giải nhanh bài toán phương trình, bất phương trình mũ và logarit” theo hướng trắc nghiệm khách quan

MỤC LỤC NỘI DUNG PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU TRANG 1 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU PHẠM VI NGHIÊN CỨU NHIỆM VỤ- YÊU CẦU CỦA ĐỀ TÀI GIẢ THUYẾT KHOA HỌC ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Phương trình, bất phương trình mũ – logarit Phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ – logarit Tư phương trình, bất phương trình có chứa tham số Mối quan hệ phương trình bất phương trình II CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GP1: Hướng dẫn học sinh giải nhanh toán GP2: Hướng dẫn học sinh phát nhanh phương pháp GP3: Hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để hỗ trợ giải tốn GP4: Kĩ thuật “chuyển phương trình” GP5: Hướng dẫn học sinh xử lí toán chứa tham số III BÀI TẬP RÈN LUYỆN IV KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT PHẦN III KẾT LUẬN KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ TÀI LIỆU THAM KHẢO 2 2 3 3 4 10 15 16 25 28 29 32 32 32 34 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình, bất phương trình vấn đề quan trọng Tốn học phổ thơng, trải dài xuyên suốt từ cấp học THCS lên cấp THPT Đây vấn đề hay khó, xuất nhiều dạng câu phân loại mức độ vận dụng đề thi Giải tập Toán phần quan trọng, khơng thể thiếu mơn Tốn học, làm tập giúp học sinh củng cố khắc sâu thêm kiến thức mà đồng thời rèn luyện khả tư cho học sinh Bài tập phương trình, bất phương trình mũ logarit toán quan trọng, xuất nhiều đề thi THPT quốc gia mức độ vận dụng vận dụng cao Tuy nhiên nội dung lí thuyết phần hệ thống SGK phổ thơng trình bày đơn giản, chưa có hướng xử lí nhanh cho thi trắc nghiệm khách quan (TNKQ) Điều gây khó khăn nhiều cho việc tiếp thu kiến thức, hình thành dạng tốn phương pháp giải tốn cho học sinh Vì vậy, sáng kiến kinh nghiệm muốn nêu cách xây dựng định hướng “giải nhanh tốn phương trình, bất phương trình mũ logarit” theo hướng TNKQ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trong sáng kiến kinh nghiệm nội dung phương pháp trang bị cho học sinh để giải tốn phương trình, bất phương trình mũ logarit kĩ giải nhanh câu hỏi TNKQ Đó là: “ Hướng dẫn học sinh giải nhanh phương trình, bất phương trình mũ logarit thi trắc nghiệm ” Từ làm tốt dạng toán mang lại kết cao kỳ thi THPTQG ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU *Về kiến thức : + Các phương pháp giải tốn phương trình , bất phương trình mũ logarit +Các kĩ thuật giải nhanh phương trình , bất phương trình mũ logarit *Về học sinh: đối tượng học sinh lớp 12 chuẩn bị tham gia thi THPT Quốc gia PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp dạy học theo hướng giải vấn đề Nghiên cứu tư liệu sản phẩm hoạt động sư phạm Phương pháp quan sát thực tế: quan sát tư giải toán học sinh Phương pháp hỏi đáp: trao đổi trực tiếp với giáo viên, học sinh vấn đề liên quan đến nội dung đề tài Phương pháp thống kê, phân tích số liệu PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Vận dụng lý thuyết sách giáo khoa 12, giải số dạng toán liên quan đến phương trình ,bất phương trình mũ logarit dành cho học sinh lớp 12 thi THPTQG NHIỆM VỤ- YÊU CẦU CỦA ĐỀ TÀI - Nhiệm vụ đề tài: -Đưa nội dung phương pháp giải toán , dấu hiệu nhận biết phương pháp giải nhanh tương ứng để giải câu hỏi trắc nghiệm khách quan (TNKQ) phương trình, bất phương trình mũ- logarit -Nghiên cứu, hệ thống toán minh họa cho phương thức đưa -Nghiên cứu, đánh giá tính khả thi vận dụng vào thực tiễn giảng dạy - Yêu cầu đề tài:  Học sinh phải nắm kiến thức toán vận dụng như: giải phương trình ,bất phương trình mũ- logarit dạng ,  Khi áp dụng phương thức vào trình dạy học, giáo viên cần vận dụng quy trình, đưa lượng tập thời gian”đủ nhiều” để học sinh có thấm nhuần phương pháp GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nội dung phương trình, bất phương trình học sinh làm quen từ THCS nên gần gũi với học sinh đa số học sinh biết số thao tác Phương trình, bất