Tài liệu Đề thi và đáp án kỳ thi olympic toán ĐBSCL pdf

Sở Giáo Dục & Đào Tạo Đồng Tháp Trường THPT Thò Xã Séc ĐỀ THI OLYMPIC ĐBSCL Môn: TOÁN – Khối 12 Bài 1: Cho số nguyên n > 1 và số thực p > 0 . Tìm giá trò lớn nhất của:     1 1 1 n i ii xx khi i x chạy khắp mọi giá trò thực không âm sao cho px n i i   1 . Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc oxy cho n véctơ : n OAOAOA ,,, 21  , thỏa 1 21  n OAOAOA  Chứng minh rằng có thể chọn ra k véctơ có tính chất : 4 1 21  k iii OAOAOA  . Bài 3: Sở Giáo Dục & Đào Tạo Đồng Tháp Trường THPT Thò Xã Séc Dãy số () n u , (n =1, 2, 3, ) được xác đònh bởi 1 1 ( 1) k n n k u k      , với n=1, 2, 3, Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn và tìm giới hạn đó. Bài 4: Giải phương trình sau : 01464 234  TTTT Bài 5: Cho tam giác ABC, O là điểm tùy ý trong tam giác. Đặt : OA = x; OB = y; OC = z. Gọi u, v, w tương ứng là các đường phân giác trong các góc  BOC,  COA,  AOB củøa các tam giác BOC, COA, AOB. Chứng minh rằng : 2( )x y z u v w     . Sở Giáo Dục & Đào Tạo Đồng Tháp Trường THPT Thò Xã Séc ĐÁP ÁN Bài 1: Đặt : S = x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n-1 x n ; p = x 1 + x 2 + … + x n . Giả sử : x k = Max { x 1 , x 2 , … , x n }  S =     1 1 1 n i ii xx =    k i ii xx 1 1 +     1 1 n ki ii xx     1 1 . k i ik xx +     1 1 . n ki ik xx  x k (p – x k )  4 2 p ,(Côsi). Vậy : Max S = 4 2 p khi x k = x k+1 = p/2 và x i = 0, i = 1,…n, i  k và i  k + 1. Bài 2: Gọi (x i ,y i ) là tọa độ véctơ i OA , i = 1,…,n. Ta có: iiiii yxyxOA  22 , (1). Dấu ‘’=’’ xãy ra khi x i = 0 hay y i = 0. Từ gthiết ta có:    n i i n i in yxOAOAOA 11 21 1  Sở Giáo Dục & Đào Tạo Đồng Tháp Trường THPT Thò Xã Séc     000011 1 iiii y i y i x i x i n i i n i i yyxxyx . Theo nguyên lý Đirichlê sẽ tồn tại 4 1 0    i x i x . Gọi ikii OAOAOA , ,, 21 lần lượt là các véctơ có hoành độ x i1 , x i2 , …, x ik > 0. Ta có:     4 1 0 1 2 21 2 2121    i x iikiikiiikiiikii xxxyyyxxxOAOAOA  . Bài 3: Ta viết : 2 2 11 11 2 2 mm m kk u kk    = 2 1 1 1 1 1 1 m m m k k k k k k m         Mặt khác, ta có nhận xét : với (0,1)x thì ln( 1) ln(1 )x x x     , (1) Thật vậy: + Xét ( ) ln( 1)f x x x    1 '( ) 1 0, (0,1) 11 x f x x xx         , suy ra f(x) nghòch biến trên (0,1) ( ) (0) 0 ln( 1)f x f x x      , (2) + Xét ( ) ln(1 )g x x x    1 '( ) 1 0, (0,1) 11 x g x x xx         , suy ra g(x) nghòch biến trên (0,1) ( ) (0) 0 ln(1 )g x g x x      , (3) Từ (2) và (3) suy ra (1) đã được chứng minh Sở Giáo Dục & Đào Tạo Đồng Tháp Trường THPT Thò Xã Séc p dụng (1) với 1 x km   , ( k = 1, 2, 3, ) , ta