sk ba bài toán chứa tham số của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp trong kỳ thi tốt nghiệp THPT QG

MỤC LỤC I ĐẶT VẤN ĐỀ .2 1.1 Lí chọn đề tài .2 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm SKKN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Sự đồng biến, nghịch biến hàm số 2.1.2 Cực trị hàm số 2.1.3 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số .5 2.1.4 Đồ thị hàm số 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp thực 2.3.1 Bài tốn: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng cho trước .6 2.3.2 Bài tốn: Tìm điều kiện tham số để hàm số có điểm cực trị 25 2.3.3 Bài toán: Cho hàm số Tìm để giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn thỏa mãn điều kiện cho trước 34 III KẾT LUẬN .42 3.1 Kết luận 43 3.2 Kiến nghị 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO .43 I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lí chọn đề tài Để phát triển lực toán học cho học sịnh, đặc biệt học sinh lớp 12 giúp em có kết cao kỳ thi tốt nghiệp THPT QG Tác giả nhận thấy chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số chương trình giải tích lớp 12 nội dung quan trọng có nhiều ứng dụng mơn tốn, điều thể thông qua việc kiến thức chương chiếm tỉ lệ cao đề thi THPT.QG Số câu hỏi mức vận dụng vận dụng cao chương cũng mang đến cho giáo viên học sinh quan tâm đặc biệt, phải kể đến tốn chứa tham số Qua trình giảng dạy trường THPT Tân Kỳ 3, tác giả nhận thấy nội dung chương tạo hứng thú học tập cho em học sinh, việc học tốt nắm vững kiến thức chương sẽ tạo đà cho việc học tập chương khác tốt Các năm dạy học ôn thi tốt nghiệp THPT QG tác giả rút điều cần phải bồi dưỡng cũng phát triển lực tư kết hợp phân tích trực quan suy luận logic để giải số tốn chương giải tích lớp 12 Các dạng tốn chứa tham số ln giáo viên học sinh qua tâm tìm hiểu, đặc biệt đối tượng học sinh giỏi ôn thi vào trường đại học Trong kỳ thi THPT QG hàng năm câu hỏi mức vận dụng, vận dụng cao chương ứng dụng đạo hàm chiếm tỉ lệ cao, tốn chứa tham số hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối y = f ( x; m) cũng thường xuyên xuất Từ lý nêu trên, cùng nghiên cứu tác giả kết hợp chia sẻ kinh nghiệm đồng nghiệp giáo viên cốt cán tỉnh nghệ an Tác giả đã đúc rút kinh nghiệm quý báu thành đề tài “Ba toán chứa tham số hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối y = f ( x; m) thường gặp kỳ thi tốt nghiệp THPT QG” để áp dụng giảng dạy ôn thi THPT QG trường THPT Tân Kỳ 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong đề tài tác giả nghiên cứu phương pháp dạy học theo hướng phát triển lực tư học sinh thông qua toán liên quan đến khảo sát hàm số chương trình giải tích lớp 12 với mục đích sau • Kết hợp phân tích đồ thị hàm số y = f ( x; m) để đưa điều kiện tương đương toán giúp học sinh lĩnh hội kiến thức khó trở nên đơn giản • Đưa nhiều hướng tiếp cận cho cùng tốn việc phân tích dấu hiệu tốn • Học sinh nắm vững chất lập luận thông qua việc phân tích trường hợp xảy tốn tìm điều kiện để hàm số đơn điệu, số cực trị hàm số, giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f ( x; m) • Rèn luyện cho học sinh lực giải vấn đề toán học để tạo hứng thú học tập toán học cho học sinh lớp 12 nhằm phát triển trí tuệ góp phần giáo dục, rèn luyện phẩm chất, lực học sinh nhiều mặt • Kết nghiên cứu để làm tài liệu giảng dạy cho đồng nghiệp tổ toán tin trường THPT Tân Kỳ 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Phương pháp dạy học hình thành phát triển lực học sinh - Học sinh thi tốt nghiệp THPT QG để xét Đại học 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: Nghiên cứu tài liệu từ sách, báo, mạng internet cách thức tổ chức dạy học theo hướng phát triển lực học sinh - Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: Phân tích định hướng từng tốn, sử dụng kinh nghiệm thân để giúp học sinh phát triển lực phân tích, tởng hợp - Phương pháp điều tra: Tìm hiểu thực tế giảng dạy, trao đởi kinh nghiệm với giáo viên, thăm dị học sinh để tìm hiểu tình hình học tập em 1.5 Những điểm SKKN - Trong đề tài tác giả đã nêu lên kết hợp trực quan đồ thị lập luận có lý giúp học sinh dệ hiểu nắm vững chất toán chứa tham số hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối y = f ( x; m) : Bài toán đơn điệu; toán cực trị; toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ - Phân tích dấu hiệu từng toán đưa nhiều định hướng khác giúp học sinh dễ dàng tìm hướng giải tốn - Sử dụng mơ hình lực giải vấn đề tốn học để phân tích định hướng giúp học sinh phát triển lực đọc hiểu liệu câu hỏi; lực suy luận toán học; lực thực tính tốn; lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn giải vấn đề toán học II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Sự đồng biến, nghịch biến hàm số a Định nghĩa Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số y = f ( x) xác định K Ta nói + Hàm số y = f ( x) đồng biến K với cặp x1 , x2 thuộc K mà x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ); + Hàm số y = f ( x) nghịch biến K với cặp x1 , x2 thuộc K mà x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) b Định lý Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm K + Nếu f '( x) ≥ với x thuộc K hàm số f ( x) đồng biến K + Nếu f '( x) ≤ với x thuộc K hàm số f ( x) nghịch biến K ( f '( x) = chỉ số hữu hạn điểm K ) c Đồ thị hàm số đơn điệu + Nếu hàm số đồng biến K đồ thị lên từ trái sang phải + Nếu hàm số nghịch biến K đồ thị xuống từ trái qua phải 2.1.2 Cực trị hàm số a Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x) xác định liên tục khoảng ( a; b ) điểm x0 ∈ ( a; b ) + Nếu tồn số h > cho f ( x) < f ( x0 ) với x ∈ ( x0 − h ; x0 + h ) x ≠ x0 ta nói hàm số y = f ( x) đạt cực đại x0 + Nếu tồn số h > cho f ( x) > f ( x0 ) với x ∈ ( x0 − h ; x0 + h ) x ≠ x0 ta nói hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu x0 b Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lý: Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục khoảng K = ( x0 − h ; x0 + h) có đạo hàm K K \ { x0 } , với h > + Nếu f '( x) > khoảng ( x0 − h ; x0 ) f '( x) < khoảng ( x0 ; x0 + h ) x0 điểm cực đại hàm số y = f ( x) + Nếu f '( x) < khoảng ( x0 − h ; x0 ) f '( x) > khoảng ( x0 ; x0 + h ) x0 điểm cực