Sử dụng lí thuyết đồ thị giải các bài toán trò chơi

1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN SỬ DỤNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ GIẢI CÁC BÀI TỐN TRỊ CHƠI KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH KHOA HỌC TOÁN CHUYÊN NGÀNH: TOÁN TIN ỨNG DỤNG NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: NGƯỜI THỰC HIỆN: VINH - 2008 PGS.TS Trần Xuân Sinh Phạm Thị Mỵ Lớp 45B Toán MỤC LỤC trang Mở đầu Chương Một số toán lý thuyết đồ thị 1.1 Định nghĩa đồ thị 1.2 Các toán đường 10 1.3 Nhân đồ thị 17 1.4 Cây bao trùm 18 1.5 Sắc tính đồ thị 20 Chương Một số tốn trị chơi đồ thị 22 2.1 Các toán sử dụng đồ thị hai phía 22 2.2 Các toán sử dụng đường ngắn 23 2.3 Các tốn sử dụng tập ổn định ngồi đồ thị 27 2.4 Các toán sử dụng tìm nhân cuả đồ thị 28 2.5 Các tốn sử dụng tìm bao trùm ngắn 32 2.6 Bài toán bốn màu 35 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 MỞ ĐẦU Lý thuyết đồ thị ngành tốn học đại, có ứng dụng quan trọng nhiều lĩnh vực khoa học kĩ thuật khác nhau: điều khiển học, lý thuyết trị chơi, thơng tin học, kỹ thuật điện, lý thuyết tập hợp, lý thuyết ma trận, số vấn đề vật lý, hoá học, sinh vật học, công nghệ thông tin Đặc biệt năm gần lý thuyết đồ thị trở thành công cụ đắc lực công nghệ thông tin lý thuyết tối ưu Trong nhiều toán thực tế thường dẫn tới toán tối ưu đồ thị Một lớp tốn tối ưu tốn trị chơi Một tốn gọi tốn trị chơi xác định đấu thủ, đấu thủ ln muốn giành phần ưu Để hiểu biết rõ ứng dụng lý thuyết đồ thị trò chơi, lựa chọn đề tài luận văn Sử dụng lý thuyết đồ thị giải tốn trị chơi Việc sử dụng lý thuyết đồ thị để giải tốn trị chơi nhiều nhà tốn học quan tâm nhiều tài liệu đề cập tới (Chẳng hạn tài liệu [1], [2], [3], [4], [5]) Nội dung khố luận trình bày thành hai chương Chương trình bày số tốn lý thuyết đồ thị Chương trình bày số tốn trị chơi đồ thị có ứng dụng rộng rãi thực tế Các toán ứng dụng quan trọng thuyết đồ thị Bài toán đường ngắn nhất, Bài toán bao trùm ngắn nhất, Trị chơi Nim… thuật tốn để giải chúng trình bày chi tiết Khố luận viết dựa tài liệu sở Lý thuyết đồ thị Toán rời rạc xuất vài chục năm gần Tuy nhiên, trình độ thân cịn hạn chế nên khố luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót, nhầm lẫn chưa hiểu sâu vấn đề Bản thân tác giả mong góp ý, phê bình, tha thứ giúp đỡ thầy cô giáo giảng dạy hướng dẫn viết luận văn, ban chủ nhiệm Khoa Toán - Trường Đại học Vinh Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ hướng dẫn tận tình thầy cô giáo tổ Xác suất - Toán ứng dụng - Khoa Toán, đặc biệt thầy giáo Trần Xuân Sinh giúp tác giả hoàn thành khoá luận Tác giả Chương MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ 1.1 Định nghĩa đồ thị 1.1.1 Các khái niệm Cho tập hợp U bao gồm phần tử rời rạc tập V tập hợp phần tử thuộc U Khi ta có tập hợp G = (U, V) gọi đồ thị