Các ứng dụng cơ điện tử được phân biệt bởi chuyển động được điều khiển của các hệ cơ học liên kếtvới các cơ cấu chấp hành và các đầu đo. Mô hình hóa đóng vai trò để hiểu xem các tính chất và sự thểhiện của các thành phần cơ học và các hệ ảnh hưởng đến toàn bộ thiết kế hệ cơ điện tử như thế nào.Chương này điểm lại các phương pháp dùng cho mô hình hóa các hệ của các thành phần cơ học kết cấu,đầu tiên hạn chế việc ứng dụng cho các phần tử cơ bản quay và tịnh tiến, đặc trưng cho một lớp khá rộngcủa ứng dụng cơ điện tử. Phần cơ sở của chuyển động cơ học (động học) được xem như đã biết và khôngnhắc lại ở đây, việc thảo luận và nhấn mạnh nhiều hơn giành cho vấn đề động lực học của hệ. Nhữngứng dụng nâng cao hơn phụ thuộc vào các chuyển động hai, ba chiều được trình bầy trong mục 9.6.
9 Mơ hình hóa hệ học cho ứng dụng điện tử Raul G Longoria The University of Texas at Austin 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 Mở đầu 9-1 Mơ hình hóa hệ học hệ điện tử 9-1 Mô tả thành phần mơ hình học 9-7 Các định luật vật lý cho tạo lập mơ hình 9-19 Phương pháp lượng cho mô hình hố hệ học.9-28 Động lực học vật rắn nhiều chiều 9-30 Hệ phương trình Lagrange 9-45 9.1 Mở đầu Các ứng dụng điện tử phân biệt chuyển động điều khiển hệ học liên kết với cấu chấp hành đầu đo Mơ hình hóa đóng vai trị để hiểu xem tính chất thể thành phần học hệ ảnh hưởng đến toàn thiết kế hệ điện tử Chương điểm lại phương pháp dùng cho mơ hình hóa hệ thành phần học kết cấu, hạn chế việc ứng dụng cho phần tử quay tịnh tiến, đặc trưng cho lớp rộng ứng dụng điện tử Phần sở chuyển động học (động học) xem biết không nhắc lại đây, việc thảo luận nhấn mạnh nhiều giành cho vấn đề động lực học hệ Những ứng dụng nâng cao phụ thuộc vào chuyển động hai, ba chiều trình bầy mục 9.6 Các hệ học khái quát vật thể rắn vật thể đàn hồi chuyển động tương nhau, phụ thuộc vào kết nối thành phần hệ khớp nối, giảm chấn thiết bị thụ động khác Chương tập trung vào hệ biểu diễn dùng mô tả tham số tập trung, vật thể xem vật thể rắn, khơng địi hỏi phải xét đến hiệu ứng đàn hồi Việc mơ hình hóa hệ học,nói chung, đạt đến trình độ cao thục, dựa phương pháp kinh điển bắt nguồn từ định luật chuyển động Newton Lợi ích có từ kiến thức to lớn mạnh mẽ phát triển cho vấn đề phạm vi từ hệ khối lượng-lò xo đến hệ nhiều vật phức tạp Trong vật lý sở hiểu tốt, tồn nhiều phương pháp đường lối khác để đến kết cuối Điều đặc biệt nẩy sinh nhu cầu lập mơ hình hệ nhiều vật, địi hỏi phải đầu tư đáng kể phương pháp cho việc tạo lập giải phương trình chuyển động Các áp dụng không nằm khuôn khổ chương này, tập trung vào việc mơ hìmh hóa hệ tương đối phức tạp, quan tâm cho nhà thiết kế nhà phân tich hệ điện tử 9.2 Mơ hình hóa hệ học hệ điện tử Các bước mơ hình hóa hệ vật lý bao gồm xác định biên giới hệ, nhận dạng phận tách sau kết hợp lại Trong hệ học, phân tích thường trang bị nhận dạng điểm hệ có vận tốc phân biệt Vì mục đích phân tích, 9-1 Metechvn.com Sổ tay Cơ điện tử lực mô men chủ động đặt điểm này, chúng thể tương tác lượng biên giới hệ Các lực mô men tác dụng điển hình cấu chấp hành phải biểu diễn tải trọng khác tác dụng môi trường Một phận học mơ hình hóa khối lượng điểm vật thể rắn dễ dàng nhận dạng vận tốc nó, phụ thuộc vào số lượng vật thể tính phức tạp chuyển động mà cần phải đưa vào hệ tọa độ để mô tả động học cách hình thức ( chẳng hạn xem [12] [15]) Qua phân tích động học, vận tốc bổ sung ( liên quan) nhận dạng để liên kết chuyển động thành phần học bổ sung lò xo, giảm chấn và/hoặc cấu chấp hành Sự tương tác phận học nói chung phụ thc vào dạng hình học Thật vậy, phụ thuộc hệ học vào hình học, nhiều trường hợp làm phức tạp phân tích địi hỏi khảo sát đặc biệt điều khiển hệ phức tạp Mô tả sơ hệ học nên tính đến liên kết trạng thái chuyển động, chúng hàm thời gian thân trạng thái Trong nhiều trường hợp thực tế, động lực học hệ học phụ thuộc vào tác dụng liên kết Việc định lượng tính tốn liên kết quan trọng bậc nhất, đặc biệt động lực học hệ nhiều vật, có trường phái suy nghĩ khác phát triển mơ Cuối cùng, việc định phương pháp riêng phụ thuộc vào mục tiêu ứng dụng sở thích người Thành lớp hệ tương đối lớn hiểu mơ hình hố việc nắm vững chuyển động quay quanh trục cố định chuyển động tịnh tiến chiều Các hệ mơ hình hoá dùng phương pháp phù hợp với phương pháp dùng để nghiên cứu hệ khác, hệ thuỷ lực hệ điện Hơn việc xây dựng mơ hình hệ điện tử kết nối thuận lợi thường dễ dàng người phân tích hệ để nhận thức phân tích mơ hình Tóm lại hiểu (a) thành phần hệ kết nối chúng (kể phụ thuộc vào hình học), (b) lực mơ men tác dụng (c) vai trò liên kết, phát triển, phương trình động lực học dựa theo Newton thiết lập Phần cịn lại mục giới thiệu lựa chọn biến vật lý phù hợp với dòng lực phương pháp dựa vào lượng để mơ hình hố hệ học quay tịnh tiến Để làm việc phương pháp đồ thị kết nối [28,3,17] giới thiệu để phát triển mơ hình hệ học Điều cung cấp sở cho việc giới thiệu khái niệm nhân quả, đạt quan hệ vào – biến chuyền lực hệ Phương pháp đồ thị kết nối cung cấp phương thức để hiểu lập mô hình tốn học hệ học phức tạp phù hợp với miền lượng khác (điện, điện, nhiệt, chất lỏng, hoá học, ) Các biến vật lý kết nối công suất Cơ sở lượng công suất Một cách để tách kết nối hợp lý mơ hình hệ dùng biến lượng công suất để định lượng tương tác hệ, minh hoạ hệ học hình 9.1(a) Trong hình cổng dịng cơng suất cho tích lực vận tốc, F.V, cổng khác công suất tích mơ men vận tốc góc, T. Các biến liên kết cơng suất (tức tích chúng sinh cơng suất dọc theo chúng dùng cho miền lượng thuỷ lực điện tóm tắt bảng 9.1 Tương tự biến lực (e) dòng (f) nhận dạng lĩnh vực lượng tương tự biến lực dịng nhận dạng miền lượng quan tâm khác (nhiệt, từ, hoá, ) Cơ sở đảm bảo cho mơ hình xác lượng cung cấp phương pháp phù hợp để hiệu chỉnh đồng thời phần tử hệ Trong việc mơ hình hố hệ lượng, tính liên tục lượng dùng sở để phân loại định lượng hệ PAYNTER [28] phương trình liên tục lượng với khái niệm cổng xác định thận trọng, cung cấp sở cho khung mơ hình hố tổng quát đẫn đến phương pháp đồ thị kết nối Phương trình lưới paynter tính liên tục lượng l m Pi i 1 9-2 j 1 dE j dt n ( Pd ) k k 1 (9.1) Mơ hình hóa hệ học cho ứng dụng điện tử nhận dạng nhanh chóng l dịng cơng suất phân biệt, Pi, m tầng lượng phân biệt Ej, n gọi giảm lượng phân biệt, Pd Việc mô hình hố tìm kiếm xác việc mơ tả từ điểm Ví dụ hệ khối lượng – lò xo - giảm chấn đơn giản, khối lượng lị xo tích trữ lượng, giảm chấn hao tán lượng kết nối phần tử mơ tả dịng cơng suất chúng Một vài chi tiết hoàn thiện bước mơ hình hóa trình bầy mục sau Bảng 9.1 Các biến công suất lượng cho hệ học Miền lượng suất, P Lực, e Tổng quát [W] Tĩnh tiến [Nm/sec,W] Quay [Nm/sec,W] e f Lực, F[N] Vận tốc,V[m/sec] Điện [W] Thủy lực P.Q[W] Dịng, f Mơ men, T Cơng e.f F.V T. Vận tốc góc, [Nm] [rad/sec] Điện thế, v[V] Cường độ dòng, i[A] Áp suất, P[Pa] v.i Tốc độ dịng Q[m3/sec] Hình 9.1 Sự kết nối hệ dùng biến công suất Một phương pháp thực xác định phân loại phần tử hệ dựa phương trình liên tục lượng chia lưới (9.1) Ví