Tam giác hoá và chéo hoá ma trận

1 Tr-ờng Đại học Vinh khoa toán Nguyễn thị hiền tam giác hoá chéo hoá ma trận Khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học toán Vinh, tháng - 2008 Tr-ờng Đại học Vinh khoa toán tam giác hoá chéo hoá ma trận Khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học toán Chuyên ngành: đại số Giáo viên h-ớng dẫn: Th.S Nguyễn Văn Giám Sinh viên thực : Nguyễn Thị Hiền Lớp : 44E1 - Toán Vinh, tháng 5/2008 MụC LụC Trang LờI Mở ĐầU to¸n tư tun tÝnh Kh«ng gian bÊt biÕn Đa thức đặc tr-ng 10 ChÐo ho¸ ma trËn 14 Tam gi¸c ho¸ ma trËn 21 KÕt luËn 29 Tài liệu tham khảo 30 lời nói đầu Nh- đà biết, toán tử tuyến tính K-không gian vectơ E hữu hạn chiều đ-ợc đặc tr-ng bëi c¸c ma trËn biĨu diƠn cđa chóng bëi sỡ E Vì việc nghiên cứu toán tử tuyến tính E đ-ợc chuyển nghiên cứu ma trận.Các ma trận đồng dạng với ma trận chéo (ma trận tam giác) gọi chéo hoá (tam giac hoá) đ-ợc Vì vËy chÐo ho¸ ma trËn hay tam gi¸c ho¸ ma trËn cã ý nghÜa quan träng cho viƯc nghiªn cøu toán tử tuyến tính Khoá luận góp phần giải vấn đề Khoá luận đ-ợc trình bày tiết: Đ1 Toán tử tuyến tính Đ2 Không gian bât biến Đ3 Đa thức đặc tr-ng §4 ChÐo ho¸ ma trËn §5 Tam gi¸c ho¸ ma trận Các tiết Đ1; Đ2; Đ3 trình bày kiến thức để phục vụ cho Đ4; Đ5 nội dung luận văn Các kết qủa Đ4 là: - Nêu đ-ợc điều kiện cần đủ để toán tử tuyến tính chéo hoá đ-ợc (Mệnh đề 4.2, Định lý 4.3) - Nêu số điều kiện đủ để toán tử tuyến tính f chéo hoá đ-ợc là: f có n giá trị riêng đôi phân biệt - Điều kiện để tích hai ma trận vuông AB chéo hoá đ-ợc BA chéo hoá đ-ợc A B khả nghịch (Định lý 4.6) - Ma trận A M ( ) đa thức đặc tr-ng A A tách đ-ợc A chéo hoá đ-ợc chéo hoá đ-ợc Trong Đ5 có kết qủa sau: t-ơng đ-ơng - Một ma trận vuông A cấp n K tam giác hoá đ-ợc đa thức đặc tr-ng A tách đ-ợc K - Dựa vào khái niệm cờ không gian véc tơ E đà nêu đ-ợc điều kiện cần đủ để toán tử tuyến tính E tam giác hoá đ-ợc (Mệnh đề 5.7) - Khoá luận đặt vấn đề nghiên cứu phép tam giác hoá đồng thời hai ma trận tức tìm ma trận biến đổi P không suy biến để tam giác hoá đồng thời hai ba ma trận đà cho (Định lý 5.12 ; 5.11) Khoá luận đ-ợc hoàn thành d-ới h-ớng dẫn thạc sỹ Nguyễn Văn Giám Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy giáo h-ớng dẫn góp ý thầy giáo, cô giáo tổ đại số Chắc chắn khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Rất mong đ-ợc bảo, góp ý thầy cô giáo bạn Xin chân thành cảm ơn! Vinh, ngày tháng năm Tác giả Đ1 TON TỬ TUYẾN TÍNH Cho E khơng gian véc tơ trường K 1.1.ĐỊNH NGHĨA: Một ánh xạ tuyến tính từ E vào E gọi tốn tử tuyến tính E Một tốn tử tuyến tính cịn gọi phép biến đổi tuyến tính Tập hợp tất phép biến đổi tuyến tính E ký hiệu L(E) Trong L(E) ta định nghĩa phép cộng  hai ánh xạ  , phép nhân vô hướng a (aK) ánh xạ: ()(x):(x)(x) (a)(x):=a(x),với xE Đặc biệt ta có: Ánh xạ khơng (x): =,và ánh xạ đối ( )  xác định bởi: ()(x): (x), tốn tử tuyến tính E Ánh xạ hợp thành cửa hai tốn tử tuyến tính ln tồn lại tốn tử tuyến tính Ta coi việc lấy ánh xạ hợp thành phép nhân L(E) Đặc biệt, ánh xạ đồng ide tốn tử tuyến tính có vai trị phần tử đơn vị L(E) 1.2.ĐỊNH LÝ: Khơng gian véc tơ L(E) vành có đơn vị NHẬN XÉT: Phép nhân tốn tử tuyến tính vành L(E) khơng giao hốn dim(E)1, chẳng hạn: Xét tốn tử tuyến tính  : E2  E2 (x1 , x2)  ( x 1, 0) : E2 E2 ( x1 ,x2 )  ( x2 , x2) Ta có: ()(0, 1) = ((0, 1)) =(1, 1) =(1, 0) ()(0, 1) =((0, 1)) =(0, 0) =(0, 0) Tức     1.3.ĐỊNH NGHĨA: Một tốn tử tuyến tính L(E) gọi tự đẳng cấu E  song ánh Từ tính chấ t củ a tự đ ng cấ u, ta thấ y: Ánh xạ đồng tự đẳng cấu Ánh xạ nghịch đảo tự đẳng cấu tự đẳng cấu Ánh xạ hợp thành hai tự đẳng cấu tự đẳng cấu Ta có bổ đề sau: 1.4.BỔ ĐỀ: Cho  tốn tử tuyến tính không gian véc tơ hữu hạn sinh Các điều kiện sau tương đương: i  đơn ánh ii  toàn ánh iii  tự đẳng cấu Cho E không gian véc tơ hữu hạn sinh =e1 ,e2 ,…en  sở E Cho  tốn tử tuyến tính E giả sử:  (e1 )  a11e1  a 21e2  (e )  a e  a e  12 22     (en )  a1n e1  a n e2    a n1en    a n en    a nnen Ta có ma trận:  a11 a12  a1n  a a  a n  A =  21 22     a n1 a n  a nn  1.5.ĐỊNH NGHĨA: Ta gọi ma trận vuông A=(aij)n  n (i,j=1,2,…,n) ma trận(biểu diễn)  theo sở  ký hiệu Mat() NHẬN XÉT:  Ma trận tốn tử tuyến tính phụ thuộc   Ma trận tốn tử tuyến tính phụ thuộc vào sở E 1.6.ĐỊNH LÝ: Cho dim E = n Thì vành L(E) đẳng cấu với vành Mn(K) Chứng minh: Lập tương ứng  : L(E)  Mn(K)   () =A = aij nn A=aij nn ma trận  sở E Trước hết, ta chứng minh  ánh xạ Thật vậy: Theo định nghĩa 1.5, với phương trình  sở E cho ta ma trận ngược lại,  ánh xạ song ánh Ta chứng minh  đồng cấu Thật : Với , L(E) A, B ma trận chúng sở cho trước, ta có: () = A+B = ()  () (.) = A.B = ().() Suy  đồng cấu Vậy  đẳng cấu vành  §2 KHƠNG GIAN CON BẤT BIẾN Cho E không gian véc tơ hữu hạn sinh trường K  tốn tử tuyến tính E 2.1.