xác định tập đỉnh U tập cạnh V Như vậy, đồ thị cấu trúc rời rạc tạo nên cạnh đỉnh Cho hai phần tử a, b  U, (a, b)V ta nói cạnh (a, b) liên thuộc a (liên thuộc b) Số cạnh liên thuộc a gọi cấp (hoặc bậc) đỉnh a, ký hiệu deg(a) Hai đỉnh a, b có cạnh (a, b) thuộc G ta nói hai đỉnh kề Ví dụ Cho đồ thị thể vị trí đặt máy tính đỉnh cạnh kênh thoại nối chúng (xem hình 1) a d m b e n c g h p r q s Hình Sơ đồ máy tính nối mạng Đồ thị G cho Hình 1, có 12 đỉnh, 15 cạnh Các đỉnh a, b, c, m, s đỉnh bậc 1; đỉnh h đỉnh bậc 2; đỉnh d, p đỉnh bậc 3; đỉnh g, n, q đỉnh bậc 4; đỉnh e đỉnh bậc Đỉnh bậc gọi đỉnh treo; đỉnh bậc gọi đỉnh cô lập Đồ thị hình có đỉnh r đỉnh cô lập a b d m e n c g p h q Hình Đa đồ thị Người ta phân loại đồ thị theo kiểu số lượng đỉnh U s + Nếu cặp phần tử U gồm hai phần tử khác nhau, khơng lặp lại khơng có thứ tự ta có đơn đồ thị vơ hướng (hình 1) + Nếu cặp phần tử U gồm hai phần tử khác khơng có thứ tự ta có đa đồ thị vơ hướng Hai cạnh chung với cặp đỉnh gọi cạnh lặp (hình 2) Rõ ràng đơn đồ thị đa đồ thị, ngược lại khơng + Nếu cặp phần tử U gồm hai phần tử khơng có thứ tự (khơng thiết khác nhau) ta có giả đa đồ thị vơ hướng Cạnh chung với đỉnh gọi khuyên (hình 3) a b d m c e n g p h q s Hình Giả đồ thị vơ hướng + Một đồ thị G = (U, V) cạnh V xác định cặp đỉnh thuộc U có thứ tự G gọi đồ thị có hướng Khi G đồ thị có hướng cạnh (a, b) gọi cung; đỉnh a gọi đỉnh đầu, đỉnh b gọi đỉnh cuối; trương hợp ta nói cung (a, b) khỏi a vào b Để phân biệt với đồ thị có hướng đồ thị vô hướng cung người ta xác định theo mũi tên (→) để chiều cung (hình 4) a b c d g m e n g p q s Hình Giả đồ thị có hướng + Cho đồ thị có hướng G = (U, V) Ta gọi bán bậc (bán bậc vào) đỉnh aG số cung đồ thị khỏi (đi vào nó) ký hiệu deg+(a) (tương tự kí hiệu deg−(a)) Chẳng hạn Hình deg+(d) = 3, deg−(d) = Đồ thị vơ hướng sinh từ đồ thị có hướng bỏ qua chiều thứ tự cung gọi đồ thị vô hướng tương ứng với đồ thị có hướng cho 1.1.2.Một số tính chất chung đồ thị Định lý 1.1.2.1 Cho G = (U, V) đồ thị vơ hướng có m cạnh Khi ta có  deg(v) = 2m vU Chứng minh: Rõ ràng cạnh e = (u, v) tính lần deg(u) lần deg(v) Từ cho thấy tổng số bậc đỉnh lần số cạnh Đó điều phải chứng minh  Định lý 1.1.2.2 Cho đồ thị vô hướng G = (U, V) với n đỉnh Khi số đỉnh bậc lẻ G số chẵn Chứng minh: Giả sử số đỉnh lẻ đồ thị lẻ Khi tổng số cạnh liên thuộc n đỉnh  deg(v) số lẻ Tuy nhiên, cạnh liên thuộc hai vU đỉnh nên thực tế số cạnh có i1 di n Số không nguyên (không chia hết cho 2), điều mâu thuẫn Vậy số đỉnh lẻ phải số chẵn Đó điều phải chứng minh Định lý 1.1.2.3  vU deg+(v) =  deg─ (v) = m vU Định lý 1.1.2.3 suy trực tiếp từ định nghĩa đồ thị có hướng cung tính lần bán bậc đỉnh 1.1.3 Đường đi, chu trình Đồ thị liên thơng Định nghĩa Cho đồ thị vô hướng G = (U, E) số nguyên dương n Ta nói đường độ dài n từ đỉnh a đến đỉnh b đồ thị G dãy đỉnh a = xo, x1, … , xn = b ( xi, xi+1)  E, i = 0, 1, 2, … , n-1 Đường nói cịn biểu diễn dãy cạnh liên tiếp {(x o , x ), (x , x ), … , (x n-1 , x n )} Đỉnh a gọi đỉnh đầu, đỉnh b đỉnh cuối đường Lúc ta nói tồn đường nối a với b Đường có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (a ≡ b) gọi chu trình Đường hay chu trình gọi đơn khơng có cạnh lặp lại Đưịng hay chu trình gọi sơ cấp khơng có đỉnh lặp lại Khái niệm đường chu trình với đồ thị có hướng định nghĩa giống với đồ thị vô hướng Tuy nhiên, cần phân biệt đường thực theo cung có hướng Ví dụ Xét đồ thị hình Đường {d, n, e, g, q} đường đơn từ d tới q có độ dài Cịn dãy {d, n, e, b, g, c} khơng phải đường cạnh (b, g) khơng thuộc E Dãy {g, q, h} chu trình độ dài Đường {d, e, n, d, e, g} có độ dài đường khơng đơn cạnh (d, e) có mặt hai lần Cho đồ thị vơ hướng G = (U, E) Đồ thị G gọi liên thông tồn đường nối hai đỉnh Tương tự đồ thị có hướng G =(U, E) gọi liên thông mạnh tồn đường nối hai đỉnh Đồ thị có hướng G = (U, E) gọi liên thông yếu đồ thị vô hướng tương ứng liên thông Chú ý đồ thị liên thơng mạnh liên thơng yếu, ngược lại không Ta gọi đồ thị đồ thị G = (U, V) đồ thị H = (F,W) F  U, W  V Cho đồ thị vô hướng G = (U, V) Trong nhiều toán thực tế thường dẫn tới việc định hướng cạnh (cung hố cạnh) cho đồ thị có hướng sau cạnh xác định hướng liên thơng mạnh Một đồ thị định hướng cạnh để có đồ thị liên thơng gọi đồ thị định hướng Định lý 1.1.3.1 Đồ thị liên thông vô hướng G định hướng cạnh nằm chu trình Chứng minh xem tài liệu [2] 1.1.4 Một số đồ thị dạng đặc biệt Trong nhiều toán thực tế ứng dụng thường gặp dạng đồ thị đặc biệt sau a) Đồ thị đầy đủ Cho đơn đồ thị vô hướng G = (U, V) có n đỉnh Đồ thị G gọi đầy đủ, ký hiệu Kn hai đỉnh ln có cạnh nối Chẳng hạn đồ thị K3, K4, K5 cho hình  K3 K4 K5  K6 Hình Đồ thị đầy đủ Đồ thị đầy đủ Kn có tất n(n -1)/2 cạnh Nó đồ thị có số cạnh nhiều đồ thị có số đỉnh b) Đồ thị hai phía Đơn đồ thị G = (U, V) gọi đồ thị hai phía tập đỉnh phân hoạch thành hai tập hợp X, Y cho cạnh đồ thị nối đỉnh X với đỉnh Y Khi thay kí hiệu đồ thị G = (U, V) ta sử dụng kí hiệu G = (X Y, V) để đồ thị hai phía với tập đỉnh X Y Để nhận biết đồ thị hai phía ta để ý tới định lý sau Định lý 1.1.4.1 Đơn đồ thị G hai phía khơng chứa chu trình độ dài lẻ Để kiểm tra xem đơn đồ thị có phải hai phía hay khơng, ta thực bước sau đây: Bước Chọn d đỉnh đồ thị Đặt X = {d} Y đỉnh kề d Bước Kí hiệu X’ tập đỉnh kề đỉnh thuộc Y + Nếu Y  X’ ≠  đồ thị khơng phải hai phía, kết thúc + Ngược lại, gán X := X’, trở lại bước Cho đồ thị hai phía G = (X  Y, U) với X có m đỉnh, Y có n đỉnh G gọi đồ thị hai phía đầy đủ, ký hiệu Km.n, đỉnh tập X có cạnh nối với đỉnh Y K2.3 K3.3 Hình Đơn đồ thị hai phía đầy đủ K4.3 c) Đồ thị phẳng Đồ thị G = (U, V) gọi đồ thị phẳng ta vẽ mặt phẳng cho cạnh khơng cắt ngồi đỉnh Cách