THE MACHTRONICS TIẾNG VIỆT 26 PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM

ồi. Phương pháp này đã được công bố chính thức bởi W.R.Evans3,4, người đã nhận giải thưởngRichard E.Bellman về điều khiển từ Hội đồng điều khiển tự động Mỹ vào năm 1988 cho đóng góp quantrọng này.Để thảo luận về phương pháp quỹ đạo nghiệm, trước tiên ta phải xem lại định nghĩa cơ bản về tính ổnđịnh của đầu vào hữu hạn và đầu ra hữu hạn (BIBO) của hệ thống phản hồi tuyến tính bất biến đã đượcchỉ ra trong hình 26.1, trong đó đối tượng điều khiển và bộ điều khiển được biểu diễn tương ứng bởi cáchàm truyền đạt P s( ) và C s( ) 1. Đối tượng điều khiển, P s( ) , bao gồm quá trình vật lý được điều khiển,cũng như cơ cấu chấp hành và động lực học cảm biến.Hệ thống phản hồi được gọi là ổn định nếu không có các h

26 Phương pháp quỹ đạo nghiệm Hitay Özbay The Ohio State University 26.1 26.2 26.3 26.4 26.5 Giới thiệu 26-1 Các vị trí điểm cực mong muốn 26-4 Xây dựng quỹ đạo nghiệm 26-7 Quỹ đạo nghiệm bổ sung 26-15 Quỹ đạo nghiệm cho hệ thống có trễ thời gian 26-16 26.1 Giới thiệu Quỹ đạo nghiệm phương pháp đồ họa sử dụng việc phân tích thiết kế hệ thống phản hồi Phương pháp cơng bố thức W.R.Evans[3,4], người nhận giải thưởng Richard E.Bellman điều khiển từ Hội đồng điều khiển tự động Mỹ vào năm 1988 cho đóng góp quan trọng Để thảo luận phương pháp quỹ đạo nghiệm, trước tiên ta phải xem lại định nghĩa tính ổn định đầu vào hữu hạn đầu hữu hạn (BIBO) hệ thống phản hồi tuyến tính bất biến hình 26.1, đối tượng điều khiển điều khiển biểu diễn tương ứng hàm truyền đạt P (s ) C (s ) Đối tượng điều khiển, P (s ) , bao gồm trình vật lý điều khiển, cấu chấp hành động lực học cảm biến Hệ thống phản hồi gọi ổn định khơng có hàm truyền kín từ đầu vào ngoại vi r v tới tín hiệu nội e u , có điểm cực nửa mặt phẳng đóng bên phải, £ + := {sŒ £ : Re(s ) ³ 0} Điều kiện cần thiết cho ổn định hệ thống có phản hồi điểm không P(s) (tương ứng với C(s)) nửa mặt phẳng đóng bên phải khác biệt so với điểm cực C(s) (tương ứng với P(s)) Khi có điều kiện này, ta nói khơng có ổn định triệt tiêu điểm cực-không việc thiết lập P (s )C (s ) = : G (s ) , kiểm tra tính ổn định hệ thống có phản hồi trở thành tương đương với việc kiểm tra tất nghiệm của: + G (s ) = (26.1) nằm nửa mặt phẳng hở bên trái £ - := {s Ỵ £ : Re(s ) < 0} Các nghiệm (26.1) cực hệ kín Ta tìm hiểu xem vị trí cực hệ điều khiển vịng kín thay đổi hàm thông số thực G (s ) Cụ thể hơn, giả thiết G (s ) chứa thơng số K, ta sử dụng kí hiệu G (s ) = G K (s ) để nhấn mạnh phụ thuộc vào K Quỹ đạo nghiệm đồ thị nghiệm (26.1) mặt phẳng phức, thông số K thay đổi khoảng xác định Ở xét trường hợp thời gian liên tục; chất khác trường hợp thời gian liên tục thời gian rời rạc, tận việc xây dựng quỹ đạo nghiệm đề cập Trong trường hợp rời rạc, vị trí điểm cực vịng kín mong muốn định nghĩa liên quan tới vịng tròn đơn vị, trong trường hợp thời gian liên tục, vị trí điểm cực định nghĩa liên quan đến trục ảo 26-1 Metechvn.com Sổ tay Cơ điện tử HÌNH 26.1 Hệ thống phản hồi đơn Ví dụ chung vấn đề quỹ đạo nghiệm gắn liền với hệ số khuyếch đại không chắn thông số thay đổi: P (s ) C (s ) hàm hữu tỷ trừ thành phần khuyếch đại G (s ) viết G (s ) = G K (s ) = KF (s ) , K hệ số khuyếch đại điều chỉnh được, và: F (s ) = m N (s ) D (s ) víi N (s ) = Õ (s - zj ) n³ m (26.2) j=1 n D (s ) = Õ (s - pi ) i= Với z 1, K , z m p1 , K , pn điểm cực điểm khơng hệ kín Trong trường hợp này, điểm cực nghiệm phương trình đặc tính: c (s ) := D(s ) + KN (s ) = (26.3) Quỹ đạo nghiệm thông thường nhận cách vẽ nghiệm r1 (K ), K , rn (K ) đa thức đặc tính c (s ) mặt phẳng phức, với K thay đổi từ đến + ¥ Tương tự giá trị âm K cho quỹ đạo nghiệm bổ sung Với trợ giúp đồ thị quỹ đạo nghiệm, người thiết kế xác định giá trị chấp nhận thơng số K dẫn đến tập điểm cực hệ kín "vùng mong muốn" mặt phẳng phức Có vài yếu tố phải xem xét