Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720m 2.. Nếu tăng chiều dài thêm 10m và giảm chiều rộng 6m thì diện tích mảnh [r]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học: 2016 – 2017 Mơn thi: Tốn Ngày thi: 08 tháng năm 2016 Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài I: (2điểm) A x x 24 B x với x 0; x 9 x x3 Cho hai biểu thức 1) Tính giá trị biểu thức A x = 25 B x 8 x 3 2) Chứng minh 3) Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị số nguyên Bài II: (2điểm) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720m2 Nếu tăng chiều dài thêm 10m giảm chiều rộng 6m diện tích mảnh vườn khơng đổi Tính chiều dài chiều rộng mảnh vườn Bài III: (2điểm) 1) Giải hệ phương trình: 3x x y 4 2x 5 x y 2 2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): y 3x m Parabol (P): y x a) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với m x x 1 b) Gọi x1 x2 hoành độ giao điểm (d) (P) Tìm m để Bài IV: (3,5điểm) Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB với đường trịn (O) ( B tiếp điểm) đường kính BC Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I ( I khác C, I khác O) Đường thẳng IA cắt (O) hai điểm D E (D nằm A E) Gọi H trung điểm đoạn thẳng DE 1) Chứng minh bốn điểm A,B,O, H nằm đường tròn AB BD 2) Chứng minh AE BE 3) Đường thẳng d qua điểm E song song với AO, d cắt BC điểm K Chứng minh: HK // DC 4) Tia CD cắt AO điểm P, tia EO cắt BP điểm F Chứng minh tứ giác BECF hình chữ nhật Bài V: (0,5 điểm) Với số thực x, y thỏa mãn x biểu thức P = x + y x y y , tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh Số báo danh: Giám thị (Họ tên ký) Giám thị (Họ tên ký) ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học: 2016 – 2017 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI Mơn thi: Tốn Ngày thi: 08 tháng năm 2016 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I: (2điểm) x x 24 B x với x 0; x 9 x x3 A Cho hai biểu thức 1) Tính giá trị biểu thức A x = 25 B x 8 x 3 2) Chứng minh 3) Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị số nguyên Bài I Bài I.1 (0,5 điểm) Bài I.2 (1,0 điểm) Hướng dẫn giải - ta có x = 25 (tmđk) => 7 - Thay vào A ta được: A = 13 x x 24 B x với x 0; x 9 x3 Ta có: 0,25 B x x 24 x ( x 3)( x 3) 0,25 B x ( x 3) x 24 ( x 3)( x 3) 0,25 B B Bài I.3 (0,5 điểm) x 25 5 , Điểm 0,25 x x 24 ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 8) x 8 ( x 3)( x 3) x 3 P A.B 0,25 0,25 x 8 x 8 x 3 x 3 - Ta có Với đk, ta ln có P > 1 x 0 x 3 P 2 P 2 3 Nên Do P 1, 2 0, 25 Do P nguyên, hay + Với P = + Với P = 1 x 7 x 4 x 16 x 3 (tmđk) 1 2 x 7 x x (tmđk) x 3 0, 25 1 x ;16 P nguyên - Kết luận: với Bài II (2,0 điểm) Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720m Nếu tăng chiều dài thêm 10m giảm chiều rộng 6m diện tích mảnh vườn khơng đổi Tính chiều dài chiều rộng mảnh vườn Bài II Hướng dẫn giải Điểm Bài II (2,0 điểm) Gọi chiều dài hình chữ nhật x (m, x > 0) 0,25 720 chiều rộng hình chữ nhật : x (m) 0,25 Do tăng chiều dài thêm 10m, chiều dài x + 10 (m) 0,25 720 x Giảm chiều rộng 6m, chiều rộng 0,25 6 (m) ta có phương trình: 720 x x 10 0,25 720 x 10x 1200 0 0,25 Giải phương trình tìm x1 = 30 (tmđk); x2= 40( khơng tmđk) 0,25 720 24 30 Vậy chiều dài hình chữ nhật 30m, chiều rộng m 0,25 Bài III: (2điểm) 1) Giải hệ phương trình: 3x x y 4 2x 5 x y 2 2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): y 3x m Parabol (P): y x a) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với m b) Gọi x1 x2 hoành độ giao điểm (d) (P) Tìm m để Bài III Bài III.1 (1,0 điểm) Hướng dẫn giải ĐK: x 1; y Đặt ta có hpt: u 3u 2v 4 2u v 5 x ;v x1 y2, x1 1 x 1 1 Điểm 0,25 u 2 Tìm được: v 1 x x 2 1 y Chỉ được: 0,25 x 2x y 1 x 2 y (tmđk) 0,25 0,25 Kết luận: hệ phương trình có nghiệm (x;y) =(2; -1) Bài III.2 (1,0 điểm) Hs dùng pp cộng đại số để giải hệ phương trình a) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với m (0,5đ) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P): 0, 25 2 2 x 3x m x 3x m 0 (1) 3 m 1 4m Có với m => Phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt với m Chứng tỏ (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với m b) Gọi x1 x2 