TÌM GIỚI HẠN BẰNG CÁCH CHỌN PHẦN TỬ ĐẠI DIỆN Kiến thức giới hạn dãy số và giới hạn hàm số khi n hay x là những bài toán khó đối với học sinh mà còn khó đối với người dạy Để giú[r]
Trang 1Kiến thức giới hạn dãy số và giới hạn hàm số khi n hay x là
những bài toán khó đối với học sinh mà còn khó đối với người dạy
Để giúp giảm bớt khó khăn nên tôi soạn đề tài:
“TÌM GIỚI HẠN BẰNG CÁCH CHỌN PHẦN TỬ ĐẠI DIỆN”
CĂN CỨ : T ìm giới hạn dãy khi n →+∞ của một đa thức f (n ) thì
số hạng chứa n k ,k lớn nhất đại diện cho đa thức f (n ) .
Ví dụ f (n )=−5 n4+3 n2+2 n− 3 ta chọn đại diện là −5 n4 khi n →+∞ .
Áp dụng điều này khi tính giới hạn bằng trắc nghiệm sẽ nhanh chóng hơn Quy ước :
C × n k , k nguyên dương đọc là c nhân vô cực
chẳng hạn : −5 n7 đọc là âm vô cực
7 n3 đọc là dương vộ cực.
C × 1
n k , k nguyên dương đọc là 0 chẳng hạn −5 1
n đọc là 0 ,
−15 1
n3 đọc là 0
1. lim f ( n)
g (n ) khi đó chọn số hạng đại diện cho f(n)và g(n) rồi đơn giản ta sẽ
có kết quả
Ví dụ 1 : lim 3 n
3
− 11
2 n3−7 n2+9 ta có đại diện là 3 n3
2n3 đơn giản kết quả : 32 Vậy lim 3 n3− 11
2 n3−7 n2+9=
3 2
Ví dụ 2: lim− 2 n
3
+7 n− 1
5 n2+n − 9 số hạng đại diện − 2 n
3
5 n2 đơn giản − 2 n5 đọc
− ∞
Vậy lim− 2 n
3
+7 n− 1
5 n2+n − 9 =−∞
Ví dụ 3: lim8 n
4
+5 n3+2 n −6
5 n6+3 n5+2 số hạng đại diện : 8 n4
5 n6→
8
5 n2 đọc là 0 Vậy lim8 n
4
+5 n3+2 n −6
5 n6+3 n5+2 =0
Nhận xét : lim f ( n)
g (n )
Số mũ tử số bằng số mũ mẫu kết là tỉ số hai hệ số tương ứng (vd1)
Trang 2 Số mũ tử > số mũ mẫu kết quả dấu hệ vơi vô cực ( vd2)
Số mũ tử < số mũ mẫu số kết quả bằng 0
BÀI TẬP TỰ KIỂM TRA
1
6 1 lim
3 2
n n
(KQ:2) 2
2 2
lim
n
3
2 )
3
2 2
lim
3
n
(kq: 4) 4
lim 2
n n
17 2
)
5
lim
3
n
(kq: 1+√3 ) 6 lim
− 19 n6+5 n4−3 n+2 71n4+5 n2+3 n+1 kq:
− ∞ )
7
1 lim
1
n n
(kq:1 ) 8 lim
41 n3+2 n2− 5 12n8− 11n7+9 n (kq: 0)
9
2
3
1 3 2 lim
2
n n
− 2 n4
n4
kq là -2 )
Dạng a-b chứa căn mà triệt tiêu ta nhân lượng liên hợp (LLH) đưa về dạng trên rồi chọn đại diện.
Ví dụ 1: lim( n2 n n) nhân LLH ta có √n2+n n+n →
n n+n kq là 12
Ví dụ : lim(n 3 n32 )n2 nhân LLH ta có −2 n
2
n2+n√3n3+2n2+( √3n3+2n2)2
Đại diện là −2 n2
n2+n2+n2=
− 2
3
Dạng lũy thừa : a n , b n như trên ta chọn cơ số lớn nhất làm đại diện nếu có phân số chọn riêng tử và mẫu.