theo khái niệm “vùng mong muốn” mặt phẳng phức mà r1 (K ), K , rn (K ) cần nằm Điều đề cập đến phần sau Phần 26.3 đưa thủ tục xây dựng quỹ đạo nghiệm, ví dụ thiết kế đưa phần 26.4 Ngoài hệ số K ra, quỹ đạo nghiệm vẽ với thơng số hệ thống khác Ví dụ phương trình đặc tính cho hệ thống G (s ) = G l (s ) cho bởi: G l (s ) = P (s )C (s ), P (s ) = (1 - l s ) , s(1 + l s ) æ ửữ ữ C (s ) = K c ỗỗỗ1 + ữ ỗố T I s ứữ cng cú th c chuyển thành dạng cho (26.3) Ở K c T thông số điều khiển PI (tỉ lệ - tích phân), l > thông số thay đổi đối tượng điều khiển Chú ý pha đối tượng là: ÐP ( j w) = - p - t an - (l w) Do thơng số l coi hệ số trễ pha khơng chắn (ví dụ, trễ thời gian nhỏ khơng chắn đối tượng điều khiển mơ hình hóa theo cách này, xem [9]) Dễ thấy phương trình đặc tính là: ỉ ư÷ ÷= s (l s + 1) + K c (1 - l s ) ỗỗs + ữ ỗố T I ø÷ 26-2 Phương pháp quỹ đạo nghiệm HÌNH 26.2 Quỹ đạo nghiệm tương ứng với K = 1/ l Và cách xếp lại hệ số việc nhân l , phương trình biến đổi thành: 1+ (s + K cs + K c / T ) = l s(s - K cs - K c / T ) Từ định nghĩa K = l - 1, N (s ) = (s + K cs + K c / T ) D (s ) = s (s - K cs - K c / T ) , ta thấy phương trình đặc tính viết dạng (26.3) Bây giờ, biểu đồ quỹ đạo nghiệm nhận từ liệu N (s ) D (s ) định nghĩa trên; điều cách mà cực hệ kín di chuyển l - thay đổi từ tới + ¥ , với tập cố định thông số điều khiển cho K c T Ví dụ với K c =1 T =2.5, quỹ đạo nghiệm biểu diễn hình 26.2 Thủ tục xây dựng quỹ đạo nghiệm đưa phần 26.3 Hầu hết tính tốn liên quan bước thủ tục thực tay Vì đồ thị xấp xỉ biểu diễn quỹ đạo nghiệm vẽ dễ dàng Có số phần mềm tự động tạo quỹ đạo nghiệm từ số liệu z 1, K , z m p1 , K , pn Nếu có sẵn chương trình số để tính nghiệm đa thức, ta nhận quỹ đạo nghiệm tương ứng với thông số nhập vào phương trình đặc tính cách khơng tuyến tính Để minh họa, ta xét ví dụ sau: G (s ) = G w (s ) đó: G w0 (s ) = P (s )C (s ), P (s ) = (s - 0.1) (s - 0.2) , C (s ) = (s + 1.2w0s + w02 )(s + 0.1) (s + 2) Ở đây, w0 ³ thống số thay đổi đối tượng Chú ý phương trình đặc tính: 1+ w0 (1.2s + w0 )(s + 0.1)(s + 2) = s (s + 0.1)(s + 0.2) + (s - 0.2)(s - 0.1) (26.4) biểu diễn dạng D(s ) + KN (s ) = với thông số K Tuy nhiên, với w0 ta tính nghiệm (26.4) theo phương pháp số vẽ chúng mặt phẳng phức w0 thay đổi phạm vi cần thiết Hình 26.3 minh họa bốn nhánh r1 (K ), K , r4 (K ) quỹ đạo nghiệm cho hệ thống w0 tăng từ khơng tới vơ Hình nhận cách tính nghiệm (26.4) với tập giá trị w0 , nhờ sử dụng MATLAB 26-3 Sổ tay Cơ điện tử HÌNH 26.3 Quỹ đạo nghiệm tương ứng với w0 26.2 Các vị trí điểm cực mong muốn Biểu diễn hệ thống phản hồi phụ thuộc nhiều vào vị trí điểm cực hệ thống điều khiển kín ri (K ) = 1, K , n Trước hết, để ổn định ta muốn ri (K ) Ỵ £ - với i = 1, K , n Rõ ràng, có điểm cực "gần" trục ảo nguy hiểm, có nghĩa bất ổn nhỏ đối tượng dẫn đến hệ thống phản hồi khơng ổn định Do vị trí điểm cực mong muốn phải cho tính ổn định trì trước bất ổn (hoặc với tồn thông số dễ thay đổi) đối tượng Với hệ bậc hai, ta xác định phép đo thơ tính ổn định chắn theo vị trí điểm cực gắn với đặc tính đáp ứng bước Với hệ bậc cao hơn, cách tương tự sử dụng với cực trội Với hệ thống điều khiển phản hồi hình 26.1, giả thiết hàm truyền đạt vịng kín từ r (t ) tới y (t ) có dạng sau: T (s ) = w02 , s + 2zw0s + w02 < z < 1, w0 Ỵ ¡ Và r (t ) hàm bước đơn vị Khi đó, đầu là: y (t ) = - e - zw0t 1- z2 sin( wd t + q), t³ Trong wd := w0 - z q := cos-1 (z ) Với số giá trị thông thường z , đáp ứng step y (t ) có dạng giống hình 26.4 Độ q điều chỉnh định nghĩa là: PO := y p - y ss y ss ´ 100% Trong y p giá trị đỉnh Bằng tính tốn đơn giản thấy giá trị đỉnh y (t ) xuất thời gian t p = p / wd , và: PO := e - pz / 26-4 1- z ´ 100% Phương pháp quỹ đạo nghiệm HÌNH 26.4 Đáp ứng step hệ bậc hai HÌNH 26.5 PO z Hình 26.5 biểu diễn PO theo z Thời gian xác lập xác định khoảng thời gian nhỏ t s , sau đáp ứng y(t ) nằm khoảng 2% giá trị