tiểu hàm số y = f ( x) 2.1.3 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số a Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x) xác định tập D + Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f ( x) tập D f ( x) ≤ M với x thuộc D tồn x0 ∈ D cho f ( x0 ) = M f ( x) Kí hiệu M = max D + Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f ( x) tập D f ( x) ≥ m với x thuộc D tồn x0 ∈ D cho f ( x0 ) = m f ( x) Kí hiệu m = D b Định lý Mọi hàm số liên tục đoạn có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn 2.1.4 Đồ thị hàm số y = f ( x)  f ( x) nê´u f ( x) ≥  − f ( x) nê´u f ( x) < Ta có y = f ( x) =  Do đồ thị hàm số y = f ( x) suy từ đồ thị hàm số y = f ( x) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = f ( x) nằm trục hoành + Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị hàm số y = f ( x) nằm trục hoành Đồ thị hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ( x) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm - Thực tế dạy học kết kỳ thi tốt nghiệp THPT QG trường THPT Tân Kỳ 3: Những khó khăn giáo viên học sinh dạy học toán vận dụng cao chương hàm số dẫn đến kết thấp - Về phía giáo viên: Đa phần đồng nghiệp trường THPT Tân Kỳ dạy toán mức vận dụng vận dụng cao, phần lực học sinh đại trà thấp phần khó khăn việc tìm kiếm tài liệu dạy học Điều tạo nên tâm lý e ngại gặp phải tốn khó, lâu dài dẫn đến việc giảng dạy cho học sinh ôn thi đại học gặp nhiều khó khăn - Về phía học sinh: Sự tiếp cận dạng toán vận dụng vận dụng cao cịn ít, tài liệu hướng dẫn chưa có dẫn đến kết học tập thi chưa cao Cụ thể kết thi THPT QG năm 2019: Điểm trung bình mơn tốn lớn 12A1 kỳ thi TN THPT QG năm 2018 - 2019 6.5 điểm ( thống kê điểm toán TN THPT 2018 2019 lớp 12A1) Điểm 8.6 8.4 8.2 7.8 7.4 7.2 7.0 6.8 6.6 6.4 6.2 6.0 5.6 4.8 4.6 4.2 3.6 Tần 1 2 3 1 2 số Và nhiều năm trước điểm thi THPT QG lớp 12A1 trường THPT Tân Kỳ thấp 2.3 Các giải pháp thực 2.3.1 Bài toán: Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x; m) đơn điệu khoảng cho trước 2.3.1a Hàm số y = f ( x; m) đồng biến khoảng ( a; b ) Phương pháp phát giải vấn đề Bước 1: Phát hiện/ thâm nhập vấn đề Câu hỏi 1: Chúng ta đã biết cách giải toán xét đồng biến, nghịch biến hàm số y = f ( x) ; tốn tìm điều kiện tham số m để hàm số y = f ( x; m) đồng biến khoảng ( a; b ) Bài tốn tìm điều kiện tham số m để hàm số y = f ( x; m) đồng biến ( a; b ) có giải khơng? Sau tiếp cận câu hỏi học sinh sẽ có suy nghị nảy sinh nhiều định hướng khác Nhưng có vấn đề đặt phương pháp giải cho tốn có giống dạng đã gặp khơng? Hay có cách khác để giải tốn khơng? Bước 2: Tìm tòi hướng giải toán Sau đặt câu hỏi 1, học sinh đã tư phân tích toán, giáo viên tiếp tục đặt câu hỏi cho học sinh Câu hỏi 2: Hãy nhắc lại điều kiện tương đương tốn tìm điều kiện tham số m để hàm số y = f ( x; m) đồng biến khoảng ( a; b ) ? + Ở bước học sinh sẽ trình bày điều kiện tương đương f '( x ; m) ≥ 0; ∀x ∈ (a ; b) + Đến giáo viên tiếp tục phân tích, tìm đạo hàm hàm số y = f ( x; m) sẽ sử dụng điều kiện tương tự Và đặt câu hỏi Câu hỏi 3: Hãy bỏ dấu giá trị tuyệt đối để lấy đạo hàm hàm số