phương trình mũ logarit xuất nhiều đề thi THPT Quốc Gia nên học sinh làm quen với khối lượng lớn tập đặc sắc, phong phú, đa dạng nội dung dạng toán Trong giảng dạy đơn truyền thụ kiến thức mà “lãng quên” hoạt động tìm tịi, sáng tạo, nghiên cứu thân người giáo viên bị mai kiến thức học sinh bị hạn chế khả suy luận, tư sáng tạo - Một số học sinh mang khuynh hướng học đối phó đề thi nên khơng muốn hiểu sâu, hiểu rộng vấn đề tốn học ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI Do nội dung khó, có nhiều câu xuất đề thi với tư cách câu phân loại khó nên đa số tốn để giải khó khăn Vì gây cho học sinh thói quen rằng: tốn khó khơng có động lực để vượt qua Do đa dạng nội dung, phương pháp mức độ khó, khối lượng tập khổng lồ làm cho nhiều học sinh “loạn kiến thức” , phân biệt dạng tập không vận dụng phương pháp giải toán Đa số học sinh giải tốn theo thói quen, mị mẫm để giải tốn chưa thực trọng đến tư phương pháp, tư giải nhanh Do hiệu học giải tốn chưa cao Việc thi TNKQ địi hỏi học sinh tư nhanh, giải toán nhanh, kĩ nhanh nên nhiều học sinh chưa đáp ứng được, phần phương trình, bất phương trình có chứa tham số dạng đáp án gián tiếp Đề tài có nhiều tập hay, khó lạ kích thích học sinh tìm tịi,sáng tạo Đề tài cịn có số toán áp dụng thực tế quen thuộc với học sinh giúp em liên hệ với môn khoa học khác sống PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Phương trình, bất phương trình mũ – logarit - Phương trình mũ có dạng a x = b ( a > 0, a ≠ 1) Để giải phương trình ta sử dụng định nghĩa logarit - Phương trình logarit có dạng log a x = b ( a > 0, a ≠ 1) Để giải phương trình ta sử dụng định nghĩa logarit - Bất phương trình mũ có dạng a x > b ( a x < b, a x ≤ b, a x ≥ b ) với a > 0, a ≠ Để giải bất phương trình ta sử dụng tính chất hàm số mũ logarit - Bất phương trình logarit có dạng log a x > b ( log a x ≥ b,log a x < b,log a x ≤ b ) với a > 0, a ≠ Để giải bất phương trình ta sử dụng tính chất hàm số mũ logarit Phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ – logarit - Phương pháp đưa số a x = a k ⇔ x = k log a x = log a k ⇔ x = k ( k > ) - Phương pháp đặt ẩn phụ Ẩn phụ t = a x t = log a x - Phương pháp mũ hóa logarit hóa Mũ hóa hai vế logarit hóa hai vế - Phương pháp hàm số Sử dụng tính chất đơn điệu hàm số dạng hàm hàm đặc trưng Tư phương trình, bất phương trình có chứa tham số - Để giải tốn có chứa tham số ta thường sử dụng phương pháp sau: * Phương pháp 1: Dùng tư hàm số Giả sử hàm số y = f ( x ) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ D M N Với hàm phụ thuộc tham số thực m g ( m ) , ta có: + Phương trình f ( x ) = g ( m ) có nghiệm D ⇔ N ≤ g ( m ) ≤ M + Bất phương trình f ( x ) ≥ g ( m ) có nghiệm D ⇔ g ( m ) ≤ M + Bất phương trình f ( x ) ≥ g ( m ) có nghiệm với x ∈ D ⇔ g ( m ) ≤ N Chú ý: Các dạng bất phương trình cịn lại suy luận tương tự Trong trường hợp hàm số khơng có M N hai, cần xem xét cụ thể bảng biển thiên hàm số tương ứng để xây dựng điều kiện cho tham sô Trong số trường hợp cần sử dụng inf sup *Phương pháp 2: Xây dựng điều kiện tương ứng cho toán Nội dung đề cập chi tiết mục – GP2 Mối quan hệ phương trình bất phương trình Định lí (*): “Hàm số f(x) liên tục ( x1; x2 ) phương trình f(x) = vô nghiệm ( x1; x2 ) Khi f(x) khơng đổi dấu ( x1; x2 ) ” Chứng minh: Giả sử f(x) đổi dấu ( x1; x2 ) suy tồn a, b ∈ ( x1; x2 ) , a < b mà f ( a) f (b) < Do f(x) liên tục [ a; b ] nên f(x) = có nghiệm (a; b): Trái giả thiết Từ ta có điều phải chứng minh Nhận xét: Như vậy, biểu thức f(x) liên tục khoảng nghiệm liên tiếp x1 < x2 f(x) khơng đổi dấu ( x1; x2 ) Do để xét dấu f(x) ( x1; x2 ) ta cần thử giá trị cụ thể ( x1; x2 ) Khi việc xét dấu f(x) tập xác định quy giải phương trình f(x) = tập xác định.Từ ta giải bất phương trình liên quan đến xét dấu f(x) II CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GP1: Hướng dẫn học sinh giải nhanh tốn Ví dụ Tìm số nghiệm ngun phương trình x A B +35 x + 24+ x − C = 210 x +50 x+ x −2 D.1 Tư duy: Đây phương trình mũ quen thuộc : a u( x ) = a v( x ) mở rộng từ phương trình mũ Việc giải phương trình cần ý điều kiện xác định hàm số u ( x ) , v ( x ) để tránh sai lầm Lời giải Ta có: Pt ⇔ x + 35 x + 24 + x − = 10 x + 50 x + x −  x − 10 x3 + 35 x − 50 x + 24 = ⇔ ⇔ x ∈ { 2;3;4} x − ≥  Do chọn đáp án A Nhận xét Bài toán thực tế giảng dạy, số học sinh gặp sai lầm : Pt ⇔ x + 35 x + 24 + x − = 10 x + 50 x + x − ⇔ x − 10 x + 35 x − 50 x + 24 = ⇔ x ∈ { 1;2;3;4} Nguyên nhân không ý điều kiện xác định hàm số u ( x ) , v ( x ) dẫn đến giải sai toán Bài tốn giải máy tính cầm tay (MTCT) nhiên không nhanh cách giải tự luận Ví dụ Trên đoạn [ −150;120] , bất phương trình ( ) −1 110 x > ( ) −1 x −10200 có nghiệm nguyên A 180 B 90 C 181 D 91 Tư duy: Đây bất phương trình mũ quen thuộc : a u( x ) > a v( x ) mở rộng từ phương trình mũ Việc giải bất phương trình cần ý điều kiện xác định hàm số u ( x ) , v ( x ) số a để tránh sai lầm Lời giải Ta có: Bpt ⇔ 110 x < x − 10200 ⇔ − x + 110 x − 10200 < ⇔ x ∈ ( −∞; −60 ) ∪ ( 170; +∞ ) Kết hợp yêu cầu toán, bpt có 90 nghiệm nguyên Do chọn đáp án B Nhận xét Bài toán thực tế giảng dạy, số học sinh gặp sai lầm : Bpt ⇔ 110 x < x − 10200 ⇔ − x + 110 x − 10200 < ⇔ x ∈ ( −60;170 ) Nguyên nhân không ý số a = − 1∈ ( 0;1) dẫn đến giải sai tốn Ví dụ 3.Tìm tổng bình phương nghiệm phương trình: ln( x − x + 7) = ln( x − 3) A B 25 C 29 D 49 Tư duy: Đây phương trình logarit quen thuộc : log a u ( x ) = log a v ( x ) mở rộng từ phương trình logarit Việc giải phương trình cần ý điều kiện xác định logarit để tránh sai lầm Lời giải x − > ⇔ x =5 Ta có: ln( x − x + 7) = ln( x − 3) ⇔  x − x + = x −  Do chọn đáp án B Nhận xét Bài tốn thực tế giảng dạy, số học sinh gặp sai lầm không ý điều kiện xác định logarit dẫn đến không loại nghiệm chọn phương án sai C, xử lí khơng tốt dẫn đến chọn phương án sai A, D Bài toán giải máy tính cầm tay (MTCT) nhiên không nhanh cách giải tự luận Ví dụ Tìm nghiệm bất phương trình log ( x − 1) ≥ A x ≥ 1 3 C x ∈  ;  3 8 B x ≤  3 D x ∈  ;   8 Tư duy: Đây bất phương trình logarit : log a u ( x ) ≥ b mở rộng từ bất phương trình logarit Việc giải bất phương trình cần ý điều kiện xác định logarit số để tránh sai lầm Lời giải 3x − >   3 Ta có: log ( 3x − 1) ≥ ⇔    ⇔ x ∈ 3; 8   3x − ≤  ÷    Do chọn đáp án D Nhận xét Bài toán thực tế giảng dạy, số học sinh gặp sai lầm không ý điều kiện xác định logarit số logarit dẫn đến chọn phương án sai Bài toán giải máy tính cầm tay (MTCT) cách thử nghiệm loại trừ đáp án, nhiên không nhanh cách giải tự luận Nhiệm vụ giải pháp: Tổng hợp giải toán dạng tương tự ví dụ sai lầm thường gặp GP2: Hướng dẫn học sinh phát nhanh phương pháp Ví dụ Tính tổng giá trị tất nghiệm phương trình log x.log x.log 27 x.log 81 x = A 82 B 80 C D Tư duy: Việc xuất log x;log x;log 27 x;log 81 x giúp học sinh liên hệ tới phương pháp đặt ẩn phụ logarit t = log a x, a ∈ { 3;9;27;81} Tùy kinh nghiệm học sinh mà việc chọn số thuận lợi cho biến đổi giải toán Lời giải t Đặt: t = log81 x ⇔ x = 81 t t t Pt trở thành: ( log 81 log 81 log 27 81 ) t = t = 0,5 ⇔ 16t = ⇔  t = −0,5 Khi : x = x = Do chọn đáp án A Nhận xét Bài toán thực tế giảng dạy, số học sinh gặp sai lầm đặt ẩn phụ t = log81 x lại cho thêm điều kiện t > nên chọn C phương án sai Nguyên nhân chưa nắm vững thao tác đặt ẩn phụ cho biểu thức mũ logarit Bài tốn giải máy tính cầm tay (MTCT) nhiên không nhanh cách giải tự luận Ví dụ Phương trình ( + ) + ( − ) = 3.2 x có hai nghiệm x1 ; x2 Giá trị biểu x x thức A = x12 + x22 bao nhiêu? A B 13 C D −1 3−  3+  =  Tư duy: Việc xuất (3 + ) , (3 − ) , , ta nghĩ đến ÷ ÷   x x x x  3+  Chia vế cho x đưa phương trình bậc hai ẩn  ÷ ÷   −1 3+ 3− 3−  3+  =1⇔ =  Lời giải Nhận xét + − = ⇔ ÷ ÷ 2   ( x )( ) x 2x x  3+   3−   3+   3+  + = ⇔ − Do đó:  ÷  ÷  ÷  ÷ ÷  ÷  ÷ ÷ +1 =          +  x +  ÷ =  ÷  x =1  ⇔ ⇔ x  x = −1  +  − ÷  ÷ =   Vậy A = Chọn D Ví dụ Cho hàm số f ( x ) = x.7 x Khẳng định sau khẳng định sai ? A f ( x ) < ⇔ x + x log < B f ( x ) < ⇔ x ln + x ln < C f ( x ) < ⇔ x log + x < D f ( x ) < ⇔ + x log < [3] Tư duy: Đây tốn dạng biến đổi bất phương trình phương pháp logarit hóa Từ kiểm tra cẩn thận đáp án để khẳng định sai Lời giải Khi logarit hóa hai vế cần ý tới số a ∈ ( 0;1) hay a > để biến đổi Đáp án A , logarit hai vế với số a = > nên không đổi chiều BPT, biến đổi sau Đáp án B đúng, logarit hai vế với số a = e > nên khơng đổi chiều BPT, biến đổi sau Đáp án C đúng, logarit hai vế với số a = > nên không đổi chiều BPT, biến đổi sau Đáp án D sai, logarit hai vế với số a = > nên không đổi chiều BPT, biến đổi sai lầm rút gọn x Nhận xét Đây câu hỏi hay đề BGD, số học sinh lúng túng khơng tìm cách giải thích Một số học sinh dùng MTCT thử giá trị để tìm phương án sai lại gặp bất lợi thói quen chọn x > Ví dụ Bất phương trình x2 − 2( x+1) ≤ x + − x có tập nghiệm đoạn [ a; b ] Tính a + b A B C D Tư duy: Việc xuất hàm mũ có tính chất tương tự hàm đa thức giúp học sinh liên hệ tới phương pháp hàm số Đây câu hỏi tương đối rõ ràng phương pháp giải toán Lời giải Bpt ⇔ 22 x + x = 2( x +1) + ( x + 1) ⇔ f ( x ) ≤ f f ( t ) = 2t + t đồng biến R ( ( x + 1) ) với hàm đặc trưng Bpt ⇔ x ≤ ( x + 1) ⇔ x − x − ≤ ⇔ x ∈ [ a; b ] , a = − 2, b = + 2 Khi a + b = Do chọn đáp án A Nhận xét Bài toán tương đối rõ ràng phương pháp giải toán, thực tế học sinh nắm vững cách nhận diện phương pháp làm nhanh Ví dụ Tổng T tất nghiệm phương trình log (5 − x ) + x = (1) : A B C D Tư Bài toán thực tế giảng dạy, số học sinh gặp sai lầm không ý điều kiện xác định logarit số logarit dẫn đến chọn phương án sai Chú ý đến u cầu tốn tính tổng ngiệm Lời giải Đk − x > ⇔ x < log x x Ta có (1) ⇔ log (5 − ) = − x ⇔ − = ⇔ 32 x x  x + 21 3 = x − 5.3 + = ⇔   x − 21 3 =  x1 + x2 = x1 x2 = ⇔ x1 + x = log = Ví dụ 10 Tập hợp giá trị tham số m để phương trình x + (3 − m).2 x − m = có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) A [ 3;4] ; B [ 2;4] ; C ( 2;4) ; D ( 3;4 ) Tư duy: Việc xuất hàm mũ có tính chất tương tự ,khơng đưa số nên giúp học sinh liên hệ tới phương pháp hàm số cách cô lập tham số Đây câu hỏi tương đối rõ ràng phương pháp giải tốn B Lời giải Ta có x + (3 − m).2 x − m = ⇔ m = Xét f (x) = x + x 2x +1 x + 3.2 x 2x +1 xác định R , có f ' ( x) > , ∀x ∈ R , nên hàm số f(x) đồng biến R ⇒ < x < ⇔ f (0) < f ( x ) < f (1) ⇔ < f ( x) < ⇒ Chọn C Ví dụ 11 Cho a số thực dương thỏa mãn a ≠ bất phương trình 15 2log a ( 23 x − 23 ) > log a ( x + x + 15 ) nhận x = làm nghiệm Tìm tập nghiệm bất phương trình 19   17   B S =  1; ÷ C S =  −∞; ÷ D S = ( 2;19 ) 2  2  Tư duy: Nhận thấy bất phương trình giải phương pháp biến đổi đưa số Vấn đề cần giải số ? A S = ( 2;8 ) Lời giải Vì bpt nhận x = 2log a 15 làm nghiệm nên: 299 > log a 345 299 345 ⇔ log a > log a ⇔ a >1 4 2 Khi đó: Bpt ⇔ log a ( 23 x − 23) > log a ( x + x + 15 ) ⇔ 23 x − 23 > x + x + 15 10 A B C Vô số D Không tồn m Tư duy: Bài toán cần xây dựng mối liên hệ nghiệm x nghiệm u = x Hướng dẫn giải Ta có 3m + 27 3m + 27.2 x = x ⇔ 27 3m + 27.2 x = 23 x − 3m ( 1) Đặt x = u, điều kiện: u > 3m + 27.2 x = v ⇒ v3 = 3m + 27.u (1) trở thành u = 27v + 3m ( 2) ( 3) 3 2 Từ (3) (2) suy u − 27v = v − 27u ⇔ ( u − v ) ( u + uv + v + 27 ) = ⇔ u = v Do u + uv + v + = (u + v) + 3m + 27u = u ⇔ m = 3v + 27 > 0, ∀ u, v ∈ R nên u − 27u , với u > u − 27u Xét hàm số f ( u ) = với u > Ta có f ′ ( u ) = 3u − 27 ) ; f ′ ( u ) = ⇔ u = u > ( f ( u ) = −54 Do có vơ số giá trị ngun m để phương trình có Suy (min 0;+∞ ) nghiệm thực Chọn C Nhận xét Đây toán cấp độ vận dụng cao ,học sinh vận dụng ẩn phụ đưa hệ phương trình ,cơ lập tham số m để tìm miền giá trị hàm số Ví dụ 30 Có giá trị ngun dương tham số m để phương trình 2.4 x −1 − 5.2 x −1 + m = 0, ( *) có nghiệm? A B C D Tư duy: Bài toán cần xây dựng mối liên hệ t1 , t2 với x1 , x2 qua phép ẩn phụ dạng t = x −1 Hướng dẫn giải Đặt t = x −1 , điều kiện t ≥ x − ≥ −1 Khi ( *) ⇔ 2t − 5t = −m 22 1  Xét hàm số y = −2t + 5t  ; +∞ ÷ Hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để tìm 2  miền giá trị hàm số y Do phương trình có nghiệm m ≤ 25 Chọn A Ví dụ 31 Có giá trị ngun dương tham số m để bất