mong muốn, có nghĩa là: t (s ) := min{t ¢: y (t ) - y ss £ 0.02y ss " t ³ t ¢} Đơi 1% 5% sử dụng để xác định thời gian xác lập thay cho 2%, khơng có khác biệt Với đáp ứng hệ bậc hai, ta có: t (s ) » zw0 Vì vậy, để có đáp ứng xác lập nhanh zw0 phải lớn Các cực hệ kín là: r1,2 = - zw0 ± j w0 - z Vì vậy, thời gian xác lập lớn cho phép PO xác định ta xác định vùng vị trí cực mong muốn cách xác định z zw0 tối thiểu cho phép Ví dụ, cho PO t s giới hạn bởi: PO £ 10% and ts £ 8s 26-5 Sổ tay Cơ điện tử HÌNH 26.6 Vùng điểm cực mong muốn hệ kín Yêu cầu PO ngụ ý z ³ , tương đương với q £ 53 ( nhớ cos( q) = z ) Yêu cầu thời gian xác lập thỏa mãn Re(r1,2 ) £ - 0.5 Vì vùng cực hệ kín vùng đậm màu hình 26.6 Hình minh họa vùng cực mong muốn hệ kín với yêu cầu thiết kế tương tự trường hợp thời gian rời rạc Nếu bậc hàm truyền đạt vịng kín T (s ) lớn hai, bậc phụ thuộc vào vị trí điểm cực điểm khơng nó, xấp xỉ đáp ứng bước hệ kín đáp ứng hệ bậc hai Ví dụ, xét hệ bậc ba w02 (s + 2zw0s + w02 )(1 + s / r ) T (s ) = r ? zw0 Đáp ứng độ chứa số hạng e - n So sánh với hình bao e - zw t số hạng sin, e - n giảm nhanh, đáp ứng tổng thể tương tự đáp ứng hệ bậc hai Vì vậy, tác động cực thứ ba r3 = - r khơng đáng kể Xét ví dụ khác: T (s ) = w02 [1 + s / (r + e)] (s + 2zw0s + w02 )(1 + s / r ) < e = r Trong trường hợp này, r không cần lớn nhiều so với zw0 , điểm không - (r + e) triệt tiêu tác động điểm cực - r Để thấy điều này, xét khai triển phần Y (s ) = T (s )R (s ) với R (s ) = 1/ s Y (s ) = A0 A1 A2 A3 + + + s s - r1 s - r2 s + r Trong A = A = lim (s + r )Y (s ) = s® - r w02 2zw0r - ( w02 + r ) ổ e ửữ ỗỗ ữ ỗốr + e ứữ Vỡ A đ e ® nên số hạng A 3e - n khơng đáng kể y (t ) Tóm lại, có triệt tiêu điểm cực-khơng xấp xỉ nửa mặt phẳng trái, cặp điểm cực-khơng lấp từ hàm truyền đạt T (s ) để xác định PO t s Cũng vậy, điểm cực gần với trục ảo có ảnh hưởng lớn tới đáp ứng độ y (t ) Để khái quát nhận xét này, cho r1, K , rn 26-6 Phương pháp quỹ đạo nghiệm cực T (s ) , Re(rk ) = Re(r2 ) = Re(r1 ) < , với k ³ Thì, cặp cực liên hợp phức r1,2 gọi cực trội Ta thấy thuộc tính đáp ứng độ mong muốn, là, PO t s , chuyển đổi thành yêu cầu vị trí cực trội 26.3 Xây dựng quỹ đạo nghiệm Như nói trên, quỹ đạo nghiệm chủ yếu giải việc tìm nghiệm đa thức đặc tính hàm thơng số K (26.5) c (s ) = D (s ) + KN (s ) Trong D(s ) N (s ) đa thức monic (có nghĩa hệ số lượng cao chuẩn hóa 1) Nếu N và/hoặc D không monic, hệ số cao bị nhập vào K Nguyên tắc quỹ đạo nghiệm Cần nhắc lại quỹ đạo nghiệm thông thường vị trí cực hệ kín K thay đổi từ đến + ¥ Nghiệm D(s ) , p1, K , pn cực, nghiệm N (s ), z 1, K , z m điểm không, hệ hở, G (s ) = KF (s ) Vì P (s ) C (s ) chuẩn, G (s ) chuẩn, n ³ m Do bậc đa thức c (s ) n có xác n nghiệm Cho cực hệ kín, có nnghĩa nghiệm c (s ) kí hiệu r1 (K ), K , rn (K ) Chú ý hàm K; phụ thuộc vào K rõ ràng, viết đơn giản r1, K , rn Các điểm £ thỏa mãn (26.5) với số K>0 nằm quỹ đạo nghiệm Rõ ràng là, điểm r Ỵ £ nằm quỹ đạo nghiệm nếu: K = - F (r ) (26.6) Điều kiện (26.6) tách làm hai phần: K = - F (r ) (26.7) ÐK = 0o = - (2l + 1) ´ 180o - ÐF (r ), l = 0, ± 1, ± 2, (26.8) Quy tắc pha (26.8) xác định điểm £ nằm quỹ đạo nghiệm Quy tắc độ lớn (26.7) xác định hệ số khuyếch đại K>0 mà quỹ đạo nghiệm cho điểm cho trước r Bằng cách sử dụng định nghĩa F (s ) , (26.8) viết lại sau: n (2l + 1) ´ 180o = å m Ð(r - pi ) - i= å Ð(r - z j ) (26.9) j=1 Tương tự, (26.7) tương đương với: K = Õ Õ n i= m j=1 r - pi r - zj (26.10) Xây dựng quỹ đạo nghiệm Có số gói phần mềm cho phép tạo quỹ đạo nghiệm tự động với F = N / D cho trước Cụ thể lệnh rlocus rlocfind MATLAB Trong nhiều trường hợp, quỹ đạo nghiệm gần vẽ tay sử dụng quy tắc Những quy tắc rút từ định nghĩa (26.5),(26.7) (26.8) Quỹ đạo nghiệm có n nhánh: r1 (K ), K , rn (K ) 26-7 Sổ tay Cơ điện tử Mỗi nhánh bắt đầu ( K @ ) điểm cực pi kt thỳc (khi K đ Ơ ) ti mt im không z j , hội tụ đường