y = f ( x; m) + Ở bước học sinh sẽ có định hướng:  f ( x; m) nê´u f ( x; m) ≥ y = f ( x; m) =   − f ( x; m) nê´u f ( x; m) < Hoặc y = f ( x; m) = [ f ( x; m) ] + Phân tích: Ở bước giáo viên cần phân tích để học sinh thấy việc sử dụng y = f ( x; m) = [ f ( x; m)] để tính đạo hàm Khi tìm đạo hàm đã quy toán quen y ' ≥ 0; ∀x ∈ (a ; b) Bước 3: Trình bày lời giải tốn Ta có y = f ( x m) = [ f ( x; m) ] ⇒ y'= f '( x; m) f ( x; m) [ f ( x; m)] = f '( x; m) f ( x; m) f ( x; m) Để hàm số y = f ( x; m) đồng biến khoảng ( a; b ) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) ( f ( x; m) ≠ )   f '( x; m) ≥ , ∀x(a; b)  f ( x ; m ) >  ⇔ f '( x; m) f ( x; m) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) ⇔    f '( x; m) ≤  , ∀x(a; b)   f ( x; m) < Bước 4: Đánh giá lời giải nghiên cứu sâu toán Bằng cách biến đổi y = f ( x; m) = [ f ( x; m)] đã quy toán toán quen ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) Bài tốn cịn có cách giải khác: Cách 2: Sử dụng đồ thị ← - Phân tích: Nếu đồ hàm số y = f ( x; m) thị cắt trục Ox ← Ta suy đồ thị hàm số y = f ( x; m) sau Vì hàm số y = f ( x; m) không đơn điệu khoảng ( a; b ) (Nên đồ thị hàm số cắt trục Ox được, ta chỉ có hai trường hợp sau đây) Trường hợp 1:  f '( x; m) ≥ ∀x ∈ (a; b)  f ( x; m) ≥  f '( x; m) ≥ ⇔  ∀x ∈ (a; b)  f (a ) ≥ Điều kiện toán trường hợp  Trường hợp 2:  f '( x; m) ≤ , ∀x ∈ ( a; b)  f ( x; m) ≤  f '( x; m) ≤ ⇔  , ∀x ∈ (a; b)  f (a ) ≤ Điều kiện toán trường hợp  Cách 3: Sử dụng bảng biến thiên Trong trường hợp y ' = nhẩm nghiệm ta lập bảng biến thiên sau vào bảng biến thiên để tìm điều kiện toán 2.3.1b Hàm số y = f ( x; m) nghịch biến khoảng ( a; b ) Phân tích tương tự tốn đồng biến ta có: Cách 1: Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến Ta có y = f ( x; m) = [ f ( x; m)] ⇒ y'= f '( x; m) f ( x; m) [ f ( x; m)] = f '( x; m) f ( x; m) f ( x; m) Để hàm số y = f ( x; m) nghịch biến khoảng ( a; b ) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) ( f ( x; m) ≠ )   f '( x; m) ≤ , ∀x(a; b)  f ( x ; m ) >  ⇔ f '( x; m) f ( x; m) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) ⇔    f '( x; m) ≥  , ∀x(a; b)   f ( x; m) < Cách 2: Sử dụng đồ thị Trường hợp 1:  f '( x; m) ≤ , ∀x ∈ ( a; b)  f ( x; m) ≥  f '( x;) ≤ ⇔  , ∀x ∈ (a; b)  f (b) ≥ Điều kiện toán trường hợp  Trường hợp 2: 10 m ≤ Từ hai trường hợp ta có  m = Do m nguyên không âm nên m ∈ { 0;1; 2} Ta chọn đáp án: A Ví dụ 4: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x3 + (2m − 1) x + (2m − 2m − 9) x − 2m + có điểm cực trị ? A B C D Lời giải: Đặt f ( x) = x3 + (2m − 1) x + (2m − 2m − 9) x − 2m + xác định ¡ Để hàm số y = f ( x) có điểm cực trị ⇔ hàm số y = f ( x) có điểm cực trị đồ thị y = f ( x) cắt trục hoành điểm phân biệt ⇔ Phương trình x3 + (2m − 1) x + (2m2 − 2m − 9) x − 2m + = (*) có nghiệm phân biệt x = ⇔ ( x − 1)( x + 2mx + 2m − 9) = ⇔  2  g ( x) = x + 2mx + 2m − = (**) Ta có phương trình (*) có nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (**) có nghiệm  −3 < m < ∆ ' > −m + >  ⇔ ⇔  phân biệt khác ⇔  −1 ± 17  2m + 2m − ≠ g(1) ≠ m ≠  Do m nguyên ⇒ m ∈ { −2; −1;0;1; 