SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT PHAN ĐĂNG LƯU
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II. NĂM HỌC 20122013
MÔN: TOÁN KHỐI A, A
1
, B
Thời gian làm bài: 180 phút.
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số
1
1
x
y
x
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng
y x
và cắt (C) tại 2 điểm A,
B sao cho tam giác IAB có diện tích bằng
2 3
, với I là giao điểm hai tiệm cận của (C).
Câu 2 (1 điểm). Giải phương trình:
2 2
2sin cos sin 2cos
4
x x x x
.
Câu 3 (1 điểm). Giải bất phương trình:
2 2
2( 1) 2( 1) 6 1
x x x x
Câu 4 (1 điểm). Tính tích phân
1
2
0
( 1)
x
xe
I dx
x
.
Câu 5 (1 điểm). Cho lăng trụ
' ' '
ABCABC
, đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên
' 3
AA a
. Biết mặt
bên
' '
BCC B
là hình chữ nhật và tam giác
'
B AC
vuông tại
A
. Tính thể tích lăng trụ đã cho và khoảng
cách giữa hai đường thẳng
' '
,
AA BC
.
Câu 6 (1 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
22 2
3
a b c
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
22 2
1 1 1
a b c
P
b c a
.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B).
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7a (1 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
cho hình thoi ABCD. Biết trung điểm AB là
M(
7
;7
2
) và AC là một đường kính của đường tròn (T):
2 2
2 4 20 0
x y x y
. Tìm tọa độ các
đỉnh của hình thoi đã cho biết
A
có hoành độ âm.
Câu 8a (1 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho hai điểm
1;0;0 , 0;1;0
A B , mặt
phẳng (P) có phương trình
5 0
z
và mặt cầu
( )
S
có phương trình
22 2
2 4 0
x y z x
. Lập
phương trình mặt cầu
/
( )
S
có tâm thuộc
( )
S
, đi qua hai điểm
,
A B
và tiếp xúc với (P).
Câu 9a (1 điểm). Tìm số phức
z
biết
( 2)( 2)
iz z
là số thuần ảo và
2
z
.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7b (1 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Ox
y
, cho elip (E) có phương trình
2 2
4 9 36
x y
và điểm
(1;1).
M Lập phương trình đường thẳng qua M cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M là trung
điểm của đoạn thẳng AB.
Câu 8b (1 điểm).Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho hai điểm
1;3;0 , 1;1;1
A B và hai đường
thẳng
1 2
1 1 1
: , :
2 3 1 3 1 2
x y z x y z
d d
. Viết phương trình đường thẳng
d
biết
d
cắt
1 2
,
d d
lần lượt tại hai điểm
,
M N
sao cho tam giác
ANB
vuông tại
B
và thể tích tứ diện
ABMN
bằng
1
3
.
Câu 9b (1 điểm). Tính xác suất để có thể lập được một số tự nhiên gồm
7
chữ số mà trong đó chữ
số 3 có mặt đúng 2 lần,chữ số 0 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần.
…………………………. Hết …………………………
Thí sinh không sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh……………………………Số báo danh…………………
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1
/4
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT PHAN ĐĂNG LƯU
ĐÁP ÁN THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II.
NĂM HỌC 20122013
MÔN: TOÁN KHỐI A, A
1
, B
Câu Nội dung Điể
m
1) • TXĐ:
\{1}
¡ .
• SBT:
CBT:
2
2
'
( 1)
y
x
< 0 x 1.
Hàm số NB trên (; 1) và (1; +)
0,25
Cực trị: không có.
Giới hạn:
lim 1
x
y
y = 1 là tiệm cận ngang;
1 1
lim ,lim
x x
y y
x = 1 là tiệm cận đứng.
0,25
BBT:
0,25
1.1
( 1điểm)
• Đồ thị
0,25
2) Ta có I(1; 1), : y = x + m.
Hoành độ A, B là các nghiệm PT:
1
1
x
x m
x
x
2
+ (m 2)x m 1 = 0 (*), x 1.
0,25
(*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
2
8 0
1 2 1 0
m
m m
m.
Giả sử A(x
1
; y
1
), B(x
2
; y
2
) thì x
1,
x
2
là các nghiệm (*) và y
1
= x
1
+ m, y
2
= x
2
+ m
0,25
AB
2
= (x
1
x
2
)
2
+ (y
1
y
2
)
2
= 2(x
1
x
2
)
2
= 2(x
1
+ x
2
)
2
4x
1
x
2
= 2(m
2
+ 8)
d(I; ) = | m |. ( , )
2
m
d I
0,25
1.2
( 1điểm)
2 3
IAB
S
2
1
. . 2 16 2 3
2
2
m
m
2
m
.
