Việc phân tích và thiết kế những hệ thống điều khiển công nghiệp thường được thực hiện bằngphương pháp đáp ứng tần số. Bằng phương pháp này chúng ta biết được đáp ứng trạng thái ổn định củamột hệ thống hệ số hằng tuyến tính có đầu vào là tín hiệu dạng hình sin. Chúng ta biết rằng đáp ứng củamột hệ thống với đầu vào là tín hiệu hình sin thì cũng cho tín hiệu đầu ra dạng hình sin với cùng tần sốcủa đầu vào. Tuy nhiên biên độ và pha của tín hiệu đầu ra thì khác đầu vào và sự khác biệt này là mộthàm của tần số. Vì vậy chúng ta sẽ khảo sát mối quan hệ giữa hàm truyền và đáp ứng tần số của nhữnghệ thống ổn định tuyến tính.Xét một hệ thống hệ số hằng ổn định
27 Phương pháp đáp ứng tần số 27.1 27.2 27.3 27.4 27.5 27.6 27.7 Jyh-Jong Sheen National Taiwan Ocean University Mở đầu 27-1 Đồ thị Bode 27-3 Đồ thị cực 27-6 Biên độ logarit đồ thị pha 27-8 Xác định hàm truyền thực nghiệm 27-8 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist 27-12 Sự ổn định tương đối 27-16 27.1 Mở đầu Việc phân tích thiết kế hệ thống điều khiển công nghiệp thường thực phương pháp đáp ứng tần số Bằng phương pháp biết đáp ứng trạng thái ổn định hệ thống hệ số tuyến tính có đầu vào tín hiệu dạng hình sin Chúng ta biết đáp ứng hệ thống với đầu vào tín hiệu hình sin cho tín hiệu đầu dạng hình sin với tần số đầu vào Tuy nhiên biên độ pha tín hiệu đầu khác đầu vào khác biệt hàm tần số Vì khảo sát mối quan hệ hàm truyền đáp ứng tần số hệ thống ổn định tuyến tính Xét hệ thống hệ số ổn định tuyến tính hình 27.1 Sử dụng công thức Euler, ejωt= cosωt + jsinωt, với giả thiết tín hiệu đầu vào dạng hình sin cho công thức: u (t ) U e j t U cos t jU sin t (27.1) Biến đổi Laplace u(t) ta U ( s) U0 U s U s j U0 2j 2 s j s s s (27.2) Biểu thức thứ phương trình 27.2 biến đổi Laplace U0cosωt, biểu thức thứ hai, bỏ số ảo j, biến đổi Laplace U0sinωt Giả sử hàm truyền G(s) viết dạng sau: G ( s) n (s ) n( s ) d ( s ) ( s p1 )(s p2 ) ( s pn ) (27.3) Hình 27.1 Hệ thống hệ số tuyến tính ổn định Trong pi, i =1,2, ,n điểm cực phân biệt Biến đổi Laplace đầu Y(s) 27-1 Metechvn.com Sổ tay Cơ điện tử Y (s ) G ( s)U ( s ) G (s ) U0 s j (27.4) Phương trình 27.4 tương đương với Y (s ) k1 k n s p1 s pn s j (27.5) Hệ số α xác định công thức [( s j )Y ( s)] s j [U 0G ( s )] s j U 0G ( j ) Từ tính biến đổi laplace ngược Y(s) : y (t ) k1e p1t kn e pn t U G ( j )e jt , t (27.6) Để hệ thống ổn định, tất điểm cực phải có phần thực âm, tất số hạng ki e p t , i=1,2…n, tiến tới không t tiến tới vô cực Trạng thái ổn định đầu y(t) i Yss (t ) lim y (t ) U G ( j )e jt U G ( j ) e j ( t ) t (27.7) Hàm truyền dạng hình sin, G( j ) , viết lại dạng hàm mũ G ( j ) G ( j ) e j Trong G ( j ) {Re[G ( j ]}2 {Im[G ( j ]}2 (27.8a) Và G ( j ) tan 1 Im[G ( j )] Re[G( j )] (27.8b) Phương trình (27.7) cho ta biết hệ thống ổn định, đầu vào dạng hình sin đáp ứng trạng thái ổn định đầu dạng hình sin với tần số đầu vào Biên độ đầu gấp │G(jω)│ lần đầu vào góc pha khác lượng Φ = G ( j ) Ví dụ Bộ lọc thơng thấp bậc hình Fig 27.2 có hàm truyền đạt: G ( s) V0 (s ) Vi ( s) RCs Hình 27.2 Bộ lọc thông thấp bậc 27-2 Phương pháp đáp ứng tần số Hình 27.3 Đáp ứng tần số G(s)=1/(0.5s+1) với u(t) = sin2t Hàm truyền dạng sin cho G ( j ) 1 j ( RC ) j( / 1 ) Trong ω1=1/RC, biên độ góc pha đáp ứng tần số là: G ( j ) 1 ( / 1 ) ( ) tan 1 1 Hình 27.3 minh họa đáp ứng tần số hệ thống RC=5 với đầu vào u=sin2t Nó cho thấy đáp ứng trạng thái ổn định không liên quan đến điều khiện đầu vào biên độ trạng thái ổn định đầu 1/ góc pha -45o 27.2 Đồ thị Bode Có cách thơng thường biểu diễn đáp ứng tần số hệ thống, là: Biểu đồ Bode đồ thị logarit Đồ thị cực Đồ thị biên độ logarit pha biểu đồ Nichols Trong phần này, trình bày biểu đồ Bode hàm truyền dạng sin, sau đồ thị cực đồ thị biên độ logarit pha Ưu điểm sử dụng đồ thị logarit khả thể đặc tính tần số bậc cao thấp hàm truyền biểu đồ không bị ràng buộc thêm vào số hạng khác hàm truyền bậc cao Các kiểu thừa số hàm truyền là: Hệ số khuếch đại K Điểm cực (hoặc điểm không) gốc j n Điểm cực (hoặc điểm không) trục thực j 11 Điểm cực liên hợp phức (hoặc điểm không) j / n 2 2 j / n 1 1 Đường cong biên độ logarit góc pha cho bốn thừa số dễ dàng vẽ thêm vào đồng thời đồ thị để đạt đường cong cho hàm truyền Quá trình vẽ đồ thị logarit đơn giản hóa việc sử dụng phương pháp xấp xỉ tiệm cận cho đường cong có đường cong thực tế tần số quan trọng cụ thể Hệ số khuếch đại K Hệ số khuếch đại logarit hệ số khuếch đại K là: 27-3 Sổ tay Cơ điện tử 20 log K consta n in decibel , if K 0 , K 180 , if K Đường cong pha hệ số khuếch đại đường thẳng nằm ngang đơn giản biểu đồ Bode Điểm cực (hoặc điểm không) gốc j n Từ phương trình: 20 log j n 20n log , ( j ) n n 90 Độ dốc đường cong biên độ 20n dB/decade thừa số j n góc pha số nx90o Điểm cực (hoặc điểm không) trục thực j 11 Cho thừa số điểm cực j 11 1 2 j 1 Độ lớn thừa số điểm cực 1/ 1/ 1/ Vì có hai đường cong tiệm cận cho thừa số điểm cực: dB, 20 log 1 j 20 log 20 log log , Độ dốc đường cong tiệm cận 1/ -20 dB/decade cho thừa số điểm cực Hai tiệm cận giao 1/ , gọi tần số góc tần số gẫy Hệ số logarit thực tế 1/ -3 dB Góc pha ( ) tan 1 Biểu đồ Bode thừa số khơng j 1 có cách Tuy nhiên độ dốc đường cong tiệm cận biên độ 1/ +20 dB/decade góc pha ( ) tan 1 Đồ thị Bode thừa số bậc thể hình 27.4 Sự xấp xỉ tuyến tính đường cong góc pha thể Hình 27.4 Biểu đồ Bode cho biểu thức bậc j 11 27-4 Phương pháp đáp ứng tần số Hình 27.5 Biểu đồ Bode cho biểu thức bậc hai j / n 2 2 j / n 1 Điểm cực liên