Luận văn Phân loại tôpô các mặt compact

Luận văn Phân loại tôpô các mặt compact Tôpô là một ngành toán học nghiên cứu những bất biến qua nhóm các phép biến đổi liên tục. Một...

1 Luận văn tốt nghiệp Phân loại tôpô các mặt compact 2 MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Mục lục 1 Một số kí hiệu 2 Phần mở đầu 3 Phần nội dung 5 Chương I: Kiến thức chuẩn bị 5 I. Tôpô, không gian tôpô 5 II. Ánh xạ liên tục, đồng phôi 6 III. Tổng, tích, thương và phép dán các không gian tôpô 7 Chương II: Đa tạp tôpô 9 I. Đa tạp n-chiều 9 II. Mặt, mặt compact 12 III. Mặt định hướng được và không định hướng được 17 IV. Tổng liên thông 18 Chương III: Phân loại mặt compact 20 I. Dạng chính tắc của mặt cầu, tổng liên thông các mặt xuyến và tổng liên thông các mặt phẳng xạ ảnh 20 II. Phép tam giác phân của mặt compact 24 III. Định lí phân loại tôpô các mặt compact 28 IV. Hệ quả 34 V. Ví dụ minh hoạ 34 VI. Sơ lược về một hướng chứng minh khác của định lí 43 Phần kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 3 MỘT SỐ KÍ HIỆU Kí hiệu A  R n X  Y f -1 (U) D n n S  id A u S n S 2 B(x,  ) P 2 2 S  2 D D 2 S 1 # S 2 )S(  Giải thích Biên của tập A Không gian Euclide n-chiều Hai không gian đồng phôi Tạo ảnh của tập U Hình cầu đơn vị mở (đĩa mở) n-chiều Bán cầu bắc n-chiều Ánh xạ đồng nhất trên A Chuẩn Euclide của u Mặt cầu n-chiều Mặt cầu (2-chiều) Hình cầu mở tâm x, bán kính  Mặt phẳng xạ ảnh (thực) Nửa trên của mặt cầu Hình tròn đơn vị đóng (đĩa đóng) Hình tròn đơn vị mở (đĩa mở) Tổng liên thông của S 1 và S 2 Đặc trưng Euler của mặt S Trang xuất hiện đầu tiên 6 7 8 8 10 10 10 11 12 13 13 15 15 15 15 19 44 4 Phần mở đầu I. Lí do chọn đề tài Tôpô là một ngành toán học nghiên cứu những bất biến qua nhóm các phép biến đổi liên tục. Một trong những đối tượng nghiên cứu của tôpô học là đa tạp tôpô. Đây là sự khái quá hoá nhiều chiều từ khái niệm đường và mặt trong không gian Euclide 3-chiều. Việc nghiên cứu đa tạp đã được công nhận là có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như: Hình học, Giải tích phức, Đại số, Hình học đại số, Cơ học cổ điển, Thuyết tương đối, Thuyết lượng tử,… Việc phân lớp các đa tạp được xem là một trong những vấn đề quan trọng nhất của ngành tôpô. Đối với trường hợp đa tạp 2-chiều vấn đề đã được giải quyết với “định lí phân loại đa tạp compact 2-chiều” được phát biểu và chứng minh đầu tiên bởi H.R.Barahana vào năm 1922. Trường hợp đa tạp 2-chiều không compact cũng đã được phân loại. Đối với đa tạp có số chiều cao hơn thì tình hình rất khó khăn. Trong nổ lực phân loại đa tạp 3-chiều, Poincaré, nhà toán học vĩ đại người Pháp, đã phát biểu rằng: Một đa tạp compact 3-chiều mà nhóm cơ bản của nó là nhóm tầm thường thì đồng phôi với mặt cầu. Tuy nhiên ông không chứng minh được điều đó và nó được các nhà toán học trên thế giới quan tâm với tên gọi “giả thuyết Poincaré”. Suốt một thời gian dài kể từ khi giả thuyết Poincaré ra đời (1904) mọi nổ lực chứng minh vẫn không có kết quả đáng kể. Trong khi đó, những giả thuyết tương tự với số chiều cao hơn lần lượt được giải quyết bởi Stephen Smale (trường hợp n > 4, năm 1961) và Michael Freedman (trường hợp n = 4, năm 1982). Năm 1958, A.A.Markov