Khai thac t mt bai toan hinh hc 9

Khai thác từ tốn hình học sách giáo khoa Toán 9- tập I ĐẶT VẤN ĐỀ Hình học mơn học quan trọng việc rèn luyện tính lơgic, tư sáng tạo, giúp học sinh khơng học tốt mơn Tốn mà cịn học tốt mơn học khác Vậy làm để học sinh nắm kiến thức bản, biết cách phát triển toán chủ động học tập để em ln tự học tự sáng tạo? Ngoài việc rèn luyện kỹ giải dạng tốn, tìm nhiều cách giải cho tốn…thì việc khai thác phát triển tốn cần thiết Nhưng khai thác nào? Khai thác mức độ nào? Đó điều cần tập trung suy nghĩ Với mục tiêu thân xin trao đổi kinh nghim nh thụng qua: Khai thác từ toán Hình học sách giáo khoa Toán - tập Bài toán 30 trang 116 II GII QUYT VN ĐỀ Cơ sở lý luận Định hướng đổi phương pháp dạy học phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học, bồi dưỡng lực tự học, lòng say mê học tập Làm cho em tìm tịi, khám phá, phát hiện, luyện tập, khai thác xử lý thông tin, đem lại niềm vui, hứng thú… Với việc dạy học mơn Tốn bậc THCS, người giáo viên cần hình thành rèn luyện cho em khả quan sát, dự đoán, suy luận hợp lý hợp lơgic, phát triển trí tưởng tượng, bồi dưỡng phẩm chất tư linh hoạt sáng tạo… giúp học sinh “học một, biết mười” khắc phục tình trạng “thấy mà chẳng thấy rừng” Để làm điều địi hỏi vào linh hoạt, sáng tạo giáo viên cách dạy, cách khai thác tốn Bùi Thị Ngọc Bích Khai thác từ tốn hình học sách giáo khoa Toán 9- tập Cơ sở thực tiễn a Thuận lợi: Nội dung sách giáo khoa biên soạn cơng phu, hệ thống kiến thức trình bày khoa học, phù hợp với đối tượng học sinh Đặc biệt hệ thống tập phong phú có nhiều tập viết dạng mở, tạo điều kiện thuận lợi để học sinh giáo viên khai thác, tìm tịi thêm tốn nhằm phát huy sáng tạo giảng dạy học tập b Khó khăn: Bên cạnh thực tế giảng dạy chương trình Tốn nói riêng Tốn bậc THCS nói chung, cho thấy: Đa số học sinh chưa hứng thú học Hình học Bởi vì: - Học sinh cịn thiếu phương pháp, thiếu tư giải tốn Có toán đơn giản em khơng nhìn vấn đề nên khơng giải - Yếu kỹ phân tích đa chiều tốn - Chưa biết khai thác tổng qt hóa toán cho Vậy làm để hút em với mơn học này? Câu hỏi động lực thúc cần phải sáng tạo, làm giảng dạy đặc biệt phân mơn Hình học Chính lẽ mà đề tài đời sau nhiều năm trải nghiệm giảng dạy đúc rút kinh nghiệm thân Hiệu đề tài Trước chưa áp dụng đề tài vào giảng dạy nhận thấy đa số học sinh bộc lộ hạn chế số mặt sau: - Yếu khả phân tích tốn để tìm lời giải - Khả vận dụng kiến thức vào giải tốn cịn hạn chế - Sự hứng thú, tính tích cực học sinh với mơn Hình học chưa cao - Chưa có thói quen khai thác tốn giải Sau áp dụng đề tài nhìn chung học sinh nắm vững kiến thức bản, trình bày lập luận chặt chẽ, chủ động sáng tạo cách nhìn nhận tốn, nhiều em có phương pháp tự học tốt, từ em biết cách khai thác Bùi Thị Ngọc Bích Khai thác