ĐỊNH NGHĨA: Một không gian E′ E gọi không gian bất biến  (E′)E′ Nhận xét:  0, E hai không gian bất biến    : E  E phép biến đổi tuyến tính ker khơng gian bất biến  2.2 BỔ ĐỀ: Không gian E E không gian bất biến  ảnh hệ sinh E nằm E Chứng minh: Điều kiện cần hiển nhiên Ta chứng minh điều kiện đủ: Giả sử S hệ sinh E’ (S)  Edo phần tử xE tổ hợp tuyến tính S nên (x) tổ hợp tuyến tính (S).Vậy (x)  E  2.3.BỔ ĐỀ: Cho E không gian E với dimE = r;  = x1,x2…xn sở E;  = x1,x2,….xr sở E’ E′ không gian bất biến  ma trận A  theo S có dạng: A =  A B   C   (1) Với A ma trận vuông cấp r Khi A ma trận thu hẹp   theo  Chứng minh: 10 Giả sử A = (aij) Nếu E không gian bất biến  (xj), j = 1, r tổ hợp tuyến tính  Tọa độ theo  (xj) phải có dạng (a1j,… a1r,0,…,0) Vì ma trận  phải có dạng (1) Đảo lại, A có dạng (1) aij = 0,ir,j = 1, r Điều có nghĩa (x1),…,(xr) tổ hợp tuyến tính  Vậy theo bổ đề 1.2 E không gian bất biến  Do tọa độ ’(xj) =(xj) theo R (a1j,… arj),j = 1, r A’ = (aij)r  r Nên A′ ma trận  theo   2.4.ĐỊNH LÝ: Nếu E = E1 … Er tổng trực tiếp không gian bất biến E1,…,Er  sở E 1 ,2,… r sở tương ứng E1,…,Er cho = r  j A ma trận  theo  Gọi A1,…,Ar ma trận thu hẹp i 1  E1,…,Er Ta có  A1   0 A  0  A =          0  Ar  Chứng minh: Ta xếp S theo thứ tự phần tử 1 2… Cuối r Theo bổ đề 1.3 ma trận   có dạng 2.5.ĐỊNH NGHĨA: Số c thuộc trường K gọi giá trị riêng  tồn x  E cho (x) = cx Trong trường hợp x gọi véc tơ riêng  Tập hợp tất giá trị riêng gọi phổ  18 k k j 1 j 1 Mặt khác : Card()=  Card(j)=  dim (KGCR(f,j))=dim(E) Vậy  sở E ma trận f  ma trận chéo phần tử  véc tơ riêng f:   1 Id1    Mat(f) =    1 Id k   Nhận xét: Theo chứng minh trên, f  L(E) chéo hóa phần tử chéo ma trận chéo biểu diễn cho f giá trị riêng f, viết đường chéo với số lần cấp bội chúng 4.3.ĐỊNH LÝ: (Điều kiện cần đủ tính chéo hóa được) a) Cho f  L(E),f chéo hóa khi: i) f tách K ii) Với giá trị riêng  f, dim (KGCR(f,)) cấp bội  b) Cho A  Mn(K),A chéo hóa : i) A tách K ii)Với giá trị riêng A f, dim (KGCR(A,)) cấp bội  Chứng minh: a) Với giá trị riêng f, ký hiệu d() = dim (KGCR(f,)) () cấp bội  (): Giả sử f chéo hóa   Spk(f) ta có : d()  () Theo mệnh đề : n =  d() SPK ( f ) Vì f chéo hóa nên tồn sở  E (1,…,n)Kn cho : 19 0 1   Mat(f) =    n  Vậy: với  K, Xf() = det (Mat(f)  In ) = n  (i ) i 1 Do f tách  () = n SPK ( f )  K, d() = () (): Giả sử f tách   Spk(f),d() = () Vì f tách