tiệm cận, Me j a l , M ® ¥ và: al = 2l + ´ 180o , n- m l = 0, ,(n - m - 1) Có ( n - m ) đường tiệm cận với góc a l Trung tâm đường tiệm cận (có nghĩa điểm giao trục thực chúng) là: sa = å n i= pi - å m j=1 zj n= m Một điểm x Ỵ ¡ nằm quỹ đạo nghiệm tổng số điểm cực pi ' s điểm không z j ' s bên phải x (có nghĩa tổng số điểm cực pi ' s với Re( pi ) > x cộng với tổng số điểm không z j ' s với Re(z j ) > x ) lẻ Vì F (s ) hàm hữu tỷ với hệ số thực nên điểm cực điểm không xuất liên hợp phức, tính số điểm cực điểm không bên phải điểm x Î ¡ cần xét điểm cực điểm không trục thực Các giá trị K để quỹ đạo nghiệm ngang qua trục ảo xác định từ việc kiểm tra tính ổn định Routh-Hurwitz Ta đặt s = j w (26.5) giải với w K thực thỏa mãn: D ( j w) + KN ( j w) = Chú ý có hai phương trình, cho phần thực cho phần ảo Các điểm đứt gẫy (giao hai nhánh trục thực) lời giải khả thi (thỏa mãn quy tắc 4) của: d F (s ) = ds (26.11) Góc điểm xuất phát ( K @ ) từ điểm cực phức, điểm đến tử điểm không phức ( K ® + ¥ ), xác định từ quy tắc pha Xem ví dụ Chúng ta bước xây dựng quỹ đạo nghiệm theo quy tắc cho: F (s ) = (s + 3) (s - 1)(s + 5)(s + + j 2)(s + - j 2) Trước tiên, liệt kê điểm cực điểm không: p1 = - + j 2, p2 = - - j 2, p3 = - 5, p4 = 1, z = - Do đó, n = m = Quỹ đạo nghiệm có bốn nhánh Ba nhánh hội tụ đường tiệm cận có góc 600, 1800, -60 0, nhánh hội tụ z = - HÌNH 26.7 Góc điểm xuất phát từ - + j 26-8 Phương pháp quỹ đạo nghiệm Trung tâm đường tiệm cận s = (- 12 + 3)/ = - Các khoảng (- ¥ , - 5] [-3,1] nằm quỹ đạo nghiệm Trục ảo qua nghiệm khả thi của: ( w4 - j 12w3 - 47 w2 + j 40w - 100) + K ( j w + 3) = (26.12) với w K thực Các phần thực ảo (26.12) là: w4 - 47 w2 - 100 + 3K = j w(- 12w2 + 40 + K ) = suy hai cặp lời giải khả thi (K = 100 / 3, w = 0) (K = 215.83, w = ± 4.62) Các điểm đứt gãy lời giải của: 3s + 36s + 155s + 282s + 220 = Vì nghiệm phương trình -4.55 ± j 1.11 - 1.45 ± j 1.11 nên khơng có lời giải trục thực, khơng có điểm đứt gãy Để xác định góc điểm xuất phát từ điểm cực phức p1 = - + j , cho D biểu diễn điểm quỹ đạo nghiệm gần điểm cực phức p1 , đặt vi , i = 1, K , , vectơ vẽ từ pi cho i = 1, K , từ z cho i = , biểu diễn hình 26.7 Cho q1 , K , q5 góc v1, K , v Quy tắc pha rằng: (q1 + q2 + q3 + q4 ) - q5 = ± 180o (26.13) D tiến tới p1 , q1 trở thành góc điểm xuất phát qi 's lại xấp xỉ góc vectơ vẽ từ điểm cực khác, từ điểm không tới điểm cực p1 Do q1 giải từ (26.13), q2 » 900 , q3 » t an - 1(2), q4 » 1800 - t an - çỉçççè25 ừ÷÷÷÷ , q5 » 900 + t an - ỗổỗỗỗố12 ữữữữửứ T ú q1 ằ - 15 Quỹ đạo nghiệm xác cho ví dụ biểu diễn hình 26.8 Từ kết mục nêu trên, dạng quỹ đạo nghiệm, kết luận hệ thống phản hồi ổn định nếu: 33.33 < K < 215.83 Có nghĩa cách điều chỉnh đơn giản hệ số khuyếch đại điều khiển, hệ thống ổn định Trong số trường hợp, cần sử dụng điều khiển động để thỏa mãn tất yêu cầu thiết kế 26-9 Sổ tay Cơ điện tử HÌNH 26.8 Quỹ đạo nghiệm cho F (s ) = (s + 3) (s - 1)(s + 5)(s + + j 2)(s + - j 2) Các ví dụ thiết kế Ví dụ Xét hệ thống phản hồi với đối tượng điều khiển: P (s ) = 1 0.72 (s + 1)(s + 2) thiết kế điều khiển cho:  Hệ thống phản hồi ổn định  PO £ 10%, t s £ 4s , sai số trạng thái ổn định không r (t ) hàm bước đơn vị  Sai số trạng thái ổn định nhỏ r (t ) hàm dốc đơn vị Rõ ràng mục tiêu thiết kế thứ hai đạt điều khiển khuyếch đại đơn giản Để thỏa mãn điều kiện này, điều khiển phải có điểm cực s = , ví dụ, cần phải có thành phần tích phân Nếu ta thử điều khiển tích phân dạng C (s ) = K c / s với K c > , quỹ đạo nghiệm có ba nhánh, khoảng [-1, 0] nằm quỹ đạo nghiệm, ba đường tiệm cận có góc {600 ,1800 , - 600 } với trung tâm s a = - ; có điểm đứt gẫy - + 13 , xem hình 26.9 Từ vị trí điểm đứt gẫy, tâm, góc đường tiệm cận, suy hai nhánh (một nhánh bắt đầu p1 = -1, nhánh lại bắt đầu p3 = ) nằm bên phải p1 Mặt khác, điều kiện thời gian xác lập phần thực điểm cực hệ kín trội phải -1 Do đó, thành