hợp phức (hoặc điểm không) j / n 2 2 j / n 1 1 1 1 Biên độ góc pha điểm cực liên hợp phức j / n 2 2 j / n 1 1 j 2 j n n 1 2 n n 1/ 1 j 2 j n n tan 1 2 / n / n2 Biên độ thừa số điểm cực liên hợp phức n ( / n )2 n Vì vậy, hai đường cong tiệm cận cho thừa số điểm cực liên hợp phức 1 20 log j 2 j n n 0 dB, n 40(log log n ), n Độ dốc đường cong tiệm cận n -40 dB/decade cho thừa số điểm cực liên hợp phức Những đường tiệm cận biên độ giao n , tần số tự nhiên Hệ số khuếch đại thực tế n G ( jn ) 1/ 2 Biểu đồ Bode thừa số điểm cực liên hợp phức thể hình 27.5 Nhìn hình 27.5 ta thấy khác đường cong biên độ thực tế đường xấp xỉ tiệm cận hàm hệ số suy giảm (damping ratio) Tần số cộng hưởng r định nghĩa tần số mà có giá trị đỉnh đáp ứng tần số Mr Khi hệ số suy giảm tiến tới không, r tiến tới n Tấn số cộng hưởng xác định cách lấy đạo hàm biên độ tần số cho khơng Tần số cộng hưởng giá trị đỉnh biên độ miêu tả r n 2 , 0.707 (27.9a) Và Mr 2 2 , 0.707 (27.9b) Ví dụ Xét hàm truyền 27-5 Sổ tay Cơ điện tử G ( s) 10(s / 1) s (s 1)[( s /10)2 ( s /10) 1] Trước tiên liệt kê thừa số hàm truyền G(s) bảng 27.1, theo thứ tự tăng dần tần số tự nhiên tần số góc Đường cong biên độ tiệm cận hồn thiện cho G( j ) tạo cách thêm vào biên độ logarit tiện cận thừa số thể hình 27.6 Từ ta thấy hệ số khuếch đại dc thừa số 1, thừa số không ảnh hưởng đến biên độ tiệm cận tần số tiến tới tần số tự nhiên tần số góc Vì vậy, biên độ tiệm cận đạt nhanh đồ thị tiệm cận theo tăng dần tần số Đường cong tiệm cận cắt đường thẳng 20 dB với độ dốc -20 dB/decade điểm cực gốc hệ số khuếch đại K=10 Tại độ dốc giảm -40 dB/decade điểm cực Sau độ dốc tăng tới -20 dB/decade điểm khơng Cuối 10 độ dốc -60 dB/decade điểm cực liên hợp phức n 10 Bảng 27.1 Các thừa số G ( j ) Kiểu thừa số Khuếch đại Tần số góc K=10 Bậc -1 Điểm không Điểm cực phức 10 -1 +1 -2 Điểm cực Điểm cực Hình 27.6 Đồ thị Bode hàm truyền ví dụ Biên độ xác đạt cách tính tốn biên độ thực tế tần số quan trọng tần số tự nhiên tần số góc thừa số Đường cong pha đạt cách thêm vào pha mối thừa số Mặc dù xấp xỉ tuyến tính đặc tính pha cho điểm cực điểm không đơn giản phù hợp cho việc phân tích lúc đầu lỗi đường cong pha xác xấp xỉ tuyến tính điểm cực liên hợp phức lớn, hình 27.6 Vì vậy, u cầu có đường cong góc pha xác chương trình máy tính Matlab C sử dụng để tìm đường cong pha thực tế 27.3 Đồ thị cực Đồ thị cực hàm truyền dạng sin G ( j ) đồ thị biên độ pha đáp ứng tần số hệ tọa độ cực tần số thay đổi từ tới vơ Vì vậy, hàm truyền dạng sin miêu tả dạng sau: 27-6 Phương pháp đáp ứng tần số G ( j ) Re G ( j ) j Im G ( j ) G ( j ) e j Đồ thị cực G ( j ) đồ thị Re[ G ( j ) ] trục hoành (trục nằm ngang) Im[ G ( j ) ] trục tung (trục thẳng đứng) mặt phẳng phức thay đổi từ tới vơ cực Vì vậy, với giá trị , đồ thị cực G ( j ) định nghĩa véc tơ có độ lớn G ( j ) góc pha G( j ) , phương trình 27.8 Chúng ta khảo sát hình dáng tổng quát đồ thị cực tùy thuộc vào kiểu hệ thống bậc tương đối hàm truyền Bậc tương đối hàm truyền định nghĩa khác bậc đa thức mẫu số tử số Xét hàm truyền có dạng sau: G ( j ) K (1 j a )(1 j b ) ( j ) N (1 j1 )(1 j ) b0 ( j ) m b1 ( j ) m 1 a0 ( j )n b1 ( j ) n 1 Trong K>0 bậc tương đối n m Biên độ góc pha G ( j ) tiến tới vô thể bảng 27.2 Hình dáng tổng quát đồ thị cực với hệ thống khác đoạn tần số thấp thể hình 27.7 Đoạn tần số cao đồ thị cực với bậc tương đối khác thể hình 27.8 Từ ta thấy quĩ đạo nghiệm G ( j ) song song với trục hoành trục tung, đồng thời biên độ tiến tới vô tiến tới 0+ cho hệ thống lớn không Nếu bậc tương đối lớn không, quĩ đạo nghiệm G( j ) hội tụ gốc theo chiều kim đồng hồ tiếp xúc với trục tọa độ Chú ý đường cong tọa độ cực phức tạp đặc tính động học tử thức mẫu thức vượt dải tần số Do vậy, đồ thị cực G ( j ) dải tần số quan tâm phải xác định xác Bảng 27.2 G ( j ) kiểu hệ thống bậc tương đối 0 Kiểu hệ thống N 0 Bậc tương đối n-m K0 0 b0 / a0 00 900 0 900 1800 0 1800 2700 0 2700 Hình 27.7 Đồ thị cực với kiểu hệ thống khác 27-7 Sổ tay Cơ điện tử Hình 27.8 Đồ thị cực với bậc tương đối khác Chúng ta thấy hệ kín, đồ thị cực hàm truyền có ý nghĩa việc xác định ổn định hệ thống Đồ thị cực số hệ thống đơn giản thể hình 27.9 27.4 Biên độ logarit đồ thị pha Một hướng khác để miêu tả đáp ứng tần số hệ thống đồ thị đơn giản vẽ đồ thị biên độ logarit góc pha dải tần số quan tâm Đường cong có hàm tần số Biên độ logarit đồ thị pha gọi biểu đồ Nichols Ưu điểm biểu đồ Nichols ổn định tương đối hệ kín xác định nhanh q trình bù vịng lặp kín tìm dễ dàng Biểu đồ Nịchols hệ thống hình 27.9 miêu tả hình 27.10 để tiện so sánh Hình 27.11 hiển thị đường cong đáp ứng số khác hệ thống bậc hai G ( s) n2 s 2n s n2 Hình 27.9 Đồ thị cực số hàm truyền đơn giản 27.5 Xác định hàm truyền thực nghiệm Chúng ta thu mơ hình hàm truyền từ việc đo đáp ứng tần số hệ thống ổn định Trước tiên, biểu đồ Bode đáp ứng tần số vẽ từ giá trị đo Sau hàm truyền hở suy từ đồ thị biên độ pha dựa quan hệ thừa số điểm cực điểm không Một máy phân tích sóng thiết bị đo biên độ pha đáp ứng trạng thái ổn định tần số dạng sóng hình sin đầu vào thay đổi Một máy phân tích hàm truyền sử dụng để đo hàm truyền hệ kín hở 27-8 Phương pháp đáp ứng tần số Chúng ta sử dụng chương trình máy tính kết hợp với card biến đổi số - tương tự tương tự - số để phát tín hiệu đầu vào dạng sin đo đáp ứng tần số hệ thống Xét lọc thơng thấp Sallen–Key bậc hai hình 27.12 Hàm truyền lọc cho G ( s) V0 ( s ) K 2 Vi ( s) s / n 2 ( s / n ) (27.10) Hình 27.10 Biểu đồ Nichols số hàm truyền đơn giản Trong K R1 R2 R2 n RA RB C A CB Và RC CB RA RB (1 K ) A A RB CB C A RA RB Tín hiệu thời gian thực Windows Matlab sử dụng với card DA AD Advantech PCL-818L Thời gian lấy mẫu 0.001s Biên độ đo góc pha thể hình 27.13 Từ đồ thị Bode, tìm hệ số khuếch đại dc 1.995 tần số tự nhiên n 17.90 rad/s Từ phương trình 27.9b Mr = 1.993, có 0.26 Một cách để đánh giá hàm truyền sử dụng tín hiệu kích thích đủ mạnh dải tần số quan tâm đo đầu tương ứng Kỹ thuật nhận dạng hệ thống áp dụng để tìm bậc tham số hàm truyền Tín hiệu kích thích phù hợp tín hiệu xung, tín hiệu qt hình sin, chuỗi ngẫu nhiên …Hình 27.14 thể tín hiệu qt hình sin đầu tương ứng Cơng cụ nhận dạng hệ thống Matlab sử dụng để đánh giá hàm truyền 27-9 Sổ tay Cơ điện tử Hình 27.11 Ba dạng đáp ứng tần số G ( s) n2 /( s 2n s n2 ) : (a) Biểu đồ Bode, (b) đồ thị cực, (c) Biểu đồ Nichols Hình 27.12 Bộ lọc thông thấp Sallen-Key 27-10 Phương pháp đáp ứng tần số Hình 27.13 Đáp ứng tần số lọc thơng thấp Sallen-Key từ thực nghiệm Hình 27.14 Đáp ứng quét hình sin lọc Sallen-Key Bảng 27.3 Hàm truyền ước lượng cho lọc thông thấp bậc hai Mạch op-amp lí tưởng: G ( s) 1.997 s /18.09 x 0.271 s /18.09 Trong giá trị đo điện trở tụ điện thay vào phương trình 27.10 R1 98.4, R2 98.7, RA 51.3, RB 98.5, C A 1.083 F , CB 0.564 F Từ đồ thị Bode: G ( s) 1.995 s /17.90 x 0.259 s /17.90 Nhận dạng hệ thống: G ( s) 1.997 s /17.78 x0.255 s /17.78 Hàm truyền có từ mạch điện lý tưởng op-amp phương trình 27.10, đồ thị Bode nhận dạng hệ thống so sánh bảng 27.3 Có thể nhận thấy khác ba hàm truyền nhỏ Tuy nhiên việc xác định hàm truyền từ đồ thị Bode khó thừa số điểm cực điểm 27-11 Sổ tay Cơ điện tử khơng tần số góc đóng (close corner frequencies) làm phức tạp đồ thị biên pha hệ thống bậc cao Do vậy, kỹ thuật nhận dạng hàm truyền sử dụng để xác định hàm truyền bậc cao 27.6 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist Tiêu chuẩn ổn định Nyquist cung cấp phương pháp đồ thị để xác định ổn định hệ kín từ đường cong đáp ứng tần số hệ hở Tiêu chuẩn dựa kết từ lý thuyết biến số phức nguyên tắc đối số Cauchy Giả sử F(s) hàm hữu tỷ s với hệ số thực dạng phân tích điểm mặt phẳng phức (s-plane) ngoại trừ điểm cực Đặt 2.5 đường cong khép kín theo chiều kim đồng hồ F mặt phẳng s không qua điểm cực điểm không F(s) Đường biên được định nghĩa thay giá trị s biên s cho s F(s) Kết đường biên liên tục khép kín mặt phẳng F(s) Nguyên tắc phương pháp bắt đầu sau: F Biểu đồ đường biên hàm phức F(s) định nghĩa s mặt phẳng s bao F quanh điểm gốc mặt phẳng F(s) chứa điểm cực điểm khơng hàm Số vịng mà bao F quanh điểm gốc theo chiều kim đồng hồ là: N Z P (27.11) Trong Z P tương ứng số điểm không điểm cực F(s) bao quanh đường biên s khép kín theo chiều kim đồng hồ mặt phẳng s Ví dụ Để minh họa phương pháp, xét hàm truyền hữu tỷ sau: F (s ) ( s 3)( s 4) ( s 1)(s 2) Trong điểm khơng s = -3, -4 điểm cực s = -1, -2 Các biểu đồ đường biên F(s) thể hình Fig.27.15, r biểu đồ đường biên đường biên tròn theo chiều kim đồng hồ với bán kính r mặt phẳng s khơng bao quanh điểm cực điểm không Chúng ta rút nhận xét sau từ đồ thị Fig.27.15: Đường biên 0.5 không bao quanh gốc mặt phẳng F(s) đường biên mặt phẳng s không bao quanh điểm cực điểm không 1.99 bao quanh gốc lần theo chiều ngược kim đồng hồ đường biên bao điểm cực s = -1 theo chiều kim đồng hồ mặt phẳng s, từ phương trình 27.11, N = Z – P = – = -1 Chú ý 1.99 đường biên khép kín với vịng lặp bao quanh gốc hình 27.15 27-12 Phương pháp đáp ứng tần số Hình 27.15 Bản đồ đường biên F(s) ví dụ Hình 27.16 Hệ thống kín 2.5 bao quanh gốc lần theo chiều ngược kim đồng hồ đường biên chứa điểm cực s = -1, -2 N = Z – P = – = -2 Khi bán kính đường biên tăng lên để chứa điểm cực s =-1, -2 điểm không s = -3 N = Z – P = 1-2 = -1 biểu đồ đường biên 3.5 bao quanh gốc lần theo hướng ngược chiều kim đồng hồ Khi bán kính đường biên tăng xa để bao quanh hai điểm cực điểm khơng N = – = biểu đồ đường biên 4.5 không bao quanh điểm gốc Bây áp dụng nguyên tắc đối số Cauchy đề phát triển tiêu chuẩn ổn định Nyquist Giả sử phương trình đặc tính hệ thống vịng lặp hở hình 27.16 F (s ) G ( s ) H (s ) Đặt L(s) = G(s)H(s), hàm truyền vòng lặp Sử dụng nguyên tắc đối số, giả sử khơng có điểm cực điểm không F(s) nằm trục ảo mặt phẳng s Chúng ta định nghĩa quĩ đạo Nyquist, s , tạo trục ảo nửa đường trịn bán kính vơ cực Đường biên hồn thành bao gồm toàn nửa mặt phẳng phức bên phải miêu tả hình 20.17 (a) Biểu đồ đường biên tương ứng F hình 27.17(b) Nguyên tắc đối số cho phép N tương ứng với số vòng bao quanh chiều kim đồng hồ điểm gốc mặt phẳng + L(s) F P số điểm cực của F(s) nửa mặt phẳng s bên phải số điểm cực hàm truyền L(s) nửa mặt phẳng s bên phải Z số điểm không phương trình đặc tính F(s) hệ thống kín nửa mặt phẳng s bên phải Do Z phải hệ kín ổn định Trong thực tế, sửa đổi tạo để đơn giản hóa việc việc ứng dụng tiêu chuẩn Nyquist Thay vẽ đồ thị F mặt phẳng 1+L(s), vẽ đồ thị L(s), dọc theo đường biên s Mặt phẳng đường biên sinh L mặt phẳng L(s) có hình dạng với F bị dịch chuyển đơn vị phía bên trái hình 27.17(c) Vì N số vịng bao quanh điểm -1 mặt phẳng L(s) 27-13 Sổ tay Cơ điện tử Hình 27.17 Biểu đồ Nyquist Hình 27.18 Biểu đồ Nyquist quĩ đạo nghiệm ví dụ Đến đây, tiêu chuẩn ổn định Nyquist bắt đầu sau: Điều kiện cần đủ cho ổn định hệ kín định nghĩa hàm truyền L(s) (27.12) Z NP phải 0, N số vòng bao quanh điểm -1 mặt phẳng L(s) P số điểm cực không ổn định hàm truyền L(s) Ví dụ Xét hệ thống với hàm truyền KL( s ) KG ( s ) H (s ) K s2 2s s ( s 1)(s 2) (27.13) Chúng ta xác định dải giá trị hệ số K để hệ kín ổn định Do có điểm cực s=0, nên cần sửa đổi quĩ đạo Nyquist để vòng qua gốc tọa độ Đường biên vẽ hình 27.18(a), đường bao lựa chọn nửa đường trịn có bán kính tiến gần tới giới hạn Chúng ta thực bước sau để phác thảo đồ thị Nyquist hình 27.18(b): Xác định L( j ) 0 : L(s) thuộc hệ thống kiểu L( j ) 90 j Tương ứng với bảng 27.2 Xác định L( j ) : L(s) có bậc tương đối L ( j ) 27-14 0 90 j Phương pháp đáp ứng tần số Tương ứng với bảng 27.2 Từ đồ thị Bode, vẽ đồ thị cực L( j ) thay đổi từ 0 tới Mặc dù đường cong biên độ ( s s ) giống với ( s s ), pha s s thay đổi từ 0o tới 180o Vì phác thảo biểu đồ Bode cho thấy đường cong biên độ thay đổi từ vô cực góc pha thay đổi từ 90o tới 450o Vì có điểm pha 180o 360o , có hai giao quĩ đạo L( j ) với trục thực mặt phẳng L(s) Vẽ đồ thị cực L( j ) thay đổi từ 0 tới tương ứng với đường cong L( j ) bước tương ứng với trục thực mặt phẳng L(s) Xác định biểu đồ đường biên đường vòng nhỏ quanh gốc mặt phẳng s để hoàn thiện đồ thị Đường bao s lim e j , 0 90 90 Biểu đồ đường biên xác định ( e j )2 2 e j 1 lim j lim e j ( e j 1)( e j 2) 0 e 0 lim L( e j ) lim 0 Biểu đồ tạo nửa đường tròn lớn có bán kính tiến gần tới vơ cực Nửa đường tròn bắt đầu điểm L ( j ) di chuyển 180o theo hướng ngược chiều kim đồng hồ để kết nối với điểm L ( j ) mặt phẳng L(s) Tính toán điểm giao quĩ đạo L( j ) với trục thực, điểm quan hệ với ổn định tương đối hệ thống Giả sử quĩ đạo L( j ) giao với trục thực tần số tới hạn cr Thì 180 k 360 , L ( jcr ) 0 k 360 , K 0 K 0 Trong k 0, 1, 2, 3, Điều kiện pha tần số tới hạn có quan hệ trực tiếp tới điều kiện góc quĩ đạo nghiệm quĩ đạo nghiệm cắt trục ảo Do đó, sử dụng tiêu chuẩn RouthHurwitz để xác định điểm mà quĩ đạo L( j ) cắt trục thực Phương trình đặc tính hệ thống (27.13) viết sau s ( K 3)s (2 K ) s K Do vậy, mảng Routh s3 s K 3 2K 2K s c s0 K Trong c ( K 3)(2 K ) K K 3 Đặt c=0 giải tìm K, hệ số tới hạn K cr 3 21 0.79, 3.79 Thay giá trị K cr vào phương trình phụ thuộc K cr ( K cr 3) s Kcr 27-15 Sổ tay Cơ điện tử Chúng ta đạt tần số tới hạn 0.65, K cr K cr 3.10, cr K cr 0.79 K cr 3.79 Tại tần số tới hạn, có phương trình đặc tính K cr L( jcr ) Do điểm quĩ đạo L( j ) cắt trục thực L ( jcr ) 1 , K cr 0.79 3.79 Đồ thị Nyquist hoàn thiện thể khơng theo tỷ lệ hình 27.18(b) Dải giá trị hệ số K cho hệ thống ổn định xác định nhờ tiêu chuẩn Nyquist Đối với giá trị khác K, biểu đồ Nyquist cần vẽ lại để đếm số vòng bao quanh điểm -1 Chúng ta tránh việc cách đếm số lần bao quanh điểm -1/K Từ tiêu chuẩn Nyquist, Z=N+P, P=0 Từ hình 27.18(b), thấy có bốn trường hợp bao quanh điểm -1/K K>0 -1/K0.79, N=2 Chúng ta có Z=2 hệ thống có hai điểm cực khơng ổn định K