốn 43 3  Bóng ma đại lượng biến 63 4  Hệ thống giới 91 5  Điềm báo giới ý niệm 123 6  Quá nhiều ầm ĩ nút 145 7  Hình mẫu may rủi 173 8  Những dao động tốt 211 9  Gợn sóng đốm sáng 237 10  Sự bay lên nhân loại 261 11  Sóng ether 283 12  Quy luật hỗn loạn 307 13  Chỉ có thứ tuyệt đối 341 14  Lượng tử kỳ bí 385 15  Mật mã, truyền thơng, máy tính 417 16  Sự cân tự nhiên 445 17  Công thức Midas 461 Tiếp theo gì? 495 Chú thích 503 LỜI GIỚI THIỆU Nhà tốn học NGƠ BẢO CHÂU Quãng đường xa lâu Nhận xét thật hiển nhiên, ba đại lượng quãng đường, thời gian vận tốc dở chứng, biến thiên lúc, đầu rối tung lên Chúng trở nên ngoan ngoãn, ngăn nắp trở lại ta viết phương trình chuyển động vật điểm Có nhiều người hỏi tơi vẻ đẹp tốn học gì, nằm đâu Để trả lời đầy đủ có lẽ phải viết sách Nếu buộc phải trả lời vắn tắt tơi nói vẻ đẹp tốn học nằm phương trình Thay nói “đường xa, lâu”, viết cơng thức tốn học đơn giản, xác mạch lạc Một phần công việc nhà khoa học diễn đạt nhận xét mang tính trực quan “đường xa, lâu” thành cơng thức tốn học Chính mà người làm nên vẻ đẹp tốn học thường lại khơng phải nhà toán học mà nhà khoa học Cơng việc nhà tốn học thường khiêm tốn hơn, họ chuẩn bị ngơn ngữ tốn học để nhà khoa học viết phương trình Và họ chuẩn bị cơng cụ tốn học để giải phương trình đó, phần lớn trường hợp, 17 phương trình thay đổi giới phương trình khơng giải được, rút số thông tin từ phương trình Thường thơng tin rút từ phương trình nhờ vào cơng cụ tốn học khơng phải ta cảm nhận cách trực quan, chúng chân lý, chân lý khơng hơn, khơng phương trình ban đầu Và thường thơng tin chắn, khơng hiển nhiên, thông tin quý giá Xin giới thiệu với bạn đọc tủ sách Cánh cửa mở rộng 17 phương trình thay đổi giới Ian Stewart Tác giả người viết tài hoa thể loại sách toán dành cho người khơng chun tốn Ơng có tiền án làm cho khơng người ghét tốn trở thành người u tốn Qua 17 phương trình tiêu biểu: từ định lý Pythagor, qua số ảo bậc hai âm một, qua phương trình truyền sóng, đến phương trình Shannon độ phức tạp thông tin cuối phương trình Black-Scholes định giá cơng cụ tài phái sinh, ơng dẫn qua địa hạt mà dù nằm hay ngồi tốn học, vẻ đẹp tốn học ln thể cách khiết Bằng việc giới thiệu sách này, muốn chia sẻ với bạn đọc niềm tin: vẻ đẹp toán học nằm nơi, toán học cần thiết để thấu hiểu giới 508 17 phương trình thay đổi giới Cardano, lúc viết sách đại số, nghe tin đấu biết Fior Tartaglia giải phương trình bậc ba Khám phá hẳn nâng sách ông lên tầm cao mới, Cardano thỉnh cầu Tartaglia tiết lộ phương pháp Cuối Tartaglia tiết lộ bí mật, sau u cầu Cardano thề khơng cơng bố Nhưng phương pháp giải xuất Ars Magna, Tartaglia buộc tội Cardano đạo văn Tuy nhiên, Cardano xin lỗi ông ta tìm lý đáng để chối quanh lời hứa Học trị Cardano, Lodovico Ferrari tìm phương pháp giải phương trình bậc bốn, khám phá đầy lạ ấn tượng không kém, Cardano muốn phương pháp xuất sách Tuy nhiên, phương pháp Ferrari địi hỏi biết nghiệm phương trình bậc ba có liên quan, Cardano khơng thể cơng bố cơng trình Ferrari mà khơng cơng bố cơng trình Tartaglia Sau đó, ơng ta biết Fior học trò Scipio del Ferro, người đồn giải tất loại