phần tích phân đơn giản khơng thể làm điều Bây ta thử điều khiển PI có dạng: ỉs - z c ư÷ C (s ) = K c ỗỗ ữ, ố s ứữ Kc > Trong trường hợp này, ta chọn z c = - để triệt tiêu điểm cực p1 = -1, hệ thống trở thành hệ thống bậc hai Quỹ đạo nghiệm cho F (s ) = 1/ s (s + 2) có hai nhánh hai đường tiệm cận, với tâm s a = - góc {900 , - 900 } ; điểm gẫy -1 Các nhánh -2 0, hướng nhau, gặp -1, có xu hướng kéo dài vô tận dọc theo Re(s ) = - Các cực hệ kín là: r1,2 = - ± 1- K , t K = K c / 0.72 HÌNH 26.9 Quỹ đạo nghiệm ví dụ 26-10 Phương pháp quỹ đạo nghiệm Sai số trạng thái ổn định, r (t ) hàm dốc đơn vị, 2/K K cần phải thật lớn để thỏa mãn điều kiện thiết kế thứ Rõ ràng, Re(r1,2 ) = - với K ³ , thỏa mãn yêu cầu thời gian xác lập Phần trăm độ điều chỉnh nhỏ 10% z nghiệm r1,2 lớn 0.6 Một phép tính đơn giản cho thấy z = 1/ K , điều kiện thiết kế thỏa mãn K= 1/0.36, ví dụ K c = Do điều khiển PI thỏa mãn vấn đề thiết kế l: ổs + C (s ) = ỗỗ ố s 1÷ ÷ ÷ ø Bộ điều khiển hủy cực ổn định đối tượng điều khiển (tại s = -1) Nếu có khơng chắn vị trí điểm cực này, triệt tiêu hồn tồn khơng xảy hệ thống bậc ba với điểm cực thứ ba r3 @- Vì điểm khơng z = - gần triệt tiêu hiệu ứng điểm cực nên đáp ứng hệ thống gần với đáp ứng hệ bậc hai Tuy nhiên, ta phải cẩn thận triệt tiêu điểm cực – khơng gần trục ảo, trường hợp này, nhiễu nhỏ vị trí điểm cực dẫn đến thay đổi lớn đáp ứng hệ thống phản hồi, minh họa ví dụ sau Ví dụ Một cấu trúc linh hoạt với điểm cực suy giảm nhẹ có hàm truyền đạt sau: P (s ) = w12 s (s + 2zw1s + w12 ) Sử dụng quỹ đạo nghiệm, ta thấy điều khiển: C (s ) = K c (s + 2zw1s + w12 )(s + 0.4) (s + r )2 (s + 4) ổn định hệ thống phản hồi với r đủ lớn lựa chọn K c phù hợp Ví dụ, cho w1 = 2, z = 0.1 r = 10 Thì quỹ đạo nghiệm F (s ) = P (s )C (s ) / K K = K c w12 , biểu diễn hình 26.10 Cho K = 600, điểm cực hệ kín là: {- 10.78 ± j 2.57, - 0.94 ± j 1.61, - 0.2 ± j 1.99, - 0.56} HÌNH 26.10 Quỹ đạo nghiệm cho ví dụ 2(a) 26-11 Sổ tay Cơ điện tử HÌNH 26.11 Quỹ đạo nghiệm cho ví dụ 2(b) Vì điểm cực - 0.2 ± j 1.99 bị triệt tiêu cặp điểm không điểm hàm truyền T = G (G + G )- hệ kín, nên cực trội -0.56 - 0.94 ± j 1.61 (có phần thực âm tương đối lớn tỉ lệ suy giảm khoảng 0.5) Bây giờ, giả thiết điều khiển cố định điểm cực phức đối tượng điều khiển thay đổi chút cách đặt z = 0.09 w1 = 2.2 Quỹ đạo nghiệm tương ứng với hệ thống biểu diễn hình 26.11 Vì điểm cực phức suy giảm nhẹ không triệt tiêu hồn tồn, nên có hai nhánh gần trục ảo Hơn nữa, với giá trị K = 600, điểm cực hệ kín là: {- 10.78 ± j 2.57, - 1.21 ± j 1.86, 0.05 ± j 1.93, - 0.51} Trong trường hợp này, hệ thống phản hồi khơng ổn định Ví dụ Một ví dụ quan trọng hệ thống điện tử động chiều Hàm truyền gần động chiều có dạng: Pm (s ) = Km , s (s + 1/ t m ) tm > Nhận thấy t m lớn, Pm (s ) » Pb (s ) , Pb (s ) = K b / s hàm truyền rầm cứng Trong ví dụ này, lớp tổng quát đối tượng Pm (s ) xét Giả thiết pm = - 1/ t m K m cho trước, điều khiển bậc nhất: ỉs - z c ÷ ÷ C (s ) = K c ỗỗ ữ ốỗs - pc ÷ ø (26.14) thiết kế Mục đích để đặt điểm cực hệ kín xa trục ảo Vì bậc F (s ) = P (s )C (s ) / K m K c ba, quỹ đạo nghiệm có ba nhánh Giả thiết điểm cực mong muốn cho trước p1 , p2 p3 Thì, vấn đề đặt điểm cực rốt tìm {K c , zc , pc } cho phương trình đặc tính là: c (s ) = (s - p1 )(s - p2 )(s - p ) = s - ( p1 + p2 + p )s + ( p1 p2 + p1 p + p2 p )s - p1 p2 p3 Nhưng phương trình đặc tính thực, theo thông số điều khiển chưa biết, là: c (s ) = s (s - pm )(s - pc ) + k (s - z c ) = s - ( pm + pc )s + ( pm pc + K )s - K z c 26-12 Phương pháp quỹ đạo nghiệm Trong K:= K m K c Đặt hệ số c (s ) mong muốn với hệ số c (s ) thựcsẽ nhận ba phương trình theo ba tham số chưa biết: pm + pc = p1 + p2 + p ( pm pc + K ) = p1 p2 + p1 p3 + p2 p3 Kz c = p1 p2 p3 Từ phương trình thứ xác định pc , K đạt từ phương trình thứ hai, z c từ phương trình thứ ba Với giá trị số khác pm , p1, p2 p3 , dạng