từ tốn hình học sách giáo khoa Tốn 9- tập tốn (ở nhiều khía cạnh khác nhau) tự tin học Hình học, nên có nhiều em tiến vượt bậc em Thắng, em Tâm, em Giang, em Chức, em Toàn, em Yến, em Thảo, em Hoàng, em Vũ, em Quỳnh Anh, em Thúy Hằng…, đạt kết cao kỳ thi HSG thi vào THPT, em Đinh Văn Tá, em Nguyễn Thị Lành, em Trần Văn Lực, em Lê Tiến Đạt, em Lê Thị Thúy Nga, em Nguyễn Việt Hà, em Vũ Thị Ngọc Hà, em Nguyễn Thị Thu Hiếu… Kết cụ thể: Tỉ lệ % Trung Yếu, bình 30 % 20 % 47 % 10 % 54 % 30 % 6% 20 % 25 % 55 % 10 % 45 % 35 % 10 % Thời gian Trước áp dụng Năm học đề tài 2009-2010 Sau áp dụng đề tài Trước áp dụng Năm học đề tài 2010-2011 Sau áp dụng đề tài Giỏi Khá 3% Phạm vi đối tượng áp dụng đề tài - Đề tài áp dụng cho tất đối tượng học sinh lớp9 - Đề tài dùng tiết dạy khóa, ơn tập củng cố nâng cao kiến thức đặc biệt ôn thi vào trường THPT Nội dung cụ thể đề tài Đề tài khai thác từ tập 30 (trang 116 SGK Toán - Tập NXB GD năm 2006), với nhiều khía cạnh lĩnh vực kiến thức, sở xây dựng nhiều câu hỏi khó, mở rộng nâng cao, phát triển thành toán phù hợp với tất đối tượng học sinh lớp Hệ thống câu hỏi đưa từ dễ đến khó mở rộng, lại trình bày theo mạch lơgic kiến thức Sau tơi xin trình bày nội dung ca ti: Khai thác từ toán Hình häc s¸ch gi¸o khoa Bùi Thị Ngọc Bích Khai thác từ tốn hình học sách giáo khoa Tốn 9- tập To¸n - tËp Bài toán 30 trang 116 Bi toỏn 1: (Bài tập 30 - trang 116 SGK Toán - Tập NXB GD năm 2006) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax By theo thứ tự C D Chứng minh rằng: � D =90o CO CD = AC + BD Tích AC.BD khơng đổi điểm M di chuyển nửa đường tròn * Hướng dẫn cách giải: Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến xuất phát từ điểm C điểm D để chứng � � = 90o Suy COD minh C� + D = 90o Cũng áp dụng tính chất hai tiếp tuyến xuất phát từ điểm C điểm D để chứng minh CA=CM; B=DM Suy AC + BD = CD Chứng minh  COD vuông O, đường cao OM Suy MC.MD = OM2 mà MC = AC; MD = BD; OM=R Do AC.BD=R2 khơng đổi Giải: �O � Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến xuất phát từ điểm C, ta có: C�1  C�2 ; O � D � ;O � O � Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến xuất phát từ điểm D, ta có D Do đó: �O � O � O � = 180 =900 Hay CO � D  900 O 2 Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: CA = CM DB =DM Bùi Thị Ngọc Bích Khai thác từ tốn hình học sách giáo khoa Toán 9- tập Nên CD = CM + MD = CA + DB � D  900 , hay tam giác COD vuông O Theo câu 1, CO Mặt khác: OM  CD (tính chất tiếp tuyến) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vng COD, ta có: OM  AC AD Hay AC AD  R không đổi * Đối với học sinh trung bình ta khai thác toán câu hỏi sau Chứng minh  COD  AMB đồng dạng với ? �1= D � �  COD   AMB (g.g) Gợi ý: Ta có: C� = C� ; D Khi  COD   AMB ta nghỉ đến tỉ số diện tích tam giác nên có thêm SCOD R câu hỏi: Tính tỉ số S AC = ? AMB Gợi ý: Theo cách chứng minh câu 3, ta có OM2 = MC MD hay MC MD = R2 mµ MC = AC = R R OM = R2: = 2R MC R 5R => CD = CM + DM = + 2R = 2 CD Theo trªn COD   AMB => AB = => MD = 5R : 2R = = k (k tỉ số đồng dạng) Vỡ t s diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng, nên ta có: SCOD S AMB SCOD = k => = S AMB 2 �5 � 25 � � �4 � 16 Gọi K giao điểm AD BC chứng minh MK  AB Bùi Thị Ngọc Bích Khai thác từ tốn hình học sách giáo khoa Tốn 9- tập Gợi ý: Ta có AC//BD (gt) Áp dụng hệ định lý Thalets vào tam giác AKC, ta có: KD KB DB   KA KC AC (1) AC, CM tiếp tuyến nửa (O) nên CM = CA (2) , tương tự ta có DB = DM (3) Từ (1), (2), (3) ta có: KD MD  � MK / / AC ( Theo định lý Thalets đảo) KA MC � MK  AB Sau chứng minh MK  AB , chứng minh CD.KM = CM.BD Gợi ý: MK  AB hay MK // AC, dễ thấy CKM   CBD suy CD DB  � CD.KM = CM.BD CM MK Giả sử MK  AB H, so sánh MK KH ? Gợi ý: Gọi I giao điểm BM Ax Ta có: � � � � � CIM � CI = CM = CA CA = CM � CMA = CMA = CMI Do MH // IA, áp dụng định lý Thales ta có: MK BK KH = = mà CI=CA � MK = KH CI BC CA Từ giả thiết toán nghĩ đến tứ giác nội tiếp có thêm câu hỏi chứng minh tứ giác CMOA; DMOB nội tiếp đường tròn 10 Thêm giả thiết OC cắt AM E OD cắt BM F Hãy xác định tâm đường tròn qua điểm O;E;M;F Gợi ý: Chứng minh tứ giác OEOF hình chữ nhật nên tâm đường trịn qua điểm O;E;M;F giao điểm OM EF Bùi Thị Ngọc Bích Khai thác từ tốn hình học sách giáo khoa Toán 9- tập * Thật sáng tạo từ kết chứng minh câu 10, ta khai thác thêm câu hỏi quỹ tích dành cho đối tượng học sinh khá, giỏi sau: 11 a Gọi P tâm đường tròn qua điểm O; E; M; F Hãy tìm quỹ tích điểm P, M chạy nủa đường trịn tâm O, đường kính AB Gợi ý: Từ kết câu 10, ta có: PO = R OM = Do điểm O cố định, 2 PO = R khơng đổi nên quỹ tích P nửa đường tròn đồng tâm với (O) có bán kính nửa bán kính (O) 11 b Gọi N trung điểm CD Tìm quỹ tích điểm N M di chuyển nửa đường trịn tâm O, đường kính AB (M khơng trùng với A B) Gợi ý: Vì ON đường trung bình hình thang ACDB nên ON // Ax // By Do N thuộc tia Ot song song cách hai tia Ax By Gọi M’ giao điểm tia Ot nửa đường tròn Nếu M �M ' N �M ' Do quỹ tích điểm N tia M’t * Từ tốn gốc liên tưởng đến tốn cực trị khơng? Đối với ta khai thác câu hỏi 12 a Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất? Gợi ý: Chu vi tứ giác ACDB = AB +AC + CD + DB Bùi Thị Ngọc Bích Khai thác từ tốn hình học sách giáo khoa Tốn 9- tập Mà AC + BD = CD nên suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD Do AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ CD nhỏ � CD  Ax CD  By, CD // AB Suy M điểm cung AB 12b Xác định vị trí M để diện tích tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất? Gợi ý: Tứ giác