Khi phân tích và thiết kế hệ thống động, dự đoán và hiểu được các ứng xử động của hệthống là rất quan trọng. Việc nghiên cứu ứng xử động có thể được thực hiện bằng cáchsử dụng mô hình toán học để miêu tả ứng xử động của hệ thống liên quan đến những thứchúng ta quan tâm. Thông thường, một mô hình được trình bày rõ ràng để miêu tả ứng xửthời gian liên tục hoặc rời rạc của hệ thống. Các phương trình chi phối mô hình được sửdụng để dự đoán và hiểu ứng xử động của hệ thống.
25 Đáp ứng hệ thống động Raymond de Callafon University of California 25.1 25.2 25.3 Hệ thống phân tích tín hiệu 25-1 Đáp ứng động học 25-7 Bộ thị trình cho hệ thống động 25-12 25.1 Hệ thống phân tích tín hiệu Khi phân tích thiết kế hệ thống động, dự đoán hiểu ứng xử động hệ thống quan trọng Việc nghiên cứu ứng xử động thực cách sử dụng mơ hình tốn học để miêu tả ứng xử động hệ thống liên quan đến thứ quan tâm Thơng thường, mơ hình trình bày rõ ràng để miêu tả ứng xử thời gian liên tục rời rạc hệ thống Các phương trình chi phối mơ hình sử dụng để dự đốn hiểu ứng xử động hệ thống Phân tích cặn kẽ thực với mơ hình tương đối đơn giản hệ động thơng qua lời giải phương trình mơ hình Thơng thường, phân tích bị giới hạn tới mơ hình tuyến tính bậc hai Mặc dù bị giới hạn tới mơ hình bậc thấp từ lời giải hiểu biết sâu đáp ứng động điển hình hệ thống Với mơ hình có bậc cao, phức tạp hơn, phi tuyến, việc phân tích dựa công cụ mô số Trong phần này, ta xem xét lại việc phân tích mơ hình tuyến tính hệ thống động liên tục rời rạc Các phương trình để rời rạc hóa liên kết hóa ứng xử liên tục rời rạc trình bày Để phân tích hệ thống liên tục, biến đổi Laplace đưa phương trình vi phân tuyến tính thành biểu thức đại số sử dụng rộng rãi Tương tự, biến đổi z dùng cho hệ thống rời rạc Hệ thống liên tục Các mơ hình biểu diễn ứng xử động tuyến tính liên tục hệ thống thường cho dạng phương trình vi phân để kết nối tín hiệu vào u(t) với tín hiệu y(t) Phương trình vi phân mơ hình liên tục tuyến tính bất biến có dạng chung sau: na å j= aj nb dj dk y ( t ) = b u (t ) å j dt j dt j j= (25.1) 25-1 Metechvn.com Sổ tay Cơ điện tử Trong tổ hợp tuyến tính nhận cách dùng đạo hàm theo thời gian bậc j d / dt j đầu đơn y(t) đầu vào đơn u(t) Trong (25.1), số thực vô hướng a j với j = 0, K , n a , an ¹ bj với j = 0, K , n b, an ¹ gọi hệ số mẫu số tử số tương ứng Đầu vào u(t) phân biệt từ đầu y(t) theo (25.1) việc yêu cầu n a ³ n b Kết đạo hàm bậc n a đạo hàm bậc cao đầu y(t) n a sử dụng để bậc phương tình vi phân Mơ hình hệ thống liên tục biểu diễn theo cách khác cách viết lại phương trình vi phân bậc na thành tập phương trình vi phân bậc Điều thực cách tạo biến trạng thái x(t) viết lại phương trình vi phân bậc cao thành: j a b d x (t ) = A x (t ) + B u (t ) dt (25.2) y (t ) = Cx (t ) + Du (t ) Trong A, B, C D ma trận số thực Tập phương trình vi phân bậc (25.2) coi biểu diễn không gian trạng thái Biến trạng thái x(t) vectơ cột chứa n a biến, n a bậc phương trình vi phân Kích thước ma trận (25.2) tương ứng với bậc phương trình vi phân mà thực khơng gian trạng thái nhận từ Để khái quát hóa, xét hệ nhiều đầu vào, nhiều đầu ra, xếp vectơ cột đầu vào u(t) kích thước m ´ vectơ cột đầu y(t) kích thước p ´ Cho vectơ trạng thái kích thước n a ´ , ma trận trạng thái A có kích thước n a ´ n a , ma trận đầu vào có kích thước n a ´ m , ma trận đầu C có kích thước p ´ n a , ma trận cấp thẳng (feedthrough) D có kích thước m ´ p Từ thấy thực khơng gian trạng thái theo (25.2) dễ dàng khái quát mơ tả mơ hình hệ thống nhiều đầu vào nhiều đầu Để minh họa khái niệm, xét phương trình vi phân: m d2 d y (t ) + c y (t ) + ky (t ) = u (t ) dt dt (25.3) Các miêu tả ứng xử động hệ thống xe kéo đưa hình 25.1 Phương trình vi phân (25.3) có nhờ định luật Newton cho khối lượng m xe với đầu vị trí y(t), lực lò xo ky(t), lực giảm chấn c(d/dt)y(t), đầu vào lực u(t) So sánh với (25.1), thấy n a = ³ nb = , biến (25.3) thành phương trình vi phân bậc hai Phương trình vi phân viết lại thành biểu diễn không gian trạng thái (25.2) cách định nghĩa biến trạng thái: éy (t ) ù ê ú ú x (t ) := êd ê y (t )ú êëdt ú û 25-2 Đáp ứng hệ thống đông HÌNH 25.1 Một cách biểu diễn hệ xe kéo hệ động với khối lượng xe m, số lò xo k, số giảm chấn c Bao gồm vị trí tốc độ khối lượng Với biến trạng thái này, (25.3) viết lại thành: d x (t ) = dt é ê ê k êëê m y (t ) = éê1 ë 1ù ú d úúx (t ) + m ûú é0 ù ê ú ê úu (t ) ê1 ú ëêm ûú 0ùúx (t ) + 0u (t ) û Từ dẫn mơ hình khơng gian trạng thái tương đương với (25.2) Trong trường hợp này, kích thước ma trận trạng thái A ´ , ma trận đầu vào B ´ , ma trận đầu C ´ , ma trận cấp thẳng D = vô hướng Hệ thống rời rạc Mơ hình hệ thống rời rạc xấp xỉ miêu tả ứng xử liệu lấy mẫu hệ thống liên tục động Trong số ứng dụng, điều khiển số, hệ thống điều khiển động rời rạc Trong trường hợp này, cần thiết phải phân tích với mơ hình rời rạc tương đương Với mục đích phân tích, đầu vào u(t) đầu y(t) giả thiết lấy mẫu đoạn thời gian rời rạc nhau: t = kD T , k = 0, 1, 2, Trong D T thời gian lấy mẫu Để thống kí hiệu suốt q trình phân tích, thời gian lấy mẫu D T chuẩn hóa tới D T = phụ thuộc thời gian t giả thiết rời rạc với t = k = 0,1, K Cho liệu vào/ra rời rạc trích mẫu, mơ hình rời rạc tuyến tính biểu diễn dạng phương trình sai phân: nc å j= o nd (25.4) ck y (k + j ) = å dk u (k + j ) j=o Trong tổ hợp tuyến tính tạo thành từ đầu vào u(k) đầu y(k) dich theo thời gian dương Để phân biệt phương trình vi phân từ phương trình vi phân (25.1), giá trị thực vô hướng cj với j = 0, K , n