dụ, xét hệ bao gồm vật thể rắn kho trữ lượng (đặc biệt động năng), Pd=0 (ta thêm vào sau), nói chung, có l cổng mang lượng vào hệ trữ lượng (cả động năng) túy này, hệ có m đường riêng biệt để đưa lượng vào vật thể rắn Đó khái niệm tổng quát, phù hợp với nhiều cách khác để lập mơ hình hệ vật lý Tuy nhiên, sở cung cấp đường tổng quát để lập mơ hình tích phân loại khác hệ lượng Sơ đồ động chiều nam châm vĩnh cửu (PMDC) cho hình 9.1(b) minh họa biến cơng suất dùng để nhận dạng điểm kết nối Ví dụ dùng để nhận dạng cần thiết cho mơ hình hóa cấu, tương tác điện (EM), biểu diễn trao đổi lượng phần hệ Mơ hình biểu diễn mối quan hệ đơn giản hóa dịng lượng điện, v.i, dịng lượng cơ, T., tạo nên sở cho mơ hình động Hơn nữa, mối quan hệ bảo tồn cơng suất lý tưởng, chứa dịng cơng suất phương trình liên tục lượng, khơng có tích trữ hao tán Các hiệu ứng vật lý bổ sung đưa vào sau Dịng tín hiệu cơng suất 9-3 Sổ tay Cơ điện tử Trong tạo lập đồ thị kết nối động PMDC, kết nối công suất dùng để nhận dạng dịng cơng suất Những kết nối cơng suất định lượng dịng cơng suất qua cặp dịng lực, ghi nhãn kết nối hình 9.2(a) ( quy ước gọi lực nhận vị trí bên định hướng kết nối) Đó mơ hình đồ thị kết nối lời, dạng dùng để nhận dạng phần tử mơ hình hệ phức tạp Ở giai đoạn mơ hình, có tương tác hệ đa cổng thể hình dáng chung Việc thêm nửa mũi tên vào kết nối cơng suất xác định hướng dịng cơng suất hệ (dương theo chiều mũi tên) Các kết nối tín hiệu dùng giản đồ hệ điều khiển, có mũi tên đầy đủvà dùng mơ hình đồ thị kết nối để tương tác truyền đạt thông tin (hoặc cơng suất bỏ qua) đa cổng Ví dụ, đồ thị kết nối lời hình 9.2(b) tín hiệu từ khối học thể phép đo lý tưởng truyền đến điều khiển tín hiệu túy Bộ điều khiển có tín hiệu tín hiệu dịng cơng suất, đóng kín phương diện điện mơ hình Các giản đồ khái niệm tiện dụng cho việc hiểu truyền qua khâu nối hệ, không dầy đủ thích ứng để định lượng thể hệ Hình 9.2 Mơ hình đồ thị kết nối theo cơng suất (a) Đồ thị kết nối chữ động PMDC, thị kết nối chữ động PMDC với điều khiển (b) Đồ Trong việc dùng công suất lượng thuận lợi việc tạo lập mơ hình hệ thống hệ học, chuyển động tới hạn cho việc nhận dạng khâu nối tạo lập mơ hình tốn học định lương Đối với nhiều hệ quay tĩnh tiến học cần dựa khái niệm chuyển động chiều chuyển động tương đối để nhận dạng tương quan nhiều loại thành phần thực tế Sự nhận dạng kết cấu dạng lưới hệ sở cho việc xây dựng tương tự điện thời gian Các phương pháp này, phương pháp phân tích dịng tín hiệu, khơng trình bầy phương pháp chọn số cách tiếp cận đến động lực học hệ Các mơ hình đồ thị kết nối trình bầy, mục sau quán với việc tạo lập hệ học phức tạp động lực học chiều việc dùng mô hình Lagrange Sự cần thiết sở chuyển động Trong mơ hình hóa hệ quay tĩnh tiến học, quan trọng nhận dạng cấu hình thay đổi nào, hệ tọa độ phải xác định hiệu ứng thay đổi hình học phải nhận dạng Giả thiết rằng, độc giả quen với khái niệm này[12] Thơng thường cấu hình gốc xác định tọa độ dựa vào Đó yếu chuyển động tĩnh tiến chiều đơn giản hay chuyển động quay quanh trục cố định Số tối thiểu tọa độ độc lập hình học cần thiết để mơ tả cấu hình hệ xác định cách truyền thống bậc tự Các liên kết cần nhận dạng dùng để chọn tập tọa độ thuận lợi để mô tả hệ Chúng ta phân biệt bậc tự số tối thiểu biến trạng thái động cần thiết để mô tả hệ Chúng liên hệ với nhau, khơng thiết trùng số lượng (ví dụ, hệ bậc hai có biến trạng thái, hệ bậc tự do) 9-4 Mơ hình hóa hệ học cho ứng dụng điện tử Một minh họa hồn hảo lợi ích bậc tự do, liên kết vai trò khái niệm mơ hình hóa thực hóa hệ thực hình 93 Minh họa (theo Matschinsky [22]) bốn phương pháp khác để cấu hình treo bánh xe Trường hợp (a), tạo nên sở cho mơ hình ¼ - xe ơtơ rõ ràng có bậc tự Cũng cho trường hợp (b) (c) có liên kết rút bớt số tọa độ xuống cho trường hợp Cuối trục xe dạng dầm cứng phải có hai bậc tự chuyển động đứng quay dầm để đạt bậc tự bánh Hình 9.3 Các loại treo bánh xe: (a) chuyển động đứng, DOF (bậc tự do); (b) trục xe đảo với chuyển vị đứng ngang, DOF; (c) thiết kế nối thanh, chuyển động liên kết, DOF; (d) trục xe dạng dầm cứng, bánh chuyển động quay đứng, DOF Sự kết nối thành phần Trong chương dùng đồ thị kết nối để mơ hình hệ học Giống trình bày đồ thị khác dùng hệ động lực [33] phân tích hệ nhiều vật [30, 39], đồ thị kết nối đòi hỏi am hiểu thành phần mơ hình dùng đề biểu diễn hệ Tuy nhiên lần hiểu phương pháp đồ thị cung cấp phương pháp hệ thống để biểu diễn kết nối yếu tố hệ đa lượng Thêm vào đó, đồ thị kết nối cho chúng khơng dạng đồ thị tuyến tính : kết nối công suất thay nhánh, cổng thay nút [28] Hơn nữa, chúng bao gồm cách tiếp cận hệ thống nhân tính tốn Nhắc lại đường đơn giản biểu diễn dịng cơng suất, nửa mũi tên để xác định hướng dịng cơng suất dương Các nút đồ thị tuyến tính biểu diễn biến chéo (ví dụ vận tốc, điện thế, tốc độ dòng); Tuy nhiên đa cổng đồ thị kết nối biểu diễn yếu tố hệ có chức vật lý xác định sở lượng Các yếu tố mơ hình hệ biểu diễn khối lượng, lị xo, thành phần khác thảo luận mục sau Hai yếu tố mơ hình đóng vai trị cốt yếu mơ tả yếu tố mơ liên kết khớp-1 khớp-0 Đó yếu tố cổng lý tưởng hóa (bảo tồn cơng suất), biểu diễn quan hệ vật lý đặc biệt hệ, tiện dụng nối kết phần tử mơ hình khác Một điểm hệ học có vận tốc phân biệt thể khớp-1 Khi nhiều yếu tố mơ hình (như khối lượng) có vận tốc khớp-1 cho, điều kết nối chúng khớp-1 với liên kết cơng suất khớp-1 liên kết để bảo tồn cơng suất, chứng tỏ lực (lực, mômen) tất chỗ kết nối phải có tổng 0, tức Âei Điều minh họa hình 9.4 (a) Khớp-1 tạo lực cho phù hợp động học đưa vào phương pháp để biểu diễn đồ thị tổng hợp lực! Ví dụ hình 9.4 (b) ba hệ (các khối đánh nhãn 1,2,3) liên quan đến điểm vận tốc chung Trong đồ thị kết nối, ba hệ phải liên kết khớp-1 Chú ý quy ước liên kết theo nghĩa mũi tên cơng suất Với mục đích tương tự cho hệ điện khớp-1 coi chuỗi liên kết điện Bằng cách yếu tố liên kết vào khớp-1 đề có dòng (biến dòng) hợp lực suy khớp-1 tuân 9-5 Sổ tay Cơ điện tử theo định luật điện Kirchhoff Trong hệ học khớp-1 biểu diễn điểm hệ, thể vận tốc khối lượng, tổng hợp lực phát biểu định luật Newton (trong dạng D’Alembert) ÂF p Hình 9.4 minh họa thành phần với vận tốc chung kết nối Nhiều thành phần vật lý kết nối hình ảnh lực chung (lực mơmen) khớp-0 Ví dụ hai lò xo kết nối biến dạng liên tiếp mút đầu chúng có vận tốc kéo, nén khác nhau; nhiên chúng có lực chuyền qua đầu mút (các lị xo lý tưởng khơng khối lượng) Các thành phần hệ, có loại quan hệ này, biểu diễn đồ thị dùng khớp-0 Định nghĩa khớp-0 hình 9.5 (a) Các khớp-0 đặc biệt tiện lợi mơ hình hóa hệ học chúng dùng để mơ hình kết nối thành phần có chuyển động tương đối Ví dụ thiết bị hình 9.5 (b), giống lị xo có đầu mút chuyển động tương đầu mút (chú ý giả thiết bỏ qua khối lượng) Hình 9.4 Khớp-1 học: (a) định nghĩa bản, (b) ví dụ sử dụng khớp khơng khối lượng Hình 9.5 Khớp-0 học: (a) định nghĩa bản, (b) ví dụ sử dụng khớp khơng khối lượng Hình 9.6 (a) Lực đặc biệt từ S1 vào S2, (b) dòng đặc biệt từ S1 vào S2, (c) ví dụ xếp liên kết sở