Tài liệu Chuyên đề Giải toán bằng cách lập hệ phương trình

tai lieu, document1 of 66 CHUYÊN ĐỀ GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Các bước chung Bước 1: Lập hệ phương trình: -Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn đặt điều kiện thích hợp cho chúng - Biểu diễn đại lượng chưa biết toán theo ẩn (chú ý đơn vị) - Dựa vào kiện, điều kiện tốn để lập hệ phương trình Bước 2: Giải hệ phương trình Bước 3: Nhận định, so sánh kết nghiệm hệ phương trình với điều kiện tốn Kết luận, trả lời, nêu rõ đơn vị đáp số B.CÁC DẠNG TỐN Dạng Bài tốn Chuyển động + Dựa vào đại lượng: quãng đường (S), vận tốc (V), thời gian (T) vật công thức: S  V.T; V  S S ;T  T V + Chú ý xem vật chuyển động chiều, ngược chiều, hay chuyển động xuôi ngược, xuất phát trước hay xuất phát sau, có thay đổi vận tốc đường hay không + Cần chọn mốc thời gian, chọn chiều dương chuyển động + Dựa vào nguyên lý cộng vận tốc: Ví dụ giải tốn chuyển động thuyền sơng, đạp xe ngược gió, xi gió Khi ta có: vxi dịng= vdòng nước+ vthực vngược dòng = vthực - vdòng nước Ví dụ minh hoạ 1: Một xe tải từ Tp Hồ Chí Minh đến Tp Cần Thơ, biết quãng đường dài 189 km Sau xe tải xuất phát giờ, xe khách từ Tp Cần Thơ Tp Hồ Chí Minh gặp xe tải sau 48 phút Tính vận tốc xe, biết xe khách nhanh xe tải 13 km Hướng dẫn giải: Phân tích đề: Đổi đơn vị: 48 phút = Sơ đồ hoá thơng tin tốn: luan 1. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document2 of 66 V (km/h) Xe tải X Xe khách Y Quan hệ y  x  13 T(h) 1 S(km) 14  5 14 x 9 y 14 x  y  189 5 Giải: Gọi x (km/h) vận tốc xe tải (x > 0) Gọi y (km/h) vận tốc xe khách (y > 13) Thời gian xe tải từ lúc khởi hành đến lúc gặp là:  14  5 Quãng đường xe tải từ lúc khởi hành đến lúc gặp Thời gian xe khách từ lúc xuất phát đến lúc gặp 14 x (km) Quãng đường xe khách từ lúc xuất phát đến lúc gặp y 9 14 14  x  y  189  x  y  189 Theo ra, ta có hệ phương trình:  5 5  y  x  13  x  y  13  x  36 Giải hệ phương trình ta nghiệm  (thỏa mãn điều kiện)  y  49 KL: Vận tốc xe tải là: 36 (km/h) Vận tốc xe khách là: 49 (km/h) luan 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document3 Ví dụ minh hoạ 2: of Một66 tơ từ A dự định đến B lúc 12 trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến B chậm so với dự định Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B sớm so với dự định Tính độ dài quãng đường AB thời điểm xuất phát ô tô A Hướng dẫn giải: Phân tích đề: Trong đề này, cần ý đến câu hỏi tính độ dài quãng đường thời gian (thời điểm xuất phát) Do đó, ta đặt ẩn hai đại lượng Dựa vào mối tương quan vận tốc, thời gian đi, ta suy phương trình cần tìm Bảng phân tích tóm tắt: V(km/h) Dự định T(h) S(km) x y Nếu xe chạy chậm 35 x2 35  x   Nếu xe chạy nhanh 50 x 1 50  x  1 Giải: Gọi y (km) độ dài quãng đường AB (y > 0) Gọi x (h) thời gian từ A đến B theo dự định  x  1 Nếu xe chạy với vận tốc 35 (km/h), đến B chậm so với dự định nên ta có phương trình: 35  x    y 1 Nếu xe chạy với vận tốc 50 (km/h), đến B sớm so với dự định nên ta có phương trình: 50  x  1  y   Từ (1) (2), ta có hệ phương trình: 35x  70  y  y  35x  70 35  x    y    50x  50  y  y  50x  50 50  x  1  y  y  350 Giải hệ phương trình ta nghiệm  (thoả mãn điều kiện) x  KL: Quãng đường AB dài: 350 (km) Thời điểm ô tô xuất phát A là: 12 - = sáng BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng chuyển động ngược chiều Bài 1: Hai người hai địa điểm A B cách 3,6km khởi hành lúc, ngược chiều gặp điểm cách A 2km Nếu hai giữ nguyên vận tốc trường hợp trên, luan 3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document4 