vẽ gọi biễu diễn phẳng đồ thị Hình Đồ thị phẳng Để kiểm tra đồ thị có phải đồ thị phẳng hay khơng, ta sử dụng định lý Kuratovski sau Định lý 1.1.4.2 (Định lý Kuratovski) Đồ thị G phẳng khơng chứa đồ thị đồng cấu với K3.3 K5 Đồ thị K3.3 đồ thị K5 đồ thị phẳng Bài tốn tìm đồ thị phẳng tốn thơng dụng nhiều tốn thực tế Chẳng hạn: Bài tốn chế tạo mạch in cơng nghệ nối mạch điện; Bài toán xây dựng đường cấp nước, điện, đốt cho ba hộ cho đường nối không cắt Việc biểu diễn phẳng đồ thị chia cắt mặt phẳng thành nhiều miền (mảnh, phần), có miền khơng bị chặn Ta xem công thức Euler đồ thị phẳng chia mặt phẳng Định lý 1.1.4.3 (Công thức Euler) Giả sử G đồ thị phẳng, liên thông, với n đỉnh, m cạnh Gọi r số miền (mảnh, phần) bị chia biểu diễn phẳng G Khi ta có r=m–n+2 Hệ quả: Trong đơn đồ thị phẳng phải có đỉnh bậc không lớn Chứng minh: Xét đơn đồ thị G = (U, V) Vì G đơn đồ thị nên phần mặt phẳng giới hạn cạnh, lại cạnh chung cho nhiều phần mặt phẳng, nên 3r ≤ 2m Nếu đỉnh có bậc ≥ cạnh liên thuộc hai đỉnh, ta có 6n ≤ 2m 3n ≤ m Cộng vế hai bất đẳng 10 thức ta 3(r + n) ≤ 3m, r + n ≤ m, trái với công thức Euler r + n = m + Mâu thuẫn cho ta điều kết luận hệ Ví dụ Giả sử có nhà máy nhiệt điện mỏ than Người ta muốn làm đường từ nhà máy tới mỏ than mà lại khơng cắt Có thể khơng? Đây tốn tiếng Nếu giả sử đường không cắt ta đồ thị phẳng với đỉnh: a, b, c, a’, b’, c’, đỉnh a, b, c, nối với đỉnh a’, b’, c’ cạnh Nhưng dựa vào kết trên, thấy điều vô lý Thật n = 6, nên theo công thức a b c Euler r = m – n + = Ở phần mặt phẳng tạo nên từ đồ thị giới hạn cạnh (vì cạnh hố cạnh b’ a’ c’ Hình phải nối hai nhà máy hai mỏ than: điều ngồi thiết kế tốn nêu); đồng thời cạnh biên chung cho hai phần mặt phẳng 4r ≤ 2m tức  ≤  9, vơ lý Vậy khơng thể có đường 1.2 Các toán đường Trong đồ thị G = (A, U), cho hai đỉnh a b Người ta nêu lên ba vấn đề sau đây: 1) Tìm đường từ a tới b? 2) Tìm đường sơ cấp từ a tới b, qua đỉnh đồ thị? 3) Tìm đường đơn giản từ a tới b, qua cạnh đồ thị? Vấn đề thứ hai phức tạp ta xét đến hai vấn đề 1) 3) 1.2.1 Bài toán mê lộ Theo thần thoại Hylap, người anh hùng Têzê liều vào mê lộ (nơi có nhiều lối ngoắt ngoéo dễ lạc) tìm giết quỉ Minoto Để giúp anh khỏi lạc lối, nàng Arianđưa cho Têzê cuộn chỉ, cầm lấy đầu 25 Cửa Cửa Hình 20 Hãy tìm đường ngắn để giải thoát tù nhân khỏi nhà tù Giải Áp dụng thuật tốn tìm đường ngắn nhất, ta tìm đường ngắn để giải thoát tù nhân đường theo chiều mũi tên hình 20 2.2.4 Bài tốn giao thơng đường Giả sử X tập hợp khu dân cư, U tập hợp đường xá nối liền số khu Ta giả sử chỗ giao đường thuộc X Với đường u, số l(u) độ dài u tính km, cước phí u, tốt thời gian hết quãng đường (nếu tuân theo điều kiện vận chuyển) Khi đó, để từ khu sang khu khác ta tìm đường ngắn nhất, đường kinh tế nhất, đường nhanh 2.2.5 Bài toán người phát thư Giả sử người phát thư