quỹ đạo nghiệm khác Dưới số ví dụ, với quỹ đạo nghiệm tương ứng hình 26.12 - 26.14 (a) pm = - 0.05, p1 = p2 = p3 = - Þ K = 11.70, pc = - 5.95, z c = - 0.68 HÌNH 26.12 Quỹ đạo nghiệm cho ví dụ 3(a) HÌNH 26.13 Quỹ đạo nghiệm cho ví dụ (b) 26-13 Sổ tay Cơ điện tử HÌNH 26.14 Quỹ đạo nghiệm cho ví dụ 3(c) (b) pm = - 0.5, p1 = - 1, p2 = - 2, p3 = - Þ K = 8.25, pc = - 5.50, z c = - 0.73 (c) pm = - 0.5, p1 = - 11, p2 = - + j 1, p3 = - - j Þ K = 35, pc = - 14, z c = - 5.343 Ví dụ Xét hàm truyền hệ hở: P (s )C (s ) = K c (s - 3s + 3)(s - z c ) s (s + 3s + 3)(s - pc ) Trong K c hệ số khuyếch đại điều khiển, z c pc điểm không điểm cực tương ứng Thấy quỹ đạo nghiệm có bốn nhánh trừ trường hợp z c = pc Cho điểm cực trội mong muốn hệ kín r1,2 = - 0.4 Sai số trạng thái tĩnh cho đầu vào tham chiếu dốc đơn vị là: ess = pc K c zc Tùy theo muốn tạo tỉ lệ K c z c / pc lớn Phương trình đặc tính là: c (s ) = s (s + 3s + 3)(s - pc ) + K c (s - 3s + 3)(s - z c ) dạng mong muốn là: c (s ) = (s + 0.4)2 (s - r3 )(s - r4 ) cho giá trị r3,4 với Re(r3,4 ) < , có nghĩa là: c (s ) s = - 0.4 = 0, d c (s ) ds s = - 0.4 = (26.15) Các điều kiện (26.15) đưa hai phương trình: 0.784(0.4 + pc ) - 4.36K c (0.4 + zc ) = 4.36K c - 0.784 - 1.08(0.4 + pc ) + 3.8K c (0.4 + z c ) = Từ zc pc giải theo Kc sau phép thay đơn giản, tỉ số dặt lớn nhất, Kczc/p c giảm tới: 26-14 Phương pháp quỹ đạo nghiệm K c zc 3.4776K c - 0.784 = pc 24.2469K c - 3.4776 Giá trị lớn K c 0.1297; từ pc = - 0.9508 z c = - 1.1637 Cho điều khiển này, điểm cực hệ hản hồi là: { - 1.64 ± j 0.37, - 1.64 - j 0.37, - 0.40, - 0.40} Quỹ đạo nghiệm biểu diễn hình 26.15 HÌNH 26.15 Quỹ đạo nghiệm cho ví dụ 26.4 Quỹ đạo nghiệm bổ sung Ở phần trước, thông số K quỹ đạo nghiệm giả thiết dương, pha quy tắc độ lớn thiết lập dựa trện giả thiết Có số trường hợp mà hệ số khuyếch đại điều khiển âm Vì vậy, hình ảnh hồn chỉnh nhận cách vẽ quỹ đạo nghiệm thông thường (với K>0) quỹ đạo nghiệm bổ sung (với K deg(N ) (ở N D không cần đa thức monic) Thực c (s ) khơng phải đa thức hàm siêu việt s Các hàm có dạng (26.20) thuộc lớp hàm đặc biệt gọi giả đa thức (quasi-polynomials) Các điểm cực hệ kín nghiệm (26.20) Đã biết (xem 1, 10):  Nếu rk nghiệm (20), rk (có nghĩa nghiệm xuất theo dạng cặp liên hợp phức thơng thường)  Có nhiều vơ hạn điểm cực rk Ỵ £ , k = 1, 2, K , thỏa mãn c (rk ) =  Và rk liệt kê theo cách mà Re(rk + 1) £ Re(rk ) ; hn na Re(rk ) đ - Ơ k đ ¥ Ví dụ Nếu G h (s ) = e - hs / s , điểm cực hệ thống vòng hở rk , với k = 1, 2, K , nghiệm của: 1+ e - hs k e - jh wk ± j 2k p e = s k + j wk (26.21) Trong rk = s k + j wk với số s k , wk Ỵ ¡ Chú ý e ± j 2k p = với k = 1, 2, K , Phương trình 26.1 tương đương với tập phương trình sau: e - hs k = s k + j wk (26.22) ± (2k - 1)p = h wk + Ð(s k + j wk ), (26.23) Điều thú vị với h = có nghiệm r = - , chí với h > có vơ hạn nghiệm Từ điều kiện độ lớn (26.22), biểu diễn: 26-17 Sổ tay Cơ điện tử s k ³ Þ wk £ (26.24) Cũng vậy, với s k ³ , pha Ð(s k + j wk ) nằm - p / + p / , (26.23) đưa ra: s k ³ Þ h wk ³ p (26.25) Bằng cách kết hợp (26.24) (26.25), chứng minh hệ thống phản hồi khơng có nghiệm nửa mặt phẳng đóng bên phải h < p / Hơn nữa, hệ thống không ổn định h ³ p / Cụ thể là, với h = p / có hai nghiệm trục ảo, ± j Cũng dễ dàng thấy rằng, với h > , k đ Ơ , cỏc nghim hi t v: rk đ ự 1ộ ổ2k p ữ ờ- ln ỗỗ ÷± j 2k p ú è h ÷ ø úû h êë Khi h ® , độ lớn nghiệm tiến tới ¥ Như biểu diễn ví dụ trên, (iii) chứng tỏ với số thực s cho bất kỳ, có hữu hạn nghiệm rk miền mặt phẳng phức £ s := {s Ỵ £ : Re(s ) ³ s } Cụ thể với s = , điều có nghĩa giả đa thức c (s ) có hữu hạn nghiệm nửa mặt phẳng phải Vì ảnh hưởng cực hệ kín có phần thực âm lớn bị bỏ qua (đến mức ứng xử vào – hệ kín bị liên quan), nên có hữu hạn nghiệm “trội” rk với k = 1, K , m phải tính tốn cho mục đích thực tế Các nghiệm trội giả đa thức Ta xét vấn đề sau: cho N (s ), D (s ) h ³ , tìm nghiệm trội giả đa thức: c (s ) = D(s ) + e - hs N (s ) Với giá trị cố định h > , thấy tồn s m ax cho c (s ) khơng có nghiệm vùng £ s , xem [11] với thuật toán đơn giản để ước lượng s m ax , dựa tiêu chuẩn Nyquist Cho h > vùng mặt phẳng phức định nghĩa s £ Re(s ) £ s m ax , vấn đề tìm nghiệm c (s ) miền m ax Rõ ràng, điểm r = s + j w £ nghiệm c (s ) nếu: D (s + j w) = - e - h s e - jh wN (s + j w) Lấy bình phương độ lớn hai vế công thức trên, c (r ) = suy As (x ) := D (s + x )D (s - x ) - e - 2h s N (s + x )N (s - x ) = x = j w Số hạng D (s + x ) có mặt với hàm D (s ) ước tính s + x Các số hạng khác As (x ) tính tương tự Với giá trị s cố định, hàm As (x ) đa thức biến x Nếu x điểm không As (×) , (- x ) điểm khơng Nếu As (x ) có nghiệm x l có phần thực 0, đặt rl = s + x l Tiếp theo, ước lượng độ lớn c (rl ) ; 0, n l nghiệm c (s ) Ngược lại, As (x ) khơng có nghiệm trục ảo, c (s ) khơng thể có nghiệm với phần thực giá trị cố định s mà từ As (×) xây dựng Thuật tốn Cho N (s ), D (s ), h, s s m ax : 26-18 Phương pháp quỹ đạo nghiệm Bước Lấy giá trị s 1, K , s n nằm khoảng s s m ax cho s = s 1, s i = s i + , s M = s m ax Với giá trị s i thực thứ sau Bước Xây dựng đa thức Ai (x ) theo: Ai (x ) := D (s i + x )D (s i - x ) - e - 2h s i N (s i + x )N (s i - x ) Bước Với nghiệm trục ảo x l Ai , thực phép kiểm tra sau: Kiểm tra có c (s i + x l ) = , r = s i + x l nghiệm c (s ) ; khơng loại bỏ x l Bước Nếu i = M dừng, khơng tăng i thêm nhảy tới bước hai Ví dụ Ta tìm nghiệm trội của: 1+ e - hs = s Với tập giá trị giới hạn h Nhớ (26.26) có cặp nghiệm ± j h = p / = 1.57 Hơn nữa, nghiệm trội (26.26) nửa mặt phẳng phải h > 1.57 , chúng bên nửa mặt phẳng trái h < 1.57 Do đó, với, h Î (1.2,2.0) ta cần nghiệm trội gần trục ảo Lấy s = - 0.5 s m ax = 0.5 , với M = 400 khoảng cách tuyến tính s i chúng Trong trường hợp này: Ai (x ) = s i2 - e - 2h s i - x Ngay e - 2h s ³ s i , Ai (x ) có hai nghiệm: i x l = ± j e - 2h s i - s i2 , l = 1, Với giá trị cố định s i thỏa mãn điều kiện này, đặt rl = s i + x l (cần nhớ x l hàm s i , rl hàm s i ) ước lượng: f ( s i ) := + e - hrl rl Nếu f (s i ) = , rl nghiệm (26.26) Cho 10 giá trị khác h Ỵ (1.2, 2.0) , hàm f (s ) vẽ hình 26.19 Hình giá trị khả thi s i với rl (được định nghĩa từ s i ) nghiệm (26.26) HÌNH 26.19 Tìm nghiệm trội 26-19 Sổ tay Cơ điện tử HÌNH 26.20 Các nghiệm trội h thay đổi từ 1.2 đến 2.0 Các nghiệm trội (26.26), h thay đổi từ 1.2 đến 2.0, hình 26.20 Với h < 1.57 , tất nghiệm nằm £ - Cho h > 1.57 , nghiệm trội £ + , với h = 1.57 nghiệm trội ± j Quỹ đạo nghiệm sử dụng xấp xỉ Padé Trong phần giả thiết h > cố định ta cố gắng nhận quỹ đạo nghiệm, tương ứng với hệ số khuyếch đại K không chắn/điều chỉnh được, tương ứng với cực trội Vấn đề giải việc tính theo phương pháp số nghiệm trội đa thức quasi: c (s ) = D (s ) + KN (s )e - hs (26.27) với K thay đổi, cách sử dụng phương pháp giới thiệu phần trước Trong phần phương pháp khác sử dụng xấp xỉ Padé số hạng e - hs trễ thời gian đưa Cụ thể tìm đa thức N h (s ) D (s ) thỏa mãn: N h (s ) Dh (s ) e - hs = (26.28) nghiệm trội: D(s )Dh (s ) + KN (s )N h (s ) = (26.29) gần với nghiệm trội c (s ) , (26.27) Chúng ta phải thực xấp xỉ (26.28) nào?bằng cách dùng phép đo tính ổn định bền vững từ tiêu chuẩn ổn định Nyquist, ta ta xét hàm giá sau để xác định độ lớn sai số xấp xỉ: K max N ( j w) e D ( j w) D h = : sup w jh w - N h ( j w) N h ( j w) Trong K m ax giá trị tối đa thông số K không chắn/điều chỉnh Xấp xỉ Padé bậc l định nghĩa sau: l N h (s ) = (- 1)k ck h k s k å k= l D h (s ) = å k= Trong hệ số ck tính từ: 26-20 ck h k s k Phương pháp quỹ đạo nghiệm ck = (2l - k ) ! l ! , 2l !k !