of 66 người chậm xuất phát trước người phút họ gặp quãng đường Tính vận tốc xe Bài 2: Bác Tài xe đạp từ thị xã làng, cô ba Ngân xe đạp từ làng lên thị xã Họ gặp bác Tài 1h 30 phút, cịn ba Ngân Một lần khác, hai người từ hai địa điểm họ khởi hành đồng thời; sau 15 phút họ cịn cách 10,5km Tính vận tốc người, biết khoảng cách từ làng đến thị xã 38km Bài 3: Quãng đường AB gồm đoạn lên dốc dài 4km, đoạn xuống dốc dài 5km Một người xe đạp từ A đến B 40 phút từ B A 41 phút Biết vận tốc lúc lên dốc xuống dốc không đổi Tính vận tốc lúc lên dốc vận tốc lúc xuống dốc Bài 4: Hai xe khởi hành lúc từ hai địa điểm A, B cách 130km gặp sau Tính vận tốc xe, biết xe từ B có vận tốc nhanh xe từ A km/h Dạng chuyển động chiều Bài 5: Một ô tô quãng đường AB với vận tốc 50km/h, tiếp quãng đường BC với vận tốc 45km/h Biết tổng chiều dài quãng đường AB BC 165km thời gian tơ qng đường AB thời gian ô tô quãng đường BC 30 phút Tính thời gian tơ qng đường AB BC Dạng chuyển động chiều ngược chiều Bài 6: Hai vật chuyển động đường tròn đường kính 20cm, xuất phát lúc, từ điểm Nếu chuyển động chiều 20 giây chúng lại gặp lần Nếu chuyển động ngược chiều giây chúng lại gặp Tính vận tốc vật Bài 7: Ga Huế cách ga Quảng Trị 65km Một xe tải từ Quảng Trị vào Huế, xe khách từ Huế Quảng Trị Biết xe khách khởi hành sau xe tải 36 phút sau 24 phút chúng gặp Nếu hai xe khởi hành đồng thời Hà Nội (đi chiều) sau 13 hai xe gặp Tính vận tốc xe, biết xe khách nhanh xe tải Bài 8: Một ca nơ xi dịng qng sơng dài 12km ngược dịng qng sơng 30 phút Nếu quãng sơng ấy, ca nơ xi dịng 4km ngược dịng 8km hết 20 phút Tính vận tốc ca nơ vận tốc riêng dịng nước Dạng toán thay đổi vận tốc đường Bài 9: Một người xe đạp từ A đến B với thời gian định sẵn Khi cách B 30km, người nhận thấy đến B muộn nửa giữ nguyên vận tốc Do đó, người tăng vận tốc thêm 5km/h đến B sớm nửa so với dự định Tính vận tốc lúc đầu người Bài 10: Một tơ từ A đến B với vận tốc xác định Nếu vận tốc tăng thêm 30km/h thời gian giảm Nếu vận tốc giảm 15km/h thời gian tăng thêm Tính vận tốc ơtơ HƯỚNG DẪN GIẢI luan 4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, Bài 1: document5 Phân tích đề:of 66 Đổi đơn vi: phút  10 Khi khởi hành lúc: Khi người chậm (B) xuất phát trước: Bảng phân tích tóm tắt: V (km/h) Quãng đường Quãng đường khởi hành lúc khởi hành khác T1  T2  km  T1  Người xuất phát từ A x 1,8 Người xuất phát từ B y 1,6 1,8 1,  x y 1,8 1,8   x 10 y Quan hệ Giải: Gọi x (km/h) vận tốc người từ A (x > 0) Gọi y (km/h) vận tốc người từ B (y > 0) Khi hai người xuất phát lúc, gặp địa điểm cách A 2km, ta có: luan  T2  km  10 5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document6 of 66 Thời gian người A từ lúc người xuất phát đến gặp x Thời gian người B từ lúc người xuất phát đến gặp 1, y Vì thời gian hai người nên ta có phương trình 1,  1 x y Vì xuất phát lúc, người B quãng đường ngắn nên suy vận tốc B nhỏ A: xy Khi người từ B xuất phát trước phút  giờ, hai người gặp điểm quãng 10 đường cách A B 1,8km, ta có: Thời gian người B từ lúc B xuất phát đến gặp 1,8 y Thời gian người A từ lúc A xuất phát đến gặp 1,8 x Do B xuất phát trước phút nên ta có phương trình 1,8 1,8    2 x 10 y  1,  1, x  y x  y    Từ (1) (2), ta có hệ phương trình:   1,8   1,8 1,8  1,8   y 10  x 10 y  x  x  4,5 Giải hệ phương trình ta nghiệm  (thoả mãn điều kiện)  y  3, KL: Vận tốc người xuất phát từ A là: 4,5 (km/h) Vận tốc người xuất phát từ B là: 3,6 (km/h) Bài 2: Đổi: 15 phút  Gọi x (km/h) vận tốc bác Tài (x > 0) Gọi y (km/h) vận tốc cô Ba