phương trình bậc ba, truyền lại cách giải loại cho Fior Các báo không công bố del Ferro lại thuộc quyền sở hữu Annibale del Nave Vì thế, năm 1543, Cardano Ferrari đến Bologna để thuyết phục del Nave, báo ấy, họ tìm phương pháp giải ba loại phương trình bậc ba Do đó, Cardano nói cách trung thực ơng ta công bố phương pháp del Ferro, Tartaglia Chú thích Tartaglia cảm thấy bị lừa bịp, cơng bố dài phê phán liệt Cardano Ferrari thách thức ông tham gia tranh biện công khai dễ dàng dành chiến thắng Kể từ đó, Tartaglia khơng thể khơi phục danh tiếng Chương Được tổng hợp lại chương 12 cuốn: Ian Stewart, Toán học sống (Mathematics of Life), Profile, London, 2011 Chương Phải, biết số nhiều “die”, ngày tất người sử dụng dạng số ít, tơi từ bỏ việc chống lại xu hướng Nó cịn tồi tệ hơn: vừa cẩn thận gửi cho tơi email sử dụng “dice” cho số “die” cho số nhiều Có nhiều ngụy biện lập luận Pascal Sai lầm nằm chỗ áp dụng cho lực siêu nhiên mang tính giả thuyết Định lý khẳng định điều kiện phù hợp (khá chung), tổng số lượng lớn biến ngẫu nhiên xấp xỉ phân bố chuẩn Chính xác hơn, (x1,…, xn) dãy biến ngẫu nhiên phân bố đồng độc lập với có phân bố chuẩn, biến có kỳ vọng µ phương sai σ2, định lý giới hạn trung tâm khẳng định 509 510 17 phương trình thay đổi giới hội tụ phân bố chuẩn với kỳ vọng độ lệch chuẩn σ n lớn tùy ý Chương Hãy xét ba khối lượng liên tiếp, đánh số n – 1, n, n + Giả sử thời điểm t chúng dịch chuyển khoảng, un – 1(t), un(t), un + 1(t) so với vị trí ban đầu theo phương ngang Áp dụng định luật hai Newton, gia tốc vật tỉ lệ thuận với lực tác dụng lên Để đơn giản, giả sử vật chuyển động khoảng cách nhỏ theo phương thẳng đứng Với phép gần tốt, lực mà vật n – tác dụng lên vật n tỉ lệ với hiệu un – 1(t) –un(t) tương tự lực mà vật n + tác dụng lên vật n tỉ lệ thuận với un + 1(t) – un(t) Cộng hai phương trình với nhau, ta lực tác dụng lên vật n tỉ lệ với un – 1(t) – un(t) + un + 1(t) Đó hiệu un – 1(t) – un(t) un(t) – un + 1(t), biểu thức số hai biểu thức hiệu vị trí vật liên tiếp Do lực tác dụng lên vật n hiệu hiệu Bây giả sử vật gần Trong giải tích, hiệu – chia cho số thích hợp đủ nhỏ – gần đạo hàm Hiệu hiệu xấp xỉ đạo hàm đạo hàm, tức đạo hàm cấp hai Trong giới hạn số vô lớn chất điểm, cách khoảng vô nhỏ, lực tác dụng lên điểm cho lò xo tỉ lệ với , với x tọa độ không gian đo dọc theo chiều dài sợi dây Theo định luật hai Newton, đại lượng tỉ lệ với gia tốc lập góc vng với đường thẳng đó, mà gia tốc Chú thích đạo hàm cấp hai theo thời gian Đặt số tỉ lệ c ta được: với u(x,t) vị trí theo phương thẳng đứng điểm x dây thời điểm t Có thể xem hình động http://en.wikipedia.org/ wiki/Wave_equation Viết dạng ký hiệu, nghiệm phương trình có dạng u(x, t)=f(x – ct) + g(x + ct) với f, g hai hàm Hình động vài mode dao động chuẩn trống trịn tìm thấy http:// en.wikipedia.org/wiki/Vibrations_of_a_circular_drum Hình động trống trịn hình chữ nhật tại: http://www.mobiusilearn.com/view/casestudies aspx?id=2432 Chương Giả sử u(x,t) = e–n2αt sin nx Khi đó: Bởi u(x,t) thỏa mãn phương trình nhiệt Đây dạng mã hóa JFIF sử dụng cho web, mã EXIF cho camera, bao gồm “metadata” mô tả