c , cn ¹ d j với j = 0, K , n d , dn ¹ sử dụng Đầu vào u(k) phân biệt từ đầu y(k) (25.1) yêu cầu n c ³ n d Kết n c thời gian dịch lớn đầu y(k) n c sử dụng để bậc phương trình sai phân c d 25-3 Sổ tay Cơ điện tử Sự đơn giản mà với phương trình sai phân biểu diễn cho phép biểu diễn (25.4) dạng đại số Việc đưa toán tử dịch thời gian: (25.5) qu (k ) := u (k + 1) cho phép (25.4) viết lại dạng đại số: nc nd y (k ) å c j q j = u (k ) å d j q j j= j= Theo phân tích này, đầu rời rạc y(k) biểu diễn mơ hình sai phân: y (k ) = G (q)u (k ), with G (q) = å å nd j= nc j= d jq j cj q j (25.6) số thực vơ hướng cj với j = 0, K , n c , cn ¹ d j với j = 0, K , n d , dn ¹ tử số mẫu số tương ứng Tương tự với hệ thống liên tục, phương trình sai phân bậc cao (25.4) viết lại thành thành tập phương trình sai phân bậc nhấtcho mục đích phân tích Điều thực cách đưa biến trạng thái x(k) phương trình viết lại thành: c d (25.7) qx (k ) = Fx (k ) + Gu (k ) y (k ) = Hx (k ) + Ju (k ) Trong qx (k ) = x (k + 1) , theo (25.5) Biến trạng thái x (k ) vectơ cột chứa n c biến, n c bậc phương trình sai phân Các ma trận khơng gian trạng thái (25.7) kí hiệu khác để phân biệt chúng với mơ hình khơng gian trạng thái liên tục Biến đổi Laplace biến đổi z Một khái niệm toán học quan trọng việc phân tích mơ hình miêu tả phương trình vi phân tuyến tính (25.1) (25.2) biến đổi Laplace Như trước đó, biến đổi Laplace biến phương trình vi phân tuyến tính thành biểu thức đại số Với phép biến đổi này, thao tác đại số sử dụng để khơi phục lời giải phương trình vi phân Tương tự, biến đổi z sử dụng cho mơ hình rời rạc miêu tả phương trình sai phân Mặc dù (25.6) phương trình sai phân viết biểu thức đại số, biến đổi z cho phép phân tích phức tạp mơ hình rời rạc Biến đổi Laplace tín hiệu u(t) định nghĩa là: ¥ L {u (t )} := u (s ) = ò u (t )e - st dt (25.8) t= Trong tích phân t loại trừ phụ thuộc thời gian biến đổi u(s) cịn hàm biến Lapalce Tích phân (25.8) tồn với hầu hết tín hiệu thơng dụng u(t), với điều kiện theo s Để minh họa, xét tín hiệu step: ìï 0, u (t ) := ïí ïï 1, ỵ 25-4 t < t³ Đáp ứng hệ thống đơng Trong dạng u(t) giống với thay đổi đổi bậc thang tín hiệu đầu vào Với định nghĩa biến đổi Laplace (25.8) biến đổi tín hiệu bước trở thành: ¥ u (s ) = ị t= u (t )e - st dt = ¥ ị t= e - st dt = - e - st s ¥ = s Trong giả thiết phần thực s lớn khơng, (25.9) lim t đ Ơ e st = Nu tín hiệu u(k) có điểm thời gian rời rạc k = 0,1, K , cơng thức tích phân (25.8) khơng thể sử dụng Thay vào đó, biến đổi tương tự với biến đổi Laplace dùng ký hiệu biến đổi z Biến đổi z tín hiệu thời gian rời rạc u(k) định nghĩa là: ¥ å L {u (k )} := u (z ) = (25.10) u (k )z - k k= Chuỗi (25.10) hội tụ giả thiết tồn giá trị r1 ru với r1 < z < ru giới hạn biên độ biến phức