0,25
2
(1 điểm)
PT
2
1 os 2
2
2sin cos cos 2sin 2 cos 1 sin 2 2cos
2
c x
x x x x x x x
0,5
x
y’
y
+
1
1
1
+
1
1
-
1
-
1
x
y
O
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
2
/4
1 sin 2 2cos (1 sin 2 ) 0 (1 sin2 )(1 2cos ) 0
x x x x x
sin 2 1
1 sin 2 0
4
1
1 2cos 0
cos
2
2
3
x
x k
x
x
x
x k
0,5
2 22 2
2 2 2
3( 1) 2( 1) 3( 1) 2( 1) ( 1) 2( 1) 0
3( 1) 1 2( 1) 2( 1) 1 2( 1) 0
Bpt x x x x x x
x x x x x x
0,25
2 2
1 2( 1) 3( 1) 2( 1) 0 (*)
x x x x
.
Nhận thấy
2
1 2( 1) 0
x x x
. Dấu ”=” xảy ra khi
1
x
.
0,25
1
x
là một nghiệm của pt
2 2
1 (*) 3( 1) 2( 1) 0 2( 1) 3( 1)
x x x x x
0,25
3
(1 điểm)
2
1
9 32
7
7 18 7 0
x
x
x x
Vậy nghiệm của Bpt ban đầu là
9 32
, 1
7
x x
0,25
Đặt
2
( 1)
1
1
( 1)
1
x
x
u xe
du x e dx
dv dx
v
x
x
0,5
4
(1 điểm)
Ta có:
1
1
0
0
1
x
x
xe
I e dx
x
=
1
2
e
0,5
Gọi H là hình chiếu của A trên (A’B’C’).
Ta có:
B’C’ AA’ (do B’C’ BB’, BB // AA’),
B’C’ AH B’C’ A’H (1).
A’C’ AB’ (do AB’ AC, AC // A’C’),
A’C’ AH A’C’ B’H (2)
(1) và (2) H là tâm A’B’C’ (do A’B’C’
đều).
0,25
Ta có:
2 2
' '
AH AA A H
2
2
2 2
3
3
3
a a
a
. ' ' ' ' ' '
.
ABC A B C A B C
V S AH
2 3
3 22 2
.
4 2
3
a a a
.
0,25
(BCC’B’) chứa BC’ và song song AA’
d(AA’, BC’) = d(AA’, (BCC’B’)) = d(A, (BCC’B’)) =
. ' '
' '
3
A BCC B
BCC B
V
S
.
0,25
5
(1 điểm)
Vì V
ABC.A’B’C’
= V
A.A’B’C’
+ V
A.BCC’B’
và
. ' ' ' . ' ' '
1
3
A A B C ABC A B C
V V nên
3
. ' ' . ' ' '
2 2
3 3
A BCB C ABC A B C
a
V V .
2
' '
. 3 3
BCC B
S aa a .
0,25
B
H
B'
A'
C'
C
A
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
3
/4
Vậy d(A, (BCC’B’)) =
. ' '
' '
3
6
3
A BCC B
BCC B
V a
S
.
Ta có:
2 2
2 2
1 1 2 2
a ab ab ab
a a a
b b b
.
Tương tự:
2
1 2
b bc
b
c
,
2
1 2
c ca
c
a
.
0,25
Do đó:
2
ab bc ca
P a b c
.
0,25
Đặt a + b + c = x.
Vì a
2
+ b
2
+ c
2
= 3 nên
3 3
x
và
2
3
2
x
ab bc ca
.
Ta có:
2
2
3 1
(3 4 )
2 4 4
ab bc ca x
a b c x x x
.
0,25
6
(1 điểm)
Xét hàm số f(x) = 3 + 4x x
2
với
3 3
x
min f(x) = 6.
Suy ra:
3
2
P
và a = b = c = 1 thì
3
2
P
. Vậy GTNN của P là
3
2
.
0,25
Tâm của (T) là I(1; 2).
Vì ABCD là hình thoi và I là trung điểm AC
nên I là tâm hình thoi ABCD.
AIB vuông tại I và M là trung điểm AB nên
MA = MI =
125
4
A thuộc đường tròn tâm M bán kính MI
và đường tròn (T)
0,5
tọa độ A là nghiệm của hệ:
2 2
2
2
2 4 20 0
2
7 125
6
7
2 4
x y x y
x
y
x y
A(2; 6)
0,25
7a
(1 điểm)
Từ đó tìm được B(9; 8), C(4; 2), D(7; 4).