đã chứng minh được không tồn tại thuật toán nào để phân loại các đa tạp có số chiều lớn hơn 3. Đây là một bất ngờ thú vị của toán học, chúng ta đã giải quyết vấn đề một cách triệt để trong trường hợp tổng quát (n  4), nhưng lại không giải quyết được trong trường hợp cụ thể (n = 3) gần với cuộc sống của chúng ta nhất. Năm 2000, Viện Toán học Clay (Mỹ) đã đưa giả thuyết Poincaré vào danh sách 7 bài toán mở quan trọng nhất cần giải quyết vì tầm quan trọng của nó trong toán học và vũ trụ. Vào những năm 1970, William Thurston đã đề xuất một giả thuyết khác, giả thuyết hình học hóa: Mọi đa tạp compact 3-chiều đều có thể cắt ra làm các phần mà mỗi phần thuộc một và chỉ một trong 8 dạng. Đây là sự tổng quát tuyệt vời từ giả thuyết Poincaré, nếu giải quyết được nó (tất nhiên sẽ kéo theo giải quyết được giả thuyết Poincaré) thì vấn đề phân loại về cơ bản là hoàn tất. Năm 2003, Grigory Perelman, nhà toán học người Nga, đã xuất sắc hoàn thành chứng minh giả thuyết hình học hóa và giả thuyết Poincaré nhờ sử dụng phương trình dòng Ricci. Chứng minh của ông đã được các nhà toán học trên thế giới kiểm chứng và công nhận bằng việc đề nghị trao cho ông huy chương Fields (2006), nhưng ông đã từ chối nhận giải. 5 Với ý nghĩa bước đầu nghiên cứu về đa tạp, tôi chọn đề tài “Phân loại tôpô các mặt compact”. Đây là đề tài nghiên cứu về sự phân loại đa tạp 2-chiều compact, liên thông. II. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về các đa tạp 2-chiều compact, liên thông và sự phân loại chúng. III. Nhiệm vụ nghiên cứu Phát biểu và chứng minh định lí phân loại đa mặt compact, nêu một vài ví dụ minh hoạ cho định lí. IV. Phạm vi nghiên cứu Các đa tạp 2-chiều compact, liên thông. V. Đối tượng nghiên cứu Định lí phân loại mặt compact. VI. Phương pháp nghiên cứu -Sưu tầm tài liệu từ sách, báo, internet. -Phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá, cụ thể hoá. VII. Cấu trúc đề tài Bản luận văn gồm có: Phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận. Phần nội dung được trình bày 3 chương Chương I: Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về tôpô cần dùng cho các chương sau. Chương II: Đa tạp tôpô Giới thiệu chung về đa tạp, sau đó đi sâu nghiên cứu đa tạp 2-chiều compact, liên thông (mặt compact) và xây dựng tổng liên thông của chúng. Chương III: Phân loại tôpô các mặt compact Đây là chương chính của bản luận văn, phát biểu và chứng minh định lí phân loại mặt compact. Nêu một vài ví dụ minh họa cho định lí. Ngoài ra, chương này cũng giới thiệu sơ lược một cách khác để chứng minh định lí bằng cách dùng hai bất biến tôpô là tính định hướng và đặc trung Euler của một mặt. Mặc dù đã rất cố gắng trong quá trình nghiên cứu và trình bày nhưng chắc chắn bản luận văn khó tránh khỏi thiếu sót. Rất mong những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn. 6 Phần nội dung CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ I. Tôpô, không gian tôpô I.1. Tôpô Cho một tập   X . Một họ  các tập con của X gọi là một tôpô trên X nếu thoả mãn các điều kiện: ( 1  ). X và  thuộc  ( 2  ). Hợp của tuỳ ý các tập thuộc  là thuộc  ( 3  ). Giao của hữu hạn các tập thuộc  là thuộc  I.2. Không gian tôpô