dạy học chủ đề thể tích khối đa diện

MỤC LỤC PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lí chọn đề tài Nghị Hội nghị Trung ương khóa XI đổi bản, tồn diện giáo dục đào tạo nêu rõ: “Tiếp tục đổi mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kỹ người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để người học tự cập nhật đổi tri thức, kỹ năng, phát triển lực Chuyển từ học chủ yếu lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, ý hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu khoa học Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin truyền thông dạy học” Đổi phương pháp dạy học thực bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận lực người học, nghĩa từ chỗ quan tâm đến việc học sinh học đến chỗ quan tâm học sinh vận dụng qua việc học Để đảm bảo điều đó, phải thực chuyển từ phương pháp dạy học theo lối "truyền thụ chiều" sang dạy cách học, cách vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành lực phẩm chất Tăng cường việc học tập nhóm, đổi quan hệ giáo viên - học sinh theo hướng cộng tác có ý nghĩa quan trọng nhằm phát triển lực xã hội Bên cạnh việc học tập tri thức kỹ riêng lẻ môn học chuyên môn cần bổ sung chủ đề học tập tích hợp liên mơn nhằm phát triển lực giải vấn đề phức hợp Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động người học, hình thành phát triển lực tự học (sử dụng sách giáo khoa, nghe, ghi chép, tìm kiếm thơng tin ), sở trau dồi phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo tư Có thể chọn lựa cách linh hoạt phương pháp chung phương pháp đặc thù môn học để thực Tuy nhiên dù sử dụng phương pháp phải đảm bảo ngun tắc “Học sinh tự hồn thành nhiệm vụ nhận thức(tự chiếm lĩnh kiến thức) với tổ chức, hướng dẫn giáo viên” Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể (07/2017) có nêu “Những lực chung tất môn học hoạt động giáo dục góp phần hình thành, phát triển: lực tự chủ tự học, lực giao tiếp hợp tác, lực giải vấn đề sáng tạo” Trong đó, lực giải vấn đề sáng tạo (GQVĐ&ST) xem lực cốt lõi giúp học sinh (HS) biết cách vận dụng kiến thức học giải vấn đề học tập, tình thực tiễn từ sống, xã hội tất môn học Trong trường phổ thơng mơn tốn mơn quan trọng việc giúp học sinh hình thành lực giải vấn đề sáng tạo, mơn tốn phần hình học khơng gian lại giữ vai trị, vị trí đặc biệt Ngồi việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ giải tốn hình học khơng gian, cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất, lực người cơng dân mới, có lực giải vấn đề sáng tạo Qua nhiều năm giảng dạy môn học đúc kết số kinh nghiệm nhằm giúp tìm phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nói chung mơn Hình học khơng gian nói riêng Từ lý nêu trên, định chọn đề tài nghiên cứu là: ‘‘Phát triển lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chủ đề thể tích khối đa diện” 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong đề tài đưa số giải pháp giúp học sinh học tốt chủ đề