De thi HSG huyen mon Toan

+ Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì Tổ chấm thống nhất và cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.. + Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không l[r]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐOAN HÙNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm 90 phút khơng kể thời gian giao đề) Đề có 01 trang PHẦN TRẮC NGHIỆM TỰ LUẬN Câu (3điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: y  x 2 x   x  x  Câu (3,5điểm) Giải phương trình x - 3x + + x+3 = x-2 + x + 2x - Câu (4điểm) Cho đường (O, R) đường thẳng d khơng qua O cắt đường trịn hai điểm A, B Lấy điểm M tia đối tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D tiếp điểm) Gọi H trung điểm AB a) Chứng minh điểm M, D, O, H nằm đường tròn b) Đoạn OM cắt đường tròn I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD c) Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt tia MC, MD thứ tự P Q Tìm vị trí điểm M d cho diện tích tam giác MPQ bé Câu (1,5 điểm) Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: 3 18      a b c a  b 3b  4c c  6a Họ tên thí sinh:………………………………… , SBD:………………… Cán coi thi khơng giải thích thêm PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐOAN HÙNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016-2017 MƠN: TỐN Câu Nội dung Câu (3điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: Điểm y  x2 x   x x Điều kiện: x 1 0,25 0,25 y  ( x  1)   x   ( x  1)   x  0,25 0,25 | x   |  | x   | (3điểm)  x   1 | x   1| Xét hai trường hợp: a) Với x = y =2 b) Với x 2 y  x    x   2 x  2 Do đó: y 4( x  1) Do x 2 nên đặt x – = t với t nguyên dương  x t   Ta có:  y 2t 0,5 Kết luận: nghiệm phương trình là: (1 ; 2), ( t  ; 2t) với t số nguyên dương tùy ý Câu (3,5điểm) Giải phương trình x - 3x + + (3,5điểm) x+3 = Ta có: x2 - 3x + = (x - 1) (x - 2), Điều kiện: x ≥ (*) Phương trình cho x-2 + (x - 1) (x - 2) - (x - 1) (x + 3) +  x - ( x - - x + 3) - ( x - - x + 3) =  x-2 - x+3   x-2 = x+3    x - - = x+3 - x-2 =0 0,5 0,25 0,25  0,25  x 2 x-1 -1 =0 (VN) 0,25 x + 2x - x2 + 2x - = (x - 1) (x + 3)   0,25 (thoả mãn đk (*)) Vậy phương trình cho có nghiệm x = Câu (4điểm) Cho đường (O, R) đường thẳng d không 0,25 qua O cắt đường tròn hai điểm A, B Lấy điểm M tia đối tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D tiếp điểm) Gọi H trung điểm AB a) Chứng minh điểm M, D, O, H nằm đường tròn b) Đoạn OM cắt đường tròn I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD c) Đường thẳng qua O, vng góc với OM cắt tia MC, MD thứ tự P Q Tìm vị trí điểm M d cho diện tích tam giác MPQ bé P C A d H B I O M D Q (4đ) a (1đ)  Vì H trung điểm AB nên OH  AB hay OHM 90  0,5 Theo tính chất tiếp tuyến ta lại có OD  DM hay ODM 90 Suy điểm M, D, O, H nằm đường tròn Theo tính chất tiếp tuyến, ta có MC = MD  MCD cân M   MI đường phân giác CMD  DCI  CD  sđ DI Mặt khác I điểm cung nhỏ nên = b (1,5đ)   sđ CI = MCI  MCD  CI phân giác tam giác MCD Vậy I tâm đường trịn nội tiếp c Ta có tam giác MPQ cân M, có MO đường cao nên diện tích (1,5đ) S 2 SOQM 2 .OD.QM R( MD  DQ) tính: Từ S nhỏ  MD + DQ nhỏ 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 Mặt khác, theo hệ thức lượng tam giác vng OMQ ta có DM DQ OD R không đổi nên MD + DQ nhỏ  DM = DQ = R Khi OM = R hay M giao điểm d với đường trịn tâm O bán kính R Câu (1,5 điểm) Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: 0,25 0,25 0,5 3 18      a b c a  b 3b  4c c  6a Có thể viết lại vế trái BĐT cần chứng minh sau: 1   a b c S= 0,25 Chính thế, ta viết lại vế phải là: (1,5đ) P= a  b  b c  2  c  2a 0,25 Và ta cần chứng minh S ≥ P b c x a; y  ; z  , ta phải chứng minh Đặt  1 1 1    3     x y z  x  y y  2z z  2x  1 1 1  1 2          Ta có x  y x  y  y  x y y   x y  0,25 0,25 Tương tự ta có điều cần chứng minh, b c a   0 Dấu “=” xảy  x = y = z  0,5 Lưu ý: + Hướng dẫn chấm lời giải sơ lược cách, chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết hợp lơ gic chia nhỏ điểm đến 0,25 điểm + Thí sinh làm cách khác với Hướng dẫn chấm mà Tổ chấm thống cho điểm tương ứng với biểu điểm Hướng dẫn chấm + Điểm thi tổng điểm thành phần khơng làm trịn số  ...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐOAN HÙNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016-2017 MƠN: TỐN Câu Nội dung Câu (3điểm) Tìm nghiệm... b c a   0 Dấu “=” xảy  x = y = z  0,5 Lưu ý: + Hướng dẫn chấm lời giải sơ lược cách, chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết hợp lơ gic chia nhỏ điểm đến... khác với Hướng dẫn chấm mà Tổ chấm thống cho điểm tương ứng với biểu điểm Hướng dẫn chấm + Điểm thi tổng điểm thành phần khơng làm trịn số