phải qua số đường phố để phát thư quay trở nơi xuất phát (sở bưu điện) Người muốn đường ngắn nhất, nên theo hành trình nào? Ta thấy rõ vấn đề là: đồ thị G biểu diễn đồ đường phố mà người phát thư phải qua, tìm chu trình qua cạnh lần cho độ dài tổng cộng chu trình nhỏ được? 26 Trước hết, có nhận xét hiển nhiên: hành trình sử dụng cạnh u = (a, b) qua hai lần (chẳng hạn lần), khơng phải ngắn Thật vậy, đoạn hành trình hình 21a thay hành trình ngắn hơn: từ a qua 2 trước, qua u, qua 1 tới b 2 1 u a b a) b) Hình 21 Vì cần xét xem cần qua hai lần cạnh đồ thị G Có hai trường hợp: 1) Đồ thị G khơng có đỉnh bậc lẻ: theo định lý có chu trình Euler hiển nhiên chu trình hành trình ngắn nhất; 2) Đồ thị G có số đỉnh bậc lẻ: định phải qua lần số cạnh Gọi v hành trình người phát thư Ta quy ước: cạnh qua hai lần hành trình v vẽ làm cạnh (coi cạnh kép) Như thế, ta đa đồ thị G(v), v chu trình Euler, cho nên, theo định lý 3, G(v) khơng cịn đỉnh bậc lẻ Thành thử với hành trình v ứng đa đồ thị G(v) thu từ G cách vẽ kép số cạnh cho đỉnh bậc lẻ biến thành bậc chẵn Ta kí hiệu l(v) tổng số độ dài cạnh kép G(v) Dĩ nhiên hành trình ngắn ứng với cực tiểu l(v) 2.2.6 Bài toán túi Một nhà thám hiểm cần đem theo túi có trọng lượng khơng q b Có n loại đồ vật đem theo Đồ vật thứ j có trọng lượng a j giá trị sử dụng c j (j = 1, 2, …, n) Hỏi nhà thám hiểm cần đem theo 27 loại đồ vật với số lượng tổng giá trị sử dụng đồ đem theo lớn nhất? Giải Gọi xj số lượng đồ vật loại j (j = 1, 2,…, n) mà nhà thám hiểm đem theo mơ hình tốn học tốn có dạng sau đây: n  cj xj → max; j 1 n  aj xj ≤ b, xj ≥ nguyên, j = 1, 2, …, n j 1 Các số cj, aj, b giả thiết nguyên dương Xây dựng đồ thị có hướng G = (V, E) với tập đỉnh V = {0, 1, …, b} tập cung 3E = {(i, k) :  j {1, 2, …, n} cho k – i = aj} Mỗi cung (i, k) với k – i = aj gán trọng số d(i, k) = cj Giả sử S đường từ đỉnh đến đỉnh b đồ thị, kí hiệu L(S) =  d(i, k) độ dài đường ( i , k )S S 2.3 Các toán sử dụng tập ổn định ngồi đồ thị 2.3.1 Bài tốn người đứng gác Trong trại giam thành phố N, nhà giam có trạm gác độc lập, người đứng gác, chẳng hạn nhà giam x0, nhìn thấy xảy nhà giam x1, x2, x3, x4; nhà giam thông với nhà giam x0 hành lang thẳng ta thấy hình 22 Hỏi số người đứng gác cần thiết để quan sát nhà tù? x1 x5 x7 Giải Ta phải tìm số ổn định ngồi đồ thị đối xứng hình 22 Áp dụng thuật tìm tập ổn x6 x3 x2 định ngồi, ta có tập ổn định đồ thị 22 là: A = {x2, x5} với số ổn định (G) = A = x8 xo Hình 22 Kết luận: Số người đứng gác để quan sát nhà giam x4 2.3.2 Bài toán năm hậu Trên bàn cờ cần bố trí hậu bàn cờ bị hậu khống chế? 28 Bài toán đưa tìm tập hợp ổn định ngồi cực tiểu cho đồ thị 64 đỉnh (là ô bàn cờ), (x, y)V ô x y nằm hàng, cột hay đường chéo Áp dụng thuật tốn tìm tập ổn định ngồi ta tìm tập ổn định cực tiểu với số ổn định (G) = A = Do vậy, cần bố trí hậu (như