Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi được bằng bao nhiêu mét làm tròn đến đơn vị mét.. I là trung điểm của đoạn thẳng AD.[r]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2017-2018 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Thí sinh làm (trắc nghiệm khách quan phần tự luận) tờ giấy thi; không làm vào đề thi A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu Cho phương trình x mx 0 Tập hợp giá trị tham số m để phương trình có nghiệm kép A 4; 4 B 4 C 4 D 16 Câu Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, góc tạo hai đường thẳng có phương trình y 5 x y 5 x o o B 30 A 70 x Câu Cho 2018 A 10 o C 90 o D 45 3 62 x Giá trị biểu thức 4x 2 2018 D C Câu Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2018; 1) B( 2018;1) Đường trung trực đoạn thẳng AB có phương trình x x y y C y 2018 x D y 2018 x 2018 2018 A B B 2018 Câu Cho biểu thức P x x A P với 8x x x , khẳng định ? B P với x 1 x 1 P 2 x D với Câu Trong góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M , biết M cách trục tung, trục hoành đường thẳng y 2 x Hoành độ điểm M A B D C M 2018; 2018 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng y x C P 2 x với x 1 A B C D 2 A m;m - 10 Khi m thay đổi khẳng định Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm ? A Điểm A thuộc đường thẳng cố định C Điểm A thuộc đoạn thẳng cố định B Điểm A thuộc đường tròn cố định D Điểm A thuộc đường thẳng y x 10 Trang 1/3 Câu Cho tam giác ABC có AB 3 cm, AC 4 cm BC 5 cm Kẻ đường cao AH , gọi I , K tâm đường tròn nội tiếp tam giác HAB tam giác HAC Độ dài đoạn thẳng KI A 1, cm B 2 cm C 1, 45 cm D cm o O; cm Câu 10 Cho AB dây cung đường tròn AOB 150 Độ dài đoạn thẳng AB A cm B cm C cm D 2 cm I ; 3 O;6 Câu 11 Cho hai đường trịn tiếp xúc ngồi với A Qua A vẽ hai tia vng góc với cắt hai đường tròn cho B C Diện tích lớn tam giác ABC A B 12 C 18 D 20 Câu 12 Cho hình thoi ABCD có cạnh Gọi x, y bán kính đường trịn ngoại tiếp 1 2 y tam giác ABC tam giác ABD Giá trị biểu thức x D C O; R Câu 13 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AC dây cung BD R Gọi x, y, z, t khoảng cách từ điểm O tới AB, CD, BC , DA Giá trị biểu thức xy zt 2 2 2 R R A 2 R B R C D O;6 cm Câu 14 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( I ; cm) nội tiếp đường tròn Tổng khoảng cách từ điểm O tới cạnh tam giác ABC A cm B 12 cm C 16 cm D 32 cm Câu 15 Nếu tam giác có độ dài đường cao 12,15, 20 bán kính đường trịn nội A B tiếp tam giác A B C D Câu 16 Trên khu đất rộng, người ta muốn rào mảnh đất nhỏ hình chữ nhật để trồng rau an toàn, vật liệu cho trước 60m lưới để rào Trên khu đất người ta tận dụng bờ rào AB có sẵn (tham khảo hình vẽ bên) để làm cạnh hàng rào Hỏi mảnh đất để trồng rau an tồn có diện tích lớn ? 2 2 A 400 m B 450 m C 225 m D 550 m B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a b c b c a 2018 với a, b, c đôi khác khác khơng Tính giá trị a) Cho c2 a b biểu thức a, b, c thỏa mãn a b c 91 b ca b) Tìm tất số nguyên dương Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình x2 2x x x 0 Trang 2/3 b) Hai vị trí A B cách 615 m nằm phía bờ sông Khoảng cách từ A, B đến bờ sông 118 m 487 m (tham khảo hình vẽ bên) Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B Đoạn đường ngắn mà người mét (làm tròn đến đơn vị mét) Câu (4,0 điểm) O O điểm A nằm Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với ( B, C tiếp điểm) Một cát tuyến thay đổi qua A cắt O D E ( AD AE ) Tiếp tuyến O D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC điểm M N I trung điểm đoạn thẳng AD Chứng minh bốn điểm M , E , N , I thuộc a) Gọi T đường tròn O T b) Chứng minh hai đường tròn tiếp xúc c) Chứng minh đường thẳng IT qua điểm cố định Cho đường tròn O Câu (1,5 điểm) Chứng minh tam giác 3a b 3b c 3c a 9 a ab b bc c ca với a, b, c độ dài ba cạnh a b c - HẾT Họ tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………… Cán coi thi khơng giải thích thêm Trang 3/3 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2017-2018 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang) HƯỚNG DẪN CHẤM A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm:Mỗi câu 0,5 điểm) Câu Câu A D C 10 B B 11 C C 12 A B,D 13 C A,B 14 A B 15 A A 16 B B PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) a) Cho a b c b c a 2018 với a, b, c đôi khác khác không Câu c2 a b Tính giá trị biểu thức 3,0 điểm a, b, c thỏa mãn a b c 91 b ca b) Tìm tất số nguyên dương a b c b c a Ta có a b a b bc ab ab ca c b a c ab bc ca 0 bc a b c abc a b c 2018.