ACDB hình thang, có diện tích là: S = (AC + BD) AB S nhỏ � (AC + BD ) nhỏ nhất: Mà AC + BD = CD (câu 2) Vậy CD nhỏ � CD // AB Khi M điểm cung AB * Cũng khai thác tốn gốc theo hướng khó hơn: � 13 a Biết MAB = 60O Tính diện tích BMD theo R Gợi ý: DM = DB �  DMB cân � � Do DMB = MAB = 60o nên DMB Gọi F giao điểm OD với MB DF  MB DF = S MDB = BM ; BM BM.DF =  MAB vng có AM=R; AB=2R nên MB2 = AB2 – AM2 = 4R2 – R2 = 3R2 � MB =R 2 � S MBD = ( R 3) = 3R (đvđt) 4 * Nếu gọi r bán kính đường trịn nội tiếp  COD ta có câu hỏi nâng cao sau: 13 b Chứng minh r < < R Gợi ý: Để chứng minh câu hỏi này, ta áp dụng bổ đề sau “Trong tam giác vuông cạnh huyền a, cạnh góc vng b c, đường cao h, bán kính đường trịn nội tiếp r ah = r (a+b+c) = 2S” Bùi Thị Ngọc Bích Khai thác từ tốn hình học sách giáo khoa Tốn 9- tập Khi áp dụng vào tam giác COD vng O, ta có CD.OM = r (OC + OD + CD) � � CD R = r (OC + OD + CD) r CD = R OC  OD  CD Mà OC + OD > CD (quan hệ ba cạnh trong tam giác) nên r CD CD = < = R OC  OD  CD 2CD Mặt khác: OC + OD + CD < 3CD � r CD CD = > = R OC  OD+CD 3CD Do đó: r < < R Không dừng lại mà tốn cịn mở � rộng theo góc nhìn khác, chẳng hạn ta thấy AEO  90 ; � B  900 OF nên điểm E thuộc nửa đường trịn đường kính AO; F thuộc nửa đường trịn đường kính OB Từ ta có tốn sau: Bài tập 2: Cho hai đường trịn (O) (O’) tiếp xúc A BC tiếp tuyến chung với B �(O); C �(O ' ) Tiếp tuyến chung A cắt BC M Gọi E giao điểm OM AB; F giao điểm O ’M AC Chứng minh: Tứ giác AEMF hình chữ nhật ME MO = MF MO’ OO’ tiếp tuyến chung đường trịn đường kính BC BC tiếp tuyến đường trịn, đường kính OO’ (BT 42– trang 128 SGK Toán - Tập 1.) Giải: Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: Bùi Thị Ngọc Bích Khai thác từ tốn hình học sách giáo khoa Tốn 9- tập MO phân giác góc BMA MO’ phân giác góc CMA � CMA � Mà BMA hai góc kề bù � '  90o nên OMO (1) Mặt khác ta có  BMA cân M có ME phân giác BMA � A = 90o � ME  BA hay ME (2) � A = 90o MF (3) Tương tự � = ME � A = MF � A = 90o Từ (1); (2); (3) ta có: EMF Suy tứ giác AEMF hình chữ nhật  MAO vng A có AE  MO � MA = ME MO  MAO' vng A có AF  MO’ � MA = MF MO ' Do đó: ME MO = MF MO’ Vì MB = MC = MA (C/m trên) Nên đường trịn đường kính BC có tâm M qua A Mà OO’  MA A � (M) � OO ' tiếp tuyến đường tròn đường kính BC � ' = 90o nên M thuộc đường trịn có tâm O1 đường kính OO’ OMO Hình thang OBCO’ có MO1 đường trung bình, nên MO1//OB mà BC  OB , suy BC  O1M Do BC tiếp tuyến đường trịn tâm O1 đường kính OO’ * Từ tốn ta khai thác tiếp sau: Kéo dài BA cắt (O’) P; kéo dài CA cắt (O) Q Chứng minh B,O,Q thẳng hàng; C, O’, P thẳng hàng Gợi ý: Bùi Thị Ngọc Bích 10 Khai thác từ tốn hình học sách giáo khoa Toán 9- tập Từ kết câu 1, ta có AEMF hình � = 90o � A chữ nhật, suy ra: BAQ thuộc đường trịn đường kính