SKKN hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số dạng toán trắc nghiệm về chủ đề cực trị của hàm số

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ CHỦ ĐỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ  Giáo Viên: Nguyễn Ngọc Quang Trang A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài: Thực tế giảng dạy cho thấy, việc lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp sẽ kích thích được hứng thú học tập của học sinh, giúp học sinh lĩnh hội được tri thức một cách chủ động và đạt được mục đích học tâp Việc lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp với một nội dung kiến thức nhất định là đặc biệt quan trọng Nó giúp người thầy có được sự định hướng việc giảng dạy - tuỳ thuộc vào mục tiêu, nội dung cần đạt, trình độ nhận thức của học sinh Nó giúp người học dễ dàng tiếp cận kiến thức, tích lũy kiến thức đó và vận dụng vào làm bài thi đạt được kết quả cao nhất Trong đề thi THPT QG năm qua, các bài toán chủ đề hàm số chiếm một tỷ lệ đáng kể và gây không ít khó khăn cho học sinh Trong quá trình giảng dạy nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn học các nội dung chủ đề hàm số nói chung và chủ đề cực trị hàm số nói riêng, đặc biệt là các bài toán mức độ vận dụng và vận dụng cao Đặc biệt là từ Bộ GD và ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho mơn Toán, địi hỏi học sinh phải có kiến thức sâu, rợng mà cịn phải có các cách tiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài toán một cách nhanh nhất Để giúp học sinh có cách tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất việc giải các bài toán cực trị của hàm số, chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải số dạng toán trắc nghiệm chủ đề cực trị hàm số” II Mục đích nghiên cứu: Mục đích nghiên cứu của đề tài là nhằm cung cấp thêm cho học sinh cách tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất việc giải các bài toán cực trị của hàm số; từ đó bước tháo gỡ vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề cực trị của hàm số III Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu, tìm tòi các cách tiếp cận, các phương pháp giải các bài toán trắc nghiệm chủ đề “Cực trị hàm số” IV Đối tượng khách thể nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu: các phương pháp giải bài toán trắc nghiệm chủ đề “Cực trị hàm số” Khách thể nghiên cứu: học sinh hai lớp 12A1 và 12A9 Trang V Phạm vi nghiên cứu: các dạng toán: tìm số điểm cực trị của hàm số, tìm điều kiện của tham số m để hàm số có n điểm cực trị, tìm điều kiện của tham số m để hàm số đạt cực trị tại điểm VI Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp điều tra thực tiễn - Phương pháp đối chứng - Phương pháp nghiên cứu tài liệu VII Cấu trúc SKKN A Đặt vấn đề I Lý chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Nhiệm vụ nghiên cứu IV Đối tượng và khách thể nghiên cứu V Phạm vi nghiên cứu VI Phương pháp nghiên cứu VII Cấu trúc của SKKN B Nội dung I Cơ sở lý thuyết II Một số dạng toán III Các biện pháp tiến hành để giải quyết vấn đề IV Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm C Kết luận và đề xuất I Kết luận II Đề xuất B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý thuyết: Khái niệm cực trị hàm số : Giả sử hàm số xác định tập hợp và được gọi là một điểm cực đại của hàm số điểm cho: nếu tồn tại một khoảng Trang chứa Khi đó được gọi là giá trị cực đại của hàm số được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số điểm cho: nếu tồn tại một khoảng chứa được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số Khi đó Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị Nếu là một điểm cực trị của hàm số thì người ta nói hàm