Bài toán cauchy trong thang không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CƠNG TRÌNH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG BÀI TOÁN CAUCHY TRONG THANG KHÔNG GIAN BANACH MÃ SỐ: T2014-132 SKC005493 Tp Hồ Chí Minh, tháng 11/2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG BÀI TỐN CAUCHY TRONG THANG KHƠNG GIAN BANACH Mã số: T2014-132 Chủ nhiệm đề tài: Ths Phạm Văn Hiển TP HCM, tháng 11 năm 2014 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG BÀI TỐN CAUCHY TRONG THANG KHƠNG GIAN BANACH Mã số: T2014-132 Chủ nhiệm đề tài: Ths Phạm Văn Hiển TP HCM, Tháng 11 năm 2014 Báo cáo Nghiên cứu khoa học – Mã số đề tài T2014-132 Mục lục Mục Trang Thông tin kết nghiên cứu Mở đầu Tổng quan Mục tiêu đề tài Tóm tắt nội dung báo cáo Chương 1: Thang Không gian Banach Thang không gian Bài tốn Cauchy thang khơng gian Định lý (M.V.Safonov) Chương Độ đo phi compact Độ đo Kuratowski 12 K-độ đo phi compact 13 Tốn tử đặc 15 Định lý (R.R.Akhmerov) 16 Định 1ý (N.B.Huy) 17 Chương Kết nghiên cứu Định lý .18 Chứng minh 18 Chương 4: Kết luận kiến nghị 22 Tài liệu tham khảo 23 Phụ lục:  Bản thuyết minh phê duyệt  Sản phẩm đăng ký: Bài báo khoa học đăng web khoa Bài tốn Cơsi thang khơng gian Banach Báo cáo Nghiên cứu khoa học – Mã số đề tài T2014-132 THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thơng tin chung: - Tên đề tài: BÀI TỐN CÔ SI TRONG THANG KHÔNG GIAN BANACH - Mã số: T2014-132 - Chủ nhiệm: Ths Phạm Văn HIển - Cơ quan chủ trì: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh - Thời gian thực hiện: tháng năm 2013 đến tháng năm 2014 Mục tiêu: Mở rộng kết tốn Cơsi thang khơng gian Banach Tính sáng tạo: Tìm định lý mở rộng thực tốn Cơsi thang khơng gian Banach Kết nghiên cứu: Đã mở rộng định lý M.Safonov tốn Cauchy thang khơng gian Banach Định lý M.Safonov sử dụng điều kiện dạng Lipschitz đề tài mở rộng điều kiện dạng tốn tử đặc Sản phẩm: Bài báo khoa học web khoa Trưởng Đơn vị Chủ nhiệm đề tài (ký, họ tên, đóng dấu) Phạm Văn Hiển Bài tốn Cơsi thang khơng gian Banach Báo cáo Nghiên cứu khoa học – Mã số đề tài T2014-132 MỞ ĐẦU Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài nước 1.1 Ngoài nước [1] L Nirenberg, An abstract form of the nonlinear Cauchy-Kowalewski theorem, J Differential Geometry (1972) 561-576 Bài báo coi kết tốn Cauchy thang khơng gian Banach Tác giả đưa điều kiện dạng Lipschitz thang không gian Fu  Fv  Au (u  v) s  1 C u  v s'   s ' s [2] T Nishida, A note on a theorem of Nirenberg, J Differential Geom Volume 12, Number (1977), 629-633 Trên sở [1], T.Nishida cải tiến phương pháp chứng minh chỉnh điều kiện dạng đơn giản Fu  Fv s  C u  v s' s ' s [3] M V Safonov, The abstract Cauchy-Kovalevskaya theorem in a weighted Banach space, Communications on Pure and Applied Mathematics, vol XLVIII, 629-637 (1995) Bài báo dùng phương pháp không gian Banach có trọng chứng minh kết [2] thang không gian tổng quát đưa số ứng dụng Và số kết khác 1.2 Trong nước [1] Nguyễn Bích Huy (1993), On a Cauchy problem in scale of Banach spaces, Proceedings of the HoChiMinh City Mathematics Consortium, tr.3842 Bài báo tổng hợp kết phương pháp chứng minh toán Cauchy thang không gian nhiều trường hợp khác Qua nêu đặc trưng việc ứng dụng thang khơng gian vào tốn phương trình vi tích phân Bài tốn Cơsi thang khơng gian Banach Báo cáo Nghiên cứu khoa học – Mã số đề tài T2014-132 Tính cấp thiết đề tài Bài tốn Cauchy thang khơng gian Banach ứng dụng rộng rãi việc giải toán Vật lý, Kỹ thuật Việc nghiên cứu toán cần thiết nhằm ứng dụng vào nhiều toán cụ thể Mục tiêu đề tài Từ điều kiện cốt yếu f t, u   f t , v  s  C u v s ' s s' định lý tồn nghiệm tốn Cauchy thang khơng gian Banach ut  f  t , u  ; u t   X s  u    u0 Chúng mở rộng điều kiện cách thay chuẩn độ đo phi-compact Qua kết áp dụng vào nhiều lớp toán Ví dụ lớp tốn với tốn tử Compact Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 4.1 Đối tượng nghiên cứu Bài tốn Cauchy thang khơng gian Banach 4.2 Phạm vi nghiên cứu  Định lý tồn nghiệm tốn Cauchy thang khơng gian Banach Nirenberg mở rộng  Độ đo Kuratowski Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu 5.1 Cách tiếp cận Tìm đọc tài liệu báo khoa học 5.2 Phương pháp nghiên cứu Tìm kiếm, chứng minh áp dụng Bài tốn Cơsi thang không gian Banach Báo cáo Nghiên cứu khoa học – Mã số đề tài T2014-132 Tóm tắt nội dung báo cáo Chương trình bày kiến thức tốn Cauchy thang khơng gian Banach Cuối chương có trình bày kết M.V.Safonov, kết mang tính lề tốn Cauchy thang khơng gian Banach Chương trình bày khái niệm độ đo phi compact tốn tử đặc Đây kiến thức mà tác giả sử dụng để mở rộng kết Safonov Cuối chương hai định lý điểm bất động tốn tử đặc R.R.Akhmerov Nguyễn Bích Huy Hai định lý sử dụng chứng minh kết Chương trình bày kết đề tài Đó định lý tồn nghiệm tốn Cauchy thang khơng gian Banach Trong định lý điều kiện dạng tốn tử đặc sử dụng thay điều kiện dạng Lipschitz kết Safonov Bài tốn Cơsi thang khơng gian Banach Báo cáo Nghiên cứu khoa học – Mã số đề tài T2014-132 CHƯƠNG : BÀI TOÁN CAUCHY TRONG THANG KHƠNG GIAN BANACH Thang khơng gian Banach 1.1 Định nghĩa Một thang không gian Banach họ không gian Banach {Xs,||.||s}s, asb, cho với s0 lớp hàm lớp hàm giải tích  Bài tốn Cauchy thang khơng gian Banach 2.1 Bài tốn Bài tốn Cauchy trừu tượng có dạng u '  t   f  t , u  t    u    u0 Bài tốn Cơsi thang khơng gian Banach (2) Báo cáo Nghiên cứu khoa học – Mã số đề tài T2014-132 Trong t[0,T] u(t) f(t,u(t)) nhận giá trị không gian trừu tượng X, ví dụ khơng gian Banach Việc khảo sát tồn nghiệm toán Cauchy nghiên cứu từ xưa có nhiều kết Tuy nhiên, khó khăn số trường hợp u(t) f(t,u(t)) lại không nằm khơng gian Bài tốn Cauchy trừu tượng thang khơng gian Banach {Xs,||.||s}s, (asb) tốn (2) u 0Xb t[0,T], u(t)Xs’ f(t,u(t))Xs với as