Ngân (y > 0) Lần thứ nhất: Quãng đường bác Tài là: l,5x (km) Quãng đường cô Ba Ngân là: 2y (km) Hai người gặp nhau, nên tổng quãng đường hai người độ dài quãng đường từ làng đến thị xã, ta có: 1,5x  2y  38 1 luan 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, of 66 Lẩn thứdocument7 hai: Quãng đường bác Tài x  km  Quãng đường cô Ba Ngân y  km  Hai người sau 15 phút cịn cách 10,5 km nên ta có phương trình 5 x  y  10,5  38   4 1,5x  2y  38  Từ (1) (2), ta có hệ phương trình:  5  x  y  10,5  38  x  12 Giải hệ phương trình ta nghiệm  (thoả mãn điều kiện)  y  10 KL: Vận tốc bác Tài là: 12 (km/h) Vận tốc cô Ba Ngân là: 10 (km/h) Bài 3: Đổi: 40 phút = 40 41 41 phút = 60 60 Gọi x (km/h) vận tốc lên dốc xe (x > 0) Gọi y (km/h) vận tốc xuống dốc xe (y > 0) Khi từ A đến B: đoạn lên dốc dài km, xuống dốc dài km Thời gian đoạn lên dốc : x Thời gian đoạn xuống dốc là: y Tổng thời gian từ A đến B 40 phút, ta có 40   1 x y 60 Khi từ B A: đoạn lên dốc dài km, xuống dốc dài km Thời gian đoạn lên dốc : luan x 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document8 of 66 Thời gian đoạn xuống dốc y Tổng thời gian từ B A 41 phút, ta có: 41    2 x y 60  40  x  y  60  Từ (1) (2), ta có hệ phương trình:     41  x y 60  x  12 (thoả mãn điều kiện) Giải hệ phương trình ta nghiệm   y  15 KL: Vận tốc xe lên dốc là: 12 (km/h) Vận tốc xe xuống dốc là: 15 (km/h) Bài 4: Gọi x (km/h) vận tốc xe khởi hành từ A (x > 0) Gọi y (km/h) vận tốc xe khởi hành từ B (y > 5) Hai xe khởi hành lúc, sau gặp nên: Quãng đường xe từ A là: 2x (km) Quãng đường xe từ A là: 2y (km) Hai xe gặp nên tổng độ dài quãng đường hai xe 130km, ta có: 2x  2y  130 1 Xe từ B có vận tốc nhanh xe từ A 5km/h, suy y  x    2x  2y  130 Từ (1) (2), ta có hệ phương trình:  y  x   x  35 Giải hệ phương trình ta nghiệm  (thoả mãn điều kiện)  y  30 KL: Vận tốc xe từ A là: 35 (km/h) Vận tốc xe từ B là: 30 (km/h) Dạng chuyển động chiều Bài 5: Gọi x (h) thời gian ô tô quãng đường AB (x > 0) Gọi y (h) thời gian ô tô quãng đường BC (y > 0) Quãng đường AB có độ dài: 50x (km) Qng đường BC có độ dài: 45y (km) luan 8. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document9 of 66 Theo đề bài, ta có tổng quãng đường AB BC dài 165 km, nên ta có phương trình 50x  45y  165 1 Thời gian ô tô quãng đường AB thời gian ô tô quãng đường BC 30 phút, ta có x   y  2 50x  45y  165  Từ (1) (2), ta có hệ phương trình:   x   y  x  1,5 Giải hệ phương trình ta  y  KL: Thời gian để ô tô hết quãng đường AB là: 1,5 Thời gian để ô tô hết quãng đường BC là: Dạng chuyển động chiều ngược chiều Bài 6: Phân tích đề: - Nếu hai vật xuất phát lúc, từ điểm, chuyển động chiều với quỹ đạo trịn hai vật gặp quãng đường vật chuyển động nhanh nhiều quãng đường vật vòng - Nếu hai vật chuyển động ngược chiều, xuất phát lúc từ điểm, với quỹ đạo chuyển động quỹ đạo trịn chúng gặp tổng qng đường chúng vịng Bảng thơng tin: Vận tốc Vật x m / s Quãng đường Quãng đường chuyển động chuyển động ngược chiều chiều 20x (cm) 4x (cm) 20y (cm) 4y (cm) 20x  20y  chu vi 4x  4y  chu vi  x  y  0 Vật y (m/s) Phương trình Lời giải: Gọi x (m/s) vận tốc vật chạy nhanh (x > y > 0) Gọi y (m/s) vận tốc vật chạy chậm (y > 0) Chu vi quỹ đạo trịn, có đường kính 20cm C  20  cm  Khi hai vật chạy chiều: Tính theo chu kì 20 giây chúng gặp nhau: luan 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, Vật thứdocument10 được:of 20x66 (cm), vật thứ hai 20y (cm) chúng lại gặp Do đó, ta có phương trình 20x  20y  20 1 Khi hai vật chạy ngược chiều: Tính theo chu kì giây chúng gặp nhau: Vật thứ được: 4x (cm), vật thứ hai 4y (cm) chúng lại gặp Do đó, ta có phương trình: 4x  4y  20   20x  20y  20 Từ (1) (2), ta có hệ phương trình  4x  4y  20  x  3 Giải hệ phương trình ta   y  2 KL: Vận tốc vật thứ : 3 (cm/s) Vận tốc vật thứ hai : 2 (cm/s) Bài 7: Phân tích đề: Đổi đơn vị: 24 phút = Khi hai xe ngược chiều, mô tả sơ đồ Khi hai xe chiều: Giải: luan 10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 10 of 66   tai lieu, document70 of240 66 2 Ta có phưng trình y  x  10  240  y  x  Ta có hệ phương trình   y  240  x  10   x  40 Giải phương trình ta nghiệm  y  Bài 3: Hai công nhân làm công việc sau 10 xong Nếu người thứ làm giờ, sau hai người làm tiếp 1/4 cơng việc Tính thời gian người làm xong cơng việc? Giải Gọi thời gian người thời gian người thứ làm xong công việc x,y 1h người thứ làm x 1h người thứ làm y Hai công nhân làm cơng việc sau 10 xong Ta có phương trình 1   x y 10 Nếu người thứ làm giờ, sau hai người làm tiếp 1/4 Ta có phương trình 2    x x y 1 2 x  x  y   Ta có hệ phương trình   11   x y 10  x  20 Đặt ẩn phụ ta giải   y  20 Bài 4: Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước đầy bể Nếu vòi thứ chảy vòi thứ chảy bể nước Hỏi vịi chảy đầy bể Giải luan 70. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 70 of 66   tai lieu, document71 66 Gọi thời gian vòi vàof thời gian vòi chảy đầy bể x,y (x,y >0) 1h vòi thứ chảy 1h vòi thứ chảy x y Hai vòi nước chảy Ta có phương trình 1   x y Vòi thứ chảy vòi thứ chảy Ta có phương trình bể nước 3   x y 1 1 x  y   Ta có hệ phương trình  3    x y  x  7.5 Đặt ẩn phụ ta giải   y  15 Bài 5: Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước chảy đầy bể 48 phút Nếu chảy riêng vịi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai giờ.Hỏi chảy riêng vịi chảy đầy bể bao lâu? Giải Gọi thời gian vòi thời gian vòi chảy đầy bể x,y (x,y >0) 1h vòi thứ chảy 1h vòi thứ chảy x y Hai vòi nước chảy 48 phút Ta có phương trình 1   x y 24 Vịi thứ chảy đầy bể nhanh vịi thứ hai Ta có phương trình x  y  luan 71. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 71 of 66   tai lieu, document72 of 166.1     Ta có hệ phương trình  x y 24  x  y 1  Dạng 4: Dạng toán tỉ lệ %, xuất Bài :Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất 800 chi tiết máy Sang tháng thứ hai tổ I vượt mức 15%, tổ II sản xuất vượt mức 20%, cuối tháng hai tổ sản xuất 945 chi tiết máy Hỏi tháng đầu, tổ công nhân sản xuất chi tiết máy Giải Gọi số chi tiết máy tô I Tổ II tháng đầu a,b (a,b>0) Ta có phương trình a  b  800 Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15%, tổ II sản xuất vượt mức 20%, cuối tháng hai tổ sản xuất 945 chi tiết máy Ta có phương trình 1.15a  1.2b  945  a  b  800 Ta có hệ phương trình  1.15a  1.2b  945  a  300 Giải phương trình ta nghiệm   b  500 Bài 2: Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất 720 chi tiết máy Sang tháng thứ hai tổ vượt mức 15%, tổ II sản xuất vượt mức 12%, cuối tháng hai tổ sản xuất 819 chi tiết máy Hỏi tháng đầu, tổ công nhân sản xuất chi tiết máy Giải Gọi số chi tiết máy tô I Tổ II tháng đầu a,b (a,b>0) Ta có phương trình a  b  720 Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15%, tổ II sản xuất vượt mức 12%, cuối tháng hai tổ sản xuất 945 chi tiết máy Ta có phương trình 1.15a  1.12b  819 a  b  720  Ta có hệ phương trình  1.15a  1.12b  819  a  420 Giải phương trình ta nghiệm   b  300 Bài 3: Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch 900 thóc Năm nay, đơn vị thứ làm giảm mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 30% so với năm ngối Do hai đơn vị thu hoạch 990 thóc Hỏi năm ngối đơn vị thu hoạch thóc? luan 72. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 72 of 66   tai lieu, Giải document73 of 66 Gọi số chi tiết máy tô I Tổ II tháng đầu a,b (a,b>0) Ta có phương trình a  b  900 Đơn vị thứ làm giảm mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 30% so với năm ngối Do hai đơn vị thu hoạch 990 thóc Ta có phương trình 0.85a  1.3b  990  a  b  900 Ta có hệ phương trình  0.85a  1.3b  990  a  400 Giải phương trình ta nghiệm   b  500 Dang : Dạng toán sử dụng kiến thức vật lý, hóa học Bài 1: Hịa tan hồn tồn 16 g hỗn hợp bột CuO Fe2O3 cần 245 gam dung dịch H2SO4 10% Tính khối lượng CuO Fe2O3 (Fe=56, O= 16, Cu = 64) Giải Gọi số mol CuO Fe2O3 x y (x,y>0) Ta có phương trình x  y  0.25 Hỗn hợp bột CuO Fe2O3 có 16 g Ta có phương trình 80 x  160 y  16  x  y  0.25 Ta có hệ phương trình  80 x  160 y  16  x  0.1 Giải hệ ta nghiệm   y  0.2 Từ ta tính khối lương CuO Fe2O3 PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN SỐ Dạng 1: Dạng tốn chuyển động Bài 1: Hai tơ khởi hành lúc quãng đường từ A đến B dài 120km Mỗi ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10km nên đến B trước tơ thứ hai Tính vận tốc ô tô Bài 2: Một xe khách xe du lịch khởi hành đồng thời từ A đến B Biết vận tốc xe du lịch lớn vận tốc xe khách 20km / h Do đến B trước xe khách 50 phút Tính vận tốc xe, biết quãng đường AB dài 100km luan 73. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 73 of 66   tai lieu, of hành 66 lúc từ hai tỉnh A B cách 90km , ngược chiều gặp Bài 3: document74 Hai xe máy khởi sau 1, ( xe thứ khởi hành từ A, xe thứ hai khởi hành từ B) Tìm vận tốc xe Biết thời gian để xe thứ hết quãng đường AB thời gian để xe thứ hai hết quãng đường AB Bài 4: Một ca nơ xi dịng qng sơng dài 12km , ngược dịng qng sơng 2h30 p Nếu quãng sông ấy, ca nô xi dịng 4km ngược dịng 8km hết 1h 20 p Tính tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước Dạng 2: Dạng tốn liên quan đến kiến thức hình học cạnh đáy Nếu tăng chiều cao thêm 3dm , giảm cạnh đáy 2dm diện tích tăng thêm 12dm Tính chiều cao cạnh đáy tam giác Bài1: Một tam giác có chiều cao Bài 2: Ba bình tích tổng cộng 132l Nếu đổ đầy nước vào bình thứ lấy nước đổ vào hai bình thì: Hoặc bình thứ ba đầy nước, cịn bình thứ hai nửa bình Hoặc bình thứ hai đầy nước, cịn bình thứ ba phần ba bình ( Coi trình đổ nước từ bình sang bình lượng nước hao phí khơng) Hãy xác định thể tích bình Bài 3: Một ruộng hình chữ nhật có diện tích 100m Tính độ dài cạnh ruộng biết tăng chiều rộng ruộng lên 2m giảm chiều dài ruộng 5m diện tích ruộng tăng thêm 5m Bài 4: Một khu vườn hình chữ nhật, chiều dài lớn chiều rộng 5m , diện tích 300m Tính chiều dài chiều rộng khu vườn Dạng 3: Dạng toán cơng việc làm chung, làm riêng Bài 1: Để hồn thành công việc, hai tổ phải làm chung Sau làm chung tổ II điều làm việc khác, tổ I hoàn thành cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ làm riêng sau xong cơng việc Bài 2: Một đội cơng nhân hồn thành công việc với mức 420 ngày công thợ Hãy tính số cơng nhân đội biết đội tăng thêm người số ngày để đội hồn thành cơng việc giảm ngày Bài 3: Hai lớp 9A, 9B tham gia lao động sân trường cơng việc hồn thành sau 20 phút Nếu lớp chia làm nửa công việc thời gian hồn tất Hỏi lớp làm phải thời gian Dạng 4: Dạng toán chảy chung, chảy riêng vòi nước Bài 1: Hai vòi nước chảy chung vào bể sau luan đầy bể Mỗi lượng nước vòi I chảy lượng nước chảy vòi II Hỏi vịi chảy riêng đầy bể 74. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 74 of 66   tai lieu, of 66 Bài 2: document75 Hai vòi nước chảy vào bể sau 1h 20 p đầy bể Nếu mở vịi thứ chảy 10 phút vòi thứ hai chảy 12 phút bể Hỏi vịi chảy 15 đầy bể? Dạng 5: Dạng tốn tìm số Bài 1: Tìm hai số biết tổng hai số 13 đơn vị Nếu số thứ tăng thêm đơn vị, số thứ hai tăng thêm đơn vị tích chúng 80 đơn vị Bài 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị đổi chỗ hai chữ số cho ta số số ban đầu Bài 3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số , biết chữ số hàng đơn vị lớn chữ số hàng chục 17 đổi chỗ hai chữ số cho ta số số ban đầu Dạng 6: Dạng toán sử dụng kiến thức phần trăm Bài 1: Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất 800 chi tiết máy Sang tháng thứ hai tổ vượt mức 15% , tổ II vượt mức 20% , cuối tháng hai tổ sản xuất 945 chi tiết máy Hỏi tháng đầu, tổ công nhân sản xuất chi tiết máy Bài 2: Năm ngoái dấn số hai tỉnh A B triệu người Dân số tỉnh A năm tăng 1, 2% , tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân hai tỉnh năm 4045000 người Tính dân số tỉnh năm ngoái năm HƯỚNG DẪN GIẢI Dạng 1: Bài toán chuyển động Bài 1: Gọi vận tốc ô tô thứ x ( km / h), x  Vận tốc ô tô thứ hai y ( km / h), y  Thời gian ô tô thứ hết quãng đường Thời gian ô tô thứ hai hết quãng đường 120 x 120 y Theo ta có hệ phương trình  x  y  10  120 120  y  x 5   x  60 Giải hệ phương trình ta   y  50 Vậy vận tốc ô tô thứ 60km / h , vận tốc ô tô thứ hai 50km / h luan 75. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 75 of 66   tai lieu, document76 of 66 Bài 2: Đổi 50 p  h Gọi vận tốc xe khách x (km / h), x  Vận tốc xe du lịch y (km / h), y  Do vận tốc xe du lịch lớn xe khách 20km / h nên ta có phương trình: y  x  20 Thời gian xe khách hết quãng đường Thời gian xe du lịch hết quãng đường 100 x 100 y Do xe du lịch đến trước xe khách nên ta có phương trình: 100 100   y x Theo ta có hệ phương trình  y  x  20  100 100  x  y 6   x  40 Giải hệ phương trình ta   y  60 Vậy vận tốc xe khách 40km / h , vận tốc xe du lịch 60km / h Bài 3: Gọi vận tốc xe máy thứ x (km / h), x  Vận tốc xe máy thứ hai y (km / h), y  Thời gian xe máy thứ hết quãng đường Thời gian xe máy thứ hai hết quãng đường 90 x 90 y Do thời gian để xe thứ hết quãng đường AB thời gian để xe thứ hai hết quãng đường AB 90 90  1 nên ta có phương trình: y x Theo ta có hệ phương trình 1, x  1, y  90   90 90  y  x 1  luan 76. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 76 of 66   tai lieu, document77 of 66  x  45 Giải hệ phương trình ta   y  30 Vậy vận tốc xe thứ 45km / h , vận tốc xe thứ hai 30km / h Bài 4: Gọi vận tốc ca nô x (km / h), x  Vận tốc dòng nước y ( km / h), y  Vận tốc ca nô xi dịng x  y km / h Vận tốc ca nơ ngược dịng x  y (km / h) Vì ca nơ xi dịng qng sơng dài 12km , ngược dịng qng sơng 2h30 p  2,5h nên ta 12 12   2,5 có phương trình: x y x y Nếu qng sơng ấy, ca nơ xi dịng 4km ngược dịng 8km hết 1h 20 p  phương trình: h nên ta có   x y x y Theo ta có hệ phương trình  12 x y       x  y 12  2,5 x y  x y  x  10 Giải hệ phương trình ta  y  Vậy vận tốc ca nô 10km / h , vận tốc dòng nước 2km / h Dạng 2: Dạng tốn liên quan đến kiến thức hình học Bài1: Gọi chiều cao tam giác x (dm), x  , cạnh đáy tam giác y (dm), y  Vì chiều cao 3 cạnh đáy nên ta có phương trình: x  y 4 Nếu tăng chiều cao thêm 3dm , giảm cạnh đáy 2dm diện tích tăng thêm 12dm , ta có 1 phương trình: xy  12  ( x  3)( y  2) 2 Thay x  luan 3 y vào phương trình ta có: y y  12  ( y  3)( y  2) 4 77. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 77 of 66   tai lieu, document78 of 66  y  15  y  20 Vậy chiều cao tam giác 15dm , cạnh đáy tam giác 20dm Bài 2: Gọi thể tích ba bình x, y, z (0  x, y , z  132) Ba bình tích tổng cộng 132l nên ta có phương trình: x  y  z  132 Nếu sau đổ đầy nước vào bình thứ lấy nước đổ vào hai bình bình thứ ba đầy nước, cịn bình thứ hai nửa bình nên ta có phương trình: x  y  z Nếu sau đổ đầy nước vào bình thứ lấy nước đổ vào hai bình bình thứ hai đầy nước, cịn bình thứ ba phần ba bình nên ta có phương trình: x  y  z Ta có hệ phương trình:   x  y  z  132   x  y  z    x  y  z  x  55  Giải hệ phương trình ta  y  44  z  33  Vậy thể tích ba bình 55l , 44l , 33l Bài 3: Gọi chiều dài, chiều rộng ruộng x, y (m), ( x, y  0) Diện tích thử ruộng 100m nên ta có phương trình: xy  100 Nếu tăng chiều rộng ruộng lên 2m giảm chiều dài ruộng 5m diện tích ruộng tăng thêm 5m nên ta có phương trình: ( x  5)( y  2)  105  xy  100 Ta có hệ phương trình:   x   y    105  x  20 Giải hệ phương trình ta có  y  Vậy chiều dài, chiều rộng ruộng 20m,5m luan 78. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 78 of 66   tai lieu, document79 of 66 Bài 4: Một khu vườn hình chữ nhật, chiều dài lớn chiều rộng 5m , diện tích 300m Tính chiều dài chiều rộng khu vườn Gọi chiều dài khu vườn x (m), x  Chiều rộng khu vường x  5(m) Vì diện tích khu vườn 300m nên ta có phương trình: x  x  5  300  x  x  300   x  20(t / m)   x  15( L) Vậy chiều dài khu vườn 20m , chiều rộng khu vườn 15m Dạng 3: Dạng toán công việc làm chung, làm riêng Bài 1: Gọi thời gian tổ làm xong cơng việc x ( h ), x  Gọi thời gian tổ hai làm xong cơng việc y( h ), y  Một tổ làm số phần công việc Một tổ hai làm số phần công việc x y Do hai tổ phải làm chung xong cơng việc nên ta có phương trình: 6  1 x y Sau làm chung tổ II điều làm việc khác, tổ I hồn thành cơng việc cịn lại 10 12 nên ta có phương trình:  1 x y 6 x  y 1  Ta có hệ phương trình:  12    x y  x  15 Giải hệ phương trình ta   y  10 Vậy thời gian tổ làm riêng xong công việc 15,10 Bài 2: Gọi số công nhân đội x, x  luan 79. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 79 of 66   tai lieu, document80 of 66 Mỗi ngày đội hồn thành số công việc là: 420 x Số công nhân đội sau tăng thêm là: x  Sau tăng thêm ngày đội hồn thành số cơng việc là: Theo ta có phương trình: 420 x5 420 420 7  x x5  x  35 x  2100   (x  20)( x  15)   x  20(l )   x  15(t / m) Vậy số công nhân đội 15 người Bài 3: Đổi 20 phút  h Gọi thời gian lớp làm xong công việc x, y ( x, y  0) Mỗi lớp 9A hoàn thành số phần công việc x Mỗi lớp 9B hồn thành số phần cơng việc y Hai lớp 9A, 9B tham gia lao động sân trường cơng việc hồn thành sau 20 phút nên ta có 1 phương trình:   x y Nếu lớp chia làm nửa cơng việc thời gian hồn tất nên ta có phương trình:  x  y  Ta có hệ phương trình: 1  x  y   1  x  y    x   y  Giải hệ phương trình ta   x     y  luan 80. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 80 of 66   tai lieu, document81 of 66 Vậy thời gian hồn thành cơng việc hai lớp 4h, 2h 2h, 4h Dạng 4: Dạng tốn chảy chung, chảy riêng vịi nước Bài 1: Gọi thời gian vòi I chảy riêng đầy bể x giờ, x  Gọi thời gian vòi II chảy riêng đầy bể y giờ, y  Một vòi I chảy số phần bể Một vòi II chảy số phần bể x y Hai vòi nước chảy chung vào bể sau 4 đầy bể nên ta có phương trình: 1 1      x y 44 x y 24 Mỗi lượng nước vịi I chảy trình: lượng nước chảy vịi II nên ta có phương 1   2x  3y x y 1    Ta có hệ phương trình  x y 24 2 x  y   x  12 Giải hệ phương trình ta  y  Vậy thời gian để vòi chảy riêng đầy bể 12h,8h Bài 2: Hai vòi nước chảy vào bể sau 1h 20 p đầy bể Nếu mở vòi thứ chảy 10 phút vịi thứ hai chảy 12 phút bể Hỏi vịi chảy 15 đầy bể? Đổi: 1h 20 p  , 10 p  h Gọi thời gian vòi I chảy riêng đầy bể x giờ, x  Gọi thời gian vòi II chảy riêng đầy bể y giờ, y  Một vòi I chảy số phần bể luan x 81. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 81 of 66   tai lieu, document82 of 66 Một vòi II chảy số phần bể y Hai vịi nước chảy chung vào bể sau 1h 20 p  1 h đầy bể nên ta có phương trình:   x y Nếu mở vòi thứ chảy 10 phút vịi thứ hai chảy 12 phút phương trình: bể nên ta có 15 1   10.x y 15 1 x  y   Ta có hệ phương trình      6.x y 15 x  Giải hệ phương trình ta  y  Vậy thời gian để vòi chảy riêng đầy bể 2h, 4h Dạng 5: Dạng tốn tìm số Bài 1: Gọi hai số x, y ( x, y  0) Tổng hai số 17 đơn vị nên ta có phương trình: x  y  17 Nếu số thứ tăng thêm đơn vị, số thứ hai tăng thêm đơn vị tích chúng 105 đơn vị nên ta có phương trình:  x  3 ( y  2)  105  x  y  13 Ta có hệ phương trình:   x  3 y    80 Giải hệ phương trình ta x   y  Vậy hai số cần tìm 5,8 Bài 2: Gọi số tự nhiên có hai số xy ( x  0, y  0) Chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị nên ta có phương trình: x  y  luan 82. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 82 of 66   tai lieu, document83 of 66 Nếu đổi chỗ hai chữ số cho ta số yx  số ban đầu nên ta có phương trình: 4 xy  10 y  x  10 x  y   x  y 7 x  y  Ta có hệ phương trình:  x  y Giải hệ phương trình ta x   y  Vậy số cần tìm 42 Bài 3: Gọi số tự nhiên có hai số xy ( x  0, y  0) Chữ số hàng đơn vị lớn chữ số hàng chục nên ta có phương trình: y  x  Nếu đổi chỗ hai chữ số cho ta số yx  17 số ban đầu nên ta có phương trình: 17 17 xy  10 y  x  10 x  y   y  x 5 y  x  Ta có hệ phương trình:   y  5x Giải hệ phương trình ta x   y  Vậy số cần tìm 15 Dạng 6: Dạng toán sử dụng kiến thức phần trăm Bài 1: Giả sử tháng đầu tổ công nhân sản xuất x, y chi tiết máy, x, y  Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất 800 chi tiết máy nên ta có phương trình: x  y  800 Sang tháng thứ hai tổ vượt mức 15% , tổ II vượt mức 20% , cuối tháng hai tổ sản xuất 945 chi tiết máy nên ta có phương trình: 115% x  120% y  945  x  y  800 Ta có hệ phương trình:  115% x  120% y  945  x  300 Giải hệ phương trình ta   y  500 luan 83. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 83 of 66   tai lieu, document84 of 66 Vậy tháng đầu tổ công nhân sản xuất 300,500 chi tiết máy Bài 2: Giả sử số dân hai tỉnh năm ngoái x, y triệu người, x, y  Năm ngoái dấn số hai tỉnh A B triệu người nên ta có phương trình: x  y  Dân số tỉnh A năm tăng 1, 2% , tỉnh B tăng 1,1% nên tổng số dân hai tỉnh năm 4045000 người nên ta có phương trình: 101, 2% x  101,1% y  4, 045 x  y  Ta có hệ phương trình:  101, 2% x  101,1% y  4, 045 x  Giải hệ phương trình ta  y  Vậy số dân tỉnh A năm ngoái triệu người, số dân tỉnh B năm ngoái triệu người Số dân tỉnh A năm 101, 2%.1  1, 012 triệu người Số dân tỉnh B năm 101,1%.3  3, 033 triệu người Toán Học Sơ Đồ - luan 84. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 84 of 66   ... ta có phương trình 1,8 1,8    2 x 10 y  1,  1, x  y x  y    Từ (1) (2), ta có hệ phương trình:   1,8   1,8 1,8  1,8   y 10  x 10 y  x  x  4,5 Giải hệ phương trình. .. cịn cách 10,5 km nên ta có phương trình 5 x  y  10,5  38   4 1,5x  2y  38  Từ (1) (2), ta có hệ phương trình:  5  x  y  10,5  38  x  12 Giải hệ phương trình ta nghiệm  (thoả mãn... 4y (cm) chúng lại gặp Do đó, ta có phương trình: 4x  4y  20   20x  20y  20 Từ (1) (2), ta có hệ phương trình  4x  4y  20  x  3 Giải hệ phương trình ta   y  2 KL: Vận tốc vật