Một tập X cùng một tôpô  trên X gọi là một không gian tôpô, kí hiệu là (  ,X ). Khi không có sự nhầm lẫn, ta kí hiệu gọn lại là X . Khi đó, một tập   G được gọi là tập mở của X . Tập con F của X gọi là tập đóng nếu F\X là tập mở. Các phần tử của không gian tôpô X thường gọi là điểm. I.3. So sánh 2 tôpô Cho hai tôpô  và  trên X , nếu    thì ta nói  yếu hơn  hoặc  mạnh hơn  . I.4. Lân cận, phần trong Cho một điểm x thuộc không gian tôpô X và một tập con A của X . Khi đó:  Tập con V của X được gọi là một lân cận của điểm x nếu tồn tại tập mở G sao cho VGx   . Nếu V là tập mở thì ta nói V là lân cận mở của x .  Điểm x được gọi là điểm trong của A nếu x có một lân cận V sao cho AV  . Tập gồm tất cả các điểm trong của A gọi là phần trong của A .  Điểm x được gọi là điểm biên của A nếu mọi lân cận V của x đều có    AV và    )A\X(V . Tập gồm tất cả các điểm biên của A gọi là biên của A , kí hiệu là A  . I.5. Không gian con Cho không gian tôpô (  ,X ) và A là một tập con của X . Khi đó, họ }G|AG{ A  là một tôpô trên A , gọi là tôpô cảm sinh bởi  trên A. Không gian A với tôpô cảm sinh A  gọi là không gian con của không gian tôpô X . I.6. Không gian Hausdorff 1. Định nghĩa 7 Không gian tôpô X được gọi là không gian Hausdorff (hay T 2 – không gian) nếu hai điểm y , x khác nhau bất kì của X luôn tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho    VU . 2. Tính chất Giả sử A là một tập con mở tuỳ ý của không gian Hausdorff. Khi đó A với tôpô cảm sinh bởi tôpô trên X là một không gian Hausdorff. I.7. Không gian compact, compact địa phương 1. Phủ, phủ mở Cho A là một tập con của không gian tôpô X . Một họ   I V   các tập con của X gọi là một phủ của A nếu  I VA    . Nếu mọi  V đều là tập mở thì ta nói   I V   là một phủ mở của A . 2. Tập compact, không gian compact, không gian compact địa phương Tập con A của không gian tôpô X được gọi là tập compact nếu mọi phủ mở của A trong X đều có một phủ con hữu hạn. Không gian tôpô X gọi là không gian compact nếu X là tập compact của X . Không gian tôpô X gọi là không gian compact địa phương nếu mọi điểm của nó đều có một lân cận U là tập compact. 3. Tính chất Mọi tập con đóng và bị chặn của R n là tập compact. I.8. Không gian liên thông 1. Định nghĩa Không gian tôpô X gọi là liên thông nếu X không biểu diễn được dưới dạng hợp của hai tập mở khác rỗng và rời nhau, tức là không tồn tại hai tập mở, khác rỗng U và V sao cho VUX   và    VU . 2. Tính chất Không gian tôpô X là liên thông khi và chỉ khi X không biểu diễn được dưới dạng hợp của hai tập đóng khác rỗng, rời nhau. II. Ánh xạ liên tục, đồng phôi II.1. Ánh xạ liên tục 1. Định nghĩa Cho hai không gian tôpô Y,X và ánh xạ YX:f  , khi đó: i). Ánh xạ f liên tục tại điểm x thuộc X nếu mọi lân cận mở V của )x(f trong Y luôn tồn tại lân cận mở U của x sao cho V)U(f  . ii). Ánh xạ f liên tục trên X (hay nói tắt là liên tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc X . 2. Tính chất i). Cho f là ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y . Khi đó f liên tục trên X khi và chỉ khi tạo ảnh của mọi tập đóng (hoặc mở) trong Y là tập đóng (hoặc mở) trong X . ii). Ánh xạ hợp của hai ánh xạ liên tục là ánh xạ liên tục. iii). Ảnh của một tập compact (hoặc liên thông) qua ánh xạ liên tục là một tập compact (hoặc liên thông). 