nhân đặt định nghĩa vật lý khớp-0 khớp-1 Định nghĩa khớp-0 suy tất kết nối có vận tốc khác nhau, nên khác dịng tạo để lập nên vận tốc tương đối V3 Tất kết nối có lực, nhiên lực phải tác dụng khớp-1, để nhận dạng vận tốc khác ví dụ Chẳng hạn, lò xo phải kết nối kết nối với khớp V3, hình 9.5(b), Vlß xo V3 9-6 Mơ hình hóa hệ học cho ứng dụng điện tử Các phần tử khớp-0 khớp-1 biểu diễn đồ thị cấu trúc đại số mô hình, với tham gia vật lý khác từ phù hợp động học (khớp-1) lực mơ men (khớp-0) Đồ thị phản ánh, điều hiểu tương quan thiết bị vật lý với đồ thị kết nối Có ưu việt tạo dựng đồ thị kết nối, dùng tính nhân để xây dựng mơ hình tốn học Chẳng hạn xem cơng trình Karnopp, Margolis, Rosenberg [17] Có mối quan hệ cho biến trực tiếp biến chéo, dùng phương pháp đồ thị tuyến tính [33] Nhân Mơ hình hóa đồ thị kết nối diễn đạt phương pháp luận thuật toán gắn bó nhận định nhân (xem Paynter[28], trang 126) Trong phạm vi mơ hình hóa đồ thị kết nối, nhân đưa đến mối quan hệ vào-ra biến kết nối công suất, phụ thuộc vào hệ liên kết với đầu mút kết nối Paynter đồng cần thiết khái niệm bị lôi mạnh mẽ vào tính tốn tương tự, lời giải dựa quan hệ xác định rõ tín hiệu Ví dụ, hệ S1 hình 9.6(a) nguồn lực biết, kết nối với hệ S2, phải xác định lực S2 đến lượt S2 phải trở lại biến dịng, f, kết nối liên kết hệ Trong đồ thị kết nối, quan hệ nhân thể nét vẽ đứng kết nối, hình 9.6(a) Nét vẽ đứng đầu mút kết nối lực xác định phần tử đa cổng liên kết đầu mút Trong hình 9.6(b), tính nhân đảo lại từ điều thể (a) Ví dụ hình 9.6(c) minh họa, tính nhân truyền qua đồ thị kết nối kết nối liên kết hệ Chú ý khớp-1 với đa cổng có kết nối xác định dịng khớp này, nên kết nối khác xác định lực khớp-1 Một khớp-0 đòi hỏi kết nối để xác định lực, tất kết nối khác xác định dòng Cũng lưu ý rằng, hướng dịng cơng suất dương không phân định kết nối Ở muốn nhấn mạnh ý nghĩa công suất xác định nhân kết nối độc lập với Xác định nhân mơ hình hệ áp dụng ví dụ sau Một thảo luận sơi quy trình xác định nhân (xem SCAP) tìm Rosenberg Karnopp [32] Karnopp, Margolis Rosenberg [17] Bằng cách dùng phần tử đồ thị kết nối xác định, việc phân định nhân làm cách hệ thống Qui trình lập trình nhiều gói phần mềm có giá trị thương mại, dùng đồ thị kết nối mơ tả hình thức mơ hình hệ vật lý Vì phát quan hệ vào-ra biến tất kết nối mơ hình hệ, nên tính nhân đốn nhận khả giải máy tính mơ hình đồ thị kết nối.Các kết dùng để số trạng thái động lực đòi hỏi hệ, đồ thị nhân tiện lợi việc đưa xác mơ hình học Ngay khơng rút phương trình, tính nhân dùng để đưa cách nhìn vật lý xem hệ làm việc 9.3 Mơ tả thành phần mơ hình học Các thành phần học hệ điện tử biểu thị diện chúng thông qua đáp ứng chuyển động phản ứng lực mô men đáng kể kết cấu đỡ, cấu chấp hành, sen sơ Khi hiểu đốn nhận thuộc tính đáp ứng này, xẩy kết hợp với hiệu ứng ma sát, đàn hồi qn tính, thu nhận chất tích lũy lương hao tán nhận dạng Sự nhấn mạnh đến hao tán tích lũy lượng dẫn đến định nghĩa hệ thống quan hệ thiết lập phần tử mơ hình hóa hệ học bản.Các phần tử mơ hình tạo thành sở cho việc xây dựng mơ hình hệ phi tuyến phức tạp cho việc xác định quan hệ trở kháng tiện lợi việc tạo lập hàm truyền Người ta coi định mơ hình hóa thực cho phần tử hao tán tích lũy lượng (động năng) nhận dạng để biểu diễn trung thực hệ quan tâm Hình mắt lưới phần q trình mơ hình hóa, đơi việc định nghĩa liên kết phần tử dễ dàng trực giác Trong mục này, xem lại phần tử mơ hình vào hệ học, sau xem xét phần tử hao tán thụ động phần tử tích lũy lượng Mục bàn phần tử kết nối dùng cho mô hình hóa bánh răng, địn bẩy 9-7 Sổ tay Cơ điện tử loại phần tử truyền lượng khác Chương kết thúc việc đưa vào quan hệ trở kháng cho tất phần tử Định nghĩa phần tử mơ hình học đầu vào đầu Trong mơ hình hóa hệ động lực, yêu cầu trước tiên xác định biên hệ, khái niệm mượn từ nhiệt động học Trong hệ học cô lập, biên hệ đồng với cổng, tín hiệu cơng suất qua cổng mô tả cặp liên hợp công suất vận tốc-lực vận tốc góc-mơ men Thật thuận lợi, tập trung vào mơ hình hóa hệ học, để làm sở cho tính nhân cổng Ví dụ, động gắn với cổng phải xác định mơ men biến đầu vào vận tốc góc đầu (sau động cơ) Điều quan trọng nhận giả thiết mơ hình Ta xác định phần tử đặc biệt nguồn lực, dịng gắn vào biên hệ quan tâm Các đầu vào phải biết lý tưởng hóa, chúng “đạo diện” mà sau ta gắn cho mơ hình cấu chấp hành sen sơ Trong trường hợp tính nhân xác định cổng cố định cho mơ hình hệ (bên trong) khơng thay đổi Nếu tính nhân thay đổi cần thiết phải tạo lập lại mơ hình Trong thuật ngữ đồ thị kết nối, thuật ngữ effort source sử dụng để định nghĩa thành phần rõ tác động nên vật lực momen Biểu trưng S e E dùng để thể nguồn lực đồ thị kết nối Hình 9.7 Hai trường hợp nguồn lực nguồn dòng đồ thị kết nối chữ Hình 9.8 (a) Quan hệ cấu thành điện trở (b) Ví dụ mơ hình điện trở giảm chấn Một nguồn dòng phần tử định rõ dòng kết nối, vận tốc tịnh tiến, vận tốc quay vận tốc góc, ký hiệu đồ thị kết nối Sf F Hai ví dụ nguồn hình 9.7 Chú ý kết nối có lực dịng xác định, phụ thuộc vào loại nguồn Tính nhân phần tử mơ hình ln ln biết, Hơn nữa, kết nối mang hai mẩu thông tin: (1) biến lực dòng định rõ nguồn, (2) phản ứng ngược tính nhân Ví dụ, chỗ kết nối với hình 9.7(b) nguồn định rõ liên kết vận tốc hệ, hệ này, đến lượt nó, lại xác định lực phản hồi tới Sự trình bầy mang tính chất biểu trưng nhấn mạnh chất nhân mơ hình đồ thị kết nối nhấn mạnh biến có giá trị cho việc kiểm tra Trong trường hợp lực tác dụng lại phải biến đầu tới hạn 9-8 Mơ hình hóa hệ học cho ứng dụng điện tử Hiệu ứng hao tán hệ học Các hệ học hao tán lượng ma sát tiếp xúc trượt, giảm chấn (thụ động hay tích cực), thơng qua tương tác với miền lượng khác nhau( tải thủy lưc, cản dịng xốy) Các hiệu ứng khơng thuận nghịch mơ hình hóa hàm lực vận tốc mô men vận tốc góc Trong trường hợp tích biến lực-dịng biểu diễn cơng suất bị hao tán, Pd e f , lượng tổng thể bị hao tán Ed Pd dt e f dt Năng lượng xác định cho hàm bản, e f , đồ thị hình 9.8(a) Chúng ta coi quan hệ thiết lập trở kháng bản, chứa đựng hạn chế quy định định luật thứ hai nhiệt động lực học; e f Một giảm chấn học điển hình, theo mơ tả mơ hình loại trở kháng, tóm tắt hình 9.8(b) Trong mơ hình đồ thị kết nối, phần tử trở kháng ký hiệu phần tử R, mơ hình phần tử-R đa cổng, tổng quát hóa hình 9.9(a) Chú ý phần tử R phân biệt khả biểu diễn tích en-trơ-pi hệ Trên phần tử R, cổng nhiệt kết nối ra, hướng công suất từ R luôn dương Trong hệ nhiệt, nhiệt độ, T, biến lực tốc độ dịng en-trơ-pi , fs, biến dịng Để tính tốn nhiệt sinh phần tử R, kết hợp tính tốn Q (nhiệt điện watt) = T.fs =iei.fi n cổng Hình 9.9 (a) Phần tử đồ thị kết nối trở kháng (b) Tính nhân trở kháng dẫn suất Hình 9.10 (a) mặt tiếp xúc trượt (b) Mơ hình đồ thị kết nối với nhân suy vận tốc đầu vào biết Hệ gắn với phần tử trở kháng qua kết nối cơng suất nói chung xác định nhân kết nối này, phần tử trở kháng nói chung khơng có dạng nhân gốc.1 Hai trường hợp phần tử cổng R cho hình 9.9(b) Sơ đồ khối nhấn mạnh phương diện tính tốn tính nhân Ví dụ, trường hợp trở