2} Chọn đáp án: B Nhận xét: Hàm số bậc ba y = f ( x) có hai cực trị đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt đồ thị hàm số y = f ( x) có điểm cực trị Đồ thị y = f ( x) Đồ thị y = f ( x) 30 Ví dụ 5: Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị hình vẽ bên Tất giá trị tham số m để hàm số y = f ( x) + m có điểm cực trị A m ≤ −1 m ≥ B −1 < m < C m = −1 m = D −1 ≤ m ≤ Lời giải: Xét hàm số g ( x) = f ( x) + m xác định ¡ , có g '( x) = f '( x) Ta có y = g ( x) = [ g ( x) ] ⇒ y'= g '( x ).g ( x) g ( x) Suy số điểm cực trị hàm số y = g ( x) số nghiệm đơn nghiệm bội lẻ  g '( x) =  f '( x ) = (1) ⇔ phương trình g '( x).g ( x) = ⇔   g ( x) =  f ( x ) + m = (2) Từ đồ thị ta có Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Để hàm số y = g ( x) có điểm cực trị ⇔ Phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt khác x1 , x2 ⇔ f ( x) = −m có ba nghiệm phân biệt khác x1 , x2 , từ đồ thị suy −3 < − m < ⇔ −1 < m < Vậy −1 < m < hàm số y = f ( x) + m có điểm cực trị Chọn đáp án: B Nhận xét: Đây tốn điển hình cho việc phân tích đồ thị để xác định số giao điểm số cực trị hàm số Ví dụ 6: Cho hàm số y = x − m ( với m tham số thực) có nhiều bao x +1 nhiêu điểm cực trị? A B C D Lời giải: Xét hàm số g ( x) = x xác định ¡ x +1 31 Ta có g '( x) = − x2 ; ( x + 1) x = g '( x) = ⇔   x = −1 Ta có bảng biến thiên x g '( x) −∞ −1 − 1 + g ( x) − − +∞ Ta nhận thấy hàm số g ( x) ln có hai điểm cực trị ⇒ Số điểm cực trị hàm số y = g ( x) − m phụ thuộc vào số nghiệm phương x x trình g ( x) − m = ⇔ − m = ⇔ = m (1) x +1 x +1 Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình (1) có nhiều nghiệm Vậy hàm số f ( x) có nhiều điểm cực trị Chọn đáp án: D Nhận xét: Đây toán quen thuộc hàm số y = f ( x) mà biết rằng số điểm cực trị hàm số số điểm cực trị hàm số f ( x) số nghiệm phương trình f ( x) = ( khơng tính nghiệm kép) Bài tốn lập m nên ta chọn cách lập bảng biến thiên hàm số g ( x) = x x +1 Ví dụ 7: Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị hình vẽ bên Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = f ( x) + f ( x) + m có điểm cực trị A m > B m ≥ C m < D m ≤ Lời giải: Xét hàm số g (x) = f ( x) + f ( x) + m xác định ¡ Ta có g '( x) = f '( x) f ( x) + f '( x) = f '( x) [ f ( x) + 1] 32 x =  f '( x ) = ⇒ g '( x) = ⇔  ⇔  x = ta có  f ( x) = −  x = a <    g (3) = m   g (1) = f (1) + f (1) + m > m   g (a ) = m −  Ta có bảng biến thiên x g '( x) −∞ − a + +∞ g( x) m− g (1) − + +∞ +∞ m Dựa vào bảng biến thiên, suy hàm số g ( x) có điểm cực trị 4 Để hàm số y = g ( x) có điểm cực trị ⇔ m − ≥ ⇔ m ≥ Vậy m ≥ hàm số y = f ( x) + f ( x) + m có điểm cực trị Chọn đáp án: B Nhận xét: Bản chất toán hàm số y = f ( x) Nhưng m cô lập nên ta chọn cách lập bảng biến thiên để xác định số điểm cực trị hàm số f ( x) , sau dựa vào bảng biến thiên để xác định số nghiệm phương trình f ( x) = 2.3.2c Bài tập tương tự Bài 1: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x − 3x + m có điểm cực trị ? A −4 < m < B −4 ≤ m ≤ C < m < D m ≥ m ≤ Bài 2: Có số nguyên m ∈ ( −20; 20 ) để hàm số y = x − (m + 1) x + m có điểm cực trị ? A 18 B 20 C 19 D 