hình 23) thoả mãn yêu cầu tốn đặt (G) = Hình 23 2.3.3 Bài toán trạm thu mua Mậu dịch cần đặt số trạm thu mua nông sản khu vực gồm làng a, b, c, d, e, f, g, h, k, l Chỉ có a, b, c, d, e có chợ cịn làng khác khơng có chợ phải mua bán chợ làng kề bên theo đường hình 24 Cần đặt trạm thu mua chợ để nông dân làng bán nông sản chợ mà họ thường b h k l c a e Hình 24 d g f Giải Áp dụng thuật tốn tìm tập ổn định ngồi ta tìm tập ổn định ngồi cực tiểu đồ thị hình 24 E = {b, d, e} với số ổn định E = Do cần đặt trạm thu mua chợ b, d, e 2.4 Các toán sử dụng tìm nhân đồ thị 29 Giả sử trị chơi hai đấu thủ biểu diễn tình (các nước chơi) đồ thị Ai người chọn đỉnh sau người thắng Khi người chơi cần tìm cách chiếm đỉnh để giành phần thắng cho Định lý sau cho ta điều Định lý Nếu đồ thị có nhân S người chơi chọn đỉnh tập nhân bảo đảm phần thắng hay hồ cho Chứng minh Thật vậy, đấu thủ (A) chọn đỉnh x1 S x1=  , lúc thắng; đối phương buộc phải chọn đỉnh x2 X − S, đến lượt đấu thủ (A) lại chọn đỉnh x3 S Nếu đến lúc đó, đấu thủ thắng cách chọn đỉnh xk mà xk=  ta có xk  S, đấu thủ thắng định phải (A) Đó điều phải chứng minh. 2.4.1 Chơi cờ tướng Cờ tướng trò chơi hai đấu thủ xác định cây, cờ (tức tình hình xếp lực lượng vị trí qn cờ hai bên) coi đỉnh; cờ ban đầu a0; cờ a L(a) tập hợp cờ từ a Do theo định lý trên, hai người chơi cờ phải có chiến lược bảo đảm thắng hay hồ cho Muốn biết rõ chiến lược cần phải lập nói trên, xác định hạt nhân nó: cờ ban đầu thuộc hạt nhân người sau bảo đảm thắng hay hồ; cờ ban đầu khơng thuộc hạt nhân người trước thắng hay hồ Đằng kết cục ván cờ biết trước rồi, không cịn bí mật trị chơi nữa Thế thực tế chưa lập đường cho cờ tướng Nguyên nhân số đỉnh khổng lồ: người ta ước tính cờ tướng có đến 2.10116 nước khác nhau, giây đồng hồ người đất nước đến 1091 kỷ hết Cho nên, khơng có lạ đến cờ tướng trò chơi đòi hỏi nghệ thuật cao nhiều người hâm mộ 30 2.4.2 Các tốn trị chơi Nim Giữa hai đấu thủ mà ký hiệu (A) (B) có đồ thị (X,  ) cho phép xác định trị chơi đó, trị chơi ấy, đỉnh đồ thị; đỉnh khởi đầu x0 chọn cách rút thăm, đấu thủ đi: đấu thủ (A) chọn đỉnh x1 tập hợp x1, (A) lại chọn đỉnh x2 x2, v.v… Nếu đấu thủ chọn đỉnh xk mà xk=  ván kết thúc; đấu thủ chọn đỉnh cuối thắng đấu thủ thua Hiển nhiên đồ thị tiến dần hữu hạn chơi khơng kết thúc Để kỷ niệm trò tiêu khiển quen thuộc mà Nim tổng qt hố, ta gọi trị chơi vừa mơ tả trị chơi Nim, kí hiệu (X, ) giống đồ thị xác định nó, tốn đặt phát thắng, nghĩa đỉnh đồ thị mà ta phải chọn để bảo đảm thắng đối phương chống trả Thí dụ Hai người chơi đứng trước n đống que diêm, đống thứ i (i = 1, 2, …, n) có pi que Họ thay phiên nhau, đến phiên người chọn đống (không trống) rút từ đống số que tuỳ ý Ai rút que diêm cuối thắng Trị chơi (có tên gọi trị chơi Nim) biểu diễn dạng đồ thị sau Mỗi đỉnh đồ thị hệ thống n số tự nhiên 1, 