( l - k ) ! k = 0, 1, , l Xấp xỉ bậc bậc hai dạng: ïì ïïï N h (s ) ï + = í Dh (s ) ïï ïï ïïỵ + hs / , hs / l = hs / + (hs )2 / 12 , hs / + (hs )2 / 12 l = Với số liệu cho { h, K m ax , N (s ), D (s ) }, ta tìm bậc l nhỏ xấp xỉ Padé, cho D h £ d (hoặc D h / K m ax £ d' ) với sai số d cho, sai số tương đối d' cho nào? Câu trả lời nằm kết sau [7]: với bậc xấp xỉ l cho trước, ta có: e - jh w ìï ổeh w ử2 l + 4l ù 2ỗ ữ ï ÷ , w £ eh N h ( j w) ùù ỗố l ứữ Ê N h ( j w) ïï 4l ïï 2, w³ eh ïỵ Từ ta giải vấn đề lựa chọn bậc xấp xỉ cách dùng thủ tục sau đây: Xác định tần số wx cho: K max N ( j w) d £ , D ( j w) với w ³ wx giá trị khởi tạo l = Với l ³ xác định: { wl = max wx , 4l eh } vẽ hàm ìï K N ( j w) ïï ma x ïï D ( j w) F l ( w) := ïí ïï K N ( j w) ïï ma x ïïỵ D ( j w) 2l + ổeh w ửữ ỗỗ ÷ è 4l ÷ ø , ,w £ 4l eh wt ³ w ³ 4l eh HÌNH 26.21 Nghiệm trội với l = Kiểm tra nếu: 26-21 Sổ tay Cơ điện tử max F l ( w) £ d w Ỵ [0, wx ] (26.30) Nếu dừng lại, giá trị l thỏa mãn giới hạn sai số yêu cầu D h £ d Nếu khơng tăng l lên 1, nhảy đến bước Chú ý vế trái bất đẳng thức (26.30) giới hạn D h Vì ta giả thiết Deg(D ) > Deg(N ) , cuối giải thuật qua bước với số hữu hạn l ³ Tại lần lặp lại, ta phải vẽ hàm sai số F l ( w) kiểm tra xem giá trị đỉnh có nhỏ d hay khơng Thơng thường, d giảm, wx tăng, kéo theo l tăng lên Mặt khác, với giá trị l lớn, độ lớn tương đối c0 / c l hệ số trở nên lớn, có khó khăn phân tích mơ Cũng vậy, thời gian trễ h tăng lên, l phải tăng lên để giữ mức sai số xấp xỉ d cố định Đây khó khăn liên quan đến hệ có trễ thời gian Ví dụ Đặt N (s ) = s + 1, D (s ) = s + 2s + , h = 0.1 , K m ax = 20 Khi đó, với d' = 0.5 , áp dụng thủ tục ta tính l = độ xấp xỉ nhỏ thỏa mãn D h / K m ax < d' Vì vậy, xấp xỉ bậc hai thời gian trễ đủ để dự đốn cực trội với K Ỵ [0,20] Hình 26.21 biểu diễn quỹ đạo nghiệm xấp xỉ nhận từ xấp xỉ Padé bậc l = 1,2,3 Có khác biệt đáng kể quỹ đạo nghiệm l = l = Trong vùng Re(s) ³ -12 , nghiệm trội dự đoán xấp xỉ giống với l = 2,3 , với K Ỵ [0,20] Do ta có nói sử dụng xấp xỉ bậc cao khơng tạo sai khác đáng kể dự đoán ứng xử cực trội với dải hệ số K cho trước References [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] 26-22 Bellman, R E., and Cooke, K L., Differential Difference Equations, Academic Press, New York, 1963 Dorf, R C., and Bishop, R H., Modern Control Systems, 9th ed., Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ, 2001 Evans, W R., “Graphical analysis of control systems,” Transac Amer Inst Electrical Engineers, vol 67 (1948), pp 547–551 Evans, W R., “Control system synthesis by root locus method,” Transac Amer Inst Electrical Engineers, vol 69 (1950), pp 66–69 Franklin, G F., Powell, J D., and Emami-Naeini, A., Feedback Control of Dynamic Systems, 3rd ed., Addison Wesley, Reading, MA, 1994 Kuo, B C., Automatic Control Systems, 7th ed., Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ, 1995 Lam, J., “Convergence of a class of Padé approximations for delay systems,” Int J Control, vol 52 (1990), pp 989– 1008 Ogata, K., Modern Control Engineering, 3rd ed., Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ, 1997 Özbay, H., Introduction to Feedback Control Theory, CRC Press LLC, Boca Raton, FL, 2000 Stepan, G., Retarded Dynamical Systems: Stability and Characteristic Functions, Longman Scientific & Technical, New York, 1989 Ulus, C., “Numerical computation of inner-outer factors for a class of retarded delay systems,” Int J Systems Sci., vol 28 (1997), pp 897–904  ... 1.64 - j 0.37, - 0.40, - 0.40} Quỹ đạo nghiệm biểu diễn hình 26. 15 HÌNH 26. 15 Quỹ đạo nghiệm cho ví dụ 26. 4 Quỹ đạo nghiệm bổ sung Ở phần trước, thông số K quỹ đạo nghiệm giả thiết dương, pha quy... đại âm Các nghiệm phương trình đặc tính K thay đổi - ¥ tạo quỹ đạo nghiệm bổ sung; xem hình 26. 16 26- 15 Sổ tay Cơ điện tử HÌNH 26. 16 Quỹ đạo nghiệm bổ sung cho ví dụ HÌNH 26. 17 Quỹ đạo nghiệm thông... khiển mơ hình hóa theo cách này, xem [9]) Dễ thấy phương trình đặc tính là: ỉ ö÷ ÷= s (l s + 1) + K c (1 - l s ) ỗỗs + ữ çè T I ø÷ 26- 2 Phương pháp quỹ đạo nghiệm HÌNH 26. 2 Quỹ đạo nghiệm tương ứng