8 3. Mệnh đề Cho không gian tôpô X thoả X =  n 1i i X  với X i là những tập con đóng của X và các ánh xạ liên tục f i : X i  Y (i = n,1 ) sao cho với mọi n,1j,i  ,  ji XX thì jiji XXjXXi |f|f   . Khi đó ánh xạ f: X  Y xác định bởi iX f|f i  (i = n,1 ) là ánh xạ liên tục. II.2. Ánh xạ mở, ánh xạ đóng 1. Định nghĩa Cho là một ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y . i). f là ánh xạ mở nếu ảnh của mọi tập mở trong X đều là tập mở trong Y . ii). f là ánh xạ đóng nếu ảnh của mọi tập đóng trong X đều là tập đóng trong Y . 2. Mệnh đề Cho f là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y. Nếu X compact và Y Hausdorff thì f là ánh xạ đóng. II.3. Đồng phôi Cho f là một song ánh từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y . Nếu f và 1 f  đều liên tục thì ta nói f là một phép đồng phôi từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y . Hai không gian tôpô X và Y được gọi là đồng phôi (kí hiệu YX  ) nếu tồn tại một phép đồng phôi giữa chúng. Quan hệ đồng phôi làm một quan hệ tương đương. III. Tổng, tích, thương và phép dán các không gian tôpô III.1. Tổng, tổng trực tiếp Cho     Ii ii ,X   là một họ các không gian tôpô. Đặt  Ii i XX   , xét họ  các tập con G của X thoả mãn ii XG  ,  I i  . Khi đó  là một tôpô trên X . Không gian tôpô   ,X được gọi lả tổng của họ các không gian tôpô đã cho, kí hiệu    Ii i XX . Nếu họ     Ii ii ,X   rời nhau thì   ,X gọi là tổng trực tiếp, kí hiệu i Ii XX   . III.2. Tích Descartes 1. Định nghĩa Cho     Ii ii ,X   là một họ các không gian tôpô. Đặt    Ii i XX và ii XX:  là phép chiếu thứ i. Ta gọi tôpô tích trên X là tôpô yếu nhất để i  liên tục với mọi I i  . Tập X với tôpô tích được gọi là tích của họ không gian tôpô đã cho. 2. Tính chất i). Tích của hai không gian Hausdorff là không gian Hausdorff. ii). Tích của hai không gian compact là không gian compact. III.3. Tôpô thương 1. Định nghĩa Cho f là một toàn ánh từ không gian tôpô (  ,X ) vào tập Y . Xét 9 })U(f|YU{ 1 Y   Dễ dàng chứng minh Y  là một tôpô trên Y và được gọi là tôpô thương trên Y cảm sinh bởi f. 2. Tính chất i). Tôpô thương là tôpô lớn nhất làm f liên tục. ii). Tập V đóng trong ),Y( Y  khi và chỉ khi )V(f 1 đóng trong (  ,X ). iii). Giả sử không gian tôpô Y với tôpô cảm sinh bởi YX:f  . Khi đó, nếu X compact (liên thông) thì Y cũng compact (liên thông). iv). Cho các không gian tôpô Z,Y,X và các toàn ánh YX:f  , ZY:g  . Nếu Y có tôpô thương cảm sinh bởi f và Z có tôpô thương cảm sinh bởi g thì tôpô trên Z cũng chính là tôpô cảm sinh bởi fg  . 3. Mệnh đề Cho f là một toàn ánh liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y . Nếu f là ánh xạ mở (hoặc đóng) thì tôpô trên Y là tôpô sinh bởi f. III.4. Không gian thương 1. Định nghĩa Cho không gian tôpô X và ~ là một quan hệ tương đương trên X . Đặt ~/XY  là tập thương của X theo quan hệ ~. Kí hiệu x ~ là lớp tương đương chứa x X  . Xét  là phép chiếu chính tắc từ X vào Y xác định bởi x ~ )x(   . Khi đó không gian tôpô Y với tôpô cảm sinh bởi  được gọi là không gian thương của X . 