Tính độ dài các đoạn thẳng PA, PB và bán kính R của O GV: Nguyễn Dương Hải – THCS Phan Chu Trinh – BMT – Đăk Lăk Sưu tầm và giới thiệu... GV: Nguyễn Dương Hải – THCS Phan Chu Trinh – BMT[r]
PHÒNG GIÁO DỤC ~ ĐÀO TẠO KY THỊ HỌC SINH GIỎI LỚP 9-CÁP THÀNH PHĨ NĂM HỌC 2010-2011 TP BN MA THUỘT DE THI MON: TOAN Thời gian: 150 phút (khơng tính giao dé) Bài 1: (2 điểm) Cho A= Ve Wx} )(ve-1 Ves \Vvx4+1 K Vx-1 a) Rut gon A x>O;x#41 b) Hãy tinh gia tri cua A x= 43 Jv3+1-1 Jv34141 Bài2: (4 điểm) a) Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn (17a + 16b)(16a + 17b) :11 Ching minh: (17a + 16b)(16a + 17b):121 b) Tìm số a, b, c để đa thức f (x) = (ax° + bx? + c) chia hét cho (x + 2), biét rang chia f (x) cho x° —1 thi du x+5 c) Cho x,y,z>0 thỏa mãn l+x + I+y + l+z >2 Tìm giá trị lớn biểu thức P= xyz Bài 3: (4 điểm) a) Giải phương trình x” - x— 24/1+ 16x =2 b) Trong mặt phang tọa độ Oxy cho đường thăng (d): v= -(m — 2) ol + (m#1) Tim m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thăng (đ) lớn Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông ÀA Chứng minh tg ABC AC AB+BC Bai 5: (8 diém) Cho doan thang AB, trén cung mot nua mat phang bờ đường thăng AB vẽ hai tia Ax By song song với Vẽ đường tròn (O) tiệp xúc với AB, Ax By P,M,N a) Chung minh M, O, N thang hang va AB = AM + BN b) Chung minh MN 1a tiép tuyén cua duong tron dudng kinh AB c) Duong tron (O) va duong tron duong kinh AB cat tai E va F Ching minh EF // MM d) Cho ABy =120?, AB =20cm Tính độ dài đoạn thăng PA, PB bán kính R (O) GV: Nguyễn Dương Hải - THCS Phan Chu Trinh - BMT —- Đăk Lăk (Sưu tâm giới thiệu) trang Ì Bài 1: (2 điểm) a) l—x Te A=-—= b) x= v3 V3 \v341-1 _ Jv34+141 ANB #1 le WB +141, oy psoreed V3 +1-1 _-I-x_I-2 v2 vx Bài 2: (4 điểm) 42 17a +16b:11 16a +17b:11 +) Néu 17a + 16b!11=> 16(17a + 16b):11=—17(16a + 17b) 33b:11 => 17(16a + 17b):11 (vi 33b:11) => 16a+17b:11 (vi 17/11) Vay 17a +16b:11 va 16a+17b:11=> (17a +16b)(16a+17b):121 (1) +) Nếu 16ø +17b:11—17(16a+17b):11— 16(17a + 16b) + 33b:11 a) (174 +166)(160-+170):11->) => 16(17a + 16b):11 (vi 33b:11) => 17a +16b:11 (vi 16/11) Vay 16a +17b:11 va 17a +16b:11=> (17a + 16b)(16a+17b):121 (2) Tu (1) va (2) có điêu phải chứng minh b) Theo đề ta có | ax`+bx +c= (x+ 2)q(x) (1) ax’ + bx? +c=(x° -1)g(x)+x+5(2) Từ (1) ta có —8ø + 4b +c=0 " , a+b+c=6 (**) a+b+c=6 Từ (5) (**) ta có + =a+b+c=4_ Giải hệ ta a= l;b=l;c=4 —8a+4b+c=0 c) Trước tiên chứng minh với z>0,b>0 a+b>2Nab (*) (Dấu “=” xảy a=b) That vay, ta có (Va -vb) =0.a+b>2WVab, dau “=” xảy Ja -Vb =0 Ga=b Tacé ~-+—- I+x lI+y Vì y,z >0 nên +1 l+y GV: Nguyén Duong Hai l+z 3264 l+x [i-th l+y >0,—“—>0 Áp dụng (*) ta có l+z l+z Je I+x lI+y —+-—>2k_— l+y l+z Poy, l+z (1+ y)(1+ z) —- THCS Phan Chu Trinh — BMT — Dak Lak (Swu tam va gioi thiéu) trang = WS) xa) ina) Do - b) va a Dâu >2 ^li+2+x) i (1+ x) 0) Tu a), b), vf , (a) Chứng minh tương tự ta có Vậy GTLN < l+x) (lity) (l4zy * l+x < I+y l+z P v=y ©) (1+ x)(1+ y)(1 +z) » (c J(I+x)(1+ y) ye xYyz—-L 16 Ta có: x —x-2/14+1l6x=2o x —x-2=2,/14+16x = xt 44° 44-2) —4x° 44x =4+4 64x & x* — 2x —3x° — 60x =0 > x(x—5)(x° +3x+12)=0 x x=0 x=5 Với x=0, x -x—2=-2 Voi x=5, x —x-2=18>0 TM _z x>-— 16 (loại) (chọn) Vậy phương trình có nghiệm x= b) +) Nếu m=2 (d) y =1 Khoảng cách từ O đến (d) I +) Nếu m+2 tọa độ giao điểm (đ) với trục Ox | điểm (đ) với trục Oy m1 m— | va toa dO giao Gọi h khoảng cách từ O đến (d), ta có: pea (m=2) «(m= 1) =2m* = 6m + 5=2| m= Š) h m—2 (*) I_ ts>s©h M,O,N thang hang (dpem) AP= AM, BP = BN (tinh chat hai tiép tuyén cat nhau) Do d6 AB = AP + BP = AM + BN (dpcm) b) Goi [1a tam duong tron duong kinh AB Xét tứ giác ABNM, ta có: AM // BN (Ax // By) OM = ON = = MN (ban kinh (O)) IA =IB= AB (bán kính (D) Nên OI đường trung ABNM >OI= — bình hình thang -= Do O thuộc đường trịn đường kính AB (a) Lại có OLI// AM (OT đường trung bình hình thang ABNM) AM | MN (AM tiếp tuyến (O)) => OI | MN (b) Từ a), b) suy MN 18 tiép tuyén cua (1) (đpem) c) Vi (O) va () cắt E, F > EF L OI, lại có MN | OI (cmt) Nén EF // MN d) Tacé ABO = 2ABy = > -120° = 60° (BP, BN 1a tiếp tuyến (O)) AOB =90° (AAOB nội tiếp đường trịn đường kính AB) Do AAOB nửa tam giác cạnh AB > OA= ABN2 _ 2032 _ 10 3u AAOB, OA’ AOB = 90°, OP | AB nén c6 OA* = PA.AB => PA =—— = A (10/3) 20 =l5cm - PB= AB-~ PA=20—15=5 cm, OP? = PA.PB=15-5= 15—= R=OP =+^Í75 =5^|3 cm GV: Nguyễn Dương Hải - THCS Phan Chu Trinh - BMT —- Đăk Lăk (Sưu tâm giới thiệu) trang ... AABD, BAD =90° nén tgABC = tg ABD =AD =_AC AB AB+BC (dpcm) Bai 5: (8 diém) a) OM | Ax, ON | By Ma Ax // By > M,O,N thang hang (dpem) AP= AM, BP = BN (tinh chat hai tiép tuyén cat nhau) Do d6