nghiệm f giá trị riêng f nên  () = n SPK ( f )   () = n Vậy f chéo hóa SPK ( f ) b) Tính chất diễn đạt theo tính chất thứ diễn đạt theo ma trận 4.4.HỆ QUẢ: (Điều kiện đủ tính chéo hóa được) i) Giả sử f  L(E) Nếu f có n giá trị riêng đơi phân biệt (trong n = dim(E)) f chéo hóa ii) Giả sử A Mn(K) Nếu A có n giá trị riêng đơi phân biệt A chéo hóa 4.5.MỆNH ĐỀ: Tất tự đồng cấu lũy linh chéo hóa khơng Chứng minh: Giả sử E Kkhông gian hữu hạn chiều , f  L(E) tự đồng cấu lũy linh chéo hóa Khi : Do f chéo hóa nên tồn tại(1,…,n)K sở  E cho với D = Mat(f) ta có : 0 1    D=    n  20 Mặt khác f lũy linh nên tồn kN* cho Dk = Suy : 1k = ….= nk = Suy 1 = …= n=  D =  f = 0. 4.6.ĐỊNH LÝ: Cho nN*, A,B Mn(K) cho A.B chéo hóa Khi đó: B.A chéo hóa A hay B khả nghịch kết khơng cịn A hay B khơng khả nghịch Chứng minh: ) Giả sử A khả nghịch Khi tồn P  GLn(K);DDn(K) cho A.B = PDP1 Ta có : B.A = (A1A)(B.A) = A1(AB)A = A1PDP1A = (P1A)1DP1A Vậy B.A chéo hóa ) Giả sử B khả nghịch Khi P  GLn(K); DDn(K) cho A.B = PDP1 Tacó B.A = (BA)(B.B1) = B(AB)B1 = BPDP1B1 = (PB)D(PB)1 Vậy BA chéo hóa ) Xét với n = 2, A,B  M2(K) 0  Giả sử lấy A =   0  Ta có : A.B = B.A = 1 1 B=   0  0 1 1 1 0  0  =     0  0    1 1 0 1 0  0  0  = 0        chéo hóa khơng chéo hóa Vậy A hay B khơng khả nghịch B.A khơng chéo hóa 4.7.MỆNH ĐỀ : Cho nN*, A  Mn(K) Khi A phân tích thành tổng hai ma trận chéo hóa Chứng minh : Đặt A = (aij)ij Khi đ ó tồ n tạ i 1,…,n; 1,…,n  R cho  (1,…,n ) có đơi phân biệt 21  (1,…,n) có đơi phân biệt  i =1,n ; i i = aij Thật , lấy:     1 1 = a11  1 2 cho 2  1, 2  a22  1 2 = a22  2  3 cho 3  1, 3  2, 3  a33  1 , 3  a33  2  3  a33  3  Điều R vơ hạn Ký hiệu : B=  1 a 2  21     a n1  a nn1 0     n   1  C =     a 21   2 a1n    a n 1n   m  Ta thấy B C chéo hóa chúng có n giá trị riêng đôi phân biệt.Mặt khác : B + C = A Vậy nN*, A  Mn(K), phân tích A thành tổng hai ma trận chéo hóa  4.8.ĐỊNH LÝ: Cho nN*, A  Mn(R) cho A tách R Khi A chéo hóa Mn(R) A chéo hóa Mn(C) Chứng minh: () : Giả sử A chéo hóa Mn(R) Ta cần chứng minh A chéo hóa Mn(C) : Hiển nhiên Vì A chéo hóa Mn(R) tức P GLn(R); D  Dn(R) cho A = PDP1 A chéo hóa Mn(C) tức : P GLn(C); D  Dn(C) : A = PDP1 22 () : Giả sử A chéo hóa Mn(C), ta cần chứng minh A chéo hóa Mn(R) Vì A chéo hóa Mn(C) nên P GLn(C); D  Dn(C) cho : A = PDP1 (do A tách R ) Ký hiệu : R = Re(P) = S = Im(P) = (P+  ) (P  ) 2i Khi : R, S  Mn(R) P = R + i