phương trình m.9 x − ( 2m + 1) x + m.4 x ≤ nghiệm với x ∈ ( 0;1) ? A B Vô số C D Tư : Đây ví dụ tương tự cho bất phương trình mũ mà tìm tập nghiệm phép đặt ẩn phụ phải tìm điều kiện cho ẩn phụ ,1 điều mà học sinh hay mắc sai lầm giải toán tham số Hướng dẫn giải x x 9 3 Ta có m.9 x − ( 2m + 1) x + m.4 x ≤ ⇔ m  ÷ − ( 2m + 1)  ÷ + m ≤ 4 2 x 3 Đặt t =  ÷ x ∈ ( 0;1) nên < t < 2 t Khi bất phương trình trở thành m.t − ( 2m + 1) t + m ≤ ⇔ m ≤ t − ( ) t Đặt f ( t ) = t − với < t < ( ) Hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để tìm miền giá trị hàm số f(t) Dựa vào bảng biến thiên ta có x ∈ ( 0;1) m ≤ lim3 f ( t ) = t→ bất phương trình nghiệm với Chọn D Ví dụ 32 Có giá trị nguyên tham số m để log 32 x + log 32 x + − 2m − = có nghiệm đoạn 1;3  ? A B C D Tư : Đây tốn ta nhìn rõ phương pháp đặt ẩn phụ dưa phương trình bậc Nên việc hướng dẫn học sinh tìm điều kiện cho ẩn phụ thỏa mãn yêu cầu toán đưa xét miền giá trị đơn giản Hướng dẫn giải 23 Điều kiện: x > Đặt log 32 x + = t Khi phương trình cho trở thành: t + t − 2m − = ⇔ t + t = 2m + (*) Yêu cầu toán tương đương với (*) phải có nghiệm thuộc đoạn [ 1; 2] Xét hàm số f ( t ) = t + t đoạn [ 1; 2] Ta có f ′ ( t ) = 2t + 1, ∀t ∈ [ 1; 2] nên f ( t ) = f ( 1) = 2; max f ( t ) = f ( ) = [ 1;2] Để (*) có nghiệm thuộc đoạn [ 1; 2] < 2m + < ⇔ < m < Chọn C Ví dụ 33 Số giá trị nguyên m ∈ [ − 2020;2020] để phương trình ( x − 1) log ( ( x −1)) = m( x − 1) , (1) có nghiệm phân biệt x1 , x thỏa mãn x1 x − x1 − x > (*) A 2018 B 2019 C 2020 D.4040 Tư : Đây toán cấp độ vận dụng cao đề thi thử THPTQG trường , đòi hỏi học sinh phải thành thạo phương pháp giải phương trình mũ logarit hóa vế đưa phương trình bậc Từ điều kiện nghiệm phương trình đưa điều kiện nghiệm cho phương trình bậc sau đặt ẩn phụ Lời giải ĐK x > (1) ( x − 1) log ( x − 1) log 2 ( x −1) = m( x − 1) ⇔ ( x − 1) log ( x −1) = m( x − 1) (2) + Nếu m ≤ phương trình vơ nghiệm + Nếu m > lấy logarit số vế (2 ) ⇔ log 22 ( x − 1) = log ( x − 1) + log m Đặt (2) ⇔ t − t − log m = t = log ( x − 1) (3) Từ ycbt (*) x1 x − x1 − x > ( x1 − 1)( x − 1) > ⇔ log ( x1 − 1) + log ( x − 1) > t1 + t > Phương trình (3) có nghiệm phân biệt ,tổng nghiệm dương − ∆ > ⇔ ⇔ + log m > ⇔ m > S > ⇒ m ∈ [ − 2020;2020] ⇒ m = {1,2,3,4, ., 2020} có 2020 giá trị m thỏa mãn Nhận xét Học sinh dễ mắc sai lầm chuyển qua điều kiện cho ẩn phụ t Qua toán giúp học sinh hiểu rõ chất xây dựng điều kiện cho tham số với phương trình, bất phương trình logarit 24 Ví dụ 34 Cho phương trình m ln ( x + 1) − ( x + − m ) ln ( x + 1) − x − = 0(1) Tập tất giá trị tham số m để phương trình có nghiệm, có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn < x1 < < < x2 khoảng ( a; +∞ ) Khi đó, a thuộc khoảng A (3,8;3,9) B (3,7;3,8) C (3,6;3,7) D (3,5;3,6) Tư : Đưa phương trình dạng tích, giải phương trình tìm nghiệm tìm điều kiện để tốn thỏa Đây toán thuộc cấp độ vận dụng cao đưa cô lập tham số m , xét miền giá trị để tìm tham số mà khơng vận dụng MTCT Lời giải: Điều kiện: x > -1 Ta có: m ln ( x + 1) − ( x + − m ) ln ( x + 1) − x − = ⇔ m ln ( x + 1) − ( x + ) ln ( x + 1) + m ln ( x + 1) − ( x + ) = ⇔ m ln ( x + 1)  ln ( x + 1) + 1 − ( x + ) ln ( x + 1) + 1 = ⇔ ln ( x + 1) + 1  m ln ( x + 1) − x −  = ln ( x + 1) + =  x + = e −1 ⇔ ⇔  m ln ( x + 1) − x − =  m ln ( x + 1) − x − =  x = e −1 − < 0( L ) ⇔  m ln ( x + 1) − x − = 0(*) Với m = phương trình (*) có nghiệm x = −2 < −1( L) nên không thỏa tốn Với m ≠ (*) ⇔ ln( x + 1) = x+2 m x+2 − ln ( x + 1) ln ( + x ) Xét f ( x ) = có f ' ( x ) = x + = ⇔ x = x0 ∈ (2;3) x+2 ( x + 2) ln(1 + x) = nên ta có bảng biến thiên ( −1; +∞ ) sau: x →+∞ x+2 lim f ( x ) = lim x →+∞ x +∞ -1 x0 f '( x) f ( x) 25 ln ln 6 Để phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa < x1 < < < x2 0< ln < ⇔m> ≈ 3, 728 m ln Suy a = ∈ ( 3, 7;3,8 ) ln Nhận xét Với tốn ta sử dụng phương pháp thử nghiệm dùng MTCT để loại trừ đáp án Ví dụ 35 Tìm tất giá trị thực tham số m để tập nghiệm bất phương trình log 22 x − (2m + 5) log x + m + 5m + < chứa nửa khoảng [ 