Chú ý : lim(q)n =+ ∞ khi q >1 và lim(q)n=0 khi |q|<1
Ví dụ 1 :
3 5.4 lim
4 2
n n
n n
ta có đại diện là
5 4n
4n → 5 vậy
3 5.4 lim
4 2
n n
n n
=5
Ví dụ2:
3 5.7 lim
2 3.7
n n
n n
5 7n
− 3 7 n →−
5
3 Vậy
3 5.7 lim
2 3.7
n n
n n
− 5
3
Trang 3
Ví dụ 3 : lim3 4
n
− 5 2 n+1
8 3n+2n− 3 − 5 ta có đại diện là 3 4
n
8 3n=
3
8(43)n đọc là +∞
Ví dụ 4 : lim 5 2n+7
− 15 5 n+3n+8 ta có đại diện là 5 2
n
− 15 5 n=
−1
3 (25)n đọc là 0
Vậy lim 5 2
n
+7
− 15 5 n+3n+8 =0
Mở rộng có thể áp dụng cách này cho giới hạn hàm Tại vô cực X →± ∞
cần chú ý : X →− ∞ thì √X2=− X Và X →+∞ thì √X2=X
Ví dụ1 ; lim
x →− ∞
− x+3
2 x − 1 ta có đại diện − x 2 x=−1
x →− ∞
− x+3
2 x − 1 = − 12
Ví dụ 2 : lim
x →− ∞
√x2− x+5
2 x −1 vì X →− ∞ ta có đại diện − x 2 x → −1
lim
x →− ∞
√x2− x+5
2 x −1 = − 12
Ví dụ 3 : limX →− ∞(5 x4−3 x3+2 x +15) ta có X →− ∞ mà đại diện X4
nên có kq +∞
Ví dụ 4:
lim
x →+∞(2 x −√4 x2− x+3) nhân LLH ta có x −3
2 x +√4 x2− x+3 →
x
2 x+2 x=
1 4
x →+∞(2 x −√4 x2− x+ 3) = 14
Ví dụ : x →− ∞lim (√x2
+x −1 −√x2− x −1) nhân LLH ta có
2 x
√x2+x −1+√x2− x −1
Vì X →− ∞ nên ta có − x − x 2 x =− 1 vậy x →− ∞lim (√x2
+x −1 −√x2− x −1) =-1
BÀI TẬP TỰ KIỂM TRA
1)
x x x x
3
lim
1
x
x x
3) x →+∞lim(− 2 x3−2 x2+x −3)
lim
3 1
x
x
Trang 44)
2
lim 3 5
x x x
x →+∞lim(√x2+2 x +3 − x )
+)
1) lim 3
√1+2n − n3
2) lim(2n + cosn)
3) lim( 12 n2 3sin2n + 5)
4) un = 3
n+1
2n −1 .
2 1 lim
n
2
4
1 lim
n
lim
2 4
1
n
n n
a)
1 3
lim
4 3
n
n
b)
1
4.3 7
lim
2.5 7
c)
lim
5 8
d)
1
2 5 lim
1 5
n
e)
1 2.3 7 lim
5 2.7
1 2.3 6 lim
2 (3 5)
n n
ĐS: 1/3
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
3 3.5 lim
2 5
n n n
5
2
n
n
B.
2 3 5
n
C. 33
3
n
2
lim
1
x
x
bằng: A. -2 B. 3 C. -5 D. 5
Câu 22.
4
lim
x
Câu 23.
2
lim
2 7
x
x
bằng: A. 17/2 B.
C. 2 3
3 D. 3 2
2
Câu 24.
2
lim
3 3
n
bằng: A. 8/3 B. 10/3 C. 3 D. 1
Trang 5Câu 16:
2 2
lim
x
là: A
5
Câu 17:
2 4
( 1)( 1) lim
(2 )( 1)
x
x x x
1
Câu 18:
2
x x x x
Bài 19:
2
x x x x
lim n 50n11
bằng:
Câu 3:
3
3
lim
2 15
n n
n
Câu 4:
lim
3 5
n n n
Câu 5:
2 2
2 15 11
lim
n n
Câu 6:
2 1 1 3
lim
bằng:
Trang 6a 2 b 1 c - d +
Câu 8:
1 lim
1
Câu 9:
3 11
lim
1 7.2
n
n
Câu 10:
1
2 3.5 3
lim
3.2 7.4
n n
n n
1 lim
2
Câu 12:
10 lim
2.4n 3
Câu 13:
2
sin 3 limn n n
n
bằng:
Câu 14:
2 lim
2
n
bằng:
2 32 lim
2 3
n
Trang 7Câu 16:
2
3 lim
2 7
Câu 17:
2
2 lim
3 2
n
a
2
2
2
-2 3
Câu 18:
1
2 3 11
lim
n n
n n
Câu 19:
13.3 15
lim
3.2 4.5
n
n n
bằng:
2 3 lim 2 1
2
n n
Câu 22:
1 1
3 2 lim
5 3
n n n
n
1 3
NHỚ : phương pháp này chỉ áp dụng trong trắc nghiệm của dãy và hàm số tại vô
cực mà thôi