kháng, dịng (hoặc vận tốc) đầu vào biết , nên công suất bị hao tán Pd e f f f Đối với cản tuyến tính, F b V , nên Pd F V b V W Trong hệ học, nhiều hiệu ứng ma sát rút chuyển động tương đối Do đó, việc nhận dạng hiệu ứng hao tán cấu hệ học đòi hỏi nhận dạng biến chuyển động tới hạn Hãy xét ví dụ mặt phẳng trượt lên với vận tốc khác nhận dạng khớp-1, hình 9.10(a) Khi nhận dạng mặt với vận tốc V1, mặt với vận tốc V2 cấu trúc đơn giản hình 9.10(b) phần tử R kết nối vận tốc tương đối V3 Điều ghi nhận tính hợp lý thuyết nhân Hai vận tốc kết nối khớp-0 tạo thành vận tốc Điều với hầu hết trường hợp Các phần tử tích lũy lượng sau, có dạng nhân để dễ dàng mơ tả công thức 9-9 Sổ tay Cơ điện tử tương đối, đầu vào cho R Cịn đầu lực F3, tính từ quan hệ F V3 Khớp-1 tạo lập để biểu diễn V3 bị loại có phần tử đơn gắn vào Trong trường hợp này, R thay khớp-1 Khi mối quan hệ dịng-lực tuyến tính, số tỷ lệ trở kháng, hệ học đại lượng thường số cản (giảm chấn) Cản tuyến tính xuất trường hợp hai mặt phân cách chất lỏng trượt tương sinh dịng nhớt thành lớp Trong trường hợp lực vận tốc tương đối có quan hệ tuyến tính, tính chất hình học vật liệu toán định lượng số cản tuyến tính Bảng 9.2 tổng kết phần tử cản quay tịnh tiến, bao gồm trường hợp tuyến tính Các thành phần chuyển cho giảm chấn, loại giảm chấn mô tả dẫn đến ma sát nhớt ứng dụng học, thuận lợi nhiều ứng dụng có chứa mặt bơi trơn Nếu vận tốc tương đối cao, dịng trở thành dịng xốy dẫn đến thể giảm chấn phi tuyến Khi quan hệ hàm phi tuyến, cấu trúc kết nối mơ hình hệ khơng thay đổi Các giảm chấn cấu tạo dùng thiết kế piston/ chất lỏng chẳng hạn, chung cho hấp thụ va chạm Trong trường hợp này, đặc trưng vận tốc lực thường hợp với tính phi tuyến Bảng 9.2 Các phần tử hao tán học Hệ vật lý Phần tử quát Các quan hệ hao tán tổng Sự tán: e f ei fi T f s Đồ thị kết nối hao i Luật trở kháng: e R f - Phần tử trở kháng - Điện trở R Luật điện dẫn: f R1 e Hàm lượng: Pf e df Đồng lượng: Pe f de Tĩnh tiến học Phần tử R đa cổng tổng quát hàm F R:B V Cơ sở: F V Hàm lượng: PV F dV Đồng lượng: PF V dF Tuyến tính F b V Hao tán Pd bV Sự hao tán: Pd PV PF Quay học T R:B Cơ sở: T Hàm lượng: P T d Đồng lượng: PT dT Tuyến tính T B Hao tán Pd B Hao tán: Pd P PT Bảng 9.3 Các hệ số ma sát điển hình giá trị thay đổi phụ thuộc nhiều vào điều kiện Các mặt tiếp xúc 9-10 Tĩnh, s Chú ý: Trượt Mơ hình hóa hệ học cho ứng dụng điện tử năm năm mươi, đầu sáu mươi [13, 14] Quaternion ứng dụng rộng rãi điều khiển không gian [38] hàng hải Gần ( 20 năm trước ), phương pháp tìm vị trí điều khiển rơ bốt [34] tính tốn động học động lực học [14, 25, 26] Tổng quát quaternion thông số Euler Wehage[37] nêu Quaternion quay vai trị ứng dụng nhiều lĩnh vực, bao gồm cảm nhận đồ thị, chủ đề sách Kuipers[19] Có trình bày hướng dẫn người đọc lĩnh vực áp dụng Tổng quan sau Quaternion Quaternion định nghĩa tổng vô hướng, q0 véc tơ q , q q0 q q0 q1iˆ q2 ˆj q3 kˆ Tồn môn đại số giải tích đặc biệt để giải đối tượng tốn học kiểu [7, 19, 37] Sự liên hợp định nghĩa sau q q0 q Các thông số Euler Các thông số Euler quaternion tiêu chuẩn hóa, có tính chất, đại số giải tích Một véc tơ riêng phép quay có trị riêng xác định trục quay Euler ( xem định lý Euler [11]), với góc quay Véc tơ riêng e e1 , e2 , e3 T , từ phương trình (9.17), ma trận hướng sau T T C ee ( I ee ) cos S (e) sin với S (e) ma trận phản đối xứng Các thông số Euler định nghĩa sau q0 cos( / 2) e sin( / 2) q q 1 q2 e2 sin( / 2) q3 e3 sin( / 2) Với q02 q12 q22 q32 Các Quaternion tương quan Ma trận chuyển hệ tọa độ ma trận cosine phương với thông số Euler sau T T C q (q02 q q ) E 2qq 2q0 S ( q) q q1 , q2 , q3 T E ma trận đồng Ma trận cosine phương với quaternion q02 q12 q22 q32 C q 2( q1q2 q3 q0 ) 2( q1q3 q2 q0 ) 2( q1q2 q3 q0 ) 2 2 q q q q 2( q1q2 q3 q0 ) 2( q1q3 q2 q4 ) 2( q2 q3 q1q4 ) q02 q12 q22 q32 Ta dễ dàng tìm quaternion phần tử ma trận cosin hướng cách độc lập cách tích phân vận tốc góc quanh trục vật thể Có phần tử ma trận cosin phương, ta tìm quaternion ngược lại Quan tâm lý thuyết ứng dụng, bạn đọc đọc thêm thêm tài liệu tham khảo Các tính chất động lực học vật thể rắn Các 6thuộc tính qn tính Mơ men tích qn tính mơ tả phân bố khối lượng vật thể tương quan với hệ tọa đội biết Sự mô tả tin cậy vào hướng đặc biệt hệ tọa độ quy chiếu Giả thiết người đọc quen 9-37 Sổ tay Cơ điện tử thuộc với tính chất khối lượng trung tâm, mục tiêu tính chất cần thiết để hiểu chuyển động tổng quát vật thể rắn động lực học vật quay nói riêng Mơ men qn tính Vật thể rắn hình 9.33 (a), mơ men qn tính phần tử, dm trục tọa độ định nghĩa tích khối lượng phần tử bình phương khoảng cách từ trục đến phần tử Như hình vẽ, rx y z , phân bố mơ men qn tính với trục x, Ixx khối lượng dm sau dI xx rx2 ( y z )dm Tổng mơ men qn tính Ixx, Iyy Izz tính tích phân biểu thức tồn khối lượng m vật thể Ba mô men quán tính với ba trục x, y, z sau I xx rx2 dm ( y z )dm m m I yy r dm ( x z ) dm m y m z m (9.22) I zz r dm ( x y )dm m Ghi nhớ mơ men qn tính định nghĩa bình phương khoảng cách phần tử có khối lượng hữu hạn ln đại lượng dương Hình 9.33 Các tính chất vật rắn xác định qua khối lượng phân bố vật thể liên quan tới hệ toạ độ lý thuyết (a) vật rắn thường định rõ tính chất moment tích quán tính (b) vật thể rắn trục thường định rõ định lý trục song song mặt phẳng song song Tích quán tính Tích quán tính phần tử vi phân dm định nghĩa tương ứng với tập hợp hai mặt phẳng trực giao tích khối lượng phần tử khoảng cách ngắn phần tử mặt phẳng Ví dụ, tương ứng với mặt phẳng y-z x-z ( z trục chung mặt phẳng ), phân bố phần tử vi phân đến Ixy dIxy dIxy = xydm Như mô men quán tính, cách tích phân tồn khối lượng vật thể cho cặp mặt phẳng, tích quán tính sau I xy I yx xy dm m I yz I zy yz dm m (9.23) I xz I zx xz dm m Tích qn tính dương, âm không, phụ thuộc vào dấu hệ tọa độ định nghĩa đại lượng Nếu hai cặp mặt phẳng trực hướng đối xứng với vật thể, tích qn tính khơng Một cách bản, phần tử có khối lượng xuất đối xứng mặt phẳng Các định lý trục song song mặt phẳng song song Định lý trục song song dùng để chuyển mơ men qn tính vật thể từ trục qua khối tâm trục song song qua điểm khác (xem thêm phần “Lưu trữ động năng”) Thông thường, mơ men qn tính biết với trục cố định thuộc vật thể, hình 9.33(b) Nếu trọng tâm xác định với tọa độ (xG, yG, zG) theo trục x, y, z, định lý trục song song dùng để tính mơ men quán tính trục x, y, z sau 9-38 Mơ hình hóa hệ học cho ứng dụng điện tử I xx ( I xx )a m( yG2 zG2 ) I yy ( I yy ) a m( xG2 zG2 ) I zz ( I zz ) a m( xG2 yG2 ) đây, ví dụ, (Ixx)a mơ men qn tính với trục xa qua trọng tâm Chuyển tích quán tính yêu cầu dùng định lý mặt phẳng song song I xy ( I xy )a mxG yG I yz ( I yz ) a myG zG I zx ( I zx )a mzG xG Tensor quán tính Động lực học vật thể quay dựa vào kiến thức tính chất qn tính, hồn tồn xác định chín thành phần tensor quán tính, sáu thành phần độc lập Tensor quán tính sau I xx I I yx I zx I xy I yy I zy I xz I yz I zz dựa vào vị trí xác định hướng trục tọa độ Với vật thể rắn, gốc hướng trục