Toán rời rạc hệ thức đệ quy

Chương HỆ THỨC ĐỆ QUY Phần I Hướng dẫn sử dụng Maple Để giải hệ thức đệ quy ta sử dụng hàm rsolve(eqns, fcns), eqns hệ thức đệ quy, điều kiện ban đầu; fcns giá trị cần tìm Ví dụ Tìm nghiệm hệ thức đệ quy an − 5an−1 + 6an−2 = > rsolve(a(n)-5*a(n-1)+6*a(n-2)=0, a(n)); − (−3 a (0) + a (1)) 2n − (2 a (0) − a (1)) 3n Như cần biết thêm giá trị a0 a1 ta biết cơng thức an Ví dụ Tìm nghiệm xn+1 − 6xn + 9xn−1 = (18n + 12)3n ; x0 = 2; x1 = > f := rsolve({x(n+1)-6*x(n)+9*x(n-1) = (18*n+12)*3ˆn, x(0) = 2, x(1) = 0}, x(n)); 3n + 2(−2n − 2)3n − 8(n + 1) 1 n + 3n + 6(n + 1) n + 2 n + 3n > simplify(f); 3n (2 − 5n + 2n2 + n3 ) Như nghiệm hệ thức đệ quy xn = (n3 + 2n2 − 5n + 2)3n   an+1 = an − bn ; bn+1 = 2an + 4bn ; Ví dụ Tìm nghiệm  a0 = 2; b0 = > rsolve({a(n+1) = a(n)-b(n), b(n+1) = 2*a(n)+4*b(n), a(0) = 2, b(0) = 1}, {a(n), b(n)}); {a(n) = ∗ 2n − ∗ 3n , b(n) = −5 ∗ 2n + ∗ 3n } Như nghiệm hệ thức đệ quy an = · 2n − · 3n ; bn = −5 · 2n + · 3n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phần II Bài tập Bài 4.1 Một cầu thang gồm n bậc Mỗi bước gồm 2, bậc Gọi xn số cách hết cầu thang, tìm hệ thức đệ quy xn ? Bài 4.2 Cho n số nguyên dương Hãy tìm hệ thức đệ quy an với an số chuỗi bit có độ dài n mà a) chứa bit liên tiếp d) không chứa bit liên tiếp b) không chứa bit liên tiếp e) số lượng bit số chẵn c) chứa bit liên tiếp f)* chứa 01 Đối với trường hợp tính a6 Bài 4.3 Một chuỗi số chứa 0, gọi chuỗi tam phân Hãy tìm hệ thức đệ quy xn với xn chuỗi tam phân có độ dài n mà a) khơng chứa chữ số liên tiếp b) chứa chữ số liên tiếp c) không chứa 012 d)* không chứa chữ số liên tiếp chữ số liên tiếp e)* chứa chữ số liên tiếp giống Đối với trường hợp tính x6 Bài 4.4 Giải hệ thức đệ qui tuyến tính sau a) a0 = an+1 = −3an , ∀n ≥ b) a1 = −5 an = 8an−1 , ∀n ≥ c) a2 = 28, a3 = −8 an = 4an−2 , ∀n ≥ d) a0 = 1, a1 = an+1 = 5an − 6an−1 , ∀n ≥ e) a1 = 6, a2 = an+2 = 4an+1 − 4an , ∀n ≥ Bài 4.5 Giải hệ thức đệ qui tuyến tính khơng sau a) a0 = −3 an = an−1 + 9, ∀n ≥ b) a1 = 13 an+2 = −2an+1 + 5.3n+1 , ∀n ≥ c) a2 = 61 an+1 = 3an + 4n − 6, ∀n ≥ d) a0 = −7 an+1 = −4an − 2(−4)n+1 (n − 2), ∀n ≥ e) a3 = 128 an+2 = 5an+1 − 12, ∀n ≥ Bài 4.6 Giải hệ thức đệ qui tuyến tính khơng sau CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt a) a0 = 1, a1 = an+2 = 5an+1 − 6an + 4, ∀n ≥ b) a1 = −4, a2 = 19 an+1 = 5an − 4an−1 + 3, ∀n ≥ c) a2 = −5, a3 = −26 an = 2an−1 − an−2 − 10, ∀n ≥ d) a0 = 3, a1 = −5 an = 2an−1 + 3an−2 + 8(−1)n+1 , ∀n ≥ e) a1 = −13, a2 = 50 an+2 = −7an+1 − 10an + (40n − 1)3n , ∀n ≥ f) a2 = −28, a3 = −149 an+1 = 2an − an−1 − 12n2 − 24n + 4, ∀n ≥ Bài 4.7 Giải hệ thức đệ quy sau a) b) c) xn + 4xn−1 − 5xn−2 = 12n + 8; d) x0 = 0, x1 = −5 2xn+2 + 5xn+1 + 2xn = (35n + 51)3n ; e) x0 = 3, x1 = xn+2 − 2xn+1 + xn = 2; f) x0 = 1, x1 = 2xn − 5xn−1 + 2xn−2 = −n2 − 2n + 3; x0 = 1, x1 = xn+2 − 16xn+1 + 64xn = 128 · 8n ; x0 = 2, x1 = 32 xn+2 − 8xn+1 + 15xn = · 5n+1 ; x0 = −1, x1 = −2 Bài 4.8 Tính tổng số sau theo n nguyên : n a) Sn = 13 + 23 + + n3 (n ≥ 1) d) Sn = (k + 1)(k + 2)2k (n ≥ 0) k=0 n b) Sn = 14 + 24 + + n4 (n ≥ 1) e) Sn = (2k − 1)(−3)k (n ≥ 0) k=0 n 4 f) Sn = n c) Sn = −1 + + + (−1) n (n ≥ 1) (k − 2k + 4k)(−1)k (n ≥ 1) k=1 Bài 4.9 Cho n ≥ Vẽ n đường thẳng mặt phẳng cắt đôi khơng có đường thẳng đồng qui Hỏi đường thẳng chia mặt phẳng thành miền? Bài 4.10 Giả sử dân số giới năm 2000 tỉ người tốc độ tăng dân số giới 3% năm Cho số nguyên n ≥ 2000 Tính dân số giới vào năm n Bài 4.11 Cho số nguyên n ≥ Có chuỗi ký tự gồm n ký tự (n ký tự lấy tùy ý từ ký tự a, b, c) cho chuỗi ký tự khơng có ký tự a đứng gần nhau? Bài 4.12 Cho số nguyên n ≥ Có chuỗi ký tự gồm n ký tự (n ký tự lấy tùy ý từ ký tự 1, 2) cho chuỗi ký tự ký tự đứng gần nhau? Bài 4.13 Cho a0 = α, a1 = β an+2 = an+1 + an , ∀n ≥ Chứng minh an = βfn + αfn−1 , ∀n ≥ fm số hạng thứ m (m ≥ 0) dãy số Fibonacci (f0 = 0, f1 = fn+2 = fn+1 + fn , ∀n ≥ 0) Bài 4.14 Tính an bn , ∀n ≥ biết a0 = 1, b0 = 2, an+1 = 3an + 2bn bn+1 = an + 2bn , ∀n ≥ (Hướng dẫn: Tìm λ, µ thỏa an+1 +λbn+1 = µ(an +λbn ) tính un = an +λbn , ∀n ≥ 0) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... gồm n bậc Mỗi bước gồm 2, bậc Gọi xn số cách hết cầu thang, tìm hệ thức đệ quy xn ? Bài 4.2 Cho n số nguyên dương Hãy tìm hệ thức đệ quy an với an số chuỗi bit có độ dài n mà a) chứa bit liên tiếp... chứa 01 Đối với trường hợp tính a6 Bài 4.3 Một chuỗi số chứa 0, gọi chuỗi tam phân Hãy tìm hệ thức đệ quy xn với xn chuỗi tam phân có độ dài n mà a) không chứa chữ số liên tiếp b) chứa chữ số... − 1)3n , ∀n ≥ f) a2 = −28, a3 = −149 an+1 = 2an − an−1 − 12n2 − 24n + 4, ∀n ≥ Bài 4.7 Giải hệ thức đệ quy sau a) b) c) xn + 4xn−1 − 5xn−2 = 12n + 8; d) x0 = 0, x1 = −5 2xn+2 + 5xn+1 + 2xn = (35n