S Ta có : A = P D P1  AP = PD  A(R + iS) = (R + iS)D  AR  RS  AS  SD  Vì AR, RD, SD số thực Giả sử R, Q=R +  S Ta có : AQ = AR +  AS = RD +  SD = QD Xét ánh xạ đa thức f : C  C   det(R + S) khác khơng (Vì f(i) = det(P)  0) Vậy có số hữu hạn nghiệm Mặt khác R vơ hạn , R:f()   Q khả nghịch với cách chọn  A = QDQ1 Vậy A chéo hóa Mn(R)  23 TAM GIÁC HĨA MA TRẬN §5 5.1.ĐỊNH NGHĨA: a) Giả sử f  L(E) Ta nói f tam giác hóa tồn sở  E cho Mat(f) ma trận tam giác b) Giả sử A  Mn(K) Ta nói A tam giác hóa tồn ma trận tam giác T thuộc Mn(K) đồng dạng với A Nhận xét: i) Giả sử f  L(E), 0 sở E,A = Mat (f) Khi f tam giác hóa A tam giác hóa ii) Mọi ma trận tam giác tam giác hóa iii) Mọi ma trận tam giác đồng dạng với tam giác ngược lại 1 0  Thật vậy, T = (tij)  Tn,i(K), ký hiệu P =    , ta có PGLn(K), 1 0 P1 = P 1 PTP = t nn    t nn1  t n1      Tn,s(K) t11  Như vậy, ma trận A thuộc Mn(K) đồng dạng với ma trận tam giác dưới, cần đủ đồng dạng với ma trận tam giác iv) Nếu f  L(E) tam giác hóa phần tử chéo ma trận tam giác biểu diễn f giá trị riêng f viết đường chéo với số lần lặp cấp bội chúng 5.2.ĐỊNH LÝ: a) Giả sử A  Mn(K) Hai tính chất sau tương đương i) A tam giác hóa đươc ii) A tách K 24 b) Giả sử A  Mn(K) Hai tính chất sau tương đương i) f tam giác hóa ii) f tách K Chứng minh: i)ii): Giả sử A tam giác hóa được,khi tồn T=  t11    T (K) cho A  T  n,s    t nn  Vậy K, A(f) = T() = n  (tii ), A tách K i 1 ii)i) (Chứng minh quy nạp theo n) ) Với n = (hiển nhiên) ) Giả sử tính chất với nN*, A Mn1(K) cho XA tách K.Khi A có giá trị riêng 1 véc tơ riêng liên kết v1 (v1 Mn1,1(K)) L M1,n(K), A2  Mn(K) cho:  1 A    2     Ta có K , A() = det    = (1  )A () A2  I n  Vì A tách K nên A tách K Theo giả thiết quy nạp tồn QGLn(K), T Tn,s(K) cho A2 = QTQ1 1 0 Kí hiệu R =    Mn1(K) khả nghịch có nghịch đảo là: 0 Q  1  R1 =  1  0 Q   X Ta cần chứng minh X  M1,n(K) cho với ký hiệu : T1 =   0 T Ta có : 1 0  L = RT1R1 A2  25 1 Ta có: RT1R 1  =  0 Q  1 0  X T  1  1 0 Q 1  =    0 1 Vậy cần chọn X = LQ để  0 A 1 0  L  = A2  XQ 1   A2  R T1 R1 X  Tn1,s(K) Vậy tam giác hóa T  b) Giả sử f  L(E) K khơng gian véc tơ E có sở  Ký hiệu A = Mat(f) Theo nhận xét i) f tam giác hóa A tam giác hóa theo(a )   A tách K  f tách suy b chứng minh  5.3.HỆ QUẢ: a) Giả sử E Ckhông gian V hữu hạn chiều với số chiều  Mọi tự đồng cấu E tam giác hóa b) Mọi ma trận vuông thuộc Mn(C) (n1) tam giác hóa Chứng minh: Theo định lý Alembert: Mọi đa thức bậc n  Cx có đủ n nghiệm C, f (hay A) tách C Vậy f (hay A) tam giác hóa  5.4.