0,25
Giả sử I(a; b; c) là tâm (S’) a
2
+ b
2
+ c
2
2a 4 = 0 (1)
IA = IB
2 2222 2
( 1) ( 1)
a b c a b c
a = b (2)
0,25
IA = d(I, (P))
a
2
+ b
2
+ c
2
2a + 1 = (c +
5
)
2
(3)
0,25
Từ (1) và (3) 5 = (c +
5
)
2
2 5
c hoặc c = 0.
Từ (1) và (2) 2a
2
2a + c
2
4 = 0.
0,25
8a
(1 điểm)
Với
2 5
c 2a
2
2a + 16 = 0 VN.
Với c = 0 a = 1 hoặc a = 2
I(1; 1;0) hoặc I(2; 2; 0)
(S’): (x + 1)
2
+ (y + 1)
2
+ z
2
= 5 hoặc (S’): (x 2)
2
+ (y 2)
2
+ z
2
= 5
0,25
Giả sử z = a + bi (a, b R), ta có: (iz + 2)(z 2) = (2 b + ai)(a 2 + bi) là số
thuần ảo nên: (2 b)(a 2) ab = 0 a + b ab 2 = 0 (1)
0,25
Mặt khác
| | 2
z
nên a
2
+ b
2
= 4 (2)
0,25
9a
(1 điểm)
Từ (1) và (2) ta tìm được
2,
a
2
b
hoặc
2, 2
a b
hoặc a = 0, b = 2 hoặc a = 2; b = 0.
0,25
D
M
B
A
C
I
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
4
/4
Vậy có 4 số phức thỏa mãn là:
2 2, 2 2
z i z i
, z = 2, z = 2i.
0,25
Giả sử
( ; 2)
B B
B x x
. Ta có
( 1 ; )
B B
BE x x
uuur
, vectơ chỉ phương của
: 2 0
d x y
là
(1;1)
u
r
. Gọi M là trung điểm AD, ta có
0
2 2
.
1
45 os45
(1 ) 2
o
B B
BE u
ABM c
BE u
x x
uuur r
uuur r
0,25
2 2
0
2 1
1
2
(1 ) 2
B
B
B B
x
x
x x
. Do
0 1 ( 1;1)
B B
x x B
0,25
Giả sử
( 1; ), (9 ; )
A A A
A y D y y
. Ta có trung điểm của
AD
là 4
2
A
y
M
Δ 4 2 0 4
2
A
A A
y
M y y
0,25
7b
(1 điểm)
( 1;4), (5;4)
A D
(5;1)
C
.
0,25
Giả sử N(3t; t; 1 + 2t) d
2
. Ta có:
(2; 2;1)
AB
uuur
,
(3 1; 1;2 )
NB t t t
uuur
.
ANB vuông tại B
. 0
NB AB
uuur uuur
2(3t 1) + 2t + 2 + 2t = 0 t = 0
N(0; 0; 1).
0,25
Giả sử M(1 + 2t’; 1 + 3t’; t’) d
1
. Ta có:
(1; 3;1)
AN
uuur
,
(2 '; 2 3 '; ')
AM t t t
uuuur
.
1
|[ ; ] |
6
ABMN
V AB AN AM
uuur uuur uuuur
0,25
1 1
| 2 5 '|
6 3
t
t’ = 0 hoặc
4
5
t’
M(1; 1; 0) hoặc
3 17 4
5 5 5
; ;
M
0,25
8b
(1 điểm)
.Đường thẳng d qua M, N nên d:
1
x t
y t
z t
hoặc d:
3
5
17
5
1
1
5
x t
y t
z t
0,25
Số các chữ số tự nhiên gồm 7 chữ số là
6
9 10 9000000
.
Chữ số 0 có mặt 3 lần và chữ số 0 không thể đứng đầu nên có
3
6
C
cách lập
0,25
4 vị trí còn lại, chữ số 3 có mặt 2 lần nên có
2
4
C
cách lập
0,25
2 vị trí còn lại cho 8 chữ số còn lại, mỗi số có mặt không quá một lần nên có
2
8
A
cách lập
0,25
9b
(1 điểm)
Xác suất cần tìm là
3 2 2
6 4 8
6720 7
9000000 9000000 9375
. .C C A
0,25
Lưu ý: Hướng dẫn này chỉ trình bày một cách giải, nếu học sinh giải cách khác mà vẫn đúng thì
cho điểm tối đa dành cho phần đó (hoặc ý đó).
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com