2. Định nghĩa Cho A là một tập con của không gian tôpô X , xét quan hệ tương đương ~ xác định bởi:       yx Ay,x y~x (với mọi Xy,x  ) Không gian thương ~/X (với ~ được xác định như trên) được gọi là không gian tôpô thương của X theo tập con A (kí hiệu là A/X ). 4. Tính chất Cho B,A là hai tập con rời nhau cua không gian tôpô X và ~ là một quan hệ tương đương xác định bởi:          yx By,x Ay,x y~x (với mọi Xy,x  ) Khi đó ~/XA/)B/X(B/)A/X(   III.5. Phép dán các không gian tôpô Cho hai không gian tôpô Y,X , A là một tập con của X và ánh xạ liên tục YX:f  . Gọi Z là không gian tổng của X và Y . Trên Z ta định nghĩa quan hệ tương đương ~ như sau: 10                 )A(fAvu )v(fu),A(fv )u(fv),A(fu )v(fu,Av )u(fv,Au v~u 1 1 (với mọi Zv,u  ) Khi đó không gian thương ~/Z được gọi là không gian nhận được nhờ phép dán X với Y bởi ánh xạ f (kí hiệu YX f  ). CHƯƠNG II: ĐA TẠP TÔPÔ I. Đa tạp n -chiều I.1. Định nghĩa Một đa tạp n -chiều ( n nguyên dương) là một không gian Hausdorff mà mỗi điểm của nó đều có một lân cận mở đồng phôi với đĩa mở n -chiều n D . với                     1xxR)x,,x,x(xD 2 1 n 1i 2 i n n21 n  Một đa tạp n -chiều còn được gọi là n -đa tạp. Ví dụ: n R là một n -đa tạp. Nhận xét: Từ định nghĩa ta có thể suy ra mọi n-đa tạp đều compact địa phương. Thật vậy, mọi điểm của n-đa tạp đều tồn tại lân cận mở đồng phôi với D n mà D n là compact. Vậy mọi n-đa tạp đều compact địa phương. I.2. Bổ đề Các không gian n D , n S  , n R đồng phôi với nhau. trong đó   0x,1x|R)x,x,,x(S 1n 1n 1nn1 n      Chứng minh Ta sẽ chứng minh n D đồng phôi với n S  và n D đồng phôi với n R bằng cách chỉ ra các phép đồng phôi giữa chúng. Xét ánh xạ: ))xx(1,x,,x()x,,x( SD:f 2 n 2 1n1n1 nn 1     )x,,x()x,x,,x( DS:f n11nn1 nn 2     Dễ dàng chứng minh f 1 , f 2 là các ánh xạ liên tục. Mặt khác, với điểm )x,,x(x n1  tuỳ ý thuộc n D ta có   x))xx(1,x,,x(f)x(ff 2 n 2 1n1212   Suy ra n D 12 idff  (1) D n S + n f 2 (M) x n+1 x 2 x 1 M Hình 1 [...]... liên thông của mặt phẳng xạ ảnh với mặt xuyến đồng phôi với tổng liên thông 3 mặt phẳng xạ ảnh III Định lí phân loại tôpô các mặt compact Mỗi mặt compact S bất kì đều đồng phôi với một và chỉ một trong ba loại mặt sau: mặt cầu, tổng liên thông của các mặt xuyến, tổng liên thông của các mặt phẳng xạ ảnh Chứng minh III.1 Bước 1: Chứng minh S là không gian thương của một hình n-cạnh với các cặp cạnh xác... chai Klein là tổng liên thông của hai mặt phẳng xạ ảnh, mà mặt phẳng xạ ảnh không định hướng được Do đó, theo chú ý IV.2 ta suy ra chai Klein không định hướng được 21 CHƯƠNG III PHÂN LOẠI TÔPÔ CÁC MẶT COMPACT I Dạng chính tắc của mặt cầu, tổng liên thông của các mặt xuyến, tổng liên thông của các mặt phẳng xạ ảnh I.1 Dạng chính tắc của mặt cầu Giả sử chúng ta có một mặt cầu và chúng ta cắt nó theo 1 đường... Một mặt mà mọi đường cong kín trên nó đều là đường bảo toàn hướng được gọi là mặt định hướng được (hay còn gọi là mặt hai phía) Một mặt mà có một đường cong kín trên nó là đường đảo hướng được gọi là mặt không định hướng được (hay còn gọi là mặt một phía) III.2 Ví dụ 1 Mặt phẳng R2, mặt cầu, mặt xuyến Mọi đường cong kín trên R2, mặt cầu, mặt xuyến đều là đường bảo toàn hướng Do đó R2, mặt cầu, mặt. .. đồng phôi với