cài đặt camera, ngày tháng, thời gian độ phơi sáng 511 512 17 phương trình thay đổi giới Chương 10 http://www.nasa.gov/topics/earth/features/2010warmest-year.html Chương 11 Donald McDonald How does a cat fall on its feet?, New Scientist no 189 (1960) 1647–9 Xem thêm http:// en.wikipedia.org/wiki/Cat_righting_reflex Áp dụng toán tử rot cho hai vế phương trình thứ ba ta được: Giải tích vectơ cho ta biết vế trái phương trình rút gọn thành: ta sử dụng phương trình thứ Ở ∇2 tốn tử Laplace Dùng phương trình thứ tư, vế phải trở thành Khử hai dấu âm hai vế nhân hai vế với c2 ta phương trình sóng cho E: Bằng cách tính tốn tương tự ta thu phương trình cho H Chú thích Chương 12 Cụ thể A B với SA, SB entropy trạng thái Nguyên lý thứ hai nhiệt động lực học thực tế bất đẳng thức, phương trình Tơi đưa ngun lý thứ hai vào sách vai trị trung tâm khoa học địi hỏi phải Khơng thể phủ nhận cơng thức tốn học, cách giải thích phóng khống thuật ngữ “phương trình” phổ biến rộng rãi bên ngồi tài liệu khoa học kỹ thuật Cơng thức ám tới thích chương này, sử dụng tích phân, phương trình đích thực Nó xác định độ biến thiên entropy, nguyên lý thứ hai cho ta biết đặc điểm quan trọng Chuyển động Brown dự đoán nhà sinh lý học Jan Ingenhousz, người thấy tượng nhìn bụi than đá trơi bề mặt rượu, ông không đề xuất lý thuyết để giải thích thấy Chương 13 Tại phịng thí nghiệm quốc gia Gran Sasso, Italia, có máy phát hạt tên OPERA (viết tắt Oscillation project with emulsion-tracking apparatus) Sau hai năm theo dấu 16.000 hạt neutrino bắn từ phía CERN, Trung tâm nghiên cứu hạt nhân châu Âu đặt Geneva Các hạt neutrino hạt hạ nguyên tử trung hòa điện với khối lượng nhỏ, chúng dễ dàng xuyên qua vật chất thông thường Những kết 513 514 17 phương trình thay đổi giới thu khó hiểu: trung bình hạt neutrino quãng đường dài 730km vòng 60 nano giây (một phần tỉ giây), nhanh so với chúng với tốc độ ánh sáng Các phép đo có độ xác tới 10 nano giây, cịn khả mắc sai số hệ thống cách tính tốn thời gian giải thích, việc phức tạp Các kết post lên Internet: ‘Measurement of the neutrino velocity with the OPERA detector in the CNGS beam’ by the OPERA Collaboration, http://arxiv org/abs/1109.4897 Bài báo không khẳng định bác bỏ thuyết tương đối: túy giới thiệu quan sát mà nhóm nghiên cứu khơng thể giải thích với hiểu biết vật lý thông thường Một báo cáo khơng mang tính kỹ thuật tìm thấy tại: http://www.nature.com/news/2011/110922/full/ news.2011.554.html Một nguồn sai số hệ thống khả dĩ, liên quan tới khác biệt lực hấp dẫn hai phịng thí nghiệm, đề xuất http://www.nature.com/news/2011/111005/full/ news.2011.575.html nhóm thực nghiệm OPERA không đồng ý với đề xuất Hầu hết nhà vật lý nghĩ rằng, nhà nghiên cứu làm việc với cẩn trọng lớn, có sai số hệ thống Đặc biệt, quan sát trước neutrino từ siêu mâu thuẫn với quan sát nói Giải pháp vấn đề gây tranh cãi đòi hỏi phải có thí nghiệm độc Chú thích lập, phải năm Các nhà vật lý lý thuyết sẵn sàng phân tích giải thích tiềm từ mở rộng nhỏ biết mơ hình chuẩn vật lý hạt tới vật lý mới, xa lạ, vũ trụ có nhiều bốn chiều thơng thường Khi bạn đọc dịng này, câu chuyện có