hoành độ giao điểm (d) (P) Tìm m để 0, 25 x1 1 x 1 1 (0,5đ) Theo câu a) (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với m Khi hồnh độ giao điểm x1; x2 nghiệm phương trình: x 3x m 0 (1) x1 x 3 Theo hệ thức viet ta có : x1.x 1 m (*) x1 1 x 1 1 x1x x1 x 1 - Để (**) - Thay (*) vào (**) ta m 1 m 2 0,25 0, 25 - Vậy m 2 Bài IV: (3,5điểm) Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) ( B tiếp điểm) đường kính BC Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I ( I khác C, I khác O) Đường thẳng IA cắt (O) hai điểm D E (D nằm A E) Gọi H trung điểm đoạn thẳng DE 1) Chứng minh bốn điểm A,B,O, H nằm đường tròn AB BD 2) Chứng minh AE BE 3) Đường thẳng d qua điểm E song song với AO, d cắt BC điểm K Chứng minh: HK // DC 4) Tia CD cắt AO điểm P, tia EO cắt BP điểm F Chứng minh tứ giác BECF hình chữ nhật .Bài Hướng dẫn giải Điểm (1,0 điểm) 0,25 - Vẽ hình đến câu a - Chứng minh ABO 90 - Chứng minh AHO 90 - Suy bốn điểm A,B,O,H nằm đường trịn đường kính AO - Chứng minh ABD AEB (1 điểm) - Xét ABD AEB có EAB chung - Chứng minh ABD đồng dạng AEB (g.g) AB BD - Suy AE BE 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,0 điểm) - Tứ giác ABOH nội tiếp (cmt) => HAO HBO (cùng chắn HO ) Mà EK // AO => KEO HAO ( góc so le trong) KBH => KEH 0,25 => tứ giác HKEB nội tiếp 0,25 0,25 - Chứngminh BKH BCD ( BED ) - Mà góc vị trí đồng vị nên HK // DC 0,25 (0,5 điểm) Gọi giao điểm tia CE tia AO Q, Tia EK CD M - Xét DEM có HK//DM, H trung điểm DE Suy K trung điểm đoạn thẳng ME KE MK CK Mà ME//PQ (cmt) nên ta có OQ OP CO Suy O trung điểm PQ Xét tứ giác BPCQ ta có: OP=OQ; OC=OB nên tứ giác BPCQ hbh Suy CE//BF Chứng minh COE = BOF (g.c.g) suy OE=OF Mà OB=OC=OE nên OB=OC=OE=OF Vậy tứ giác BECF hình chữ nhật Cách khác (0,5 điểm) B F A P O I D H E K Q C - Kẻ thêm tiếp tuyến AQ với đường trịn (O) Ta có AO đường trung trực BQ (t/c tiếp tuyến cắt nhau) nên BQ AO => BAO QBC ( phụ ABQ ) => QBC OAQ ( BAO ) 0,25 0,25 Mà QDC QBC ( 2gnt chắn CQ (O)) => QDC OAQ => tứ giác APDQ nội tiếp 0,25 => AQP PDA EDC EBC (1) Do AO đường trung trực BQ nên ABP AQP (t/c đối xứng) (2) Từ (1) (2) => ABP EBC Mà ABP CBF 90 ( AB tiếp tuyến) 0,25 => EBC CBF EBF 90 Mà tứ giác BECF hình bình hành ( có đường chéo cắt trung điểm đường) nên tứ giác BECF hình chữ nhật Bài V: (0,5 điểm) Với số thực x, y thỏa mãn x biểu thức P = x + y Bài V x y y , tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (0,5 điểm) */ Tìm GTLN P = x+y ĐK : x y từ giả thiết ta có: P x y nên P 0 Suy P P 12 ( x 6)( y 6) (0,5 điểm) Mặt khác theo BĐT Cauchy ta có: P P 12 ( x 6)( y 6) P 12 x y 2 P 24 0,25 P P 25 ( P 1) 25 P 6 x y x y GTLN P=6 x 3 y 3 (tmđk) Vậy GTLN P = x=y=3 */ Tìm GTNN P= x+y ĐK : x y từ giả thiết ta có: P x y nên P 0 Suy P P 12 ( x 6)( y 6) Vì ( x 6)( y 6) 0 P P 12 0 ( P 4)( P 3) 0 P 4 P 0 x x 6 GTNN P = y 10 y 10 x x 6 Vậy GTNN P = y 10 y 10 0,25 a b 2 a b + HS chứng minh BĐT : với a,b 0 ( dùng phép biến đổi tương đương đưa BĐT BĐT : 2ab a b điều – BĐT Coossi) + Áp dụng BĐT ta có: x y x y 2 x y 12 x y 2 x y 24 x y 6 (1) Ta có x y x y x y 0 (2) Ta có x y x y x y x y 12 2 x y x y 12 2 Cách khác x 6 y 6 x y 0 x y 3 x y 0 x y x y 4 (3) Từ 1,2,3 => x y 6 + x y 4 x y 4 x 0 y 0 0,25 x 6; y 10 x 10; y x y 6 x y 6 x y 3 x y + 0,25 Vậy Max(x+y) = x = y = 3; Min(x + y) = (x; y) = (-6; 10) (x; y) = (10; -6) Lưu ý - Điểm tồn khơng làm tròn, để điểm lẻ đến 0,25 - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng - Với 4, thí sinh vẽ hình sai phạm câu khơng chấm điểm câu đó,nếu học sinh khơng vẽ hình khơng chấm ... (Họ tên ký) ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học: 2016 – 2017 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI Môn thi: Toán Ngày thi: 08 tháng năm 2016 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I:... tăng chiều dài thêm 10m, chiều dài x + 10 (m) 0,25 720 x Giảm chiều rộng 6m, chiều rộng 0,25 6 (m) ta có phương trình: 720 x x 10 0,25 720 x 10x 1200 0 0,25... thẳng IA cắt (O) hai điểm D E (D nằm A E) Gọi H trung điểm đoạn thẳng DE 1) Chứng minh bốn điểm A,B,O, H nằm đường tròn AB BD 2) Chứng minh AE BE 3) Đường thẳng d qua điểm E song song với AO, d