qua giúp học sinh phát triển lực giải vấn đề sáng tạo Một số giải pháp đưa sau: + Hình thành cho học sinh quy trình tựa thuật toán để giải toán thể tích khối đa diện + Phân dạng tốn thể tích khối đa diện + Xây dựng số cơng thức tính thể tích giúp tính nhanh thể tích số khối đa diện 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu đối tượng sau: Một số tốn hình học khơng gian chương lớp 12 1.4 Tính đề tài, sáng kiến, giải pháp Đã có nhiều tài liệu viết chủ đề hình học khơng gian này, có nhiều sáng kiến kinh nghiệm viết chủ đề giải pháp đưa cụ thể đề tài gần chưa có tài liệu trước viết sát thực sáng kiến 1.5 Phương pháp nghiên cứu + Nghiên cứu lý luận chung + Khảo sát điều tra thực tế dạy học + Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm 1.6 Cách thực + Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên nhóm môn + Liên hệ thực tế, áp dụng đúc rút kinh nghiệm + Thông qua việc giảng dạy trực tiếp 1.7 Tính khả thi thực Đề tài áp dụng cho em học sinh lớp 12 trường THPT năm học 2019-2020 đặc biệt năm học 2020-2021 PHẦN II NỘI DUNG 2.1 Thực trạng vấn đề Trong mơn tốn trường phổ thơng phần hình học khơng gian giữ vai trị, vị trí quan trọng Ngồi việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ giải tốn hình học khơng gian, cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất, lực người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư sáng tạo lực giải vấn đề cho học sinh Tuy nhiên q trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh lớp 12 e ngại học mơn Hình học khơng gian số lý sau: i) Phân mơn Hình học không gian học phần lớp 11 phần tổng hợp lớp 12 Do đa số học sinh không ý, không nắm vững vấn đề cốt lõi chủ đề lớp 11, khơng rèn luyện kỹ giải tốn từ lớp 11 nên bị gốc kiến thức lẫn tư phương pháp giải tốn hình học khơng gian lên lớp 12 hầu hết em bng xi phần hình học khơng gian ii) Để học tốt phân mơn Hình địi hỏi người học phải có tư nhạy bén, óc tưởng tượng phong phú, phải nắm qui ước vẽ hình Nhưng đa số học sinh lại lười tư duy, suy nghĩ, tốn khó bỏ qua khơng kiên trì tìm kiếm phương pháp giải iii) Về phía giáo viên, phận giáo viên tốn dạy đến phân hình học khơng gian suy nghĩ em yếu phần này, có dạy em không học, không hiểu nên dẫn đến cách tiếp cận vấn đề sơ sài, cẩu thả làm cho em học sinh thêm phần khó khăn việc học chủ đề Từ lý nên kết kiểm tra phần hình học khơng gian em trước thực đề tài không cao, cụ thể sau: Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu 12A 41 10 20 30 01 12K 38 10 20 18 12M 39 06 10 23 2.2 Cơ sở lí luận thực tiễn 2.2.1 Năng lực giải vấn đề sáng tạo Năng lực giải vấn đề sáng tạo (NLGQVĐ&ST) HS khả cá nhân sử dụng hiệu trình nhận thức, hành động thái độ, động cơ, cảm xúc để phân tích, đề xuất biện pháp, lựa chọn giải pháp thực giải tình huống, vấn đề học tập thực tiễn mà khơng có sẵn quy trình, thủ tục, giải pháp thông thường, đồng thời đánh giá giải pháp GQVĐ để điều chỉnh vận dụng linh hoạt hoàn cảnh, nhiệm