số điểm Như : Điểm cực trị phải là một điểm của tập hợp đạt cực trị tại Điểm cực đại , cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số , f(x0 ) là giá trị cực trị (hay cực trị ) của hàm số Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: Định lý 1: Giả sử hàm số đạt cực trị tại điểm Khi đó , nếu có đạo hàm tại điểm thì Chú ý : Đạo hàm triệt tiêu tại điểm hàm số không đạt cực trị tại điểm Hàm số đạt cực trị tại mợt điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm Hàm số đạt cực trị tại mợt điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số , hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị: chứa điểm và có đạo hàm Định lý 2: Giả sử hàm số liên tục khoảng các khoảng Nếu và Khi đó : thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm Trang Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm Định lý 3: Giả sử hàm số và Nếu có đạo hàm cấp một khoảng có đạo hàm cấp hai khác thì hàm số tại điểm đạt cực đại tại điểm chứa điểm thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm Nếu Chú ý : Nếu là một điểm cực trị của hàm số thì điểm đồ thị hàm số Trong trường hợp được Tịnh tiến đồ thị Cho hàm số a) Nếu tịnh tiến được gọi là điểm cực trị không tồn tại hoặc có đồ thị thì định lý không dùng Khi đó, với số theo phương của , ta có: lên đơn vị ta được đồ thị xuống dưới đơn vị ta được đồ thị hàm số b) Nếu tịnh tiến theo phương của hàm số c) Nếu tịnh tiến theo phương của d) Nếu tịnh tiến theo phương của qua trái đơn vị ta được đồ thị hàm số qua phải đơn vị ta được đồ thị hàm số e) Đồ thị của hàm số có được cách lấy đối xứng (C) qua trục Oy tịnh tiến theo phương của Ox qua trái a đơn vị f) Đồ thị của hàm số có được cách lấy đối xứng (C) qua trục Oy tịnh tiến theo phương của Ox qua phải a đơn vị g) Đồ thị của hàm số có được cách tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a đơn vị lấy đối xứng qua trục Oy h) Đồ thị của hàm số có được cách tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a đơn vị lấy đối xứng qua trục Oy Quan hệ cực trị hàm số phép biến đổi đồ thị có n điểm cực trị có hoành độ dương(các điểm cực trị a) Nếu đồ thị hàm số nằm bên phải Oy) thì đồ thị hàm số có điểm cực trị Trang b) Nếu đồ thị hàm số có n điểm cực trị và phương trình nghiệm bội lẻ thì đồ thị hàm số có có m điểm cực trị c) Số điểm cực trị của đồ thị hàm số số điểm cực trị của đồ thị hàm số d) Khi tịnh tiến đồ thị thì số điểm cực trị không thay đổi II Một số dạng toán: Dạng 1: Cho đồ thị hàm số Hỏi số điểm cực trị đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối liên quan đến Phương pháp: Sử dụng các kết quả của mục I.5 có đồ thị hình vẽ Hỏi Câu Cho hàm số có điểm cực trị? hàm số A B C D Lời giải có điểm cực trị có hoành độ dương nên đồ thị hàm số Ta thấy đồ thị hàm số có điểm cực trị có đồ thị hình vẽ sau: Câu Cho hàm số Hàm số có điểm cực trị? Hàm số có điểm cực trị? Hàm số có điểm cực trị? Đồ thị hàm số Lời gải có điểm cực trị có hoành độ dương nên hàm số có điểm cực trị Đồ thị hàm số đơn nên hàm số Đồ thị hàm số đơn nên hàm số Câu Cho hàm số có điểm cực trị và phương trình có nghiệm có điểm cực trị có điểm cực trị và phương trình có nghiệm có điểm cực trị Đồ thị hàm số Trang hình vẽ bên dưới Tìm m để hàm số có điểm cực trị Tìm m để hàm số có điểm cực trị Tìm m để hàm số có điểm cực trị Lời giải Ta có BBT của hàm số x -∞ f'(x) -1 -2 + - + Đồ thị hàm số +∞ - + có được cách: + Lấy đối xứng đồ thị hàm số qua Oy được đồ thị hàm số + Tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương của Ox sang phải hoặc trái đơn vị được đồ thị hàm số Ta thấy: Hàm số có điểm cực trị đó có cực trị dương có điểm cực trị có điểm cực trị với mọi m có được cách: Đồ thị hàm số + Tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương của Ox sang phải hoặc trái đơn vị được đồ thị hàm số + Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số đồ thị hàm số nằm bên phải Oy qua Oy được có điểm cực trị thì hàm số Từ đó ta thấy: để hàm số phải có cực trị dương tịnh tiến đồ thị hàm số phương của Ox sang phải lớn đơn vị và không quá đơn vị Vậy có điểm cực trị thì hàm số Để hàm số cực trị dương tịnh tiến đồ thị hàm số hoặc trái) phải thỏa mãn:  Tịnh tiến sang phải không quá đơn vị  Tịnh tiến sang trái nhỏ đơn vị Vậy Câu Cho hàm số Đồ thị hàm số Trang theo phải có theo phương của Ox (sang phải hình vẽ bên dưới Tìm m để hàm số có điểm cực trị Tìm m để hàm số có điểm cực trị Tìm m để hàm số có điểm cực trị Lời giải Ta có BBT của hàm số x +∞ f'(x) + - - CĐ Đồ thị hàm số +∞ + CT có được cách: + Lấy đối xứng đồ thị hàm số qua Oy được đồ thị hàm số theo phương của Ox sang phải hoặc trái + Tịnh tiến đồ thị hàm số đơn vị được đồ thị hàm số có điểm cực trị đó có cực trị dương Ta thấy: Hàm số có điểm cực trị có điểm cực trị với mọi m Vậy không có giá trị nào của m để hàm số có điểm cực trị có được cách: Đồ thị hàm số theo phương của Ox sang phải hoặc trái + Tịnh tiến đồ thị hàm số đơn vị được đồ thị hàm số + Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số nằm bên phải qua Oy được đồ thị hàm số có điểm cực trị thì hàm số Từ đó ta thấy: để hàm số phải có cực trị dương tịnh tiến đồ thị hàm số Vậy phương của Ox sang phải lớn đơn vị Để hàm số có điểm cực trị thì hàm số cực trị dương đơn vị Vậy Dạng 2: Cho đồ thị Phương pháp: tịnh tiến đồ thị hàm số phải có theo phương của Ox trái nhỏ Hỏi số điểm cực trị hàm số Trang theo + Từ đồ thị hàm số tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hoành + Tính đạo hàm của hàm số + Dựa vào đồ thị của và biểu thức của để xét dấu Số điểm cực trị Câu Đường cong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số của hàm số A Ta thấy đồ thị hàm số thực sự tại hai điểm là Bảng biến thiên Vậy hàm số với trục là B có C Lời giải điểm chung với trục hoành D cắt và có điểm cực trị Chọn A Cách trắc nghiệm Ta thấy đồ thị của có điểm chung với trục hoành cắt và băng qua trục hoành có điểm nên có hai cực trị  Cắt và băng qua trục hoành từ xuống thì đó là điểm cực đại  Cắt băng qua trục hoành từ lên điểm cực tiểu Câu Cho hàm số Đồ thị hàm số hình bên Tìm số điểm cực trị của hàm số A C B D Lời giải Ta có Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B được xác định sau: Ví dụ xét khoảng Chú ý: Dấu của  Trang  Từ và suy khoảng Nhận thấy các nghiệm và nên là các nghiệm bội lẻ nên mang dấu qua nghiệm đổi dấu; các nghiệm là nghiệm bội chẵn (lí dựa vào đồ thị ta thấy với trục hoành tại điểm có hoành độ ) nên qua nghiệm không đổi dấu có đạo hàm và có bảng xét dấu của Câu Cho hàm số sau Hỏi hàm số A B có điểm cực tiểu ? C Lời giải tiếp xúc D Ta có Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A Chú ý: Dấu của được xác định sau: Ví dụ xét khoảng   Từ và suy mang dấu Nhận thấy các nghiệm dấu Câu Cho hàm số thời đồ thị hàm số Số điểm cực trị của hàm số A B khoảng và là các nghiệm bội lẻ nên có đạo hàm liên tục và Trang 10 qua nghiệm đổi đồng hình vẽ bên dưới là C Lời giải nên D Ta có Dựa vào đồ thị ta thấy: có ba nghiệm bội lẻ phân biệt (vì đồ thị hàm số  phương trình  Vậy hàm số có điểm cực trị) vô nghiệm điểm cực trị Chọn B có đạo hàm R và có đồ thị hình vẽ bên dưới Đồ Câu Cho hàm số thị hàm số A có có tổng tung độ của các điểm cực trị B Đồ thị hàm số C Lời giải có được cách  Tịnh tiến đề thị hàm số lên  Lấy đối xứng phần phía dưới D đơn vị ta được của đồ thị hàm số Dựa vào đồ thị hàm số qua ta được suy tọa độ các điểm cực trị là tổng tung độ các điểm cực trị Chọn C có đạo hàm R và có đồ thị Câu Cho hàm số có bao hàm số hình bên Đồ thị hàm số nhiêu điểm cực trị ? A B C D Lời giải Xét Ta tính được Trang 20 Bảng biến thiên của hàm số Dựa vào bảng biến thiên suy  Đồ thị hàm số có điểm cực trị  Đồ thị hàm số cắt trục tại điểm phân biệt Suy đồ thị hàm số có điểm cực trị Chọn C Dạng 7: Cho bảng biến thiên hàm Câu Cho hàm số Hàm số A Hỏi số điểm cực trị hàm xác định, liên tục và có bảng biến thiên sau đạt cực tiểu tại điểm nào sau ? B C Lời giải D Ta có Do đó điểm cực tiểu của hàm số Vậy điểm cực tiểu của hàm số trùng với điểm cực tiểu của hàm số là Chọn C Câu Cho hàm số có bảng biến thiên hình vẽ bên dưới Hỏi hàm số có điểm cực trị ? A B C D Lời giải Ta có Vậy có nhất nghiệm bội lẻ nên hàm số Chọn B Câu Cho hàm số có bảng biến thiên sau Trang 21 có điểm cực trị Tìm số điểm cực trị của hàm số A B C Lời giải D Ta có   không xác định Bảng biến thiên Vậy hàm số có Câu Cho hàm số có bảng biến thiên sau Hỏi đồ thị hàm số A điểm cực trị Chọn B có điểm cực trị ? C D Lời giải có được từ đồ thị cách tịnh tiến đồ B Đồ thị hàm số thị sang phải đơn vị và lên đơn vị Suy bảng biến thiên của Dựa vào bảng biến thiên suy đồ thị hàm số Dạng 8: Cho biểu thức Tìm để hàm số Trang 22 có điểm cực trị Chọn B có điểm cực trị Câu Cho hàm số với để hàm số cả các giá trị của A có B là tham số thực Tìm tất điểm cực trị C D Lời giải Ta có Hàm số có có điểm cực trị hai hàm số có hai cực trị dương nghiệm dương Chọn C Câu Cho hàm số với giá trị nguyên của tham số cực trị ? B A Để có phân là tham số thực Có để hàm số C Lời giải điểm cực trị biệt có điểm biệt khác D có nghiệm phân biệt Xét Do đó phương trình có hai nghiệm phân Chọn C Câu Cho hàm số bậc ba có đồ thị nhận hai điểm và làm hai điểm cực trị Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số A B C Lời giải D Ta có Hàm số trị dương Đồ thị hàm số phần tư thứ có hai điểm cực trị đó có một điểm cực trị hàm số có điểm cực trị có điểm cực trị nên đồ thị và một điểm cực và điểm cực trị cắt trục hoành tại Trang 23 thuộc góc điểm ( điểm có hoành độ âm, điểm có hoành độ dương) đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm phân biệt Từ và suy đồ thị hàm số có suy đồ thị Cách Vẽ phát họa đồ thị điểm cực trị Chọn B , tiếp tục suy đồ thị Câu Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số hoặc A C có ba điểm cực trị B D Lời giải hoặc hoặc -2 Xét hàm số Ta có: x -∞ y' + - +∞ + +∞ m+1 y m-3 -∞ Do số điểm cực trị của hàm số tổng số điểm cực trị của hàm số và số nghiệm của phương trình (không kể nghiệm bội chẵn) Khi đó yêu cầu bài toán trở thành (*) có một nghiệm (không kể nghiệm và – là các nghiệm bội chẵn và là các điểm cực trị của hàm số ) Dựa vào bảng biến thiên ta có: Chọn D Câu Có giá trị nguyên của tham số A 11 Xét hàm số Do hàm số có điểm cực trị? B 10 C Lời giải có tối đa điểm cực trị và phương trình D có tối đa có điểm cực trị thì phương nghiệm nên để hàm số trình để hàm số có nghiệm phân biệt ( vì có điểm cực trị) có nghiệm phân biệt thì hàm số Ta có: Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì (*) phải có nghiệm phân biệt khác Trang 24 Chọn D Dạng 9: Tìm m để hàm số đạt cực trị có đạo hàm cấp liên tục D Bổ đề: Cho hàm số với Đặt Khi đó: a) Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 b) Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 Chứng minh liên tục D và nên cho a) Vì Vì BBT: nên có nghiệm đơn x a Giả sử và đổi dấu x qua x0 Ta có x0 g'(x) b + + g(x) - Suy đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 Vì dấu của cùng dấu với dấu của b) Chứng minh tương tự Áp dụng bổ đề vào tốn cực trị ta có: có đạo hàm cấp liên tục