ĐỊNH NGHĨA: Ta gọi họ (E1 ,E2… ,En) khơng gian E (trong n = dim(E)) thỏa mãn:  i  1,…,n ; dim(Ei) = i  i  1,…,n1; Ei  Ei1 cờ E 26 5.5.MỆNH ĐỀ: Giả sử E1 ,E2… ,En không gian củaE(n = dim(E)) Để (E1 ,E2… ,En) cờ E ,cần đủ tồn sở (e1 ,e2 ,…,en) E cho : i  1,…,n , Ei = Vec(e1 ,e2 ,…,ei) 5.6.ĐỊNH NGHĨA: Giả sử (E1 ,E2… ,En) cờ E , (e1 ,e2 ,…en) sở E Ta nói (e1 ,e2 ,…en) tương thích với cờ (E1 ,E2… ,En) i  1,…,n , Ei = Vec(e1 ,e2 ,…ei) 5.7 MỆNH ĐỀ: Giả sử (E1 ,E2… ,En) cờ E, f  L(E).Để f giữ ổn định E1 ,E2… ,En (tức i  1,…,n , f(Ei)  Ei ), cần đủ tồn sở  E tương thích với cờ (E1 ,E2… ,En) cho Mat(f) ma trận tam giác (hiển nhiên) 5.8.MỆNH ĐỀ: Giả sử f  L(E) Để f tam giác hóa được,cần đủ tồn cờ (E1 ,E2… ,En) E cho với i thuộc 1,2,…,n, Ei ổn định f 5.9.MỆNH ĐỀ: Giả sử E K không gian V hữu hạn chiều với số chiều  1, f  L(E) tam giác hóa được, F không gian E ổn định f F  0, g tự đồng cấu cảm sinh f F Khi g tam giác hóa Chứng minh: Giả sử E K không gian V hữu hạn chiều , f  L(E),F không gian E ổn định f, g : F  F tự đồng cấu cảm sinh f F g ước f Vậy f tam giác hóa  f tách  g tách  g tam giác hóa  5.10.ĐỊNH LÝ: Cho nN*,E K không gian V hữu hạn chiều với số chiều n, I tập khác rỗng, (fi)iI họ tự đồng cấu tam giác hóa E đơi giao hốn Khi tồn véc tơ riêng chung cho tất f sở E tất ma trận f ma trận tam giác Chứng minh: 27 ) Chứng minh tồn véc tơ riêng chung cho tất f , ta chứng minh quy nạp theo n Giả sử với số nguyên  n E Kkhơng gian có số chiều n1; I tập hợp không rỗng, (fi)iI họ tự đồng cấu tam giác hóa E đơi giao hốn.Dễ dàng khảo sát trường hợp fi phép vị tự Giả sử tồn i0  I cho f i phép vị tự; f i có giá trị riêng (vì f i tam giác hóa được) khơng gian riêng tương ứng E0 cho  dim(E0) n ) Không gian E0 ổn định fi với x thuộc E0: f i (fi(x)) = f i (fi (x)) = f i(  x) =   fi(x) Vậy fi(x)  E0 Ta ký hiệu gi tự đồng cấu cảm sinh f i E0 với iI Theo tập 3.1.11, gi tam giác hóa Có thể áp dụng giả thiết quy nạp cho E0 họ (gi)iI ta có (fi)iI nhận véc tơ riêng chung x0 Rõ ràng x0 véc tơ riêng chung cho f i ) Chứng minh tồn sở E mà tất ma trận f ma trận tam giác Ta chứng minh quy nạp theo n Giả sử với n E K khơng gian có số chiều hữu hạn n1 I tập hợp không rỗng, (fi)iI họ tự đồng cấu E*(với phép chuyển vị) tam giác hóa (vì