2; ) A −2 ≤ m < B −2 < m ≤ C ≤ m < D < m ≤ Tư : : Đây ví dụ tương tự cho bất phương trình logarit mà tìm tập nghiệm phép đặt ẩn phụ phải tìm điều kiện cho ẩn phụ ,1 điều mà học sinh hay mắc sai lầm giải toán tham số Lời giải Đặt t = log x; x ∈ [ 2; ) ⇔ t ∈ [ 1; ) Bất phương trình cho trở thành t − (2m + 5)t + m + 5m + < – Để bất phương trình cho có tập nghiệm chứa nửa khoảng [ 2; ) bpt có tập nghiệm chứa khoảng [ 1; ) – Ta có: t − (2m + 5)t + m2 + 5m + < ⇔ m + < t < m + m + < ⇔ −2 ≤ m < 2 ≤ m + Do để bpt có tập nghiệm chứa nửa khoảng [ 1; )  Nhận xét Đây tốn mà việc xây dựng điều kiện cho toán làm bật mối liên hệ phép ẩn phụ dạng logarit Học sinh dễ mắc sai lầm chuyển qua điều kiện cho ẩn phụ t Qua toán giúp học sinh hiểu rõ chất xây dựng điều kiện cho tham số với phương trình, bất phương trình logarit III BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Tập nghiệm T bất phương trình : A T = [ − 2;0] B T = [ − : +∞) x+4 C T = [ 0;+∞) +2 x+4 > 13 : D T = ( 0;+∞) 26 Bài Số nghiệm phương trình log (9 − x − 1) = log ( x − x + 5) : A.0 B.1 C D 3x − x = log ( x + 4) − log x Bài Số nghiệm phương trình A.0 B.1 C là: D Bài Số nghiệm nguyên khơng lớn bất phương trình : log 2+ A.4 x −3x + + log − B.5 x − ≥ log −4 ( x + 2) là: C D Bài Gọi T tích tất nghiệm phương trình ( + 2 ) x2 − x + ( = 3− 2 ) x3 − Tìm T A T = B T = −2 C T = −1 D T = Bài Tổng tất nghiệm thực phương trình 2.11x + 253x − 23x = A B C D Bài Tổng nghiệm phương trình 223 x x − 210 x + 23 x3 = 10 x − x gần số đây? A 0,35 B 0,40 C 0,50 Bài Nghiệm bất phương trình 32− A x ≤ 10 D 0,45 x + x −6 B x ≥ ≥ x ≤1 C ≤ x ≤ 10 Bài Số nghiệm nguyên bất phương trình A 1 3x B ( 10 − ) 3− x x −1 D   x ≥ 10 > ( 10 + C x −3 ) x +1 x +3 D x −1 Bài 10 Bất phương trình ( + ) x −1 < ( − ) x −3 có nghiệm x B x > C x < Bài 11 Cho phương trình log ( x + 1) + = log nghiệm phương trình A − B D < x < − x + log ( + x ) Tổng tất C D Bài 12 Tập nghiệm phương trình log x = log x A S = ( 1; +∞ ) B S = ( 0; +∞ ) C S = { 1;10} D S = [ 1; +∞ ) Bài 13 Phương trình log3 ( x + ) + log ( 3x + ) = có nghiệm? 27 A B C D Bài 14 Biết tập nghiệm S bất phương trình log π  log ( x − )  > khoảng ( a; b ) Tính b−a A B C D Bài 15 Bất phương trình x −2+log x < 1000 có tất nghiệm nguyên? A 999 B 1000 C Vô số D 1001 Bài 16 Với điều kiện tham số m bất phương trình x + + x − ≤ m có nghiệm? A ≤ m ≤ B ≤ m ≤ C m ≤ D m ≥ Bài 17 Đề thi THPTQG năm 2018 Gọi S tập giá trị nguyên m cho phương trình 16 x − m.4 x +1 + 5m − = có nghiệm phân biệt Số phần tử S A B C D Bài 18 Đề thi THPTQG năm 2018 Cho phương trình x + m = log ( x − m) ,m tham số Có giá trị ngun m ∈ ( − 20;20) để phương trình có nghiệm , A 20 Bài B 19 19 Đề C D 21 thi THPTQG năm 2019 Cho phương trình log x − log (3 x − 1) = − log m ( m tham số ) Có tất giá trị nguyên m để phương trình cho có nghiệm ? A Bài B 20 Đề C D Vô số THPTQG năm 2019 Cho phương trình (4 log x + log x − 5) − m = (m tham số thực) Có giá trị ngun m để phương trình cho có nghiệm phân biệt ? 2 thi x A 49 B 47 C Vô số D 48 Bài 21 Biết phương trình: log 32 x − (m + 2) log x + 3m − = có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn x1x2 = 27 Khi tổng ( x1 + x2 ) bằng: A B 34 C 12 D 2 Bài 22 Cho bất phương trình m.92 x − x − (2m + 1)62 x − x + ma x − x ≤ phương trinh nghiệm ∀x ≥ A m < B m ≤ Tìm m để bất C m ≤ Bài 23.Có giá trị nguyên log x − − log ( x + 1) = m có ba nghiệm phân biệt? m ∈ [ −6;8] D m < để phương trình 28 A B C D 15 Bài 24 Biết [ a; b ] tập tất giá trị tham số m để bất phương trình log x − x + m + log ( x − x + m ) ≤ thỏa mãn với x thuộc [ 0; ] Tính a + b A a + b = B a + b = C a + b = D a + b = Bài 25 Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m với m < 64 để phương trình log 15 ( x + m ) + log ( − x ) = có nghiệm Tính tổng tất phần tử S A 2018 B 2016 C 2015 D 2013 Bài 26 Số có giá trị nguyên cảu tham số m thuộc đoạn [ −2019; 2] để phương trình ( x − 1) log3 ( 4x + 1) + log ( 2x + 1)  = 2x − m có hai nghiệm thực A 2021 B C D 2022 Bài 27 Cho phương