tọa độ xác định cho tensor qn tính chéo hóa Ix I 0 I y 0 I z Hình 9.34 Vật rắn chuyển động tổng quát gắn với hệ qui chiếu quán tính, x, y, z Hướng trục tọa độ trục mơ men qn tính mơ men qn tính Ix = Ixx, Iy = Iyy, Iz = Izz ( cực đại thứ cực tiểu) Trong vài trường hợp, hướng xác định kiểm tra Ví dụ, hai ba mặt phẳng trực giao mặt phẳng đối xứng, tích qn tính khơng, điều xác định trục quán tính Hướng trục hiểu tốn trị riêng điều cho phép bạn tìm hướng chính, định nghĩa tensor quán tính theo hướng Để biết chi tiết phương pháp này, xin xem thêm Crandall [8] Mơ men động lượng góc Vật thể rắn hình 9.34, khái niệm hóa tập hợp phần tử i, có khối lượng m Mơ men góc điểm A định nghĩa sau (h A )i A mi Vi Với V i vận tốc đo tương quan với quán tính khung Do V i V A p A , nên (h A )i A mi Vi mi A VA mi A ( A ) 9-39 Sổ tay Cơ điện tử Tích phân tồn khối lượng vật thể, tổng mơ men góc vật thể h A ( A dm) VA A ( A )dm m m (9.24) Phương trình sử dụng để tìm mơ men góc điểm cách đặt điểm A: (1) cố định, (2) trọng tâm, (3) tùy ý vật thể Dạng tổng quát trường hợp h ( )dm m Khi mở rộng dạng theo ba thành phần x, y, z h hx iˆ hy ˆj hz kˆ ( xiˆ yjˆ zkˆ) (x iˆ y ˆj z kˆ) ( xiˆ yjˆ zkˆ) dm m mở rộng sau hx iˆ hy ˆj hz kˆ x ( y z )dm y xy dm z xz dm iˆ m m m x xy dm y ( x z )dm z yz dm ˆj m m m 2 x xy dm y zy dm z ( x y )dm kˆ m m m Biểu thức mô men tích qn tính định nghĩa đây, biểu thức dẫn đến ba thành phần mơ men góc viết dạng ma trận I xx h I yx I zx I xy I yy I zy I xz x I yz y I I zz z (9.25) Lưu ý trường hợp trục xác định dẫn đến biểu thức đơn giản h I xx x iˆ I yy y ˆj I zz z kˆ Điều chứng tỏ vật thể quay quanh trục song song với trục chính, véc tơ mơ men góc h song song với véc tơ vận tốc góc Trong trường hợp tổng qt điều khơng (điều nói cuối phần “ Các thuộc tính qn tính”) Mơ men góc điểm bất kỳ, trường hợp kết mơ men góc khối tâm (một véc tơ tự ) mô men tịnh tiến với khối tâm p mVx iˆ mV y ˆj mVz kˆ mV h hG r p với r véc tơ vị trí từ điểm tùy ý đến khối tâm G Dạng mở rộng với thành phần phương tình (9.25) Động vật rắn Phần trình bày vài dạng động vật rắn, từ quan điểm mô đồ thị kết nối, động lưu trữ mơ tả phần tử I, phương trình (9.25) chứng minh vật thể rắn có ba cổng để lưu trữ lượng quay Thêm vào ba bậc tự tịnh tiến, vật thể rắn có đến sáu “cổng” độc lập lưu trữ lượng Một phần tử 3-cổng I thay động quay trường hợp quay xung quanh điểm cố định ( không tịnh tiến) Mối tương quan chủ yếu phương trình đơn giản (9.25) Động sau 9-40 Mơ hình hóa hệ học cho ứng dụng điện tử T h với h mơ men góc với tensor qn tính xác định quanh điểm cố định Nếu trục thẳng hàng với trục chính, T 1 I x x2 I y y2 I zz2 2 Tổng động vật thể rắn vừa quay vừa tịnh tiến với mơ men góc trọng tâm sau T 1 mVG2 hG 2 Trong VG2 Vx2 Vy2 Vz2 Động lực học vật rắn Trình bày thuộc tính qn tính, mơ men động lượng góc tịnh tiến, động vật rắn mơ tả động lực học vật rắn việc sử dụng phương trình chuyển động dựa định luật Newton.Các phương trình Euler cổ điển giới thiệu dùng để chứng tỏ cơng thức hố đồ thị kết nối dùng để tích hợp phần tử vật rắn vào mơ hình đồ thị kết nối Những phương trình chuyển động Mơ men động lượng tịnh tiến vật rắn hình 9.30 p mV , m khối lượng, V vận tốc khối tâm với ba thành phần liên quan đến hệ trục x0, y0, z0 Trong chuyển động ba chiều, lực lưới vật thể quan hệ với tỷ lệ thay đổi mô men theo định luật Newton, F d p dt Có thể viết sau ( sử dụng phương trình (9.9)), F p t rel p với p liên quan đến hệ trục chuyển động xa, ya, za vận tốc góc tuyệt đối trục quay Một biểu thức tương tự viết cho tỷ lệ thay đổi mô men động lượng góc, liên quan đến mơ men xoắn T T h t rel h với h tương quan với hệ toạ độ chuyển động xa, ya, za Để sử dụng mối quan hệ cách hiệu quả, chuyển động trục xa, ya, za phải chọn cho phù hợp với toán Sự lựa chọn thường dẫn đến ba trường hợp liên quan đến vận tốc góc vật Nếu vật thể chuyển động tổng quát trục chọn chuyển động với khối tâm, trường hợp dẫn đến tập hợp phương trình đơn giản với , dù cần phải mơ tả thuộc tính quán tính vật thể dạng hàm thời gian Trong trường hợp này, trục có vận tốc góc khác với vật thể, dạng tiện lợi cho vật đối xứng quanh trục quay Mơ men tích quán tính số trục quay Các phương trình trở thành 9-41 Sổ tay Cơ điện tử Fx mVx mVy z mVz y Fy mVy mVz x mVx z Fz mVz mVx y mVy x Tx I x x I y y z I z yz (9.26) Ty I y y I z z x I x zx Tz I z z I xx y I y x y Ở đây, trục chuyển động với vật Mô men tích quán tính liên quan đến trục chuyển động số Một trường hợp tiện lợi đặc trưng xuất trục chọn trục quán tính ( xem phần “Các thuộc tính qn tính”), đưa đến hệ phương trình Euler4 Fx mVx mVy z mVz y Fy mVy mVz x mVx z Fz mVz mVx y mVy x Tx I x x ( I y I z ) y z (9.27) Ty I y y ( I z I x ) z x Tz I z z ( I x I y ) x y Hệ phương trình chuyển động dùng để xác định lực mơmen gây chuyển động vật thể Các sách động lực học [12, 23] cung cấp ví dụ phân tích trường hợp Những điều xem sáu cặp hệ phương trình vi phân phi tuyến thường (ODEs) Trường hợp ( hệ phương trinh Euler) giải trường hợp viết lại sáu phương trình ODEs bậc Một lời giải số áp dụng Các gói phần mềm tính tốn đại giải hệ phương trình Trường hợp địi hỏi phải có kiến thức vận tốc góc trục quay, Nếu chuyển động quay với chuyển động tịnh tiến lực mơ men xoắn phải có mơ hình động lực học Một vài trường hợp cần phải sử dụng dạng đồ thị kết nối Đặc biệt có tay máy sensor hệ đa hoạt động khác kết hợp Hình 9.35 (a) Vận tốc góc vật thể rắn tương ứng với trục x,y,z (b) Mẫu đồ thị kết nối chuyển động theo hướng x (c) Sự thực hồi chuyển ngẫu lực 9-42 Lần phát triển nhà toán học L Euler người Thuỵ Sĩ Mơ hình hóa hệ học cho ứng dụng điện tử Hình 9.36 (a) đồ thị kết nối cho chuyển dịch vật rắn (b) Đồ thị kết nối cho quay vật rắn Công thức đồ thị kết nối vật thể rắn Phụ thuộc vào quay vật thể, có hai cặp vốn có chuyển động tịnh tiến chuyển động quay tổng quát hoá dạng đồ thị kết nối Xét trường hợp hệ phương trình Euler (9.27) Động lực học tịnh tiến theo phương x, Fx p x mVy z mVz y với px mVx , Fx lực tác động theo phương x Phương trình này, tổng lực trình bày đồ thị kết nối, hình 9.35(b) Tất lực tác động với vận tốc, Vx, đặc trưng mối nối Phần tử I tiêu biểu cho lưu trữ động vật thể theo phương x Thành phần lực mVy y hình9.35(b) gây vận tốc theo hướng y Vy thành phần vận tốc góc z Hiệu ứng vật lý hồi chuyển tự nhiên nắm bắt vật xoay hình 9.35(c) Lưu ý quay điều chỉnh ( xem MGY) với mơ đun hồi chuyển r mz ( xác minh đơn vị lực) Sáu phương trình chuyển động (9.27) trình bày lại dạng đồ thị kết nối hình 9.36 Lưu ý hai đồ thị kết nối có dạng vịng Lần đầu Karnopp Rosenberg đưa [18], nắm bắt hệ phương trình Euler cách đầy đủ đưa dạng đồ thị gợi nhớ cho chuyển động vật rắn Hệ phương trình Euler vẽ đơn giản theo bước sau: (1) đặt mối nối thay cho vận tốc góc quanh x, y, z (đánh dấu theo chiều kim đồng hồ) với phần tử I, (2) mối nối I đặt quay hiệu chỉnh mô men quanh trục thay trực tiếp mối nối I đối diện tam giác, (3) vẽ mũi tên lực theo chiều kim đồng hồ Bản phác thảo cung cấp hệ phương