z Biến đổi z hệ thống rời rạc có nguyên tắc biến đổi Lapalace hệ thống liên tục Trong trường hợp lấy mẫu, biến phức z biến đổi z có liên quan với biến phức s biến đổi Laplace qua: (25.11) z = es DT Trong mãn: DT thời gian lấy mẫu Cả biến đổi Laplace z tuyến tính thỏa L {a u (t ) + b y (t )} = a L {u (t )} + b {y (t )} (25.12) biến đổi hầu hết hàm thông dụng tính tốn trước lập thành bảng cách dùng định nghĩa (25.8) tính chất tuyến tính (25.12) Phân tích phương trình vi phân tuyến tính (25.1) (25.2) biến đổi Laplace đạo hàm: L {dtd u(t )}= ị ¥ t= d u (t )e - st dt dt = u (t )e - st ¥ ¥ + ị u (t )e - st dt t= = su (s ) - u (0) Với u(0) = thấy biến đổi Laplace đạo hàm u(t) đơn giản s lần biến đổi Laplace u(s) Kết triển khai với đạo hàm bậc cao với đạo hàm bậc n kết là: L dn u (t ) = s n u (s ) dt n { } n å sn- j j=1 d j- u (t ) dt j - t= Trong trường hợp tín hiệu u(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu không: d j- u (t ) dt j - = t= for j = 1, ., n Công thức rút gọn thành: n L {dtd u(t )}= s u(s) n n 25-5 Sổ tay Cơ điện tử biến đổi Laplace đạo hàm bậc n đơn giản sn lần biến đổi u(s) Với hệ thống rời rạc, biến đổi z tín hiệu dịch theo thời gian quan tâm Tương tự biến đổi Laplace, biến đổi z tín hiệu dịch theo thời gian n lần tính tốn cho bởi: n- L {q n u (k )} = z n u (z ) - å z n - j u( j ) j= Trong trường hợp tín hiệu rời rạc u(k) thỏa mãn điều kiện ban đầu không u ( j ) = với j = 0, K , n - , cơng thức rút gọn thành: L {q n u (k )} = z n u (z ) Và biến đổi z tín hiệu rời rạc dịch theo thời gian n lần đơn giản zn lần biến đổi u(z) Mơ hình hàm truyền đạt Kết biến đổi z biến đổi Laplace sử dụng để rút gọn phương trình vi phân (25.1) phương trình sai phân (25.4) thành biểu thức đại số Bắt đầu với phương trình vi phân cho mơ hình liên tục giả thiết điều kiện ban đầu không cho đầu vào u(t) đầu y(t), biến đổi Laplace (25.1) là: na nb y (s )å a j s j = u (s )å bj s j j= j= Có thể viết lại dạng hàm truyền đạt sau: Y (s ) = G (s )u (s ), with G (s ) = å å nb b sj j= j na j= ajs j (25.13) Trong (25.13), hàm truyền đạt G(s) tỉ số đa thức tử số å nj = bj s j mẫu số n å j = a j s j Như trước, số thực vô hướng a j với j = 0, K na , an ¹ bj với j = 0, K n b , bn ¹ , gọi hệ số đa thức tử mẫu tương ứng b a a b Tương tự với mô hình rời rạc, giả thiết điều kiện ban đầu không với đầu vào u(t) đầu y(t), biến đổi z cho (25.4) là: nc nd y (z )å c j z j = u (z )å bj z j j= j= Có thể viết lại dạng hàm truyền đạt sau: nb å y (z ) = G (z )u (z ), with G (z ) = cj z j (25.14) j= na å ajz j j= Từ biểu diễn hàm truyền đạt, điểm cực điểm không hệ thống động tính để phân tích hệ thống Các điểm cực hệ thống định nghĩa nghiệm đa thức mẫu số Các điểm không hệ thống định nghĩa nghiệm đa thức tử số 25-6 