trình 22 x −15 x+10 − x +10 x−50 + x − 25 x + 150 ≤ Số nghiệm nguyên bất phương trình A B C D Bài 28 Biết tập hợp tất giá trị tham số m để bất phương trình   có nghiệm m ∈  ; +∞ ÷ với a, b số nguyên dương b b  tối giản Tổng S = a + b 2 4sin x + 5cos x ≤ m.7cos a x A S = 13 B S = 15 a C S = D S = 11 Bài 29 Với m tham số thực dương khác Hãy tìm tập nghiệm S bất 2 phương trình log m ( x + x + 3) ≤ log m ( x − x ) , biết x = nghiệm bất phương trình   A S = ( −2; ) ∪  ;3 3    B S = ( −1; ) ∪  ;  3    C S = [ −1; ) ∪  ;3 3  D S = ( −1;0 ) ∪ ( 1;3] 1 Bài 30 Có số nguyên dương x thỏa mãn điều kiện log ( x − 40 ) + log ( 60 − x ) < ? A 20 B 18 C 21 D 19 IV KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM - Việc rèn luyện thực hành giải Toán giúp học sinh tự tin có sở phương pháp để giải nhanh câu hỏi TNKQ Từ nâng cao dần lực giải Tốn nói chung giải phương trình, bất phương trình mũ logarit nói riêng Thể việc học sinh lớp tơi dạy có nhiều học sinh vượt qua câu 29 hỏi khó phương trình, bất phương trình mũ logarit kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh kì thi THPT Quốc gia - Nội dung SKKN trình bày Tổ chun mơn đến đồng nghiệp đồng nghiệp áp dụng vào thực tiễn dạy học trường THPT Nghi Lộc - - Qua thực tiễn nhiều năm nhận thấy tính hiệu cao SKKN tạo cách dạy, cách tiếp cận độc đáo đến nội dung Tốn học Nó mẫu để giáo viên áp dụng cho nội dung khác tạo nên phong cách học Toán sáng tạo cho học sinh - SKKN giúp ích thân nhiều, đặc biệt trực tiếp giảng dạy học sinh Việc dạy cho học sinh lớp chất lượng cao, thực tế giúp thân rút nhiều kinh nghiệm quý báu, để từ sáng tạo kĩ thuật mới, giúp cho việc dạy học trở nên thực tư sáng tạo - Để đánh giá tính khả thi đề tài giới thiệu nội dung đề tài cho số lượng lớn học sinh giỏi, học sinh có lực học gần mức lớp: Trường THPT Nghi Lộc tham khảo, nghiên cứu để nắm ý tưởng đề tài cách sáng tạo toán Đồng thời chúng tơi giới thiệu cho học sinh số dạng tốn khai thác được, từ yêu cầu em phải tìm tịi, suy nghĩ, khai thác để tìm vấn đề Tôi đồng nghiệp tiến hành tổ chức thực nghiệm sư phạm lớp 12A2, 12A3 với trình độ học sinh tương đương ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT 1.1 Mục đích yêu cầu - Nhằm kiểm tra khả tiếp thu kiến thức dạng tốn phương trình ,bất phương trình mũ logarit - Qua kiểm tra giúp giáo viên đánh giá trình giảng dạy, đồng thời học sinh tự đánh giá học tập - Tổ chức thiđộ chấm thiNB nghiêm túc,TH khách quan, thực Cấp VD trungVDC Tổng 1.2 Về kĩ năng: Đánh giá học sinh bốn cấp độ nhận biết, thông hiểu, vận đề dụng cao kiến thức kĩ dụng Chủ vận 1.3 Hình thức kiểm tra: Kiểm tra theo hình thức trắc nghiệm trình đề mũkiểm tra.Câu Câu Câu 3.0 đ 1.Phương Ma trận Phương trình logarit Câu Bất phương trình mũ Câu Câu Bất phương trình logarit Câu 3.0 đ Câu Câu 2.0 Câu 10 2.0.đ 30 Tổng 2.0 đ 3.0 đ 3.0 đ 2.0 đ 10.0 đ Đề kiểm tra x −12 25 Câu Tổng nghiệm phương trình 0,  ÷   x A -8 B  27  = ÷  125  C D Câu Tổng tất nghiệm phương trình log ( x − x + 1) = − log ( x − 1) A B C D Câu Cho phương trình x − m.2 x +1 + 2m = Biết m = m0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = Mệnh đề sau đúng? A m0 số nguyên âm B m0 số nguyên tố C m0 số lẻ D m0 số phương Câu 4: Tìm số nghiệm ngun bất phương trình log  log3 x −  ≥ A B C D Câu Cho phương trình 22 x −15 x +10 − x +10 x −50 + x − 25 x + 150 ≤ Số nghiệm nguyên bất phương trình A B C D Câu Có giá trị nguyên dương tham số m để bất phương trình x − m.3x − m + > nghiệm ∀x ∈ R ? A B Câu Biết phương trình log ( + x Khẳng định đúng? 1009 1 A 31008 < x0 < 31006 B x0 > 31009 C ) = 2018 log D C < x0 < 31008 x có nghiệm x0 D 31007 < x0 < 31 Câu : Tìm giá trị tham số m để phương trình ( log x ) − log x + m = 2 có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1)       A m ∈  0;  B m ∈  −∞;  C m ∈ ( −∞;0] D m ∈  ; +∞ ÷ 4  4  4  Câu Có giá trị nguyên dương tham số m để phương trình x + = m x + ( *) có nghiệm nhất? 1 A B Vô số C D Câu 10 Có giá trị nguyên tham số m ∈ ( −10;10 ) để bất phương trình ln x − m