trình Euler quy ước Hệ phương trình tịnh tiến dễ dàng vẽ Hình 9.37 Xe hai bánh với bánh đà chứa quán tính cứng tiếp cận đoạn dốc Những mơ hình đồ thị kết nối minh họa cặp gắn kết thông qua điều chỉnh quay Ở có sáu phần tử I phần tử đặc trưng cho trạng thái lượng độc lập dạng mô men [px, py, pz, hx, hy, h z] lựa chọn, phân tích nhằm vào vận tốc liên hợp [vx, vy, vz, ωx, ωy, ωz ] 9-43 Sổ tay Cơ điện tử Nếu lực, lực xoắn xem đầu vào, thông qua đồ thị kết nối trình bày Fx, Fy, Fz, Tx, Ty, Tz, từ bạn thấy tất phần tử I tích hợp nguyên nhân vật thể có sáu trạng thái độc lập mơ tả sáu phương trình vi phân bậc Ví dụ: toa xe-bánh đà Một ví dụ để trình bày cách đồ thị kết nối vật rắn miêu tả học rút từ phương trình (9.27) cách mơ hình hình học trực quan hình 9.37 Bánh đà gắn toa xe quay theo hướng hình Các trục cố định vật thể gắn xe với quy ước hướng dương trục z xuống đất ( thường dùng động lực học xe ) Toa xe tiến lên dốc, câu hỏi lực tác dụng lên, khả xuất hiện, thông số, biến phụ thuộc Đồ thị kết nối cho chuyển động quay bánh đà ( giả thiết trội hẳn tốn này) trình bày hình 9.37 Giả thiết mô men bánh đà lớn, ý tới ảnh hưởng Tại mối nối cho ωx, cho Tx = ωz quay theo hướng âm, bạn thấy mô men xoắn hz ωx đặt lên hướng âm trục x Nó có khuynh hướng đẩy xe lăn phía bên phải bánh xe tăng thêm lực pháp tuyến Với mơ hình trình bày, khơng khó khăn để thành lập tập hợp đầy đủ hệ phương trình vi phân Sự cần thiết hệ tọa độ biến đổi Trong ví dụ trên, giả thiết bánh trước toa xe đặt lên dốc, bánh đà tác động trở lại chuyển động gối đỡ Quả thật, bánh đà gây mô men truyền trực tiếp cho toa xe Hệ phương trình đồ thị kết nối phát triển thuận lợi nế lực, mô men xoắn tác dụng lên vật rắn quay quanh trục (giả thiết cố định với vật).Hướng thay đổi, ý nói cần thiết phải liên kết hệ trục cố định vật trục với trục qn tính Đây hồn thành với hệ tọa độ biến đổi liên kết hướng vật thể vào hệ tọa độ mà dễ dàng biết chuyển động, lực tác dụng, ứng dụng đo đạc điều khiển có phản hồi Ví dụ: Động lực học mơ men quay Hình 9.38 (a) Roto công xôn với khớp linh hoạt trục rắn (sau Vance [36]) (b) Đồ thị liên kết biểu diễn quay vật rắn roto Hình 9.38(a) minh họa rơ to cơng xơn xoay trịn Đây ví dụ tốt để mơ tả cần thiết sử dụng hệ tọa độ biến đổi, sử dụng góc Euler q trình mơ hình hóa Vật quay theo hình nón mơ tả góc Một lực xoắn Ts thẳng hàng với trục đỡ z x, y, z hệ tọa độ qn tính Đồ thị kết nối hình 9.38(b) thể chuyển động rơ to, trình bày trục cố định gắn với vật xb, yb, zb, trục rơ to 9-44 Mơ hình hóa hệ học cho ứng dụng điện tử Vấn đề đồ thị kết nối đưa đến công thức thuận tiện, rõ ràng Lực xoắn Ts đưa mối liên quan với hệ qn tính x, y, z Do cần phải biết mối quan hệ chuyển động mô tơ hệ trục quán tính Một vài vấn đề xuất hiện, bao gồm độ cứng rô to liên quan đến góc Những vấn đề cần giải cách sử dụng góc Euler liên hệ chuyển động vật thể cố định với hệ tọa độ quán tính đưa thêm ba phương trình trạng thái cho , , Trong ví dụ này, thứ tự quay (1) x, y, z ( quán tính) đến xa, ya za với quanh trục z, s , (2) xa, ya, za sang xb, yb, zb với quanh trục xa, (3) quanh zb Điều quan tâm toàn chuyển từ x, y, z ( quán tính) sang xb, yb, zb ( cố định vật) Theo cách này, sử dụng mối quan hệ phương trình (9.20) để lập mối quan hệ vận tốc góc vận tốc quán tính x sin sin cos y sin cos sin cos z b đây, b nhỏ bên trái phương trình vận tốc góc liên quan với trục xb, yb, zb Dạng đầy đủ hoàn thành đồ thị kết nối bao gồm biến đổi ( ví dụ, xem Karnoop, Margolis Rosenberg [17]) Những mối nối dạng dung để nhận dạng mối nối vận tốc điểm có lực mơ men xoắn tác dụng Ví dụ, mối nối cho z , Ts đặt vào Một đồ thị kết nối hoàn thành, đưa vào nguyên nhân dẫn đến nhân tích hợp cho tất phần tử I chịu lực lực xoắn nguyên nhân đầu vào, vấn đề với góc Euler xuất liên quan đến suy biến ( điểm / ) Một cách phân tích khác sử dụng phương trình Lagrange phần 9.7 trình bày Vnce [36] ( xem trang 292) Với hệ nhiều vật, cơng thức đa liên kết có hiệu rõ ràng cho toán phức tạp ( xem Breedveld [4] hay Tiernego [4] Bos [35]) 9.7 Hệ phương trình Lagrange Thảo luận phương pháp lượng dựa việc rút quan hệ cấu thành cho phần tử đa cổng lưu trữ lượng hữu dụng vài tập mơ hình hóa Trong trường hợp mà điều kiện biên phần tử holonomic scleronomic (không chứa biến thời gian), trường đa cổng ẩn lập ( xem chương [17]) Điều lo ngại xuất phụ thuộc lưu trữ lượng, phương pháp nêu có lời giải vài trường hợp thực hành Nhưng có nhiều hệ học có cấu hình hình học phức tạp Phần trình bày hệ phương trình Lagrange áp dụng dễ dàng cho hệ Có vài cách để giới thiệu, nhận sử dụng phương pháp khái niệm hệ phương trình Lagrange Phần tổng kết trình bày giới thiệu khái niệm sở, rút hoàn hảo tìm Lanczos [20] hay Goldstein [11] Một rút sử dụng lượng công suất ddowwcj trình bày Beaman, Paynter Longoria [3] Hệ phương trình Lagrange quan trọng cung cấp cách để mơ hình hóa hệ từ miền lượng khác nhau, giống cách ứng dụng đồ thị kết nối Sử dụng cách hàm lượng vơ hướng mà cực tiểu hình học lý nhiều người sử dụng Phần trình bày nói lợi ích cách tiếp cận Lagrange mà hữu dụng mơ hình hóa hệ học để làm mạnh thêm cách tiếp cận đồ thị kết nối Một cách tiếp cận kết hợp điểm mạnh hai phương pháp đưa phương pháp luận cho hệ học phức tạp hệ thống đại Cách tiếp cận cổ điển Một phương pháp cổ điển để rút hệ phương trình Lagrange địi hỏi khái niệm chuyển vị ảo công ảo để phân tích hệ tĩnh ( xem Goldstein [11]) Để bắt đầu, hệ phương trình Lagrange dùng cho hệ động cách sử dụng nguyên lý Hamilton hay D’Alembert 9-45 Sổ tay Cơ điện tử Ví dụ, hệ gồm chất điểm, định luật Newton thứ hai cho khối lượng I, Fi = pi viết lại, Fi – pi = Lực chia làm hai thành phần, lực tác dụng lực liên kết, Fi = Fi(a) + fi Nguyên tắc công ảo ứng dụng lên toàn hệ, lưu ý lực liên kết không sinh công nên loại bỏ dẫn đến nguyên lý D’Alembert [11] (F ( a) i p i ) ri (9.28) i Điểm mối quan hệ rằng: (a) lực liên kết khơng xuất phương trình (b) cần có mối quan hệ chuyển đổi, trường hợp này, N hệ trục tọa độ chất điểm, ri tập hợp n hệ tọa độ tổng quát hóa, qi độc lập với ( với điều kiện hô lô nôm) (9.29) ri ri (q1 , q2 , qn , t ) Chuyển hệ tọa độ tổng quán, nguyên lý D’Alembert’s trở thành [11] d T T Q j q j q j j (9.30) dt q j T động hệ, Qi lực thành phần Nếu mối quan hệ chuyển bị giới hạn trở thành hôlônôm, điều kiện biên ẩn, tọa độ độc lập đảm bảo Một cách tuần tự, tất thành phần phương trình (9.30) triệt tiêu d T dt q j T Qj q j (9.31) Những phương trình trở thành hệ phương trình Lagrange theo cách phát sau Hạn chế tất lực tác dụng Qj rút từ hàm vô hướng U U (qi , q i ) Qj U d T q j dt q j Định nghĩa L = T – U thay vào phương trình (9.31) để tìm n phương trình Lagrange d T dt q j L Qj q j (9.32) Công thức đạt n phương trình ODEs bậc hai với biến qi Phân chia hiệu ứng khơng bảo tồn Sự rút hệ phương trình Lagrange giả thiết hệ bảo toàn, nghĩa tổng động số Đây giả thiết tới hạn tiến hành mắt lưới trình bày cách lấy hiệu ứng khơng bảo toàn ( đầu vào, phát tán), sau tổ hợp hệ thống Các hiệu ứng