tổng liên thông của 2m + n mặt phẳng xạ ảnh Như vậy định lí được chứng minh xong IV Hệ quả Mỗi mặt compact định hướng được đều đồng phôi với mặt cầu hoặc tổng liên thông các mặt xuyến Mỗi mặt compact không định hướng được đều đồng phôi với tổng liên thông của các mặt phẳng xạ ảnh V Ví dụ minh họa V.1 Ví dụ 1 Xét mặt compact S có một phép tam giac phân là 36 123 134 145 152 623 634 645 452... A là n-đa tạp II Mặt, mặt compact II.1 Định nghĩa Một đa tạp 2-chiều liên thông được gọi là một mặt Một đa tạp 2-chiều liên thông, compact được gọi là một mặt compact II.2 Mặt cầu S2 (S2 = {x R3 | x  1 } Theo mệnh đề I.4 ta có S2 là 2-đa tạp Dễ thấy S2 là liên thông, tức S2 là một mặt Ta sẽ chứng minh S2 là mặt compact Nhắc lại rằng mọi tập con đóng và bị chặn của Rn đều là tập compact Rõ ràng S2... của n mặt xuyến  Trường hợp 2 Đa giác cuối cùng có các cặp cạnh loại 1 xen kẽ nhau và có cả cặp cạnh loại 2 Giả sử đa giác có m bộ bốn (mỗi bộ bốn gồm hai cặp cạnh loại 1 xen kẽ nhau) và n cặp cạnh loại 2, tất nhiên mỗi cặp cạnh loại phải kề nhau dạng aa vì chúng ta đã thực hiện xong bước 4 và ở bước 5 không làm tách các cặp cạnh này Khi đó, mặt S chính là tổng liên thông của m mặt xuyến và n mặt phẳng... Định lí 27 Mọi mặt compact đều tồn tại phép tam giác phân II.5 Bổ đề Tổng liên thông của một mặt xuyến và một mặt phẳng xạ ảnh đồng phôi với tổng liên thông của ba mặt phẳng xạ ảnh Chứng minh Theo ví dụ IV.3, tổng liên thông của hai mặt phẳng xạ ảnh là chai Klein Do đó ta chỉ cần chứng minh tổng liên thông của mặt xuyến và mặt phẳng xạ ảnh đồng phôi với tổng liên thông của chai Klein và mặt phẳng xạ... hai mặt S1 và S2 là không gian có được bằng cách cắt đi một lỗ tròn nhỏ trên trên mỗi mặt, sau đó dán chúng lại dọc theo biên của hai lỗ tròn IV.2 Tính chất Với mọi mặt S, S1, S2, S3 ta có: i S1 # S2 là một mặt không phụ thuộc vào việc chọn các đĩa mở D1, D2 và phép đồng phôi f ii S1 # S2  S2 # S1 iii (S1 # S2) # S3  S1 # (S2 # S3) iv S # S2  S2 # S  S Như vậy tập hợp các lớp đồng phôi các mặt compact. .. mặt xuyến là các mặt định hướng được (mặt hai phía) 2 Lá Mobius Xét đường cong kín c như hình vẽ c c Hình 15 Đường c như trên là một đường đảo hướng và do đó lá Mobius là mặt không định hướng được (mặt một phía) 3 Mặt phẳng xạ ảnh Mặt phẳng xạ ảnh có một tập con là lá Mobius, mà trên lá Mobius có một đường đảo hướng Do đó mặt phẳng xạ ảnh cũng có một đường đảo hướng Vậy mặt phẳng xạ ảnh là mặt không định... xạ ảnh là không gian thương của hình 2n-cạnh với các cạnh được đồng nhất từng đôi Hình 2n-cạnh như vậy được gọi là dạng chính tắc của tổng liên thông n mặt phẳng xạ ảnh II Phép tam giác phân của mặt compact II.1 Định nghĩa Cho một mặt compact S Một họ hữu hạn các tập con đóng {T1, T2,…, Tn} của S được gọi là một phép tam giác phân của S nếu thoả mãn các điều kiện sau: n i) T i S i 1 ii) Với mỗi . mặt cầu, tổng liên thông các mặt xuyến và tổng liên thông các mặt phẳng xạ ảnh 20 II. Phép tam giác phân của mặt compact 24 III. Định lí phân loại tôpô. Phân loại tôpô các mặt compact . Đây là đề tài nghiên cứu về sự phân loại đa tạp 2-chiều compact, liên thông. II. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về các