lẽ bắt đầu Một giải thích thấu đáo Terence Tao đăng trang web ông: http://terrytao.wordpress.com/2007/12/28/einsteinsderivation-of-emc2/ Cách thức rút phương trình bao gồm năm bước (a) Mơ tả cách thức thay đổi cho tọa độ không gian thời gian hệ quy chiếu thay đổi (b) Sử dụng mơ tả để tìm cách biến đổi tần số photon hệ quy chiếu thay đổi (c) Sử dụng định luật Planck để tìm cách biến đổi lượng động lượng photon (d) Áp dụng định luật bảo toàn lượng động lượng để tìm cách biến đổi lượng động lượng vật chuyển động (e) Xác định giá trị số tùy ý khác tính tốn cách so sánh kết thu với vật lý Newton vận tốc vật nhỏ Ian Stewart and Jack Cohen, Những bịa đặt thực (Figments of Reality), Cambridge University Press, Cambridge 1997, page 37 http://en.wikipedia.org/wiki/Mass%E2%80%93energy_ equivalence 515 516 17 phương trình thay đổi giới Một số lại nghĩ khác Henry Courten, người phân tích lại ảnh kỳ nhật thực năm 1970, thông báo tồn bảy thiên thể cực nhỏ gần quỹ đạo xung quanh Mặt trời – có lẽ chứng vành đai tiểu hành tinh mỏng Nhưng khơng có chứng thuyết phục tìm thấy, chúng có lẽ phải có bề rộng nhỏ 60km Các thiên thể nhìn thấy ảnh có lẽ chổi tiểu hành tinh nhỏ qua quỹ đạo lệch tâm chúng Cho dù chúng có khơng phải Vulcan Năng lượng chân không cm khối không gian trống rỗng ước tính vào khoảng 10–15J Dựa điện động lực học lượng tử, mặt lý thuyết, lên tới 10107J, sai lệch lên tới 10122 http://en.wikipedia.org/wiki/Vacuum_energy Cơng trình Penrose thơng báo trong: Paul Davies Trí tuệ Chúa (The Mind of God), Simon & Schuster, New York 1992 Joel Smoller and Blake Temple Tham số gần giải pháp khai triển hàm sóng từ phương trình Einstein gây tăng tốc bất thường mơ hình chuẩn vũ trụ học http://arxiv.org/abs/0901.1639 R.S MacKay and C.P Rourke Mơ hình vũ trụ (A new paradigm for the universe), preprint, University of Warwick 2011 Chi tiết xem báo liệt kê http://msp.warwick.ac.uk/~cpr/paradigm/ Chú thích Chương 14 Cách giải thích Copenhagen thường cho xuất sau thảo luận Niels Bohr, Werner Heisenberg, Max Born số người khác vào năm 20 kỷ trước Nó có tên gọi Bohr người Đan Mạch, khơng có nhà vật lý liên quan lại sử dụng thuật ngữ vào thời Don Howard đề xuất cách gọi tên này, quan điểm mà tóm lược, xuất vào năm 1950, có lẽ qua Heisenberg Xem thêm D Howard Ai phát minh “Cách giải thích Copenhagen” (Who Invented the ‘‘Copenhagen Interpretation’’? A Study in Mythology), Philosophy of Science 71 (2004) 669–682 Con mèo Harlequin thường quan sát chồng chập trạng thái “ngủ” “ngáy”, điều có lẽ khơng quan trọng Hai tiểu thuyết khoa học viễn tưởng đề tài Người đàn ơng tịa tháp cao (The Man in the High Castle) Philip K Dick Giấc mơ sắt (The Iron Dream) Norman Spinrad Cuốn SS-GB nhà viết truyện trinh thám Len Deighton đặt nước Anh giả tưởng bị bọn phát xít cai trị Chương 15 Giả sử tung quân xúc xắc (xem Chú thích Chương 7), gán ký hiệu a, b, c sau: a quân xúc xắc cho kết 1, 2, hay b quân xúc xắc cho kết hay c quân xúc xắc cho kết 517 518 17 phương trình thay đổi giới Ký hiệu a xảy với xác suất 1/2, ký hiệu b với xác suất 1/3, ký hiệu c với xác suất 1/6 Khi cơng thức tơi, cho dù