ln x + m + ≤ nghiệm với x > A B C D Đáp án Câu Đáp án B D D B D C C B C 10 B Tại trường THPT Nghi Lộc Lớp thực nghiệm 12A2: 33 học sinh lớp đối chứng 12A3: 33 học sinh Lớp Giỏi Tổng số SL TL Khá TB Yếu Kém SL TL SL TL SL TL SL TL 12A2 33 27% 15 46% 27% 0% 0% 12A3 33 18% 10 30% 15 46% 6% 0% Sau chấm kiểm tra phân tích số liệu cho thấy kết lớp thực nghiệm cao so với lớp đối chứng trường, lớp thực nghiệm em học sinh làm tốt hơn, học sơi nổi, học sinh có hứng thú học tập 32 PHẦN III KẾT LUẬN KẾT LUẬN Muốn thành công công tác giảng dạy trước hết đòi hỏi người giáo viên phải tâm huyết với nghề, phải đam mê tìm tịi học hỏi, phải nắm vững kiến thức bản, phải tổng hợp kinh nghiệm áp dụng vào giảng SKKN dạng toán, dấu hiệu đặc trưng kĩ thuật giải nhanh phương trình, bất phương trình mũ logarit Giáo viên cần phải biết phát huy tính tích cực chủ động chiếm lĩnh tri thức học sinh Trong trình giảng dạy phải coi trọng việc hướng dẫn học sinh đường tìm kiến thức mới, khơi dậy óc tị mị, tư sáng tạo học sinh, tạo hứng thú học tập, dẫn dắt học sinh từ chỗ chưa biết đến biết, từ dễ đến khó Trong thực tế vận dụng SKKN giúp học sinh việc định hướng giải toán với nội dung cụ thể mà thơng qua để học sinh thấy việc “ tư phương pháp ” kĩ giải nhanh phương trình, bất phương trình mũ logarit tốt có kết Từ thơi thúc học sinh tìm tịi sáng tạo để trang bị cho quy trình lượng kiến thức Nội dung kiến thức SKKN nội dung học sinh tiếp cận nửa sau lớp 12, số học sinh trung bình trung bình khả vận dụng vào giải tốn cịn lúng túng, toán cần linh hoạt lựa chọn phương pháp hay gặp bế tắc giải toán học sinh thường không chuyển hướng cách suy nghĩ để giải toán ( thể sức “ỳ” tư 33 cịn lớn) Vì dạy cho học sinh nội dung này, giáo viên cần tạo cho học sinh cách suy nghĩ linh hoạt sáng tạo vận dụng giải tốn Điều địi hỏi người giáo viên cần phải khéo léo truyền thụ quy trình cách giải toán linh hoạt toán Khả ứng dụng thực tiễn giảng dạy nhà trường SKNN cao, giáo viên nào, lớp học áp dụng vào giảng dạy hiệu SKKN mở rộng lớp toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tư phương pháp cho nội dung khác Toán học KIẾN NGHỊ Qua thành công bước đầu việc áp dụng nội dung thiết nghĩ cần thiết phải có đổi cách dạy học Không nên dạy học sinh theo quy tắc máy móc cần cho học sinh quy trình mơ cịn mang tính chọn lựa để học sinh tự tư tìm đường giải toán SKKN tiếp cận đến vấn đề khó phổ dụng việc dạy học sinh chất lượng cao, thực tế giảng dạy trường THPT Nghi Lộc nhiều năm cho thấy hiệu rõ rệt Vì vậy, giáo viên khác áp dụng sáng tạo thêm để nâng cao chất lượng học sinh mà giảng dạy Mong qua báo cáo kinh nghiệm đồng nghiệp cho thêm ý kiến phản hồi ưu nhược điểm cách dạy nội dung Cuối mong nội dung đồng nghiệp nghiên cứu áp dụng vào thực tiễn dạy học để rút điều bổ ích Bài viết chắn cịn nhiều thiếu sót mong đóng góp ý kiến, phê bình, phản hồi đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn! Nghệ An, ngày 12 tháng 03 năm 2021 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa Giải tích 12 - Đồn Quỳnh, NXBGD Việt Nam [2] Nguyễn Bá Kim (2009), Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXBĐHSP [3] VVOB Việt Nam (2013), TLTH nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng [4] Các đề thi THPTQG Bộ GD & ĐT [5] Đề thi thử số trường THPT [6] Nghiên cứu thông qua tài liệu có liên quan đến đề tài mạng internet 35 36 ... phương trình, bất phương trình mũ logarit kĩ giải nhanh câu hỏi TNKQ Đó là: “ Hướng dẫn học sinh giải nhanh phương trình, bất phương trình mũ logarit thi trắc nghiệm ” Từ làm tốt dạng toán mang... dung phương pháp giải toán , dấu hiệu nhận biết phương pháp giải nhanh tương ứng để giải câu hỏi trắc nghiệm khách quan (TNKQ) phương trình, bất phương trình mũ- logarit -Nghiên cứu, hệ thống toán. .. định hướng ? ?giải nhanh tốn phương trình, bất phương trình mũ logarit” theo hướng TNKQ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trong sáng kiến kinh nghiệm nội dung phương pháp trang bị cho học sinh để giải tốn phương