21 2 Bài 3: Có số nguyên m ∈ ( −20; 20 ) để hàm số y = ( x + 2) x − m có điểm cực trị? A B 17 C D 16 Bài 4: Có số nguyên m để hàm số y = 3x − 25 x + 60 x + m điểm cực trị ? có A 42 B 21 C 44 D 22 Bài 5: Cho hàm số y = x − 2(m − 1) x + 2m − Tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số đã cho có điểm cực trị 33  3 3  A 1; ÷  2 B  ; +∞ ÷\ { 2} 2  C ( 1; +∞ ) \ { 2}   D 1;   2 Bài 6: Có số nguyên m để hàm số y = 3x − 15 x − 60 x + m có điểm cực trị ? A 289 B 287 C 286 D 288 Bài 7: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x − x − x + m có điểm cực trị ? A B C D Bài 8: Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị hình vẽ bên Tất giá trị tham số m để hàm số y = f ( x) + m có điểm cực trị  m ≤ −1 A  m ≥  m = −1 C  m =  m ≤ −3 B  m ≥ D ≤ m ≤ Bài 9: Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị hình vẽ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = f ( x) + f ( x) + m có điểm cực trị A m ≥ B m > C m ≤ −1 D m < −1 2.3.3 Bài toán: Cho hàm số y = f ( x; m) Tìm m để giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn [ a; b] thỏa mãn một điều kiện cho trước 34 2.3.3a Phương pháp phát giải vấn đề Bước 1: Phát hiện/ Thâm nhập vấn đề Câu hỏi 1: Chúng ta đã biết cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f ( x) đoạn [ a; b] , khoảng ( a ; b ) Bằng phương pháp em giải tốn tìm điều kiện tham số m để giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ; m) thỏa mãn điều kiện cho trước hay khơng? + Sau tiếp nhận câu hỏi học sinh có định hướng khác để giải Nhưng sẽ làm nảy sinh học sinh vấn đề cần tư duy: Phương pháp có giải khơng ? Bước 2: Tìm tòi hướng giải tốn Sau đặt câu hỏi số 1, học sinh đã tư phân tích tốn, giáo viên tiếp tục đặt câu hỏi cho học sinh Câu hỏi 2: Hãy trình bải hướng giải cho tối ưu theo hướng suy nghĩ em? + Ở bước này, học sinh trình bày giải pháp sẽ có số định hướng sau: Học sinh dùng bảng biến thiên đồ thị để xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Học sinh dùng quy tắc xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn [ a ; b] + Nếu dùng phương pháp xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn [ a ; b] học sinh gặp phải khó khăn chuyển sang giá trị tuyệt đối việc so sánh để xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ + Nếu dùng bảng biến thiên đồ thị để xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn [ a ; b] làm để xác định hết khả xảy ra? + Phân tích: Giáo viên dùng đồ thị để phân tích trường hợp xảy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f ( x) đoạn [ a ; b] Bước 3: Trình bày lời giải toán f ( x ) = p ; f ( x) = q + Tìm max [ a ;b ] [ a ;b ] + Xét trường hợp:  f ( x ) =  [ a ;b ] Trường hợp 1: Nếu p.q ≤ ⇒  f ( x) = max { p ; q }  max  [ a ;b ] f ( x) = p + Nếu p + q ≥ max [ a ;b ] f ( x) = q + Nếu p + q < max [ a ;b ] 35 ⇒  f ( x ) = q  [ a ;b ] Trường hợp 2: Nếu q > ⇒  f ( x) = p  max [ a ;b ]  f ( x ) = p = − p  [ a ;b ] Trường hợp 3: Nếu p < ⇒  f ( x) = q = −q  max [ a ;b ] ⇒ Bước 4: Đánh giá trình giải nghiên cứu sâu toán + Sử dụng đồ thị giúp em hiểu rõ chất việc so sánh giá trị để đánh