vụ mới” Cấu trúc NLGQVĐ&ST HS gồm sáu thành tố: nhận ý tưởng mới; phát làm rõ vấn đề; hình thành triển khai ý tưởng mới; đề xuất, lựa chọn giải pháp; thực đánh giá giải pháp GQVĐ; tư độc lập Mỗi thành tố bao gồm số hành vi cá nhân làm việc nhóm làm việc độc lập trình GQVĐ - Nhận biết, phát vấn đề cần giải toán học - Đề xuất, lựa chọn cách thức, giải pháp giải vấn đề - Sử dụng kiến thức, kĩ tốn học tương thích để giải vấn đề đặt - Đánh giá giải pháp đề khái quát hóa cho vấn đề tương tự 2.2.2 Một số định nghĩa, định lý tính chất liên quan Khái niệm hình đa diện • Hình đa diện (gọi tắt đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất: a) Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung b) Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác • Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện Khái niệm khối đa diện • Khối đa diện phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện • Những điểm khơng thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền trong, tập hợp điểm gọi miền khối đa diện • Mỗi hình đa diện chia điểm cịn lại khơng gian thành hai miền khơng giao miền miền ngồi hình đa diện, có miền ngồi chứa hồn tồn đường thẳng Phân chia lắp ghép khối đa diện ( H ) hợp ( H1) , ( H2 ) cho ( H1) Nếu khối đa diện khối đa diện ( H2 ) hai khơng có chung điểm ta nói chia khối đa diện ( H ) thành hai khối đa diện ( H1) ( H2 ) , hay lắp ghép hai khối đa diện ( H1) ( H2 ) với để khối đa diện ( H ) Thể tích khối chóp khối lăng trụ a) Thể tích khối chóp: V = B.h + B : Diện tích mặt đáy + h : Độ dài chiều cao khối chóp b) Thể tích khối lăng trụ: V = B h + B : Diện tích mặt đáy + h : Chiều cao khối chóp 2.3 Giải pháp cụ thể Giải pháp Hình thành cho học sinh quy trình tựa thuật tốn để giải tốn thể tích khối đa diện Để tiến hành giải tốn tính thể tích khối đa diện thường trải qua ba bước sau: Bước 1: Xây dựng cơng thức tính Trong bước phải xác định đâu đáy, đâu đường cao khối đa diện từ xác lập cơng thức tính thể tích khối đa diện Bước 2: Tính yếu tố thành phần cơng thức Từ giả thiết ta tính đường cao diện tích đáy khối đa diện Bước 3: Lắp yếu tố tính vào cơng thức cho kết Để giúp cố quy trình ta thực ví dụ sau: VÍ DỤ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O Biết AB = a, AD = a 3, SA = 2a SO ⊥ ( ABCD ) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC ? Phân tích: Bài tốn u cầu tính thể tích khối chóp S.ABCD cho SO ⊥ ( ABCD ) nên ta chọn SO đường cao khối chóp này, từ suy cơng thức tính V = SO.SABCD Khối chóp S.ABCD lại có đáy hình chữ nhật AB = a, AD = a nên dễ dàng tính diện tích đáy Vậy thể tích khối chóp tính ta tính độ dài đường cao SO, dựa vào kiến thức hình học phẳng dễ dàng tính độ dài đường cao hình chóp Từ phân tích ta suy lời giải sau: Lời giải: Ta có SO ⊥ ( ABCD) suy V = SO.SABCD 1 a2 Diện tích đáy: S = S = AB AD = a a = ∆ABC ABCD 2 Xét tam giác ABC vng B có: AC = a AC = AB2 + BC = a2 + 3a2 = 2a ⇒ AO = Xét tam giác SOA vuông O có: SO = SA2 − AO2 = a Thể tích hình chóp là: VS.ABC = 1.SO.S∆ABC = 1.a a = a 3 2 VÍ DỤ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A có AB = a, BC = a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABC ? Phân tích: Trong tốn khối chóp S.ABC chưa cho rõ đâu đường cao, đâu đáy Vậy để xác lập cơng thức tính ta phải xác định đường cao khối chóp Ta có giả thiết mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABC ) kết hợp với định lý: "Hai mặt phẳng vng góc với nhau, đường thẳng nằm mặt phẳng mà vuông góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng kia" Từ cần tam giác SAB ta kẻ đường cao SH ⊥ AB SH ⊥ ( ABC ) suy VS.ABC = SH S∆ABC Để hồn thành u cầu tốn nhiệm vụ cịn lại tính SH S∆ABC , mà việc khơng cịn khó khăn Từ phân tích ta suy lời giải sau: Lời giải: Gọi H trung điểm cạnh AB Do ∆SAB nên SH ⊥ AB Hơn (SAB) vng góc với mặt đáy (ABC) nên SH ⊥ ( ABC ) Do SH chiều cao khối chóp S.ABC suy VS.ABC = SH S∆ABC  ∆ABC vng A, ta có: AC = BC − AB2 = S∆ABC = ( a 3) − a2 = a 1 a2 AB.AC = a.a = 2 Do tam giác SAB cạnh a nên SH = a 2 Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: VS.ABC = 1.SH SABC = a a = a 3 2 12 · VÍ DỤ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a , BAD = 600 , SA = SB = SC = 2a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD? Phân tích: Trong tốn khối chóp S.ABCD chưa cho rõ đâu đường cao, đâu đáy Vậy để xác lập cơng thức tính ta phải xác định đường cao khối chóp Từ giả thiết SA = SB = SC = 2a kết hợp với định lý: “Hai đường xiên hai hình chiếu chúng nhau” ta suy hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ( ABCD ) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , vấn đề cần giải tìm tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC · Xét tam giác ABD cân A có BAD = 600 nên tam giác ABD đều, suy DA = DB tức DA = DB = DC Vậy D tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi xác định đường cao hình chóp việc tính tốn yếu tố trở nên đơn giản, từ ta có lời giải toán sau: Lời giải: · Xét tam giác ABD cân A có BAD = 600 nên tam giác ABD đều, suy DA = DB tức DA = DB = DC Vậy D tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi H hình chiếu vng góc S lên mp ( ABCD ) Vì SA = SB = SC nên tam giác SHA, SHB , SHC (theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vng) Suy HA = HB = HC , hay H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do H trùng với D suy V = SD.SABCD Như hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi ABCD chiều cao SD a2 a2 ; SABCD = 2S∆ABD = = SD = SA2 − AD2 = 4a2 − a2 = a 2 Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: V = 1.SD.SABCD = 1.a a = a 3 2 VÍ DỤ Cho hình chóp S.ABCD có cạnh bên SA tạo với đáy góc 60° SA = a , đáy tứ giác có hai đường chéo vng góc, AC = BD = 2a Tính thể tích V khối chóp S.ABCD theo a ? Phân tích: Trong tốn khối chóp S.ABCD chưa cho rõ đâu đường cao, đâu đáy Vậy để xác lập cơng thức tính ta phải xác định đường cao khối chóp Từ giả thiết SA = a hợp với đáy góc 60° nên ta kẻ SH vng góc với mặt đáy AH hình chiếu vng góc SA lên mặt phẳng đáy · nên góc SA,( ABCD ) = ( SA, AH ) = SAH = 60 Khi áp dụng giả thiết ( ) SA = a ta tính SH Khi xác định đường cao hình chóp việc tính tốn yếu tố trở nên đơn giản, từ ta có lời giải tốn sau: thẳng A′C′ cắt cạnh SB , SD B′ , D′ đặt k = VS.A′B′C′D′ Giá trị nhỏ VS.ABCD k A 15 B 60 C 30 D 15 16 Lời giải +) Đặt x = SB SD ⇒ x, y > ; x + y = ; y= SB′ SD′ +) Ta có có k = = VS.A′B′C′D′ SA′ SC′  SB′ SD′  = +  ÷ (1) VS.ABCD SA SC  SB SD  4 1  SB′ SD′   1  ≥ +  ÷ =  + ÷ 30 x + y = 30.8 = 60 30 SB SD  30 x y  ( ) ⇒ kmin = SB′ SD′ 1 = = ⇔ x= y= ⇒ SB SD 60 CÔNG THỨC Mặt phẳng ( α ) cắt cạnh khối lăng trụ ABC.A′B′C′ M , N, P cho AM ′ AA = x, BN ′ BB = y, CP CC ′ = z Khi VABC.MNP = x+ y+ z V ABC.A′ B′C′ Chứng minh 36 Ta có VABCMNP = VNACB + VNACPM ⇒VNACB = BN BN ×VB′ACB = × V BB′ BB′ ABCA′B′C′ ( 1) VNACPM SACPM (CP + AM ) ×2 1 CP AM  = = =  + ÷ VB′ACC′A′ SACC′A′ AA′ 2 CC′ AA′  1 CP AM VNACPM = + ữì V 2 CC′ AA′  ABCA′B′C′ ( 2) 1 BN CP AM  + + Từ ( 1) ( 2) suy VABCMNP = VNACB + VNACPM = ữ ìV BB CC AA ABCA B′C′ Ví dụ 6: Cho khối lăng trụ ABC.A′B′C′ tích 2018 Gọi M trung điểm AA′ ; N, P điểm nằm cạnh BB′ , CC′ cho BN = 2B′N , CP = 3C′P Tính thể tích khối đa diện ABC.MNP A 32288 27 B 40360 27 C 4036 D 23207 18 Chọn D Lời giải V 1 AM BN CP  23 + + Ta có ABC.MNP =  ÷= VABC.A′B′C′ 3 AA′ BB′ CC′  36 Vậy VABC.MNP = 23207 18 A C B M A′ N P C′ B′ CƠNG THỨC Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ , lấy A1, B1,C1, D1 cạnh AA′, BB′,CC′,DD′ cho bốn điểm đồng phẳng Ta có tỉ số thể tích VABCD.A B C D 1 AA CC  1 BB DD  1 1 = 1+ =  1+ hai khối đa diện: ÷  ÷ VABCD.A′B′C′D′ 2 AA′ CC′  2 BB′ DD′  Chứng minh Gọi I , I ′ trung điểm AC, A′C′ Ta chứng minh ba mặt phẳng ( ACC′A′ ) ,( BDD′B′ ) ,( A1B1C1D1) đôi cắt theo ba giao tuyến đồng quy I1 37 Ta có ( ABB′A′ ) // ( CDD′C′ ) , suy A1B1 // C1D1 Tương tự, ta A1D1 // B1C1 Suy A1B1C1D1 hình bình hành, ta có I1 trung điểm A1C1 Ta có II1 đường trung bình hình thang AA1C1C BB1D1D , suy 2II1 = AA1 + CC1 = BB1 + DD1 AA1 CC1 BB1 DD1 + = + AA′ CC′ BB′ DD′ Áp dụng cơng thức tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác, ta có: Suy ra: VABCD.A B C D = VABC.A B C + VACD.A C D 1 1 1 1 1 1 AA BB CC  1 AA DD1 CC1  =  + + ÷ VABCD.A′B′C′D′ +  + + ÷ V 3 AA′ BB′ CC′  3 AA′ DD′ CC′  ABCD.A′B′C ′D′ 1 AA1 CC1   BB1 DD1  =  + + ÷.VABCD.A′B′C ′D′ =  ÷.V 2 AA′ CC′   BB′ DD′  ABCD.A′B′C ′D′ Ví dụ Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ tích 2110 Biết A′M = MA; DN = 3ND′ ; CP = 2PC′ Mặt phẳng ( MNP ) chia khối hộp cho thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ D′ A′ C′ B′ N P M C D A A 7385 18 B 5275 12 B C 8440 D 5275 38 Lời giải D′ A′ C′ B′ N P M Q C D B A Ta có: VMNPQ.A′B′C′D′ VABCD.A′B′C′D′ 1 A′M C′P  1 1  =  + ÷=  + ÷= 2 A′A C′C  2 3 12 Vnho = VMNPQ.A′B′C′D′ = 5 5275 VABCD.A′B′C′D′ = ×2110 = 12 12 CƠNG THỨC Cho hình chóp S.ABC với mặt