được : 21 ln( ) ln( ) 1 1 1 mm m m m        1 ln( 2) ln( 1) ln( 1) ln 1 m m m m m          Tương tự: 1 ln( 3) ln( 2) ln( 2) ln( 1) 2 m m m m m          1 ln( 4) l n ( 3) ln( 3) l n ( 2 ) 3 m m m m m          1 ln(2 1) ln(2 ) ln(2 ) ln(2 1) 2 m m m m m       1 1 ln(2 1) ln( 1) ln(2 ) ln m k m m m m km           2 1 ln(2 ) ln2 1 m u m       2 lim ln2 m m u   . Mặt khác 2 1 2 1 21 mm uu m    nên 2 1 2 lim lim mm mm uu     . Suy ra lim ln2 n n u   . Vậy : lim ln2 n n u   , (n=1, 2, 3, ) Bài 4: Phương trình (*)16)1(4 242  TTTT Sở Giáo Dục & Đào Tạo Đồng Tháp Trường THPT Thò Xã Séc Nhận thấy phương trình (*) không nhận 223T hay 1T làm nghiệm Do dó        016 01 24 2 TT T nên (**)1 16 )1(4 (*) 24 2     TT TT Đặt                      4 ,223\ 2 ; 2 ,   arctgtgT 1 16 )1(4 (**) 24 2       tgtg tgtg 1 1 2 1 1 2 .2 2 2 2                          tg tg tg tg 1 21 22 2      tg tg 14   tg )(, 4 4 Zkk     )(, 4 . 16 Zkk    So điều kiện :        2 ; 2   , suy ra 24 . 162   k 4 7 4 9  k Vì Zk  nên suy ra   1,0,1,2 k . Nếu 2k thì 16 7            16 7   tgtgT Tương tự : nếu 1,0,1k thì               16 5 , 16 , 16 3  tgtgtgT Vậy nghiệm của phương trình là        16 5 , 16 , 16 3 , 16 7  tgtgtgtg Bài 5: Sở Giáo Dục & Đào Tạo Đồng Tháp Trường THPT Thò Xã Séc Đầu tiên , ta chứng minh bổ đề sau: ‚ Nếu        thì ,,p q r , ta luôn có:   2 2 2 2 cos cos cosp q r qr pr pq         ‛. Thật vậy :   2 2 2 2 cos cos cosp q r qr pr pq             2 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos 2 cos 2 cos( ) 2 cosp q r qr pq pr                      22 2 cos cos 2 ( cos ) 2 ( cos ) 2( cos )( cos )r p q r p r q p q               + +     22 sin sin 2( sin )( sin )p q p q            22 cos cos sin cos 0r p q p q           .   2 2 2 2 cos cos cosp q r qr pr pq          , (đpcm). Trở lại bài toán đầu bài : Đặt :  AOB = 2 ;  AOC = 2 ;  BOC = 2   +  +  =  Theo công thức tính đường phân giác trong tam giác , ta có : 2 cos 2 cos 2 cos ,, yz xz xy u v w y z x z x y          Áp dụng bổ đề với ,,p x q y r z   ta có : ( ) ( ) ( ) 2 . 2 . 2 . u y z v x z w x y x y z yz xz xy yz xz xy         Hay . . . 2( ) y z z x x y x y z u v w u v w yz xz xy                           , (đpcm) ( theo bất đẳng thức Cauchy ) Sở Giáo Dục & Đào Tạo Đồng Tháp Trường THPT Thò Xã Séc . Đồng Tháp Trường THPT Thò Xã Séc ĐỀ THI OLYMPIC ĐBSCL Môn: TOÁN – Khối 12 Bài 1: Cho số nguyên n > 1 và số thực p > 0 . Tìm giá trò lớn. Sở Giáo Dục & Đào Tạo Đồng Tháp Trường THPT Thò Xã Séc ĐÁP ÁN Bài 1: Đặt : S = x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n-1 x n ; p = x 1 +