Đáp ứng hệ thống đông Biến đổi Laplace biến đổi z sử dụng để rút gọn biểu diễn không gian trạng thái tập biểu thức đại số bao gồm (cặp) đa thức bậc Giả thiết điều kiện ban đầu không cho vectơ trạng thái x(t), biến đổi Laplace cho (25.2) là: sx (s ) = A x (s ) + B u (s ) y (s ) = Cx (s ) + Du (s ) Trong vectơ trạng thái x(t) bị khử Lời giải cho x(s) đưa x (s ) = biến đổi viết lại thành biểu diễn hàm truyền đạt: with G (s ) = D + C (sI - A )- B y (s ) = G (s )u (s ), (sI - A )- B u (s ) (25.15) Với điều kiện kỹ thuật không khắt khe liên quan đến khả điều khiển quan sát mơ hình khơng gian trạng thái, biểu diễn hàm truyền đạt (25.13) (25.15) tương tự trường hợp mơ hình khơng gian trạng thái (25.2) nhận từ phương trình vi phân (25.1) ngược lại 25.2 Đáp ứng động học Biến đổi z Laplace đưa khả tính tốn đáp ứng động hệ thống động phép biến đổi đại số Việc phân tích đáp ứng động mang lại am hiểu sâu ứng xử động hệ thống cách phân tích đáp ứng với tín hiệu kiểm tra điển tín hiệu bước (step), tín hiệu xung (impulse), tín hiệu sin hệ thống Đáp ứng tính tốn cho hệ thống liên tục tương đối đơn giản hệ rời rạc cho phương trình vi phân sai phân bậc thấp Cả mơ hình khơng gian trạng thái mô tả hàm truyền đạt đưa cách biểu diễn có ích phân tích hệ thống động Các kết trình bày Đáp ứng xung bước Một cách đánh giá đáp ứng hệ thống động sử dụng tín hiệu kiểm tra dạng xung bước Đối với hệ liên tục, tín hiệu xung đầu vào định nghĩa hàm d ïì ¥ , t = ïü ï u imp (t ) = d(t ) = ïí ý t ¹ 0ïï ïï ợ ỵ Vi tớnh cht: Ơ ũ t=- Ơ f (t )d(t ) = f (0) Trong f (t ) hàm khả tích (- ¥ , ¥ ) Mặc dù tín hiệu xung khơng thực tế theo quan điểm thực nghiệm tính tốn mô đáp ứng xung đưa hiểu biết ứng xử độ hệ thống động Với thuộc tính hàm xung d(t ) đề cập trên, biến đổi Laplace hàm xung cho bởi: ¥ L {d(t )} = d(s ) = ò d(t )e - st dt = e - s = t= 25-7 Sổ tay Cơ điện tử Vì vậy, đầu y(s ) đầu vào xung cho yim p (s ) = G (s )u imp (s ) = G (s )d(s ) = G (s ) Từ có biến đổi Laplace ngược tức thời hàm truyền đạt liên tục G (s ) , y im p (t ) = L- {G (s )} đưa đáp ứng động y im p (t ) hệ thống tới đáp ứng đầu vào xung Việc tính đáp ứng bước thực theo cách tương tự Theo (25.9), biến đổi Laplace tín hiệu bước là: ìï 0, u step (t ) := ïí ïï 1, ỵ cho u step (s ) = 1/ s Vì vậy, với t< t ³ y step (s ) = G (s )u step (s ) = G (s ) / s , biến đổi Laplace ngược G (s ) / s ïì G (s ) ïïü y step (t ) = L- ïí ý ïỵï s ùỵù s to ỏp ng ng y step (t ) hệ thống với đáp ứng đầu vào bước Trên quan điểm thực tế, việc tính biến đổi Laplace ngược bị giới hạn tới mơ hình bậc thấp (bậc hai) Tuy nhiên, kết đưa hiểu biết ứng xử tổng quát hầu hết hệ thống động Điều minh họa ví dụ sau Xét mơ hình liên tục bậc cho hàm truyền: G (s ) = K ts + K t tương ứng hệ số