Một đường thẳng d tiếp xúc với hai đường tròn O và O’ lần lượt tại P và P’.. Gọi Q và Q’ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ P và P’ xuống đường thẳng OO’.[r]
(1)TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM 2012 MÔN: TOÁN THỜI GIAN: 180’ ĐỀ BÀI Câu (4 điểm) 2x 2y 2x y 2xy 1 3y 8x 2y x Giải hệ phương trình: Câu (4 điểm) Cho hai đường tròn tâm O bán kính R và tâm O’ bán kính R’ (R ≠ R’) cắt hai điểm phân biệt A, B Một đường thẳng d tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’) P và P’ Gọi Q và Q’ là chân đường vuông góc hạ từ P và P’ xuống đường thẳng OO’ Đường thẳng AQ cắt đường tròn (O) M và đường thẳng AQ’ cắt đường tròn (O’) M’ (M và M’ khác A) Chứng minh rằng: Ba điểm M, M’, B thẳng hàng Bài (4điểm ) Cho phương trình: ax b c x d e 0 1 có nghiệm không nhỏ Chứng minh phương trình ax bx cx dx e 0 có nghiệm Bài (4điểm ) Giải phương trình: cos x 2 sin x sin x cos x 0 Bài (4điểm ) Chứng minh rằng: x 0, y 0, ta luôn có (1 x)(1 y ) (1 xy ) … HẾT… (2) TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN Câu ĐẤP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM 2012 MÔN: TOÁN THỜI GIAN: 180’ Nội dung Điểm 2 x y x y xy 1 (1) (2) 3 y 8 x y điểm x 1 y 1 x 1 y 1 0 (1) ĐK: (2x + 1)(y + 1) 2 x y 0 Mà x > 2x 1 y x y 0 (1) x y 0 y 2 x 0,5 3 Thay vào (2): x 8 x x x 1 x x x Hàm số f(t) = t3 + t đồng biến trên R (3) x 2 x x3 3x NX: x >1 không là nghiệm phương trình Xét x 1: Đặt x = cos với cos3 2 k k 2 (k Z ) Do 0,5 (3) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (3) 0,5 cos ;2cos 9 Vậy hệ có nghiệm P' I P A Q Q' J O O' S M' B M Gọi S là giao điểm d và OO’, đó S là tâm vị tự ngoài hai R' R , đó ta có: đường tròn (O) và (O’) Đặt V ( S , k ) : (O) (O '), P P ', Q Q ' k 1,0 Gọi I, J là giao điểm AB với PP’ và OO’ Khi đó ta có IP IA.IB IP '2 IP IP ' 0,5 Mà PQ // IJ // P’Q’ nên JQ = JQ’ điểm Suy AB là trung trực QQ’ Mà OO’ là trung trực AB Vậy tứ giác AQBQ’ là hình thoi Do đó Q’B //AQ hay Q’M’ // QM Giả sử V(S, k) biến M thành B’ đó QM // Q’B’ Mà M thuộc (O) suy B’ thuộc (O’) đó B’ trùng với B Vậy V(S, k) biến M thành B Tương tự ta có V(S, k) biến B thành M’ Suy M, B, M’ thẳng hàng hay MM’ qua B 1,0 1,0 0,5 Đặt f x ax bx cx dx e f x ax b c x d e bx3 bx dx d Khi đó ax b c x d e bx d x 1 = Phương trình (1) có nghiệm x0 1 nên ta có: ax0 b c x0 d e 0 a x0 điểm b c x0 d e 0 f x0 f x0 bx0 d Do đó bx d x0 1 0 = 1,0 1,0 x0 bx0 d x0 x x0 ; x0 Vậy phương trình f x 0 có nghiệm 1,0 1,0 (4) Ta có: (3) 2 cos x(4 cos x 3cos x) 2 sin x sin x 0 cos x.2 cos x cos x 2sin x.2sin x sin x3 x (1 cos x)(cos x cos x) (1 cos x)(cos x cos x) 4 điểm 2(cos x cos x cos x) cos x (1 cos x) cos x.cos 2 x cos x 2 π x kπ , ( k ) 1,0 1,0 1,0 1,0 ADBĐT côsi xy x y 1 x 1 y (1 x )(1 y ) 1 2 (1 x)(1 y ) 1 x 1 y Cộng lại theo vế ta xy xy 1 điểm (1 x)(1 y ) (1 x)(1 y ) 1,0 1,0 1,0 xy (1 x)(1 y ) (1 x)(1 y ) (1 xy ) Dấu “=” và x=y 1,0 (5)