khơng bảo tồn tích hợp vào mơ hình sở phương trình Lagrange sử dụng Qi’ Liên kết lực với hệ tọa độ tổng quát để ngụ ý cơng thực hiện, theo ngun tắc lượng bảo tồn Các lực tổng quát hóa liên kết với tọa độ qi lực ngồi tính từ cơng thức Qi Wi / qi , Wi công ngoại lực gây nên chuyển vị qi Sự mở rộng cho hệ phi hô-lô-nôm Trong trường hợp điều kiện phi hôlônôm, tọa độ q i phụ thuộc Giả thiết có m ràng buộc phi hô-lô-nôm m n Nếu hệ phương trình viết dạng a1 q dq k 9-46 k k a1 dt alk dqk alt dt t k (9.33) Mơ hình hóa hệ học cho ứng dụng điện tử l chạy tới m, hệ phương trình Lagrange thiết lập với tốn tử Lagrange, i Ta có n tọa độ qk n phương trình Lagrange viết dạng [11] d L L l alk , dt qk qk l k 1, 2, , n (9.34) Bây có n tốn tử Lagrange chưa biết i , cần phải giải thêm m phương trình a lk qk alt (9.35) k Thành phần a hiểu lực liên kết tổng qt Vẫn cịn điều kiện khơng làm việc l lk l Hệ phương trình Lagrange cho điều kiện phi hơ-lơ-nơm dùng để nghiên cứu hệ hơ-lơnơm, phân tích cung cấp giải pháp cho lực liên kết thông qua đánh giá nhân tử Lagrange Sử dụng hệ phương trình Lagrange với nhân tử Lagrange cho mơ hình phức tạp, hệ nhiều vật Haug mô tả [14] Các hệ nhỏ sử dụng phương pháp Lagrange Phần trước tổng kết phần thành lập áp dụgn hệ phương trình Lagrange Khi thiết lập mơ hình cho hệ học, phương pháp tốt Hệ phương trình Lagrange nhìn nhận cách tiếp cập hữu hiệu để giải hệ học phức tạp, gồm hệ với ràng buộc Phần lượng sở làm cho phương pháp hấp dẫn quan điểm xây dựng mơ hình lượng Hệ phương trình Lagrange dùng rộng rãi mơ hình điện tử Ví dụ, với hệ bảo tồn, dễ dàng có lời giải mà không cần quan tâm đến lực đặc biệt, hiệu ứng khơng bảo tồn xử lý bên bảo toàn động lực học Phát triển hệ phương trình chuyển hệ tọa độ, x, dùng để mô tả hệ biến độc lập q, giúp có cơng thức cực tiểu Dầu sao, số trường hợp, gây bên nguyên nhân kết mà rõ ràng cách tiếp cận khác Và gánh nặng đại số trở thành mức Dầu sao, cách phân tích bản, với trợ giúp chương trình xử lý symbolic, khó khăn đại số khơng cịn gánh nặng Trong phần này, thuận lợi cách tiếp cận Lagrange dùng với đồ thị kết nối Khái niệm công thức cổ điển, nhiên, diễn giải đồ thị đưa vào bên quy định Do đó, việc sử dụng đồ thị kết nối đảm bảo công thức chắn với nguyên nhân mà bảo toàn động hàm lượng phụ thuộc vào đầu vào, kiểu điển hình phát sinh từ động lực học khơng bảo toàn Phần sau phân phối hiệu với việc sử dụng phương pháp đồ thị kết nối, cách tiếp cận tổ hợp có tính hệ thống đạt hệ phương trình vi phân bậc phương trình ODEs bậc hai cách cách tiếp cận cổ điển Trong vài trường hợp, cách tiết cập tổ hợp dễ dàng tiếp cận với mơ hình mà gây khó khăn cho cách tiếp cận trực tiếp cách độc lập Một mơ hình áp dụng đồ thị kết nối Lagrange minh họa phần tử tổng kết đồ thị kết nối có chữ hình 9.39 Những phần tử chủ yếu nhận dạng sau: (a) lưu trữ lượng bảo toàn từ hàm động (b) mối quan hệ chuyển đổi lượng bảo toàn (c) kết nối phần tử phi Lagrange khơng bảo tồn Lưu ý khía cạnh khơng bảo tồn mối quan hệ chuyển, có m tọa độ mơ hình chúng không độc lập với Các mối quan hệ chuyển đổi bảo tồn giảm hệ tọa độ cịn tập hợp n tọa độ độc lập qi kết hợp với tọa độ độc lập hay vận tốc q Có tích lũy liên kết động trình bày cặp IC hình 9.40(a) [16] Một lựa chọn phần tử đơn C dùng để biểu diễn tất tích lũy cặp lượng [3] quay có mơ đun Trong hai trường hợp, cấu trúc chứng tỏ có mối nối chung liên kết với tọa độ độc lập Nhắc lại hiệu ứng mối nối -1, mối nối thứ i, E qi p i eqi (9.36) 9-47 Sổ tay Cơ điện tử Hình 9.39 Sơ đồ khối minh họa mơ hình hệ Lagrange Hình 9.40 Sự hình thành liên kết luồng mơ hình hệ Lagrange Lực liên kết với biến số luồng độc lập thứ i, qi , biểu thị phương trình Lagrange Eq mạng khơng bảo tồn effort qi , eq tổng qt hóa khơng bảo tồn effort tìm i i hệ Lagrange, p tỷ lệ thay đổi mô men tổng quát thứ i Những thuật ngữ trình bày phần sau Hệ phương trình tổng effort đưa phương trình ODEs bậc n cách giải p i n phương trình khác cho biến chuyển vị qi Hệ phương pháp theo Beaman, Paynter Longoria [3] Hệ phương pháp xây dựng mơ hình hệ Dẫn tới mơ hình qn tính Cơ lập phần bảo tồn hệ thống đảm bảo liên kết hô lô nôm Mắt lưới tìm cảng cho hệ cần nghiên cứu, bao gồm điểm hệ (các vận tốc đặc trưng) lực và/hoặc lực xoắn cần quan tâm tác động lên (ví dụ, luồng liên kết) Các lực mô men khơng bảo tồn, chúng xác định hệ ngồi Ví dụ, lực trọng trường cho vào hệ Lagrange xem cách hiển ạt mối nối vận tốc tương ứng với chuyển động mơ hình bên ngồi hệ Lagrange Điều minh họa ví dụ sau Xác định biến chuyển vị tổng quát Cách tiếp cận Lagrange, cần thiết phải xác định biến định nghĩa cấu hình hệ Trong hệ học, có nhiều chuyển động tịnh tiến quay Do đó, biến đặc trưng liên kết với chuyển động chuyển động tương quan vật thể Để đơn giản hóa một mơ hình với tập hợp hệ tọa độ độc lập tối thiểu, phát triển mối quan hệ biến đổi m vận tốc tổng quát hơn, dòng x n dịng độc lập q có dạng sau [3] x T (q )q (9.37) Ma trận T(q) phụ thuộc vào q Điều hiểu sau, mơ hình đồ thị kết nối, mối quan hệ biến đổi điều chỉnh, q chứa biến điều chỉnh Các chuyển vị độc lập tổng quát q tạo thành biến trạng thái hệ Lagrange Các mối quan hệ chuyển đổi thường rút từ điều kiện hô lô nơm, từ nghiên cứu hình học động học Ma trận T cỡ m x n khơng nghịch đảo Đồ thị kết nối trình bày hình 9.41 Thiết lập cơng thức hàm động Đưa mối quan hệ biến đổi, trình bày tổng động hệ Lagrange cách sử dụng luồng biến độc lập q Đầu tiên, động viết cách sử dụng x ( thường đơn giản hơn) T Tx ( x ) Sau mối liên hệ phương trình (9.37) dùng để chuyển hàm động cho biểu diễn hàm biến q q , Tx x Tqq (q , q) Ngắn gọn, điều ký hiệu, viết Tqq Ví dụ, 9-48 Mơ hình hóa hệ học cho ứng dụng điện tử hàm động phụ thuộc vào x , , viết T x ( số lượng biến lớn, chắn quy ước khơng dùng) Hình 9.41 (a)Biểu diễn đồ thị kết nối mối liên hệ chuyển dịch (b) ví dụ trường hợp m=3 n=2 Xác định biến mô men tổng quát Với hàm động với biến độc lập q , mơ men tổng qt xác định sau [3,20] p Tqq (9.38) q dấu ngã ( p ) dùng để phân biệt biến mô men với biến mô men xác định chặt chẽ nguyên tắc tổng kết bảng 9.5 Ghi nhớ biến mô men tổng quát hàm chuyển vị ( ví dụ,chúng phụ thuộc) Lập cơng thức hàm Tổng quát, hệ nghiên cứu phương pháp Lagrange chứa năng, động Và hàm U biểu diễn hàm biến phụ thuộc x Sử dụng mối quan hệ chuyển đổi phương trình (9.37), biểu thức hàm q hay U = U(q) = Uq Trong hệ học, hàm thường lập nghiên cứu lượng lưu trữ thành viên theo, lượng trọng trường Trong trường hợp này, dễ dàng trình bày hàm với biến chuyển vị q Rút Effort bảo toàn tổng quát Một Effort bảo tồn tìm từ biểu thức eq Tqq q U q (9.39) q với số q dùng Effort bảo toàn Thành phần bên phải thay cho ảnh hưởng độc lập động với chuyển vị, thành phần thứ hai xem rút từ effort Nhận dạng biểu diễn dòng mạng lượng hệ Lagrange Tại đầu vào hệ Lagrange cạnh khơng bảo tồn, lượng đầu vào biểu diễn effort dịng tích số Vì quan hệ chuyển đổi bảo tồn lượng, dịng lượng phải dịng lượng cạnh bảo tồn Px ex x ex T (q ) q Eq q m1 1 m 1 m mn n1 1 n (9.40) n 