phẳng ( SAB) ,( SBC ) ,( SCA) vng góc với đơi một, diện tích tam giác SAB, SBC, SAC 2S1S2S3 S1,S2,S3 Khi đó: V = S.ABC Chứng minh Đặt SA = a, SB = b, SC = c 1 Suy S1 = ab;S2 = bc;S3 = ca 2 VS.ABC      ab÷ bc÷ ca÷ 2.S1.S2.S3 a2b2c2     = abc = = = 6 3 Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có SA,SB,SC đơi vng góc với Biết diện tích tam giác SAB, SAC, SBC 2a2, 3a2, 3a2 Thể tích khối chóp 39 A a3 B 3a 3 D 3a C 2a Lời giải Áp dụng cơng thức tính nhanh ta V S.ABC = 2S1S2S3 = 3a3 CƠNG THỨC Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với ( ABC ) , hai mặt · · phẳng ( SAB) ( SBC ) vuông góc với nhau, BSC = β ; ASB =α Khi đó: VS.ABC = SB sin2α tanβ 12 Chứng minh SA = SB.cosα ( SAB) ( SBC ) vng góc với nên BC vng góc ( SAB) Tam giác SBC vuông B nên 1 BC = SB.tanβ ⇒ S∆SBC = SB.BC = SB2.tanβ 2 Kẻ AK vng góc SB Lúc AK khoảng cách từ A đến SBC Do AK vng góc BC SB Ta có AK = SA.sinα = SB.sinα cosα hay AK = SBsin2α VS.ABC SB3.sin2α tanβ = 12 40 Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với ( ABC ) , hai mặt · · phẳng ( SAB) ( SBC ) vng góc với nhau, BSC = 450; ASB = 300 SB = a Tính thể tích khối chóp S.ABC 3 a A a B a C a D Lời giải 3 Áp dụng cơng thức tính nhanh VS.ABC = SB sin2α tanβ = 3a 12 CÔNG THỨC 10 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a a , cạnh bên b Khi đó: V SABC = 3b2 − a2 12 Chứng minh AG = 2 3 AM = a = a 3   3b2 − a2 SG = b −  a÷ =  ÷   1 3b2 − a2 a2 3b2 − a2 Vậy V = a = S.ABC 32 12 Ví dụ 10 Cho chóp tam giác SABC cạnh đáy a cạnh bên 2a Tính thể tích chóp SABC A a 11 12 B a 12 11 C a 12 D a 11 Lời giải Áp dụng cơng thức tính nhanh ta có VS.ABC = = a2 3b2 − a2 12 a2 12a2 − a2 12 a3 11 = 12 41 CÔNG THỨC 11 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc α Khi đó: VS.ABC = a tanα 24 Chứng minh 1 3 GM = AM = × a = a SG = atanα 3 6 VS.ABC 11 3 a3tanα = a atanα = 32 24 Ví dụ 11 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a mặt bên hợp với đáy góc 60o Tính thể tích hình chóp S.ABC A a 12 B a C a 24 24 D a 24 Lời giải Áp dụng công thức tính nhanh VS.ABC a3 tanα = 24 a3 tan600 a3 = = 24 24 42 CÔNG THỨC 12 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên b cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β Khi đó: VS.ABC = 3b sinβ cos β Chứng minh 3 SG = bsinβ AM = AG = bco sβ ⇒ BC = 3.bco sβ 2 SABC = 3 2 3b3.sinβ cos2β b cos β ⇒ VS.ABC = 4 Ví dụ 12 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Thể tích khối chóp S.ABC là: A 32 B 3 32 C 32 D 16 Lời giải Áp dụng cơng thức tính nhanh ta VS.ABC = 3b3.sinβ cos2β = ( ) 3 sin600cos2600 = 32 43 CÔNG THỨC 13 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình a2 4b2 − 2a2 vng cạnh a , SA = SB = SC = SD = b Khi đó: V S.ABCD = Chứng minh a2 SO = SA − OA = b − 2 2 a2 a2 4b2 − 2a2 VS.ABCD = a b − = Ví dụ 13 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên a Tính thể tích khối chóp S.ABCD A 8a 3 B a 3 C 4a 3 D 2a Lời giải Áp dụng cơng thức tính nhanh VS.ABCD = ( ) 4a2 a − 2( 2a) = 4a3 CÔNG THỨC 14 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c (tứ diện gần đều) Khi đó: VABCD = (−a2 + b2 + c2)(a2 − b2 + c2)(a2 + b2 − c2) Tổng quát: Định thức Cayley-Menger (Cayley-Menger Determinant) Cho tứ diện SABC có SA = a,SB = b,SC = c ; BC = x,CA = y, AB = z Khi đó: VSABC = 12 2a2 a2 + b2 − z2 a2 + c2 − y2 a2 + b2 − z2 2b2 a2 + c2 − y2 b2 + c2 − x2 b2 + c2 − x2 2c2 Ký hiệu × định thức ma trận cấp 44 Chứng minh Cách 1: Dựng tứ diện D.A’B’C’ cho A, B, C trung điểm B’C’, C’A’, A’B’ Khi tứ diện D A’B’C có cạnh DA’, DB’, DC’ đơi vng góc 1 Ta có VABCD = VDA'B'C ' = DA'.DB'.DC ' 24  DA'2+ DC '2 = 4b2  DA'2 = 2(a2 + b2 − c2)   2 2 2 Ta có  DA' + DB' = 4a ⇒  DB' = 2(a − b + c )   2 2 2  DB' + DC ' = 4c  DC ' = 2(−a + b + c ) Khi đó: VABCD = = DA'.DB'.DC ' = 24 (−a2 + b2 + c2)(a2 − b2 + c2)(a2 + b2 − c2) Cách 2: Dựng lăng trụ AMNBCD hình bên Từ giả thiết ta có: MNDC hình thoi; tam giác CAN , DAM tam giác cân, suy ra: AI ⊥ NC, AI ⊥ DM ⇒ AI ⊥ (CDMN ) 1 1 Ta có: VABCD = VA.MNDC = 4VA.IMN = 2VA.IMN = IA.IM IN = hmn 2 3 45  −a2 + b2 + c2 m = h2 + m2 = c2    a2 + b2 − c2 2 Từ h + n = b ⇔ n =  2  m + n = a  a2 − b2 + c2 h =  Suy ra: VABCD = (−a2 + b2 + c2)(a2 − b2 + c2)(a2 + b2 − c2) Cách 3: Dựng hình hộp chữ nhật AMCN.PBQD hình bên Gọi kích thước hình hộp m, n, p Ta có: VPADB = VMABC = VQBCD = VNACD = VAMCN.PBQD Suy ra: 1 VABCD = VAMCN.PBQD = mn p 3  a2 + b2 − c2 m = 2 2 m + n = b    −a2 + b2 + c2 2 Ta có: m + p = a ⇔ n =  2   p + n = c  a2 − b2 + c2 p =  VABCD = (−a2 + b2 + c2)(a2 − b2 + c2)(a2 + b2 − c2) Cách 4: Gọi I , J , M , N, P , Q trung điểm AB, CD, AC, BD, AD, BC 46 Ta thấy tứ giác MINJ hình thoi Ta chứng minh PQ vng góc với AD BC nên PQ vng góc với mp( IMJ N ) Gọi G giao điểm đường IJ , MN, PQ Ta có 1 VPMINJ Q = 2VP MINJ = PG IJ MN = PQ.IJ MN Vì VAIMP = VBINQ = VCQMJ = VDPNJ = VABCD nên VPIMJ NQ = VABCD − (VAIMP + VBINQ + VCQMJ + VDPNJ ) = VABCD Suy VABCD = 2VPIMJ N = PQ.IJ MN 2 2 2 AC + BC AB C D b + c − a Ta tính được: IJ = IC − CJ = − − = 4 2 2 2 2 2 Tương tự: PQ2 = b + a − c ; MN = a − b + c 2 Từ đó: VABCD = (−a2 + b2 + c2)(a2 − b2 + c2)(a2 + b2 − c2) Ví dụ 14 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 5, AC = BD = 34, AD = BC = 41 Thể tích tứ diện ABCD A 10 B 20 C 30 D 40 Lời giải Cho tứ diện ABCD gần có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c 47 Khi VABCD = 12 ( a + b − c )( b + c − a )( a + c − b ) Áp dụng: VABCD = 12 2 2 2 2 ( 25+ 34 − 41) ( 34 + 41− 25) ( 25+ 41− 34) = 20 CƠNG THỨC 15 Cho tứ diện ABCD, biết diện tích hai mặt bên S1 S2; Độ dài giao tuyến hai mặt l ; Góc hai mặt bên α Khi VS.ABC = 2.S1.S2.sinα 3l Chứng minh → CK = Kẻ CK ⊥ AB ( K ∈ AB ) Ta có S∆ABC = AB.CK  S ABC AB Gọi H chân đường cao hình chóp hạ từ đỉnh C S sin α · = ABC Xét tam giác vng CHK , ta có CH = CK sin CKH AB 3 Vậy thể tích khối tứ diện V = S∆ABD CH = S ABD S ABC sin α S1S sin α = AB 3l Ví dụ 15 Cho tứ diện ABCD có S∆ABC = cm2, S∆ABD = cm2, AB = 3cm Góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( ABD ) 60° Thể tích khối tứ diện cho A cm3 B cm3 C cm3 D cm3 Lời giải Áp dụng: VS.ABC = 2.4.6sin60° = cm3 3.3 48 PHẦN III KẾT LUẬN A KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Việc hình thành phát triển lực cho học sinh mục tiêu chung tất môn học trường phổ thông, có mơn tốn Mỗi mơn học có vai trị đặc điểm riêng biệt, có mạnh riêng qua định hướng việc dạy học nhằm giúp hình thành phát triển lực học sinh Qua viết tác giả mong muốn đưa cách tiếp cận chủ đề “thể tích khối đa diện”, học sinh thông qua cách tiếp cận chủ đề cách giải tình chủ đề để từ hình thành phát triển lực giải vấn đề sáng tạo Sau thời gian thực đề tài nhận thấy đa số em học sinh có hứng thú việc học mơn Hình học khơng gian, nhiều em có tiến vượt bậc tư phương pháp, em biết trình tự để giải tốn hình học khơng gian nói chung tốn tính thể tích khối đa diện nói riêng, nhiều em vượt qua trở ngại việc học hình học khơng gian, với kết cụ thể sau: Lớp Sỉ số Giỏi Khá Trung bình Yếu 12A 41 21 16 14 12K 38 06 17 13 02 12M 39 05 16 15 03 Những kiến nghị, đề xuất Nhằm giúp cho học sinh học tốt với mơn học, thân có kiến nghị với phịng thiết bị, Ban giám hiệu, Sở giáo dục có kế hoạch mua bổ sung số mơ hình hình khơng gian, số tranh minh họa nội dung thể sách giáo khoa nhằm giúp cho việc giảng dạy giáo viên thuận lợi Trên số kinh nghiệm giảng dạy nội dung chương trình khối 12 Mặc dù cố gắng khơng thể tránh khỏi khiếm khuyết, mong nhận trao đổi, góp ý đồng nghiệp bạn bè vấn đề để viết chúng tơi hồn thiện 49 B KẾ HOẠCH THỰC HIỆN Thời gian Nội dung thực Tháng 10 năm 2020 Chọn đề tài Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 11 năm 2020 Hoàn thành đề cương Tháng 12 năm 2020 đến hết tháng 01 năm 2021 Tập trung nghiên cứu Tháng 02 năm 2021 Viết hoàn chỉnh sáng kiến Tháng 03 năm 2021 Nạp sáng kiến hội đồng chấm sáng kiến Trường C TÀI LIỆU THAM KHẢO [1].G Polya (1965), Sáng tạo toán học, tập 1,2,3 Tài liệu bồi dưỡng GV, Bản dịch Phan Tất Đắc, Nguyễn Giản, Hồ Thuần, NXB Giáo dục, Hà Nội [2].G Polya (1997), Giải toán nào?, NXB Giáo dục, Hà Nội [3] Đào Tam (2004), Hình học sơ cấp, Nhà xuất Đại học sư phạm [4] Sách giáo khoa, sách tập Hình học 11, 12 THPT hành, NXB Giáo dục, Hà Nội [5].Đề thi THPT quốc gia mơn Tốn [6].Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố [7].Tạp chí Tốn học tuổi trẻNXB Giáo dục, Hà Nội [8].Internet 50 ... giải tốn thể tích khối đa diện + Phân dạng tốn thể tích khối đa diện + Xây dựng số công thức tính thể tích giúp tính nhanh thể tích số khối đa diện 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên... Nếu khối đa diện khối đa diện ( H2 ) hai khơng có chung điểm ta nói chia khối đa diện ( H ) thành hai khối đa diện ( H1) ( H2 ) , hay lắp ghép hai khối đa diện ( H1) ( H2 ) với để khối đa diện. .. hạn hình đa diện, kể hình đa diện • Những điểm không thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền