SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC KÌ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊNQUANGTRUNG NĂM HỌC 2006 – 2007 MÔN THI: TOÁN (BÀI THI CHO LỚP CHUYÊN TOÁN) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ------------------------------------------------------------------------------ Bài 1 Cho phương trình ( 2) ( 1)( 3) 0 (1) mx x x x , (m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi m. b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm âm. Bài 2 a) Giải phương trình 22 3 1 2 6 1x x x x b) Giải hệ phương trình 22 33 1 33 x y xy x y x y Bài 3 a) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng số 42 1nn là một hợp số. b) Tính tổng 1 1 1 1.3 3.5 (2 1)(2 3) S nn Bài 4 Cho đường tròn (O) với dây cung BC cố đònh(BC < 2R) và điểm A trên cung lớn BC (A không trùng với B, C và điểm chính giữa của cung). Gọi H là hình chiếu của A trên BC, E và F lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường kính AA’ của đường tròn (O). a) Chứng minh rằng HE vuông góc với AC. b) Chứng minh tam giác HEF đồng dạng với tam giác ABC. c) Khi A di chuyển, chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF cố đònh Bài 5 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và 2abc . Chứng minh rằng: 2 2 2 22a b c abc . HẾT !""#$!""% &'() *+,*-./0123/* ( 2) ( 1)( 3) 0 (1)+ + + + =mx x x x 456&'1*&78+9:; &:*-</07(/*2&=/0,*-./0123/*5):>+</0*(?@7A.<(7+B( (&C( 2 ( 1) 2( 2) 3 0m x m x⇔ + + + + = 1 0 1m m+ = ⇔ = − 3 2 3 0 2 x x+ = ⇔ = − 1 0 1m m≠ = ⇔ ≠ − ! "# 2 2 2 1 3 ' ( 2) 3( 1) 1 0 2 4 m m m m m ∆ = + − + = − + = − + > $# $ ! %&'# ( $# ! D:37E?F,*-./0123/*5):>+<*&(/0*(?@7&G7; (&C( )# $ 0 ' 0 0 0 a s P ≠ ∆ ≥ ⇔ < < 1 1 2( 2) ( ; 2) 0 ( ; 2) ( 1; ) 0 1 3 1 0 1 m m m R m R m m m m m m ≠ − ≠ − ∈ ∈ + ⇔ ⇔ ⇔ ∈ −∞ − − < ∈ −∞ − ∪ − +∞ < + < − < + %&# $ ( ; 2)m⇔ ∈ −∞ − ! &'(! &:(&C(,*-./0123/* 2 2 3 1 2 6 1x x x x− − = − − (&C( *% 2 2 6 1 0x x− − ≥ *+ 2 2 6 1, 0t x x t= − − ≥ !# 2 2 2 2 2 2 1 2 6 1 2 6 1 3 2 t t x x x x t x x + = − − ⇔ − = + ⇔ − = % # 2 2 1 2 ( ) 1 1 2 1 0 2 1 2 ( ) t N t t t t t L = + + − = ⇔ − − = ⇔ = − '# 1 2t = + # ( ) 2 2 2 2 6 1 1 2 2 6 1 1 2x x x x− − = + ⇔ − − = + 2 3 17 4 2 2 3 2 2 0 3 17 4 2 2 x x x x + + = ⇔ − − − = ⇔ − + = , -. ! %&# 3 17 4 2 2 x + + = 3 17 4 2 2 x − + = ! D:(&C(*?@,*-./0123/* 2 2 3 3 1 3 3 x y xy x y x y + − = + = + (&C( *% ,x y R∈ ! 0x y x y+ = ⇔ = − 2 3 3 1 4 4 x x x = = 2 2 2 2 3 1 1 0 4 ( 1) 0 1 x x x x x x x = = ⇔ ⇔ ⇔ ∈ ∅ = − = = /#0# 0x y+ = 0$ ! 0x y x y+ ≠ ⇔ ≠ − 2 2 3 3 ( )( ) 3 3 x xy y x y x y x y x y − + + = + ⇔ + = + 3 3 3 3 3 3 3 (*) 3 3 2 2 (**) x y x y x y x y x y x y y y + = + + = + ⇔ ⇔ + = + = #,11 0 1 1 y y y = ⇔ = = − '# "23"0,1# 3 0 1 1 x x x x x = = ⇔ = = − * 0# -. 0x y+ ≠ "## ,453,6453! '# "24"0,1# 3 0 1 1 x x x x x = = ⇔ = = − * 0# -. 0x y+ ≠ "## ,354,454! '# "274"0,1# 3 0 1 1 x x x x x = = ⇔ = = − * 0# -. 0x y+ ≠ "## ,3574,74574! %&8#9 ,453,6453,354,454,3574,74574! &'(H &:*+ n 6&'8+91-B/*(?G/6.</*./);*-</07(/*2&=/08+9 4 2 1 n n + + 6&'7+@1*.B,8+9; (&C( # 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 2 1) ( 1) ( 1)( 1)n n n n n n n n n n n+ + = + + − = + − = − + + + /#0# n :( $#4 4 2 1n n+ + $(:,! D:I/*1+F/0 1 1 1 1.3 3.5 (2 1)(2 3) S n n = + + + + + (&C( # 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 . 1 1.3 3.5 (2 1)(2 3) 1 3 3 5 2 1 2 3 2 3 S n n n n n = + + + = − + − + + − = − + + + + + /# 1 1 2 2 1 1 2 2 3 2(2 3) 2 3 n n S n n n + + = − = = + + + &'(J *+E-.'/012+'/5:A.<(K&GL>M/0>+9EN/*5O!:A&'E(?F712?G/>M/06.</5 P*+G/012M'/0A.<(4A&'E(?F7>*I/*0(-Q&>MC&>M/0:;+B(6&'*3/*>*(?9M>MC&12?G/4 A&'R6&S/6-.B16&'*3/*>*(?9M>MC&A&'12?G/E-.'/0PI/*T>MC&E-.'/012+'/5:; &:*-</07(/*2&=/0AM+G/00+<>A.<(; D:*-</07(/*1&70(&<>RE+S/0K&B/0A.<(1&70(&<>; >:*(K(>*ML?F/4>*-</07(/*1&G7E-.'/012+'//0+&B(1(?9,1&70(&<>R>+9EN/*; (&C( &:*-</07(/*2&=/0AM+G/00+<>A.<(; # ;< == >? , 0$ # 0# @@A EBH FCH = ,:!,U /B " @;8< # # BAH BEH = ! C+ .# # 'BAH FCA= 0 'ABH CA F∆ ∆ , 0 ' 90AHB CFA= = 'ABH FA C= D@>! /## 'BEH FCA= !,UU ,10,11 'HBE BEH HCF FCA + = + C HBE BEH ECH+ = ,# # 0 ' 'HCF FCA HCA+ = ! /# ' // 'ECH HCA HE CA= ! C 'CA AC HE AC⊥ ⊥ ,! D:*-</07(/*1&70(&<>RE+S/0K&B/0A.<(1&70(&<>; $,#8<==>@A 'HEF FA C = ,E6&6!C 'ABH FA C= D @>!/## HEF ABH = " HEF ABC = ,111! I O B C A' F H E A /B"# #@8?># # HFE HCA= ,D@8! /# HFE BCA= ,1111! ,1110,1111#8<?-)(0# #@;>5E,>7:; >:*(K(>*ML?F/4>*-</07(/*1&G7E-.'/012+'//0+&B(1(?9,1&70(&<>R>+9EN/*; F( G H;># OI BC⊥ ! $,# HEF ABC ABC HEF∆ ∼ ∆ = ! C OBI OEI= ,# #;<IG ABO HEI = ! $,# HEF ABC BAC EHF∆ ∼ ∆ = ! C CHF CAF= ,# #@8?> EHI BAO = ! /# OAB IHE∆ ∼ ∆ !C OAB∆ $JI IHE ∆ $JG IH IE = ,4! & ( # OAC IHF∆ ∼ ∆ C OAC∆ $JI IHF ∆ $JG IH IF = ,K! ,4 0 ,K :" G L $ ( # 8<?!'G H ;> $G HM$ #(# ! &'(V *+&4D4>6&'E+@K&'(D&>&B/*>MC&7+@11&70(&<>A&' 2a b c+ + = ;*-</07(/*2&=/0W 2 2 2 2 2a b c abc+ + + < ; (&C( N#$ , , 0x y z∃ > , ,a x y b y z c z x= + = + = + !0" 0# HN"O P$# 2 a c b x + − = 2 a b c y + − = 2 b c a y + − = !'P( # H (#(( , , 0x y z > ! % #;*-# 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2( )( )( ) 2x y y z z x x y y z z x⇔ + + + + + + + + + < 2 2 2 2( ) 2( ) 2( )( )( ) 2x y z xy yz zx x y y z z x⇔ + + + + + + + + + < ' 2 1a b c x y z+ + = + + = /#;* 2 2 ( ) 2( ) 2( ) 2(1 )(1 )(1 ) 2x y z xy yz zx xy yz zx z x y ⇔ + + − + + + + + + − − − < [ ] [ ] 2 1 2( ) 2( ) 2 1 ( ) ( ) 2xy yz zx xy yz zx x y z xy yz zx xyz⇔ − + + + + + + − + + + + + − < [ ] 2 4( ) 2( ) 2 1 1 ( ) 2xy yz zx xy yz zx xy yz zx xyz⇔ − + + + + + + − + + + − < 2 0 0xyz xyz⇔ − < ⇔ − < ,$#0N"OQ3$7N"OR3! '";*#,! X I O B C A' F H E A W*&B7&Y/ML<412-.'/0>*ML?G/M&/02M/0 . ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC KÌ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG NĂM HỌC 2006 – 2007 MÔN THI: TOÁN (BÀI THI CHO LỚP CHUYÊN TOÁN) Thời gian làm bài:. (m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi m. b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm âm. Bài 2 a) Giải phương trình 22 3 1