1 đây, thành phần Eq effort khơng bảo tồn chuyển sang hệ tọa độ q Có thể viết sau Eq exT (q ) (9.41) Tổng kết phương pháp Tất thành phần hệ Lagrange rút cách hệ thống Có vài khó khăn nảy sinh Để bắt đầu, bước yêu cầu vài lập luận hình học, vài trường hợp vấn đề không vượt qua n phương trình mơ men trạng thái cho hệ Lagrange sau p ei Ei (9.42) 9-49 Sổ tay Cơ điện tử hệ phương trình trạng thái cho qi phải tìm cách đảo hệ phương trình mơ men tổng qt (9.38) Trong vài trường hợp, n phương trình cặp đơi phải giải đồng thời Cuối cùng,có 2n phương trình trạng thái bậc Phần tử đồ thị kết nối mục tiêu hình 9.42 kết cặp với hệ khác để xây dựng mơ hình hệ phức tạp Hình 9.42 Mơ hình hệ Lagrange Lưu ý để có 2n phương trình tích hợp ngun nhân, effort ( lực lực xoắn) nên xác định nguyên nhân đầu vào cho mối liên hệ chuyển đổi Hơn nữa, mơ hình hệ giả thiết có điều kiện hơ-lơ-nơm Điều xem bị hạn chế, rằng, nhiều trường hợp thực hành, ảnh hưởng vật lý dẫn đến ràng buộc phi hơ-lơ-nơm phân phối ngồi mơ hình Lagrange, theo ảnh hưởng tiêu tán, cấu chấp hành References [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] 9-50 Arczewski, K and Pietrucha, J., Mathematical Modelling of Complex Mechanical Systems, Ellis Horwood, New York, 1993 Beaman, J.J and Rosenberg, R.C., “Constitutive and modulation structure,” Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control (ASME), Vol 110, No 4, pp 395–402, 1988 Beaman, J.J., Paynter, H.M., and Longoria, R.G., Modeling of Physical Systems, Cambridge University Press, in progress Breedveld, P.C., “Multibond graph elements in physical systems theory,” Journal of the Franklin Institute, Vol 319, No 1–2, pp 1–36, 1985 Bedford, A and Fowler, W., Engineering Mechanics Dynamics, 2nd edition, Addison Wesley Longman, Menlo Park, CA, 1999 Burr, A.H., Mechanical Analysis and Design, Elsevier Science Publishing, Co., New York, 1981 Chou, J.C.K, “Quaternion kinematic and dynamic differential equations,” IEEE Transactions on Robotics and Automation, Vol 8, No 1, February, 1992 Crandall, S., Karnopp, D.C., Kurtz, E.F., and Pridmore-Brown, D.C., Dynamics of Mechanical and Electromechanical Systems, McGraw-Hill, New York, 1968 (Reprinted by Krieger Publishing Co., Malabar, FL, 1982) Den Hartog, J.P., Advanced Strength of Materials, McGraw-Hill, New York, 1952 Fjellstad, O and Fossen, T.I., “Position and attitude tracking of AUVs: a quaternion feedback approach,” IEEE Journal of Oceanic Engineering, Vol 19, No 4, pp 512–518, 1994 Goldstein, D., Classical Mechanics, 2nd edition, Addison-Wesley, Reading, MA, 1980 Greenwood, D.T., Principles of Dynamics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1965 Harding, C.F., “Solution to Euler’s gyrodynamics-I,” Journal of Applied Mechanics, Vol 31, pp 325–328, 1964 Haug, E.J., Computer Aided Kinematics and Dynamics of Mechanical Systems, Allyn and Bacon, Needham, MA, 1989 Kane, T.R and Levinson, D.A., Dynamics: Theory and Applications, McGraw-Hill Publishing Co., New York, 1985 Karnopp, D., “An approach to derivative causality in bond graph models of mechanical systems,” Journal of the Franklin Institute, Vol 329, No 1, pp 65–75, 1992 Karnopp, D.C., Margolis, D., and Rosenberg, R.C., System Dynamics: Modeling and Simulation of Mechatronic Systems, Wiley, New York, 2000, 3rd edition, or System Dynamics: A Unified Approach, 1990, 2nd edition Karnopp, D and Rosenberg, R.C., Analysis and Simulation of Multiport Systems The Bond Graph Approach to Physical System Dynamics, MIT Press, Cambridge, MA, 1968 Kuipers, J.B., Quaternions and Rotation Sequences, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1998 Mơ hình hóa hệ học cho ứng dụng điện tử [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] Lanczos, C., The Variational Principles of Mechanics, 4th edition, University of Toronto Press, Toronto, 1970 Also published by Dover, New York, 1986 Lyshevski, S.E., Electromechanical Systems, Electric Machines, and Applied Mechatronics, CRC Press, Boca Raton, FL, 2000 Matschinsky, W., Road Vehicle Suspensions, Professional Engineering Publishing Ltd., Suffolk, UK, 1999 Meriam, J.L and Kraige, L.G., Engineering Mechanics Dynamics, 4th edition, John Wiley and Sons, New York, 1997 Mortensen, R.E., “A globally stable linear regulator,” International Journal of Control, Vol 8, No 3, pp 297–302, 1968 Nikravesh, P.E and Chung, I.S., “Application of Euler parameters to the dynamic analysis of threedimensional constrained mechanical systems,” Journal of Mechanical Design (ASME), Vol 104, pp 785–791, 1982 Nikravesh, P.E., Wehage, R.A., and Kwon, O.K., “Euler parameters in computational kinematics and dynamics, Parts and 2,” Journal of Mechanisms, Transmissions, and Automation in Design (ASME), Vol 107, pp 358–369, 1985 Nososelov, V.S., “An example of a nonholonomic, nonlinear system not of the Chetaev type,” Vestnik Leningradskogo Universiteta, No 19, 1957 Paynter, H., Analysis and Design of Engineering Systems, MIT Press, Cambridge, MA, 1961 Roark, R.J and Young, W.C., Formulas for Stress and Strain, McGraw-Hill, New York, 1975 Roberson, R.E and Schwertassek, Dynamics of Multibody Systems, Springer-Verlag, Berlin, 1988 Rosenberg, R.M., Analytical Dynamics of Discrete Systems, Plenum Press, New York, 1977 Rosenberg, R and Karnopp, D., Introduction to Physical System Dynamics, McGraw-Hill, New York, 1983 Rowell, D and Wormley, D.N., System Dynamics, Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ, 1997 Siciliano, B and Villani, L., Robot Force Control, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA, 1999 Tiernego, M.J.L and Bos, A.M., “Modelling the dynamics and kinematics of mechanical systems with multibond graphs,” Journal of the Franklin Institute, Vol 319, No 1–2, pp 37–50, 1985 Vance, J.M., Rotordynamics of Turbomachinery, John Wiley and Sons, New York, 1988 Wehage, R.A., “Quaternions and Euler parameters—a brief exposition,” in Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Computer Aided Analysis and Optimization of Mechanical System Dynamics, E.J Haug (ed.), Iowa City, IA, August 1–12, 1983, pp 147–182 Wie, B and Barba, P.M., “Quaternion feedback for spacecraft large angle maneuvers,” Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol 8, pp 360–365, May–June 1985 Wittenburg, J., Dynamics of Systems of Rigid Bodies, B.G Teubner, Studttgart, 1977 9-51 ... kết với chuyển động tương đối Ở khơng có điểm rõ ràng nhận dạng phương diện vật lý hệ, cần thiết khoanh vùng điểm để gắn thành phần dựa chuyển động tương đối để mô tả làm việc chúng (như vật treo... Strength of Materials, McGraw-Hill, New York, 1952 Fjellstad, O and Fossen, T.I., “Position and attitude tracking of AUVs: a quaternion feedback approach,” IEEE Journal of Oceanic Engineering, Vol... R.A., “Quaternions and Euler parameters—a brief exposition,” in Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Computer Aided Analysis and Optimization of Mechanical System Dynamics, E.J Haug