1. Trang chủ
  2. » Cao đẳng - Đại học

De thi chon HSG

6 5 0
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 6
Dung lượng 241,28 KB

Nội dung

Gọi A là biến cố: Lấy được đồng thời ba quả cầu sao cho tổng các số ghi trên ba quả cầu đó là một số chẵn.. Xét các khả năng xảy ra KN 1: Lấy được ba quả cầu có các số ghi trên ba quả cầ[r]

Trang 1

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TỈNH NGHỆ AN MÔN TOÁN 11

Câu 1 a) Giải phương trình

2 3

2 4

1

1 2sin

x

x x

Điều kiện:

2

sin

5 2

2 6

x

  

(1) 1 cos 3 3 cos3 1 2sin

2

 sin 3x 3cos3x2sinx sin 3 sin

3

3

3

 



6

k x

 

  

Đối chiếu với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm là

7

b) Giải hệ phương trình

2 2

3 2

x y

 1  x y  12  0

Thay y x 1 vào phương trình (2) ta được phương trình

3 3 2 11 9 11 3

(3) Đặt a x 1;b 3 x1, phương trình (3) trở thành

3 5 3 5

Nếu a b thì a35a b 35b

Trang 2

Nếu a b thì a35a b 35b

Nếu a b thì a35a b 35b

Vậy a b

Do đó (3) x 1 3 x 1 3 xx 2

2

3 0

x

x

Vậy hệ đã cho có nghiệm ( ; )x y với

2

x y

Câu 2 Một hộp chứa 17 quả cầu đánh số từ 1 đến 17 Lấy ngẫu nhiên đồng thời ba quả

cầu Tính xác suất sao cho tổng các số ghi trên ba quả cầu đó là một số chẵn

  3

17

Gọi A là biến cố: Lấy được đồng thời ba quả cầu sao cho tổng các số ghi trên ba quả cầu

đó là một số chẵn

Xét các khả năng xảy ra

KN 1: Lấy được ba quả cầu có các số ghi trên ba quả cầu đó đều là số chẵn Số cách chọn

C83.

KN 2: Lấy được hai quả cầu có các số ghi trên hai quả cầu đó đều là số lẻ và một quả cầu

có số ghi trên quả cầu là số chẵn Số cách chọn là C C92 81

Vậy:  

3 2 1

8 9 8 3 17

85

P A

C

Câu 3 Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA SB SC a   . Đặt

0 3 

a) Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng  ABCD, biết rằng x a .

b) Tìm x theo a để tích AC SD. đạt giá trị lớn nhất

a)

Trang 3

C B

O A

S

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD

Khi x a ,ta có

Suy ra góc giữa thẳng SB và mặt phẳng  ABCD là góc SBO.

 Đáy ABCD là hình vuông

Do đó

45

a

b) Ta có SOCBOCOS OB  tam giác SBDvuông tại S

Suy ra

2 2

2 2

2

, AC 2OC 2 BC2 OB2  3a2 x2

Do đó AC SD x.  3a2 x2

Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si, ta có

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2

a

Vậy

6

2

a

x 

thì tích AC SD. đạt giá trị lớn nhất

Câu 4 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD. Hình chiếu vuông góc của điểm D lên các đường thẳng AB BC, lần lượt là M2;2 , N2; 2  ; đường thẳng BD có phương trình 3x 5y 1 0. Tìm tọa độ điểm A.

C D

I

N M

Gọi I x y( ; ) là tâm hình bình hành ABCD.

Vì tam giác BMD vuông tại MI là trung điểm của BD nên  

1

1 2

Trang 4

Tương tự ta có  

1

2 2

Từ (1) và (2) suy ra

 22  22  22  22

I thuộc BD nên 3x 5y 1 0 (4)

Từ (3) và (4) suy ra

;

x  y I 

Do đó

34

, 2

thuộc đường tròn ( )T có tâm I bán kính

34 2

R 

( )T

có phương trình

B D, là giao điểm của đường thẳng BD và đường tròn ( )T nên tọa độ B D, là nghiệm

của hệ

3

x y

2 1

x y





TH1: B(3;2), D  ( 2; 1)

Suy ra phương trình đường thẳng

5

4

TH2: B  ( 2; 1), D(3;2)

Suy ra phương trình đường thẳng

13

4

Câu 5 a) Cho dãy số  u n , biết

1

n

n

với n 1.

Tính giới hạn: 1 2

n

Ta có: u  1 6 3.1

2

2 1 1 2 32 3.2

uuu   

Giả sử u k 3 ,k   k * Ta cần chứng minh u k13k1

Trang 5

Thật vậy:

1

k k k

u ku k k u

Vậy u n 3 ,n với mọi n  * (1)

2

1

1

1

1

k k k

1

2 1

u u k uk

Áp dụng (2) suy ra 1 1 2

  1

1

Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được

Mặt khác theo (1) ta có u n1  3n 1  u n n 1  2n  2 0,   n *.

Vậy 1  

n

2n 2   u n  n 1 

Từ (2) và (3), suy ra 1 2

5

n

b) Cho ba số thực a b c, , thuộc đoạn 0;2  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Trang 6

Với ba số thực a b c, , thuộc đoạn 0;2 ta có

a c c b b c c a a b a c c b b a b c c a a b2  2  2  2  2  2  2  2  2  2  2

     

P Q

  với Qa b b c c a a b c            (1)

Ta sẽ chứng minh

32 3 9

Q 

(2) Thật vậy: Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử amax ; ;a b c TH1: a b c   Q0

TH2: a c b  , áp dụng bất dẳng thức Cô – Si cho ba số không âm

 3 1   a c ; 2c b ;  3 1   a b c  

ta có

3

      2 3  3 3 3

108

a c c b a b c

          2 3  3 3 3

108

a b a c c b a b c

(3)

  2 3  3 3 3 32 3

(4)

Từ (3) và (4) suy ra

32 3 9

Q 

Do đó (2) đúng Từ (1) và (2) suy ra

32 3 9

P 

Khi

2 3

3

thì

32 3 9

P 

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P

32 3

Ngày đăng: 23/11/2021, 13:34

w