giá giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f ( x ; m) + Bài tốn cịn có cách giải khác sử dụng tính chất bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Cách 2: sử dụng công thức tính nhanh p+q + p−q max f ( x) = ; [ a ;b ] 0, nê´u p.q ≤  f ( x) =  p + q − p − q a ; b [ ] , nê´u p.q >   36 2.3.3b Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: ( Đề tham khảo THPT.QG 2018) Gọi S tập hợp tất giá trị tham số thực m cho giá trị lớn hàm số y = x − 3x + m đoạn [ 0; 2] bằng Số phần tử S A B C D Lời giải: Cách 1: Đặt f ( x) = x3 − 3x + m xác định ¡ x = Ta có f '( x) = 3x − ⇒ f '( x) = ⇔  x = −1∉ 0; [ ]  Suy f (0) = m , f (1) = m − , f (2) = m + Ta có m − < m < m + f ( x) = { m − ; m + } ⇒ max [ 0;2] (m − 2)( m + 2) ≤ ⇔ 0≤m≤2 (m − 2) + (m + 2) ≥ Trường hợp 1: Nếu  f ( x) = m + = m + = ⇔ m = thỏa mãn max [ 0;2] (m − 2)( m + 2) ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ (m − 2) + (m + 2) < Trường hợp 2: Nếu  f ( x ) = m − = − m = ⇔ m = −1 thỏa mãn max [ 0;2] f ( x) = m + = m + = Trường hợp 3: Nếu m − > ⇔ m > max [ 0;2] ⇔ m = không thỏa mãn f ( x) = m − = − m = Trường hợp 4: Nếu m + < ⇔ m < −2 max [ 0;2] ⇔ m = −1 khơng thỏa mãn Vậy có hai giá trị m thỏa mãn Chọn đáp án: B Cách 2: Sử dụng cơng thức tính nhanh Đặt f ( x) = x3 − 3x + m xác định ¡ x = Ta có f '( x) = 3x − ⇒ f '( x) = ⇔  x = −1∉ 0; [ ]  Suy f (0) = m , f (1) = m − , f (2) = m + Ta có m − < m < m + (m + 2) + (m − 2) + (m + 2) − (m − 2) = m + = ⇔ m = ±1 [ 0;2] Vậy có hai giá trị m thỏa mãn ⇒ max f ( x) = 37 Chọn đáp án: B Cách 3: Đặt f ( x) = x3 − 3x + m xác định ¡ x = Ta có f '( x) = 3x − ⇒ f '( x) = ⇔  x = −1∉ 0; [ ]  Suy f (0) = m , f (1) = m − , f (2) = m + Ta có m − < m < m +   m +   m + f ( x) = { m − ; m + } = ⇔   ⇒ max [ 0;2]  m −  m −   =3 ≥ m−2 =3 m = ⇔  m = −1 ≥ m+2 Vậy có hai giá trị m thỏa mãn Chọn đáp án: B Nhận xét: Để hiểu chất từng TH em nên phân tích bằng đồ thị hàm trị tuyệt đối Để giải nhanh cho thi trắc nghiệm nên sử dụng cơng thức tính nhanh x+m ( m tham x +1 số thực) Gọi S tập hợp tất giá trị thực m cho max f ( x) + f ( x) = Số phần tử S Ví dụ 2: ( Đề tham khảo THPT.QG 2020) Cho hàm số y = [ 0;1] [ 0;1] A B C D Lời giải: x +1 =1 x +1 f ( x) + f ( x) = + = , m = thỏa mãn ⇒ max [ 0;1] [ 0;1] Xét m = ta có y = 1− m Xét m ≠ ta có y ' = ( x + 1)2 không đổi dấu ¡ \ { −1} ⇒ Hàm số đơn điệu đoạn [ 0;1] Ta có f (0) = m ; f (1) = 1+ m  f ( x ) =  [ 0;1] 1+ m ⇔ ⇒ m ≤ − ≤ m ≤ Trường hợp 1:   1+ m   max f ( x) =  m ;  0;1] [    1+ m ≤ Do −1 ≤ m ≤ ⇒ m ≤ ; 2 ⇒ max f ( x) + f ( x) < , TH giá trị m thỏa mãn [ 0;1] [ 0;1] 38 m > 1+ m >0 ⇔   m < −1 + m 3m + ( m + m cùng dấu) ⇒ max f ( x) + f ( x) = m + = [ 0;1] [ 0;1] 2 Trường hợp 2: m m = 3m + ( m = không thỏa mãn) max f ( x ) + f ( x ) = ⇒ [ 0;1] ⇔ =2⇔ [ 0;1] m = −   5 Vậy S = 1; −   3 Chọn đáp án: B Nhận xét: Bài nhiều em mắc sai lầm khơng xét trường hợp m = Ví dụ 3: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị nhỏ hàm số y = x − x − m đoạn [ −1; 2] bằng Tổng tất phần tử S bằng A −2 B C 14 D Lời giải: Đặt f ( x) = x − x − m đoạn [ −1; 2]  x = ∈ [ −1; 2]  Có f '( x) = x3 − x = ⇔  x = ∈ [ −1; 2]   x = −1 ∈ [ −1; 2] Khi f (0) = −m ; f (±1) = − m − ; f (2) = −m + ⇒ max f ( x ) = −m + f ( x) = −m − [ −1;2] [ −1;2] y = , không thỏa mãn Trường hợp 1: Nếu (−m − 1)(−m + 8) ≤ ⇔ −1 ≤ m ≤ [ −1;2] toán y = −m − = −m − Trường hợp 2: Nếu −m − > ⇔ m < −1 [ −1;2] y = ⇔ −m − = ⇔ m = −3 thỏa mãn Khi [ −1;2] y = −m + = m − Trường hợp 3: Nếu −m + < ⇔ m > [ −1;2] y = ⇔ m − = ⇔ m = 10 thỏa mãn Khi [ −1;2] Vậy S = { −3;10} , suy tổng phần tử S bằng Chọn đáp án: B Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x) = x − x + m ( m tham số thực) Gọi S tập hợp f ( x ) < 3min f ( x) tất giá trị nguyên m thuộc đoạn [ −20; 20] cho max [ 0;2] [ 0;2] Tổng phần tử S bằng 39 A 63 B 51 C 195 D 23 Lời giải: Đặt f ( x) = x − x + m đoạn [ 0; 2]  x = ∈ [ 0; 2]  Ta có f '( x) = x3 − x = ⇔  x = ∈ [ 0; 2]   x = −1 ∉ [ 0; 2] f (0) = m ; f (1) = m − ; f (2) = m + ⇒ max f ( x) = m + f ( x) = m − [ 0;2] [ 0;2] Trường hợp 1: Nếu (m − 1)(m + 8) < ⇔ −8 < m <  f ( x ) =  [ 0;2]  f ( x) = { m + ; m − } >  max  [ 0;2] Không thỏa mãn điều kiện max f ( x ) < 3min f ( x) [ 0;2] [ 0;2] ⇒ Trường hợp 2: Nếu m − ≥ ⇔ m ≥ f ( x ) = m + = m + , f ( x) = m − = m − max [ 0;2] [ 0;2] f ( x) < 3min f ( x) ⇔ m + < 3(m − 1) ⇔ m > 11 Khi max [ 0;2] [ 0;2] Trường hợp 3: Nếu m + ≤ ⇔ m ≤ −8 max f ( x) = m − = − m , f ( x) = m + = −m − [ 0;2] [ 0;2] 40 f ( x) < 3min f ( x) ⇔ − m < 3(− m − 8) ⇔ m < − 25 Khi max [ 0;2] [ 0;2] ⇒ Từ ba trường hợp kết hợp với điều kiện m ∈ [ −20; 20]     ta có m ∈  −20; − ÷∪  ; 20   2   25 11 Vì m ∈ ¢ ⇒ S = { −20; −19; −18; ; −13;6;7;8; ; 20} Vậy tổng phần tử S bằng + + + + 10 + 11 + 12 = 63 Chọn đáp án: A Nhận xét: toán sử dụng giá trị lớn giá trị nhỏ nên cần phân tích sử dụng ba trường hợp Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x) = x3 − 3x + , có giá trị nguyên tham số m để giá trị nhỏ hàm số y = f (2sin x + 1) + m không vượt 10? A 45 B 41 C 30 D 43 Lời giải: Đặt t = 2sin x + ⇒ t ∈ [ −1;3] y ≤ 10 Ta có y = f (t ) + m = t − 3t + + m , ta cần tìm m cho [ −1;3] Xét hàm số g (t ) = t − 3t + + m đoạn [ −1;3] t = Ta có g '(t ) = 3t − = ⇔  t = −1 Có g (−1) = m + ; g (1) = m − ; g (3) = m + 19 ( m − < m + < m + 19 ) g (t ) = m + 19 ; g (t ) = m − ⇒ max [ −1;3] [ −1;3] g (t ) = m − = m − Trường hợp 1: Nếu m − ≥ ⇔ m ≥ [ −1;3] y ≤ 10 ⇔ g (t ) = m − = m − ≤ 10 ⇔ m ≤ 11 ⇒ ≤ m ≤ 11 ⇒ [ −1;3] [ −1;3] 41 g (t ) = m + 19 = −m − 19 Trường hợp 2: Nếu m + 19 ≤ ⇔ m ≤ −19 [ −1;3] y ≤ 10 ⇔ g (t ) = m + 19 = −m − 19 ≤ 10 ⇔ m ≥ −29 ⇒ −29 ≤ m ≤ −19 ⇒ [ −1;3] [ −1;3] g (t ) = ≤10 thỏa mãn Trường hợp 3: Nếu (m − 1)(m+ 19) < ⇔ −19 < m < [ −1;3] Kết hợp trường hợp ta −29 ≤ m ≤ 11 Do m nguyên ⇒ m ∈ { −29; − 28; ;11} có 41 giá trị m thỏa mãn Chọn đáp án: B Nhận xét: Bài toán chứa hàm hợp nên ban đầu làm nhiều học sinh gặp khó khăn, nhiên bằng cách đởi biến ta đưa tốn quen thuộc 2.3.3c Bài tập tương tự Bài 1: Cho hàm số f ( x) = x − x + m , ( m tham số thực) Gọi S tập hợp f ( x) + f ( x) ≥ 10 Số tất giá trị nguyên m thuộc đoạn [ −10;10] cho max [ 1;2] [ 1;2] phần tử S A B 10 C 11 D 12 Bài 2: Cho hàm số y = x − x − x + m với m tham số thực Có tất bao y