nữa, gán hàm lượng thơng tin Tuy nhiên, tơi nghĩ thí nghiệm theo hướng khác Đầu tiên tơi định xem qn xúc xắc có cho kết nhỏ hay lớn Gọi xác suất q r thì, q xúc xắc cho kết 1, 2, r xúc xắc cho kết 4, 5, Bây q có xác suất 1/2 r có xác suất 1/2 Trường hợp q Nó truyền tải thơng tin trường hợp a tơi, cịn r b c Tơi chia trường hợp r thành b c, xác suất chúng r xảy Nếu xét trường hợp này, thông tin truyền tải ký hiệu nào, b hay c, Shannon nhấn mạnh thông tin ban đầu phải liên hệ với thông tin trường hợp nhỏ sau: Xem hình 61 a 1 b c a q b c r Hình 61  Tổ hợp lựa chọn theo cách khác Thông tin cần phải trường hợp Chú thích Thừa số 1/2 trước hàm H thứ hai vế phải phương trình xuất lựa chọn thứ hai xảy nửa thời gian, cụ thể r chọn sẵn bước Khơng có thừa số trước hàm H sau dấu bằng, ngụ ý lựa chọn thực – q r Xem chương cuốn: C.E Shannon and W Weaver Lý thuyết toán học thông tin (The Mathematical Theory of Communication), University of Illinois Press, Urbana 1964 Chương 16 Nếu số lượng dân cư xt tương đối nhỏ, tức gần với 0, – xt gần với Như vậy, hệ tiếp sau có số lượng gần với kxt, tức lớn gấp k lần số lượng Khi số lượng dân số tăng, thừa số phụ – xt khiến tỉ lệ tăng trưởng thực tế nhỏ đi, dần số lượng dân cư tiến gần tới giá trị cực đại lý thuyết R.F Costantino, R.A Desharnais, J.M Cushing, and B Dennis Chaotic dynamics in an insect population, Science 275 (1997) 389–391 J Huisman and F.J Weissing Biodiversity of plankton by species oscillations and chaos, Nature 402 (1999) 407–410 E Benincà, J Huisman, R Heerkloss, K.D Jöhnk, P Branco, E.H Van Nes, M Scheffer, and S.P Ellner Chaos in a long-term experiment with a plankton community, Nature 451 (2008) 822–825 519 520 17 phương trình thay đổi giới Chương 17 Giá trị quyền chọn mua C(s,t) = N(d1)S – N(d2)Ke–r(T – t) với Giá trị tương ứng quyền chọn bán P(s,t) = [N(d1) – 1]S + [1 – N(d2)]Ke–r(T – t) với N(dj) hàm phân bố tích lũy phân bố chuẩn thơng thường, j=1, 2, T – t thời gian đến kỳ hạn Chính xác hơn, giải thưởng Sveriges Risbank Khoa học kinh tế để tưởng nhớ Alfred Nobel M Poovey Can numbers ensure honesty? Unrealistic expectations and the U.S.accounting scandal, Notices of the American Mathematical Society 50 (2003) 27–35 A.G Haldane and R.M May Systemic risk in banking ecosystems, Nature 469 (2011) 351–355 17 PHƯƠNG TRÌNH THAY ĐỔI THẾ GIỚI Ian stewart Phạm Văn Thiều - Nguyễn Duy Khánh dịch _ Chịu trách nhiệm xuất bản: Giám đốc - Tổng biên tập NGUYỄN MINH NHỰT Chịu trách nhiệm thảo: VŨ THỊ THU NHI Biên tập sửa in: TRẦN NGỌC NGÂN HÀ Bìa: BÙI NAM Trình bày: ĐỖ VẠN HẠNH _ NHÀ XUẤT BẢN TRẺ 161B Lý Chính Thắng - Quận - Thành phố Hồ Chí Minh ĐT: 39316289 - 39316211 - 38465595 - 38465596 - 39350973 Fax: 84.8.8437450 - E-mail: hopthubandoc@nxbtre.com.vn Website: http://www.nxbtre.com.vn CHI NHÁNH NHÀ XUẤT BẢN TRẺ TẠI HÀ NỘI Số 21, dãy A11, khu Đầm Trấu, p Bạch Đằng, q Hai Bà Trưng, Hà Nội ĐT: (04)37734544 - Fax: (04)35123395 E-mail: chinhanh@nxbtre.com.vn Công ty TNHH Sách điện tử Trẻ (YBOOK) 161B Lý Chính Thắng, P.7, Q.3, Tp HCM ĐT: 08 35261001 – Fax: 08 38437450 Email: info@ybook.vn Website: www.ybook.vn