2, …, n , i ≤ pi (i = 1, 2, …, n) biểu thị số que diêm lại đống thứ i Đỉnh xuất phát a0 = (p1, p2, …, pn) Từ đỉnh a = (1, 2 , …, n) người chơi đến phiên chuyển sang đỉnh có dạng b = (1, 2, …, n), i p [i, j] > 0; i, j = 1, 2, …, n Gọi G = (V, E) đồ thị tương ứng với lưới điện Hãy tìm bao trùm H đồ thị G với độ tin cậy  p(e) lớn eH Bài tốn dẫn tốn tìm bao trùm với tổng độ dài nhỏ đồ thị G với độ dài cạnh eE –log p(e) Thực vậy, giả sử H bao trùm ngắn đồ thị với độ dài –log p(e), ta có –  log p(e) ≤ –  log p(e) eH eH ' với bao trùm H’ đồ thị G Từ suy  eH log p(e) ≥  log p(e) eH ' log  p(e) ≥ log  p(e) eH  eH eH ' p(e) ≥  p(e) eH ' với bao trùm H’ Vậy H bao trùm có độ tin cậy lớn c) Bài tốn truyền tin Một tổ chức cần truyền tin tức cho hội viên Mỗi hội viên sau nhận tin lại truyền lại cho số hội viên khác Khi truyền 35 từ hội viên i sang hội viên j xác xuất tin tức bị lộ pi j Hỏi phải truyền tin theo đường từ (ai qua ai) để đảm bảo bí mật chắn nhất? Giải Nếu xem hội viên đỉnh đồ thị phải tìm bao trùm thực cực đại  (1 – pi j ) Bài toán dẫn tốn tìm i, j bao trùm với tổng độ dài ngắn đồ thị G với độ dài cạnh [i, j]  E – log (1− pi j ) Thực vậy, giả sử H bao trùm ngắn đồ thị với độ dài – log (1− pi j ) − ta có  log (1 pi j ) ≤ − [ i , j ]H  [ i , j ]H ' log (1− pi j ) với bao trùm H’ đồ thị G Từ suy  [ i , j ]H log (1− pi j ) ≥  [ i , j ]H ' log  (1− pi j ) ≥ log  (1− pi j ) i, jH log (1 − pi j )  (1 − i, jH i , jH ' pi ) ≥  j i , jH ' (1 − pi j ) với bao trùm H’ Vậy H bao trùm thực cực đại  (1− pi j ) i, j 2.6 Bài toán bốn màu Về đồ thị phẳng, ta có mệnh đề đáng ý sau Định lý 2.6.1 Một đồ thị phẳng sắc tính Chứng minh Cố nhiên cần xét đồ thị có đỉnh Giả sử định lý cho đồ thị có n đỉnh (n > 5), ta chứng minh cho đồ thị có n đỉnh Cho G đồ thị phẳng có n đỉnh Theo hệ phải có đỉnh a với bậc ≤ Bỏ đỉnh a (và cạnh liên thuộc a) cịn lại đồ thị n − đỉnh, tơ màu Sau tơ đồ thị rồi, ta tìm cách tơ đỉnh a màu khác với màu đỉnh kề màu dùng Điều luôn thực bậc a bé 5, hay bậc a 5, đỉnh kề a tô bốn màu trở xuống Còn bậc a 5, 36 mà đỉnh kề a: b, c, d, e, f lại tơ màu rồi, ta làm sau Trong số đỉnh b, c, d, e, f phải có hai đỉnh khơng kề nhau, chẳng hạn b d khơng kề Ta xố b d kéo dài cạnh liên thuộc b cạnh liên thuộc d a (nghĩa đỉnh trước kề b hay kề d trở thành kề a) Như ta đồ thị phẳng có n − đỉnh, mà theo giả thiết qui nạp ta tơ màu: sau tô đồ thị này, ta dựng lại hai đỉnh b d tô b d màu tơ cho a, cịn a tơ màu thứ cịn lại (ngồi màu tô cho b, c, d, e, f) Thành thử tơ G màu Điều phải chứng minh Hệ 2.6.2 Các diện đa đồ thị phẳng tô màu, cho hai diện kề có màu khác Thật vậy, ứng với đa đồ thị phẳng liên thơng G Ta dựng đồ thị phẳng G* gọi đồ thị đối ngẫu G, cách đặt diện s G đỉnh a* G* nối hai đỉnh a*, b* cạnh diện tương ứng với a*, b* kề G (hình 26) Chẳng hạn G đồ địa lý ta Hình 26 hình