BQ � B,O,Q thẳng hàng Tương tự : C,O’, P thẳng hàng Từ kết câu 5, ta có BQ = IA; CP = AK Nên IK = IA+AK = BQ+CP, xuất thêm câu hỏi c/m IK=BQ+CP Gọi R r độ dài bán kính (O) (O’) Tính độ dài BC; BA; CA theo R r Gợi ý: Từ MA=MB=MC (c/m trên) � BC = 2MA MO  MO ' (hai tia phân giác hai góc kề bù ) Áp dụng hệ thức h2 = b’c’ vào tam giác vuông MOO’ ta có MA2 = AO.AO’ hay MA2 = Rr � MA = Rr � BC = 2MA = Rr Vậy BC = Rr Ta có:  CBD vng B nên áp dụng hệ thức Ta có: 1 1 Rr = + = + = 2 2 BA BD BC 4R 4Rr 4R r Tương tự ta có: CA = 1 = 2 2 h b c � BA= 2R r Rr 2r R Rr * Từ kết BC = Rr (*) ta khai thác tiếp sau: Vẽ (O2;r2 ) tiếp xúc với đường thẳng BC tiếp xúc với (O) (O ’) Tính bán kính r2 Bùi Thị Ngọc Bích 11 Khai thác từ tốn hình học sách giáo khoa Toán 9- tập Gợi ý: Gọi H tiếp điểm (O2; r2) với BC - Nếu H thuộc đoạn BC, theo (*) ta có: BH = Rr2 ; HC = r.r2 � BC = BH+HC � Rr = Rr2 + rr2 � Rr = Rr2 + rr2 � � Rr � � r2 = � �R + r� � � �  Rr = ( R + Rr R+ r  r ) r2 - Nếu H thuộc tia đối CB (H vị trí H’ hình vẽ) Khi BC = BH’ – H’C � Rr = Rr2 - rr2 � Rr = Rr2 - rr2 � Rr � � r2 = � �R - r� � � �  Rr R- r  Qua chứng minh câu Nếu ý tí, có thêm câu hỏi: C/m 1 = + với H thuộc đoạn BC r2 R r Thật vậy, từ hệ thức Rr  Rr2 + rr2 ta có: Rr = � Rr2 + rr2 1 = + r2 R r 10 Gọi N giao điểm IB KC, dễ thấy tứ giác ABNC hình chữ nhật Vậy liệu điểm N, M, A có thẳng hàng khơng? Gợi ý: Bùi Thị Ngọc Bích 12 Khai thác từ tốn hình học sách giáo khoa Tốn 9- tập Vì NA  OO' � = OAB �  BOA cân O � OBA � = OAB �  BOA cân O � OBA Tứ giác ABNC hình chữ nhật, suy �  CBA � � OAB �  BAN �  OBA � � BAN ABC �  900  OBC nên NA  OO' A Mà MA  OO' A Suy N, M, A thẳng hàng �  900 , nên N thuộc nửa đường tròn 11 Từ tứ giác ABNC hình chữ, ta có INK đường kinh IK, ta chứng minh rằng: AN2 = IA.AK 12 Nếu từ A kẻ AH  BC Có thể chứng minh AH, O’B, OC đồng quy trung điểm AH không? Gợi ý: Gọi D giao điểm OC AH Ta có OB//O’C//AH (cùng vng góc với BC) - Theo định lý Thales ta có: DH CD O' A = = ' OB CO OO DH r Rr � = � DH = R Rr Rr Tương tự: DA = Rr Rr Vậy DA = DH Suy OC qua D Tương tự O’B qua D Nên đường thẳng OC, O’B, AH đồng quy D 13 Khi tính tỉ số diện tích tứ giác BCO’O tam giác NIK ? Bùi Thị Ngọc Bích 13 Khai thác từ tốn hình học sách giáo khoa Toán 9- tập Gợi ý: ( BO  CO ' ) BC (OA  AO ' ) BC = S BCO'O 2 ' OO BC IK AH  = = S NIK 2 2 = Vậy S S BCO'O NIK = Vẫn không ngừng khai thác, sử dụng kiến thức độ dài đường trịn, diện tích hình trịn, ta phát triển tiếp để có tốn hấp dẫn như: 14 a Hãy chứng minh độ dài nửa đường tròn đường kính IK tổng độ dài hai nửa đường đường kính IA nửa đường đường kính AK Gợi ý: Áp dụng công thức C =  d (d độ dài đường kính ) IA + AK = IK, ta có:  Từ IA + AK = IK, nhân hai vế với , ta có:  IA  AK  IK   2 Suy điều phải chứng minh 