khuyếch đại tĩnh số thời gian hệ thống Một hàm truyền có từ mạng RC đơn giản với t = RC Để tính đáp ứng bước hệ thống, biến đổi Laplace ngược G (s ) / s cần tính tốn Biến đổi Laplace ngược cho bởi: ïì G (s ) ïü K y step (t ) = L- í (1 - e - t / t ) ý= ïỵï s ùỵù t v cú th thy rng ỏp ng bc hàm mũ Để ổn định, số thời gian τ cần thỏa mãn τ>0 Cũng thấy số thời gian nhỏ tốc độ đáp ứng nhanh 25-8 Đáp ứng hệ thống đơng Hình 25.2 Sự biến thiên đáp ứng xung y im p (t ) hệ bậc hai với wn = b = 0.1(d ), 0.2(à ), 0.4(+ ), 0.6(*), 0.8(W) Hình 25.3 Sự biến thiên đáp ứng xung y im p (t ) hàm bậc hai với b = 0.4 wn = 2(d ), 4(à ), 6(+ ), 8(*), 10(W) Xét mơ hình liên tục bậc hai cho hàm truyền: G (s ) = wn2 s + 2bwn s + wn2 (25.16) ωn β tương ứng tần số cộng hưởng không tắt dần hệ số tắt dần hệ thống Mơ hình nhận từ ứng xử động hệ xe kéo mơ tả hình 25.1 cho (25.3) Với β β > ωn lớn, tín hiệu hình sin giảm nhanh, tần số đáp ứng yim p (t ) cao Đáp ứng xung hệ bậc hai mơ tả hình 25.2 25.3 biến thiên 25-9 Sổ tay Cơ điện tử tần số cộng hưởng không tắt dần ωn hệ số tắt dần β minh họa ứng xử động hệ thống Với hệ thống rời rạc, phân tích đáp ứng xung dựa hàm xung rời rạc: ïì 1, k = u imp (k ) := d(k ) = ïí ïï 0, k ¹ ỵ có giá trị k = không với giá trị khác k Tín hiệu bước tương đương với tín hiệu liên tục cho bởi: ïì 1, k < u step (k ) := ïí ïï 0, k ³ ỵ Để mơ tả đáp ứng xung rời rạc bước, thủ tục tương tự với mơ hình liên tục dẫn cách sử dụng biến đổi z Có thể dễ dàng thấy biến đổi z tín hiệu xung uimp (z ) = biến đổi z tín hiệu bước ustep z = z / (z - 1) Vì đáp ứng hệ thống rời rạc với tín hiệu xung bước là: ì G (z )z ïü y step (k ) = L- ùớ ý ùợù z - ùỵù y im p (k ) = L- {G (z )}, Ngoài ra, phương pháp sử dụng biến đổi z, tỉ số đa thức mơ hình sai phân (25.6) viết theo khai triển dạng chuỗi G (q) = Với hàm xung rời rạc u imp (k ) nd å å j= nc d jq j cq j= j j ¥ gkq - k å = j= đầu vào, thấy rằng: ¥ y im p (k ) = å gk q - k d(k ) = gk j= Và kết luận đáp ứng xung yimp (k ) hệ số khai triển chuỗi phương trình sai phân Tương tự vậy, với hàm bước rời rạc ustep (k ) đầu vào, thấy rằng: k ¥ y im p (k ) = å gk q - k u step (k ) = å gk j= j= Và kết luận giá trị đáp ứng bước ystep (k ) tính tổng hữu hạn hệ số khai triển chuỗi phương trình sai phân Việc tính đáp ứng xung rời rạc cho mơ hình rời rạc bậc đưa ví dụ sau: Xét mơ hình rời rạc bậc cho mơ hình sai phân: G (q) = q+ d Trong d số thời gian rời rạc hệ thống Khai triển chuỗi mơ hình sai phân tính sau G (q) = 25-10 = q- d ¥ å j= dj Đáp ứng hệ thống đơng thấy đáp ứng xung rời rạc: y im p (k ) = d k hàm mũ Để ổn định, số rời rạc d cần thỏa mãn d < Tương tự mơ hình liên tục, thấy số thời gian nhỏ, đáp ứng nhanh Hơn nữa, mơ hình rời rạc bậc biểu diễn dao động trường hợp 1< d