Mat i (fi) = Ti Tn,s(K) Mat *i (K)(fi) = tTi Tn,i(K) đơi giao hốn: (i,j)  I2, tfi  tfj = t(fj  fi) = t(fi  fj) = tfj  tfi Theo a), (fi) (iI) nhận vec tơ riêng chung  cho :  E* 0 i  I,  K , tfi() = i  Các không gian Ker() E ổn định fi với x thuộc Ker(): (fi(x)) = (  fi)(x) =( tfi())(x) = (i )(x) = i (x) = 28 Ta ký hiệu fi tự đồng cấu cảm sinh fi Ker() với iI.Vì   0, dim(Ker()) = (n1) = n Vậy ta áp dụng giả thiết quy nạp cho Ker( ) họ ( fi )iI , fi tam giác hóa fi đơi giao hoán Vậy tồn sở 1 = (e1 ,e2 ,…en) Ker() cho : i  I,Mat ( fi)  Tn1,s(K) tồn en1  E  Ker();  = (e1 ,e2 ,…en1) sở E :  Mat 1 ( f i ' )  iI, Mat( fi) =    Tn1,s(K)    5.11.MỆNH ĐỀ:Cho n  N*,A,B,C  Mn(C) cho AB  BA = C; AC = CA, BC = CB Khi A,B,C tam giác hóa đồng thời nghĩa tồn P  GLn(C) cho P1AP , P1BP, P1CP ma trận tam giác Chứng minh: Quy nạp theo n Với n  hiển nhiên Giả sử với số nguyên n, giả sử A,B,C  Mn1(C) cho ABBA=C; AC = CA, BC = CB Ký hiệu ,, tự đồng cấu Mn1(C) tương ứng liên kết với A,B,C sở tắc Mn1(C) Tự đồng cấu  có giá trị riêng  Ký hiệu : E =KGCR Chứng minh E ổn định ,, Ký hiệu ,, tự đồng cấu cảm sinh E tương ứng ,, Ta có:     IdE  , từ = tr() = tr() = dim(E) Vậy 0,  Cho E họ (,), nên tồn a1,b1C, x1 E 0 cho  (x1) a1 x1  (x1) b1 x1 Bổ sung x1 thành sở   (x1, x2,…, xn1) Mn1(C), ma trận ,,  tương ứng có dạng: a1 0  X , A1  b1 0  Y  0 Z  , B1  0 C1  X,Y,Z  M1,n(C); A1,B1,C1  Mn(C) 29 Bằng phép nhân theo khối,chứng minh : A1B1  B1 A1= C1, A1C1 = C1 A1, B1C1 = C1 B1 Ta áp dụng giả thiết quy nạp cho (A1,B1,C1): Tồn P  GLn(C),T1 ,U1 ,V1  Tn,s(C) cho: A1 = PT1P1 , B1 = PU1P1 , C1 = PV1P1 1  , Q khả nghịch , Q1 =  0 P  Ký hiệu Q =  1  0 P 1  phép   nhân theo khối ta Q1AQ, Q1BQ, Q1  Q  Tn1,s(C) 5.12.MỆNH ĐỀ : Cho n  N*,A,B  Mn(C) cho A.B = Khi A B tam giác hóa đồng thời không mở rông cho ba ma trận Chứng minh: (Quy nạp theo n) Hiển nhiên với n = Ta giả sử với n  N giả sử A, B  Mn(C) cho A.B = Nếu A V khả nghịch A = B = mệnh đề hiển nhiên Giả sử A B không khả nghịch Ký hiệu f,g tự đồng cấu Mn(C) ma trận A, B sở tắc Vì f.g = ; rõ ràng Ker(f) ổn định g Ký hiệu g tự đồng cấu cảm sinh g Ker(f) Vì dim(Ker(f))  nên g nhận giá trị riêng  véc tơ riêng liên kết x1 Tồn x2,…, xn1 Mn1,1(C) cho   (x1, x2,…, xn1) sở Mn1,1(C) 0 X   Y Các ma trận f, g  tương ứng có dạng   ; 0 B  A 1  1  X, Y M1,n(C), A1,B1 Mn1(C) Do f.g = ta suy A1.B1 = Theo giả thiết quy nạp tồn P  GLn(C), T, U  Tn,s(C): A = PTP1, B = PUP1 30 1 0 1  Ký hiệu Q =  , Q khả nghịch , Q1 =  phép nhân  1  P P     theo khối ta được: Q1 AQ  Tn1,s(K), Q1 BQ Tn1,s(K) 0  1 1 0 1 Giả sử A =   , B = 1 1 , C = 0 1 Tính A.B.C = 0      Nếu A,B,C đồng thời tam giác hóa A,B,C nhận véc tơ riêng chung X1     Nhưng SpC(A) = 0,KGCR(A,0) = Ker(A) = Vect   B Vậy A B véc tơ riêng chung Vậy mệnh đề không mở rộng cho trường hợp ba ma trận (nu n2) 31 Kết luận Đ4; Đ5 nội dung luận văn Các kết qủa Đ4 là: - Nêu đ-ợc điều kiện cần đủ để toán tử tuyến tính chéo hoá đ-ợc (Mệnh đề 4.2, Định lý 4.3) - Nêu số điều kiện đủ để toán tử tuyến tính f chéo hoá đ-ợc là: f có n giá trị riêng đôi phân biệt - Điều kiện để tích hai ma trận vuông AB chéo hoá đ-ợc BA chéo hoá đ-ợc A B khả nghịch (Định lý 4.6) - Ma trận A M ( ) đa thức đặc tr-ng A A tách đ-ợc A chéo hoá đ-ợc chéo hoá đ-ợc t-ơng đ-ơng Trong §5 cã c¸c kÕt qđa chÝnh sau: - Mét ma trận vuông A cấp n K tam giác hoá đ-ợc đa thức đặc tr-ng A tách đ-ợc K - Dựa vào khái niệm cờ không gian véc tơ E đà nêu đ-ợc điều kiện cần đủ để mét to¸n tư tun tÝnh cđa E tam gi¸c ho¸ đ-ợc (Mệnh đề 5.7) - Khoá luận đặt vấn đề nghiên cứu phép tam giác hoá đồng thời hai ma trận tức tìm ma trận biến đổi P không suy biến để tam giác hoá đồng thời hai ba ma trận đà cho (Định lý 5.12 ; 5.11) 32 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Giám Mai Quý Năm Nguyễn Hữu Quang Ngô Sỹ Tùng Nguyễn Sum, Toán cao cấp tập một, Nxb Giáo dục (1998 ) [2] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, Nxb ĐHQG Hà Nội (2006) [3] Nguyễn Hữu Việt H-ng, Đại số tuyến tính, Nxb ĐHQG Hà Nội (2001) [4] Ngô Việt Trung, Đại số tuyến tính, Nxb ĐHQG Hà Nội (2001) [5] Jean - Marie Monier, Đại sè 1, Nxb Gi¸o dơc (2003) [6] Jean - Marie Monier, Đại số 2, Nxb Giáo dục (2003) ... ma trận tam giác T thuộc Mn(K) đồng dạng với A Nhận xét: i) Giả sử f  L(E), 0 sở E,A = Mat (f) Khi f tam giác hóa A tam giác hóa ii) Mọi ma trận tam giác tam giác hóa iii) Mọi ma trận tam giác. .. tr-ng ma trận biểu diễn chúng sỡ E Vì việc nghiên cứu toán tử tuyến tính E đ-ợc chuyển nghiên cứu ma trận. Các ma trận đồng dạng với ma trận chéo (ma trận tam giác) gọi chéo hoá (tam giac hoá) ... Mn(K) đồng dạng với ma trận tam giác dưới, cần đủ đồng dạng với ma trận tam giác iv) Nếu f  L(E) tam giác hóa phần tử chéo ma trận tam giác biểu diễn f giá trị riêng f viết đường chéo với số lần