14 b Vậy tính diện tích phần giới hạn ba nửa đường tròn khơng? Gợi ý: Gọi bán kính đường trịn đường kính IK R’, ta có: Diện tích nửa hình trịn đường  R '2 kính IK là: S1 = A O Bùi Thị Ngọc Bích O’ 14 Khai thác từ tốn hình học sách giáo khoa Tốn 9- tập  R2 Diện tích nửa hình trịn đường kính IA là: S2 = Diện tích nửa hình trịn đường kính AK là: S3 = Diện tích phần giới hạn là: S = S1- S2- S3 =  r2  R '2  R2  r2 -( + ) 2 * Từ câu hỏi 11 câu hỏi 14 b, ta nâng cao nữa: 14 c.Chứng minh diện tích phần giới hạn với A IK diện tích hình trịn đường kính AN   ( IK  IA2  AK )  � ( IA  AK )2  IA2  AK ) � � 8� Gợi ý: Diện tích phần giới hạn là:     IA AK = 2AN = AN 8 Vậy diện tích phần giới hạn diện tích hình trịn đường kính AN Như vậy, sau giải xong toán 1, dừng lại việc giải tốn mà khơng tiếp tục suy nghĩ, tìm tịi, vận dụng triệt để yếu tố từ hình vẽ, từ đặt câu hỏi, tốn hay hơn, khó liệu việc dạy học đạt hiệu cao chưa? Vai trò việc tự học lần lại chứng minh qua việc tìm tịi, sáng tạo để khai thác xung quanh vấn đề cụ thể Phải cách nên dạy cho học sinh ! Các tập sau củng có nhiều hướng khai thác, bạn thử sức ! Bài tập đề xuất: Bài toán 1( Bài tập 11 trang 104 SGK - Toán tập 1) Cho đường trịn (O) đường kính AB, dây CD khơng cắt đường kính AB Gọi H K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ A B đến CD Chứng minh rằng: CH = DK Bài tốn 2: Cho hai đường trịn (O) (O ’) tiếp xúc C Gọi AC BC hai đường kính qua C O) (O ’) Dây chung MN (O) vng góc với AB trung điểm P AB MC kéo dài cắt (O’) Q Bùi Thị Ngọc Bích 15 Khai thác từ tốn hình học sách giáo khoa Toán 9- tập a Chứng minh ba điểm B, Q, N thẳng hàng b Chứng minh PQ tia tiếp tuyến (O’) III KẾT LUẬN Kết luận - Đề tài tìm tịi nghiên cứu sáng tạo thân trình dạy học, đáp ứng việc đổi phương pháp Nhằm phát huy tính tích cực, niềm say mê, sáng tạo đối tượng học sinh - Đề tài khai thác sâu kiến thức trọng tâm chương trình Tốn THCS nhiều khía cạnh kiến thức (đặc biệt chương trình Tốn lớp 8, lớp 9) khai thác tốn góc nhìn khác tạo nên toán hấp dẫn - Bài toán chắn nhiều hướng khai thác khác, mong đồng nghiệp tiếp tục phát triển thêm - Mặc dù thân nổ lực, cố gắng nhiều song khơng thể tránh khỏi thiếu sót cần bổ sung, mong nhiệt tình góp ý từ q thầy cơ, bạn bè để đề tài ngày hồn thiện có hiệu cao cơng tác giảng dạy phân mơn Hình học Kiến nghị - Mỗi Giáo viên phải xác định vai trị, nhiệm vụ mình, tích cực nghiên cứu, tìm tòi, tâm huyết với học sinh để xứng đáng “ gương tự học sáng tạo” - Hàng năm nhà trường việc phát động phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm nên tổ chức đánh giá lại sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thiết thực cơng tác giảng dạy động viên, khích lệ cách kịp thời xứng đáng Tháng năm 2012 Bùi Thị Ngọc Bích 16