Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân

Trong đề thi tốt nghiệp THPT , Đại học , Cao đẳng, THCN của các năm bài toán tích phân hầu như không thể thiếu nhưng đối với học sinh THPT bài toán tích phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất , các phương pháp tính của tích phân. Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến : “ Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân”

PHẦN I: MỞ ĐẦU I/ĐẶT VẤN ĐỀ Trong đề thi tốt nghiệp THPT , Đại học , Cao đẳng, THCN năm tốn tích phân khơng thể thiếu học sinh THPT toán tích phân tốn khó cần đến áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất , phương pháp tính tích phân Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân cách máy móc là: tìm ngun hàm hàm số cần tính tích phân dùng định nghĩa tích phân phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân phần mà học sinh để ý đến nguyên hàm hàm số tìm có phải ngun hàm hàm số đoạn lấy tích phân hay không? phép đặt biến phương pháp đổi biến số có nghĩa khơng? Phép biến đổi hàm số có tương đương khơng? q trình tính tích phân học sinh thường mắc phải sai lầm dẫn đến lời giải sai qua thực tế giảng dạy nhiều năm nhận thấy rõ yếu điểm học sinh tơi mạnh dạn đề xuất sáng kiến : “ Một số sai lầm thường gặp học sinh tính tích phân” Nhằm giúp học sinh khắc phục yếu điểm nêu từ đạt kết cao giải tốn tích phân nói riêng đạt kết cao q trình học tập nói chung II/ PHƯƠNG PHÁP + Lựa chọn ví dụ tập cụ thể phân tích tỉ mỉ sai lầm học sinh vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiến thức học sinh để từ đưa lời giải tốn +Thực nghiệm sư phạm 1 PHẦN II: NỘI DUNG I/ CƠ SỞ KHOA HỌC Dựa nguyên tắc trình nhận thức người từ: “ sai đến gần đến khái niệm đúng”, nguyên tắc dạy học đặc điểm trình nhận thức học sinh II/ NỘI DUNG CỤ THỂ Một số sai lầm học sinh tính tích phân Bài tập minh hoạ: dx ∫ (x + 1) Bài 1: Tính tích phân: I = −2 dx ∫−2 (x + 1) * Sai lầm thường gặp: I = = d ( x + 1) ∫ ( x + 1) −2 =- x + −2 =- -1 = - * Nguyên nhân sai lầm : Hàm số y = ( x + 1) không xác định x= -1 ∈ [ − 2;2] suy hàm số không liên tục [ − 2;2] nên không sử dụng công thức newtơn – leibnitz cách giải * Lời giải Hàm số y = ( x + 1) không xác định x= -1 ∈ [ − 2;2] suy hàm số không liên tục [ − 2;2] tích phân khơng tồn * Chú ý học sinh: 2 b Khi tính ∫ f ( x)dx a cần ý xem hàm số y=f(x) có liên tục [ a; b] khơng? có áp dụng phương pháp học để tính tích phân cho cịn khơng kết luận tích phân khơng tồn * Một số tập tương tự: Tính tích phân sau: dx ∫ (x − 4) 1/ ∫ x( x − 1) dx 2/ − π ∫ cos 3/ x dx − x e x + x dx ∫ x3 4/ −1 π Bài :Tính tích phân: I = dx ∫ + sin x 1+ t2 2dt x 2 * Sai lầm thường gặp: Đặt t = tg dx = + t ; + sin x = (1 + t ) 2dt dx −2 ∫ ⇒ ∫ + sin x = (1 + t ) = ∫ 2(t + 1) d(t+1) = π ⇒ I= dx ∫0 + sin x −2 x tg + = π t +1 + c −2 π tg + = - tg + π tg không xác định nên tích phân khơng tồn *Ngun nhân sai lầm: x x [ ] ∈ ; π Đặt t = tg x x = π tg khơng có nghĩa 3 * Lời giải đúng: x π d −  dx 4 x π =∫  = tg  −  π0 π ∫0 dx π π  −π   x π 2 4 + cos x −  cos  −  − tg  =2 ∫0 + sin x 2  2 4   I= = = tg π π * Chú ý học sinh: Đối với phương pháp đổi biến số đặt t = u(x) u(x) phải hàm số liên tục có đạo hàm liên tục [ a; b] *Một số tập tương tự: Tính tích phân sau: π dx ∫ sin x 1/ π dx ∫ + cos x 2/ Bài 3: Tính I = ∫ x − 6x + dx * Sai lầm thường gặp: I= ∫ x − 6x + ∫ ( x − 3) dx = dx = ∫ ( x − 3) ( x − 3) d ( x − 3) = = − = −4 2 * Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi ( x − 3) = x − với x ∈ [ 0;4] không tương đương * Lời giải đúng: I= ∫ x − 6x + dx 4 =0 0 ∫ ( x − 3) dx = ∫ x − d ( x − 3) = ∫ − ( x − 3) d ( x − 3) + ∫ ( x − 3) d ( x − 3) 4 ( x − 3) 2 =- ( x − 3) + = + =5 2 * Chú ý học sinh: 2n ( f ( x ) ) 2n = f ( x) ( n ≥ 1, n ∈ N ) b 2n ∫ ( f ( x) ) 2n I= b ∫ f ( x ) dx = a a ta phải xét dấu hàm số f(x) [ a; b] dùng tính chất tích phân tách I thành tổng phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối Một số tập tương tự: π 1/ I = ∫ − sin x dx ; 2/ I = ∫ ∫ 3/ I = π 4/ I = x − 2x + x ∫ π dx    x + − 2 x   dx tg x + cot g x − dx Bài 4: Tính I = ∫x −1 dx + 2x + * Sai lầm thường gặp: I= d ( x + 1) ∫ ( x + 1) −1 +1 = arctg ( x + 1) −1 = arctg − arctg = π * Nguyên nhân sai lầm : Học sinh không học khái niệm arctgx sách giáo khoa thời * Lời giải đúng: Đặt x+1 = tgt ⇒ dx = (1 + tg t )dt 5 với x=-1 t = π với x = t = π ∫ Khi I = (1 + tg t )dt = tg t + π ∫ dt = t π = π * Chú ý học sinh: Các khái niệm arcsinx , arctgx khơng trình bày sách giáo khoa thời Học sinh đọc thấy số tập áp dụng khái niệm sách tham khảo, sách viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000) Từ năm 2000 đến khái niệm khơng có sách giáo khoa nên học sinh không áp dụng phương pháp Vì gặp tích phân dạng b ∫1+ x dx ta dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tgx t = cotgx ; a b ∫ a dx 1− x2 đặt x = sint x = cost *Một số tập tương tự: x − 16 dx x ∫ 1/ I = 2x + 2x + ∫0 x + dx 2/ I = 3/ I = ∫ x dx − x8 Bài 5: Tính :I = ∫ x3 1− x2 dx *Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt ∫ x3 − x2 sin t dt cos t dx = ∫ Đổi cận: với x = t = với x= t = ? * Nguyên nhân sai lầm: Khi gặp tích phân hàm số có chứa − x thường đặt x = sint tích phân gặp khó khăn đổi cận cụ thể với x = khơng tìm xác t = ? * Lời giải đúng: x Đặt t = − x ⇒ dt = − x 2 dx ⇒ tdt = xdx Đổi cận: với x = t = 1; với x = t = ∫ I =0 15 x3 1− x2 dx = 15 (1 − t )tdt = (1 − t )dt =  t − t  ∫ ∫  t   15 15  15 15 15  33 15 − = =  − −  192 192   * Chú ý học sinh: Khi gặp tích phân hàm số có chứa − x thường đặt x = sint gặp tích phân hàm số có chứa 1+x đặt x = tgt cần ý đến cận tích phân cận giá trị lượng giác góc đặc biệt làm theo phương pháp cịn khơng phải nghĩ đếnphương pháp khác 7 *Một số tập tương tự: x3 ∫ 1/ tính I = 1+ x2 2/tính I = dx dx ∫x x2 +1 1 x2 −1 ∫ dx Bài 6: tính I = −1 + x   1−   x   x2 ∫−1 = −∫1   dx +x x +  − x2 x  * Sai lầm thường mắc: I = 1− 1   ⇒ dt = 1 − dx x   Đặt t = x+ x Đổi cận với x = -1 t = -2 ; với x=1 t=2; 2 dt 1 ∫−2 t − −∫2( t + − t − )dt t+ t− I= = =(ln -ln ) 2+ = ln − − ln −2+ −2− = ln = ln t+ t− 2 −2 2+ 2− 1− x2 x −1 = 1 + x4 + x2 x sai [ − 1;1] chứa x = nên * Nguyên nhân sai lầm: −2 chia tử mẫu cho x = * Lời giải đúng: xét hàm số F(x) = 2 ln x2 − x +1 x2 + x +1 x2 −1 (ln )′ = F’(x) = 2 x + x + x + 1 x2 − x +1 x2 −1 x2 − x +1 dx ln ∫ Do I = −1 + x = 2 x + x +1 −1 = ln 2− 2+ *Chú ý học sinh: Khi tính tích phân cần chia tử mẫu hàm số cho x cần để ý đoạn lấy tích phân phải khơng chứa điểm x = III/HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: 1/Kết từ thực tiễn: Ban đầu học sinh gặp khó khăn định việc giải dạng tích phân nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích tốn tích phân từ hàm số dấu tích phân,cận tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp sở giáo viên đưa sai lầm mà học sinh thường mắc phải trình suy luận,trong bước tính tích phân từ hướng em đến lời giải Sau hướng dẫn học sinh yêu cầu học sinh giải số tập tích phân sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 số đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng trung học chuyên nghiệp năm trước em thận trọng tìm trình bày lời giải giải lượng lớn tập 2/Kết thực nghiệm: Sáng kiến áp dụng năm học 2005-2006 Bài kiểm tra hai đối tượng lớp 12A1(46 học sinh) không áp dụng sáng kiến 12A2(47 học sinh) áp dụng sáng kiến sau: xếp loại đối tượng 12A2 12A1 giỏi tb yếu 50% 0% 40% 0% 10% 40% 0% 60% Sau thực sáng kiến học sinh học tập tích cực hứng thú đặc biệt giải tốn tích phân em tính tích phân thận trọng hiểu chất vấn đề khơng tính rập khn cách máy móc trước, việc thể việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh PHẦN III:KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ I/ KẾT LUẬN: Nghiên cứu, phân tích số sai lầm học sinh tính tích phân có ý nghĩa lớn trình dạy học áp dụng sáng kiến giúp học sinh nhìn thấy điểm yếu hiểu biết chưa thật thấu đáo vấn đề từ phát huy học sinh tư độc lập, lực suy nghĩ tích cực chủ động củng cố trau thêm kiến thức tính tích phân từ làm chủ kiến thức, đạt kết cao trình học tập kỳ thi tuyển sinh vào trường đại học, cao đẳng , THCN II/ KIẾN NGHỊ: Hiện nhà trường có số sách tham khảo nhiên chưa có sách tham khảo viết sai lầm học sinh giải toán Vì nhà trường cần quan tâm việc trang bị thêm sách tham khảo loại để học sinh tìm tịi sai lầm thường mắc giải tốn để em tránh sai lầm làm tập TÀI LIỆU THAM KHẢO Kiến thức giải tích 12 ( Phan Văn Đức- Đỗ Quang Minh – Nguyễn Thanh Sơn – Lê Văn Trường – NXB ĐH Quốc gia thành phố HCM - 2002) Phương pháp giải tốn Tích phân Giải tích tổ hợp ( Nguyễn Cam – NXB Trẻ ) 10 10 Phương pháp giải tốn Tích phân (Trần Đức Hun – Trần Chí Trung – NXB Giáo Dục) Sách giáo khoa Giải tích 12 (Ngơ Thúc Lanh Chủ biên – NXB GD – 2000) Phương pháp giải tốn Tích phân ( Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội – 2005) Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán ( Trần Phương Nguyễn Đức Tấn – NXB Hà Nội – 2004) MỤC LỤC PHẦN I : MỞ ĐẦU trang I Đặt vấn đề II Phương pháp nghiên cứu PHẦN II : NỘI DUNG I Cơ sở khoa học II Nội dung cụ thể III Hiệu sáng kiến 11 11 PHẦN III: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ 12 12 ... tích phân nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích tốn tích phân từ hàm số dấu tích phân, cận tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp sở giáo viên đưa sai lầm mà học. .. Nghiên cứu, phân tích số sai lầm học sinh tính tích phân có ý nghĩa lớn trình dạy học áp dụng sáng kiến giúp học sinh nhìn thấy điểm yếu hiểu biết chưa thật thấu đáo vấn đề từ phát huy học sinh tư... KHOA HỌC Dựa nguyên tắc trình nhận thức người từ: “ sai đến gần đến khái niệm đúng”, nguyên tắc dạy học đặc điểm trình nhận thức học sinh II/ NỘI DUNG CỤ THỂ Một số sai lầm học sinh tính tích phân