dung G* đồ thị lập thành thủ đô nước đường sắt nối liền thủ đô với Đương nhiên số màu tối thiểu để tô diện G số màu tối thiểu để tô đỉnh G* Từ suy hệ Như ta chứng minh đồ địa lý tơ màu Tuy nhiên, thực tế người ta chưa gặp đồ phải dùng tới 37 màu: nay, tất đồ gặp tơ màu Do từ cuối kỷ trước nảy giả thuyết: phải đồ tô bốn màu? Nói cách khác: phải đồ thị phẳng sắc tính? Giả thuyết này, trải qua kỷ, chưa có bác bỏ chứng minh Mãi đến năm 1976 hai nhà toán học Mỹ K.Appel W.Haken chứng minh giả thuyết máy tính điện tử Tất nhiên chứng minh với giúp đỡ máy tính điện tử không thực thoả mãn nhu cầu cơng chúng muốn kiểm tra tính dắn cách chứng minh Vì hai tác giả vào cuối năm 1990 cho công bố sách trình bày phương pháp chứng minh (cuốn sách dày 800 trang) Cũng vào năm cuối kỷ 20, nhóm nhà toán học Mỹ đưa cách chứng minh kiểm tra tay Rất tiếc chứng minh đơn giản Cho đến nhà toán học nỗ lực nghiên cứu để tìm cách chứng minh dễ hiểu thân nội dung toán 38 KẾT LUẬN Khoá luận thực kết sau đây: 1) Trình bày cách có hệ thống khái niệm tính chất đồ thị 2) Nêu toán: A Bài toán đường thuật tốn để tìm đường ngắn B Bài tốn trị chơi đấu thủ phương pháp để giải chúng C Bài toán bao trùm số ứng dụng đời sống thực tế: + Xây dựng hệ thống đường sắt + Nối mạng máy tính + Tìm mạng điện với độ tin cậy lớn + Truyền tin tức Những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu là: 1) Viết chương trình thể thuật tốn chạy máy tính 2) Nghiên cứu sử dụng lý thuyết đồ thị để giải toán lĩnh vực công nghệ thông tin, giao thông, vận tải Mặc dù tác giả cố gắng nhiều tránh khỏi sai xót, nhầm lẫn Kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn Xin chân thành cảm ơn! 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Đức Nghĩa Nguyễn Tơ Thành, Tốn rời rạc, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1999 [2] Trần Xuân Sinh, Cở sở Toán Tin ứng dụng, Bài giảng chuyên đề, Đại học Vinh 2007 [3] Ngô Đắc Tân, Lý thuyết tổ hợp đồ thị, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2004 [4] Hoàng Tụy, Đồ thị hữu hạn ứng dụng vận trù học, NXB Khoa học, Hà Nội, 1964 [5] Lý thuyết Đồ thị ứng dụng (Claude Berge - Người dịch Nguyễn Hữu Nguyên Nguyễn Văn Vỵ), NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 1971 ... trị chơi đồ thị 22 2.1 Các tốn sử dụng đồ thị hai phía 22 2.2 Các toán sử dụng đường ngắn 23 2.3 Các toán sử dụng tập ổn định đồ thị 27 2.4 Các tốn sử dụng tìm nhân cuả đồ thị. .. biết rõ ứng dụng lý thuyết đồ thị trị chơi, chúng tơi lựa chọn đề tài luận văn Sử dụng lý thuyết đồ thị giải tốn trị chơi Việc sử dụng lý thuyết đồ thị để giải tốn trị chơi nhiều nhà toán học quan... Chương trình bày số toán lý thuyết đồ thị Chương trình bày số tốn trị chơi đồ thị có ứng dụng rộng rãi thực tế Các toán ứng dụng quan trọng thuyết đồ thị Bài toán đường ngắn nhất, Bài tốn bao trùm