(1) a) Suy 1.5 điểm ab bc ca 0 ab c a b abc c a b (2) c a b 2018 Từ (1) (2) ta a q q 91 13.7 b qa; c q a q 1 Đặt ta Trường hợp 1: Nếu q số tự nhiên ta a 1 a 1 a 1; b 9; c 81 1 q q 91 q 9 b) 1,5 điểm a 7 a 7 a 7; b 21; c 63 1 q q 13 q 3 a 13 a 13 a 13; b 26; c 52 q q q q Điểm 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x x 3; y 2 y Trường hợp 2: Nếu q số hữu tỷ giả sử a q q 91 a x xy y 91 y x xy y 19 Khi ax a c a ty x xy y 91 x 6; y 5 y y Ta có 0,25 0,25 Trang 4/3 a 25; b 30; c 36 Vậy có số a; b; c thỏa mãn 1;9;81 , 81;9;1 , 7; 21;63 , 63; 21;7 ; x x x x 0 a) Giải phương trình Câu b) Hai vị trí A B cách 615m nằm phía bờ sơng Khoảng 3,5 điểm cách từ A, B đến bờ sông 118m 487m (tham khảo hình vẽ đây) Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B Đoạn đường ngắn mà người mét (làm tròn đến chữ số thập phân) x2 2x a) 1.5 điểm x x 0 x x 0,25 x x 0 0,25 x x 1( L) x x 2 x x 4 x x 0 x x 0,25 0,25 0,25 0,25 b) 2,0 điểm Gọi C , D hình chiếu A, B lên bờ sơng Đặt CE x x 492 0,25 CD 6152 487 118 492 Ta có Quãng đường di chuyển người AE EB x 1182 492 x 0,25 487 a b2 c2 d Ta có với a, b, c, d a c b d 1 a b c d a b c d a c 2 0,25 (1) bd Thật a b c d ac bd (2) Nếu ac bd (2) ln Nếu ac bd 0 bình phương hai vế ta (2) trở thành ad bc Áp dụng (1) 0 Dấu đẳng thức sảy ad bc AE EB Dấu đẳng thức xảy x 492 x 2 487 118 608089 779,8m 487 x 118 492 x x 96m 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang 5/3 Vậy quãng đường nhỏ 780 m 0,25 Câu O điểm A nằm O Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC 4,0 điểm Cho đường tròn O O với ( B, C tiếp điểm), cát tuyến thay đổi qua A cắt D E ( AD AE ) Tiếp tuyến O D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC điểm M N I trung điểm đoạn thẳng AD, chứng minh bốn điểm a) Gọi M , E , N , I thuộc đường tròn T O T b) Chứng minh hai đường tròn tiếp xúc c) Chứng minh IT qua điểm cố định a) 1,5 điểm 0,25 o Ta có ABO ACO 180 nên tứ giác ABON nội tiếp ABOC Gọi J giao điểm AD với đường tròn Suy DMA đồng dạng DNJ Suy DM DN DA.DJ DA 2 DI ; DJ DE Mà Nên DM DN DI DE DMI đồng dạng DEN Vậy tứ giác MINE nội tiếp hay có đpcm b) MN OA O T tiếp xúc E 1,5 điểm Dễ thấy O Khi MN khơng vng góc OA Gọi K giao điểm MN với tiếp tuyến E Ta có O, J , K thẳng hàng Trong tam giác OEK : KJ KO KE (1) ( Định lý hình chiếu) ABOC Trên đường trịn ta có KJ KO KN KM (2) T Từ (1) (2) suy KE KN KM nên KE tiếp xúc 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang 6/3 c) 1,0 điểm Ta có OED ODE TIE Nên IT OD Gọi W OA IT 0,25 Vì I trung điểm AD nên W trung điểm OA (đpcm) Khi MN OA W IT 3a b 3b c 3c a 9 a b c a ab b bc c ca Chứng minh với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác 0,25 0,25 Giả sử a b c t đặt a tx; b ty; c tz x y z 1 t 3x y t 3y z t 3z x 9 t x y z 2 2 2 t x xy t y yz t z zx Ta chứng minh 3x y y z 3z x 9 x xy y yz z zx Câu 1,5 điểm 4x x y y y z 4z z x 4 9 9 x x y y y z z z x 1 z x 1 x y 1 y z 0,25 0,25 5x y y 9 x x2 y y z z 1 a b c x, y , z 0; 2 Vì a, b, c ba cạnh tam giác nên Ta có: 1 5x x 18 x x x 0; 2 x x2 0,25 0,25 0,25 5y 1 18 y y 1 y 1 0 y 0; y y 2 1 5z z 0; 18 z 3z 1 z 1 0 2 z z 5x y y 5x y y 18 x y z 9 2 x x y y z z x x2 y y z z Suy 0,25 0,25 - Hết - Trang 7/3 ... sinh:………………………………Số báo danh:………………… Cán coi thi khơng giải thích thêm Trang 3/3 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2017-2018 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 150... 2017-2018 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang) HƯỚNG DẪN CHẤM A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm:Mỗi câu 0,5 điểm) Câu Câu A D C 10 B B 11 C C 12... AD với đường tròn Suy DMA đồng dạng DNJ Suy DM DN DA.DJ DA 2 DI ; DJ DE Mà Nên DM DN DI DE DMI đồng dạng DEN Vậy tứ giác MINE nội tiếp hay có đpcm b) MN OA O T tiếp xúc E