D KQ1: Cho hàm số với a) b) Đặt nên Giả sử Khi đó: hàm số đạt cực tiểu x0 hàm số đạt cực đại x0 Chứng minh a) Ta có: từ giả thiết  Nếu thì theo bổ đề f’(x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x)  Nếu f(x) đạt cực tiểu tại x = x0 thì ta cần chứng minh Thật vậy, giả sử đó, theo bổ đề thì f’(x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 là điểm cực đại của hàm số f(x) b) Chứng minh tương tự trái giả thiết Vậy có đạo hàm D Nếu KQ2: Cho hàm số điều kiện cần để f(x) đạt cực trị x = x0 h(x0) = Trang 25 Câu Có số nguyên để hàm số đạt cực tiểu tại B 2019 A 2018 C 3016 D 3015 Lời giải Đặt TH1: Xét có nghiệm Với m = -1 TH2: Khi đó đạt cực tiểu tại không là cực tiểu Chọn B Câu Có giá trị của m để hàm số A đạt cực tiểu tại B C D Lời giải Đặt Điều kiện cần để HS đạt cực tiểu tại x = là Với là cực tiểu Chọn A Câu (Đề thi thức năm 2018) Có tất cả giá trị nguyên của m để hàm số đạt cực tiểu tại A B C Lời giải D Vô số Đặt: TH1: Xét + Với m = có nghiệm là cực tiểu + Với m = - TH2: không là cực tiểu Khi đó đạt cực tiểu tại Vậy Vì Chọn C Câu Có số nguyên để hàm số đạt cực đại tại A B C Lời giải Trang 26 D Đặt: Điều kiện cần đề HS đạt cực đại tại x = là Với là cực đại Chọn B Trang 27 III Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Để thực đề tài này tìm đọc rất nhiều tài liệu viết vấn đề này, nghiên cứu lời giải cho dạng toán, lựa chọn bài tập phù hợp với phương pháp đưa để giúp học sinh giải quyết bài toán tốt IV Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Qua nhiều năm giảng dạy và đúc kết kinh nghiệm nhận thấy để dạy cho học sinh học tốt các nội dung cực trị của hàm số thì cần phải giúp cho học sinh nắm vững hệ thống lý thuyết các định nghĩa, định lý, hệ quả các phương pháp giải toán Nắm vững các yếu tố sẽ giúp cho việc giảng dạy của giáo viên được thuận lợi, học sinh tiếp thu kiến thức ngày một tốt Đề tài này được thực các buổi dạy chuyên đề tại lớp 12A1 và 12A9 Trong quá trình học đề tài này, bước đầu học sinh thấy khó khăn qua vài ví dụ học sinh nhận thấy một bài toán có thể áp dụng nhiều phương pháp khác Trong đó việc ứng dụng phương pháp trên, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Trước dạy đề tài tiến hành khảo sát hai lớp 12A1 và 12A9 năm học 2018 – 2019 thông qua bài kiểm tra 15 phút: Câu Cho hàm số Câu Khẳng định nào sau là khẳng định đúng? cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt A Đồ thị hàm số B Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có ba điểm cực trị C Đồ thị hàm số D Đồ thị hàm số có một điểm có một điểm cực trị Cho hàm số có đồ thị hình vẽ: Hàm số có đồ thị hình vẽ: Khẳng định nào sau là khẳng định đúng? có điểm cực tiểu và không có điểm cực đại A Đồ thị hàm số Trang 28 B Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại C Đồ thị hàm số có bốn điểm cực trị có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu D Đồ thị hàm số Câu Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số đạt cực đại tại A B C D Câu Hàm số có đúng điểm cực trị thì giá trị của là: B C D A Câu Cho hàm số có đồ thị hàm số hình bên Hàm số điểm cực đại ? A C Câu Cho hàm số có B D có đạo hàm R và có đồ thị hình vẽ bên dưới Số điểm là cực trị của hàm số A Câu Cho hàm số B Đồ thị hàm số A C D có bảng biến thiên hình vẽ bên dưới có B Câu Hàm số điểm cực trị C D có đúng ba điểm cực trị là và có điểm cực trị ? A B C D Câu Đường cong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số của hàm số A Số điểm cực trị là B C Trang 29 Hàm số D Câu 10 Cho hàm số có đạo hàm bên dưới Hỏi hàm số Đồ thị hàm số hình vẽ đạt cực tiểu tại điểm nào dưới ? A C B D Không có điểm cực tiểu Kết thu sau: Điểm Điểm Điểm Điểm 9-10 7-8,5 5-6,5 -